Apuntes de Dinámica y Control de Procesos Modelo para un Reactor Continuo tipo Tanque Agitado (CSTR) CA1, T1, F1, ρ1. • Reactante Reacción Exotérmica: A→B Fc, Tc Refrigerante Producto. Fc, Tco CA2, T2, F2, ρ2. V: Volumen de la mezcla en el tanque • Balance de Materia Total: Vamos a realizar el balance en base molar. Entonces, los moles NO SE CONSERVAN, debido a la reacción química. Principio de conservación: Acumulación de moles en el sistema = Entrada de moles al sistema en las corrientes - Salida de moles al sistema en las corrientes ± Consumo o producción de moles por la reacción Para éste caso: δρV δt = ρ1F1 − ρ2 F2 ± {cero} El número de moles totales es el mismo por la estequiometría 1 a 1 • Balance de Materia por Componente: Para la especie A se aplica el principio de conservación y se toma en cuenta la estequiometría: Moles de A acumulados = Entrada de A por las corrientes - Salida de A por las corrientes ± Consumo de A por la reacción Para éste caso: δC V A = C F − C F − rV A 1 A 2 1 2 δt r: Velocidad de reacción por unidad de volumen ⎛ ⎜ ⎝ mol ⎞⎟⎠ ⎛ ⎜ ⎝ tiempo ⋅ Volumen ⎞⎟⎠ Considerando volumen constante (F1 = F2 ) y tanque perfectamente agitado: Apuntes de Dinámