IES El Cabanyal Física 2º bachiller 25/11/2015

Dr JM Ayensa 2015
IES El Cabanyal Física 2º bachiller
25/11/2015 Campo gravitatorio
Advertencia: todos los cálculos en las cuestiones y problemas deberán efectuarse en
función de los datos que se proporcionan en cada uno de ellos. No se considerará la
respuesta si se introducen datos de constantes u otros no incluidos en el enunciado.
CUESTIONES (1,5 puntos cada una)
C1.- La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de
distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es Ra/Rp = 5/3.
Razonando tu respuesta, calcula la relación (cociente) entre los valores en el afelio y en el
perihelio del momento angular respecto al centro del Sol y de las velocidades.
C2.- La Estación Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita
prácticamente circular a una altura h = 390 Km sobre la superficie terrestre. Calcula su
energía cinética sabiendo que su masa es de 4.2 x 105 kg.
Datos: go = 9,8 m/s2; RTierra = 6,38·106 m
C3.- Sean dos masas puntuales de 100 Kg y 150 Kg, situadas en los puntos A(-2 , 0) m y
B(3 , 0) m, respectivamente. Se pide calcular el trabajo necesario para desplazar una
partícula de 10 Kg de masa desde el punto C(0 , 4) m hasta el punto O(0 , 0) m.
Dato: G = 6,67·10-11 SI.
C4.- El potencial del campo terrestre a una altura igual a la mitad del radio de la Tierra es,
– 3,49.107 J.kg-1. Calcula la masa de la Tierra.
Datos: G = 6,67.10-11 Nm2.kg-2; RT = 6370 km.
PROBLEMAS (2 puntos cada uno)
P1.- Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie de la
Tierra: la aceleración de la gravedad en dicha superficie (9,8 m/s2), el radio terrestre
(6,37·106 m) y el periodo de la órbita lunar (27 días, 7 h, 44 s):
a) Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la masa de la
Tierra, calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna (1,2 puntos).
b) Calcula la densidad de la Tierra sabiendo que G = 6,67·10-11 Nm2/kg2 (0,8 puntos)
P2.- Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal
manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km.
Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de
escape desde la superficie terrestre.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando
su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
Datos: go = 9,8 m/s2; RTierra = 6,38·106 m
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Dr JM Ayensa 2015
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25/11/2015 Campo gravitatorio
RESPUESTAS
CUESTIONES (1,5 puntos cada una)
C1.- La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de
distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es Ra/Rp = 5/3.
Razonando tu respuesta, calcula la relación (cociente) entre los valores en el afelio y en el
perihelio del Momento angular respecto al centro del Sol y de las velocidades.
Respuesta
Según la ley de gravitación, la fuerza de atracción del Sol sobre los planetas tiene la
dirección de la recta que une el Sol con el planeta correspondiente, por lo que el momento
r
r r
de la fuerza gravitatoria, respecto del Sol es nulo M(o) = r xF = 0 . El momento angular de una
r
partícula de masa m y velocidad v , respecto a un punto O, es, por definición, el producto
r
r
r
r
vectorial L(o) = r xm {v (1), donde r es el vector de posición de la partícula respecto del punto
r
O y mv el momento lineal de la partícula
En todo campo de fuerzas centrales (como es el caso en fuerzas gravitatorias) se cumple el
principio de conservación del momento angular, respecto del origen del campo. Esto es así
porque la variación temporal del momento angular, respecto de un punto, es igual al
momento de las fuerzas que actúan sobre la partícula, esto es,
r
r
r
r r r d(mv ) dL(o)
M(o) = r xF = r x
=
=0
dt
dt
Por consiguiente, la variación temporal del momento angular es nula, lo que significa que el
momento angular respecto del Sol es constante (su módulo también es constante). Es
decir, es el mismo en el afelio, en el perihelio y en
cualquier otro punto de la órbita. Por otro lado, en el
afelio
y
en
el
perihelio,
el
vector
velocidad
es
perpendicular al vector de posición, como se muestra en
A
r
mvP
s
rA
r
mv A
s
rP
S
P
la figura.
r
r
L A (S) = LP (S) ⇒ rA.m.vA .sen 90º = rP.m.vP .sen 90º
⇒
v A rP 3
= = .
v P rA 5
C2.- La Estación Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita
prácticamente circular a una altura h = 390 Km sobre la superficie terrestre. Calcula su
energía cinética sabiendo que su masa es de 4.2 x 105 kg.
go = 9,8 m/s2; RTierra = 6,38·106 m
Respuesta
La energía cinética de la ISS en la órbita viene dada por Ec = ½ mv 2, (1)
donde v es la rapidez, constante, en la órbita circular y m la masa de la ISS.
Si la órbita es circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta,
2
Dr JM Ayensa 2015
Fg = G
MT m
M m
v2
=
F
=
m
⇒ mv 2 = G T
c
2
r
r
r
(2).
Ahora bien, G y MT no se han dado como datos en el problema; el producto de ambos se
obtiene de la intensidad del campo, go =
g o RT2 m
ecuación (2), se obtiene, mv =
r
2
GMT
⇒ GMT = g o RT2
RT2
(3),
sustituyendo
en
la
(3).
g o RT2 m
9 ,8.(6 ,38.10 6 ) 2 4,2.10 5
Sustituyendo en la ecuación (1), Ec = ½
= =
= 1,24.1013 J
6
r
2.(0 ,39 + 6 ,38).10
C3.- Sean dos masas puntuales de 100 Kg y 150 Kg, situadas en los puntos A(-2 , 0) m y
B(3 , 0) m, respectivamente. Se pide calcular el trabajo necesario para desplazar una
partícula de 10 Kg de masa desde el punto C(0 ,4) m hasta el punto O(0 , 0) m.
Dato: G = 6,67·10-11 SI.
Respuesta
El trabajo para trasladar una masa m desde un punto a otro de un campo gravitatorio es,
Wcampo = - ∆Ep = - ∆V.m, donde ∆V es la diferencia de
D
potencial entre dichos puntos. Esto es,
Wcampo = (VC – VO).m. El potencial en un punto de un
Y
campo gravitatorio creado por una distribución de
4
5m
masas puntuales es la suma de los potenciales de cada
20
m
una de ellas, siendo el potencial de cada una
B
3m
2
m1
m
Vi = −G i , o sea,
ri
A
C
VC = V1C + V2C = − G
m1
m
 100 150 
− G 2 = −6 ,67.10 −11 
+
 = −3,49.10 − 9 J / kg
rC
rC
5 
 20
VO = V1O + V2O = − G
m1
m
 100 150 
−9
− G 2 = −6 ,67.10 −11 
+
 = −6 ,67.10 J / kg
r1O
r2O
3 
 2
m2
X
Wcampo = (VC – VO).m = (-3,49 +6,67).10-9.10 = + 3,18.10-8 J, positivo, lo que quiere decir que
el proceso de traslado no necesita el concurso de fuerzas exteriores.
C4.- El potencial del campo terrestre a una altura igual a la mitad del radio de la Tierra es,
– 3,49.107 J.kg-1. Calcula la masa de la Tierra.
Datos: G = 6,67.10-11 Nm2.kg-2; RT = 6370 km.
Respuesta
El potencial gravitatorio es, por definición, V =
V = −G
M
Ep
= −G T , o sea,
m
r
MT
G.MT
G.MT
=−
=−
RT + h
RT + RT / 2
(3 / 2)RT
⇒ MT = − V

(3 / 2)RT
(3 / 2).6 ,37.10 6
= − − 3,49.10 7
G
6 ,67.10 −11

PROBLEMAS (2 puntos cada uno)
3

 = 5,00.1024 kg

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P1.- Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie de la
Tierra: la aceleración de la gravedad en dicha superficie (9,8 m/s2), el radio terrestre
(6,37·106 m) y el periodo de la órbita lunar (27 días, 7 h, 44 s):
a) Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la masa de la
Tierra, calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna (1,2 puntos).
b) Calcula la densidad de la Tierra sabiendo que G=6,67·10-11 Nm2/kg2 (0,8 puntos)
Respuesta:
a) La fuerza centrípeta de la Luna en su órbita (aproximadamente circular) es la fuerza
gravitatoria, lo que permite relacionar la rapidez de giro con la distancia Tierra-Luna:
2.π .rTL
v 2 GMT .M L
Fc = Fg ⇒ ML . =
(1), pero la rapidez es v =
(2) sustituyendo en (1)
2
rTL
T
rTL
GMT
4π 2 .rTL3
 2π .rTL 
=
⇒
= GMT


rTL
T2
 T 
2
(3), ecuación en la que GMT es desconocida. No
obstante, este producto está relacionado con el radio de la Tierra y con go, dado que:
go =
GMT
⇒ GMT = g o .RT2
2
RT
(4)
sustituyendo
en
la
ecuación
(3)
se
tiene:
4π 2 .rTL3
= g o .RT2 (5), sabemos que RT = 6,37.106 m y que el período de rotación de la
2
T
Luna es, T = (27.24 + 7).3600 + 44 = 2,358.106 s
rTL =
3
g o .RT2 .T 2 3 9 ,8.(6 ,37.10 6 ) 2 .(2,358.10 6 ) 2
=
= 3,826.108 m
4.π 2
4.π 2
b) La densidad es la masa por unidad de volumen; y el volumen de la Tierra es,
ρ=
MT
MT
=
La masa se obtiene de la ecuación (4) del apartado anterior,
VT
4 / 3.π .RT3
MT
g o .RT2
go
9 ,8.3
queda ρ =
=
=
=
= 5506 kg/m3
3
−11
6
VT G.4 / 3.π .RT G.4 / 3.π .RT 6 ,67.10 .4.π .6.37.10
P2.- Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal
manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km.
Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de
escape desde la superficie terrestre.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando
su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
Datos: go = 9,8 m/s2; RTierra = 6,38·106 m
Respuesta
a) Dado que el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva,
esto es, ET = Ec + Ep = constante, esto es, la suma de las energías cinética y
potencial en la superficie lunar y en el punto más alto ( Ec = 0) son iguales.
Ecsuperf. + Epsuperf. = E c + Ep = 0 + Ep = Ep
(1)
La energía potencial del sistema masa m y la Luna, está dado por Ep = −
GML m
(2),
r
donde r es la distancia del cuerpo al centro de la Luna. Pero, dado que G y ML no se
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han dado como datos en el problema, el producto de ambos se obtiene de la
intensidad del campo, go =
GMt
⇒ GMT = gLR2T
Rt2
(3)
g o RT2 m
La ecuación (2) se puede escribir ahora Ep = −
(4)
r
g R 2m
g R 2m
La ecuación (1) queda ahora ½ mv 2 − o T = − o T
RT
r
(5)
g o RT2 m
Simplificada queda ½ v – goRT = −
r
2
Se despeja v y sacando factor común gT.RT, se tiene,
v=

R 
6 ,38.10 6

2g o RT  1 − T  = 2.9 ,8.6 ,38.10 6  1 −
r 
(6 ,38 + 0 ,5).10 6



 = 3015 m/s

La velocidad de escape, ve, es la velocidad que ha de tener un cuerpo situado en un
punto del campo gravitatorio (en este caso, la superficie de la Tierra) para que su
energía mecánica sea 0, dado que “escapar” del campo gravitatorio supone poder
alejarse infinitamente, o sea, si r → ∞, Ep → 0 y Ec → 0.
De acuerdo con esto, ET = Ec + Ep = 0 ⇒ Ec = - Ep ⇒
½ mv e2
g o RT2 m
=+
RT
⇒ v e = 2g o RT ;


Per, v = 2g o RT  1 −
v = ve.
RT 
r − RT
R + h − RT
= ve T
 = 2g o RT .
r 
r
RT + h
h
0 ,5.10 6
= 0,27.ve
= ve
RT + h
6 ,88.10 6
b) SI la velocidad se reduce cuando está subiendo un 10%, respecto de la velocidad de
lanzamiento, tendrá todavía el 90 % de dicha velocidad, o sea, v = 0,9.vo.
Se pide la altura a la que está con dicha velocidad. De la conservación de la energía
mecánica se tiene, ½ mv o2 −
½ mv o2
g o RT2 m
g R 2m
= ½ mv 2 − o T , pero v = 0,9.vo
RT
r
g o RT2 m
g o RT2 m
g o RT2
g o RT2
2 2
2
−
= ½ m.0,9 v −
⇒ ½ (v o -0,8. vo) −
= −
,
RT
r
RT
r
O sea, ½ 0,19.v o −
g o RT2
g R2
1 1 0 ,19.v o2 2.g o .RT2 − 0 ,19.v o2 .RT
= − o T ⇒ =
−
=
,
RT
r
r RT 2.g o .RT2
2.g o .RT3
2.g o .RT2
2.9 ,8.(6 ,38.10 6 ) 2
r=
=
= 6,4693.106 m
2
6
2
2.g o .RT − 0 ,19.v o 2.9 ,8.6 ,38.10 − 0 ,19.3015
h = r – RT = 0,0893.106 m ≈ 89,3 km.
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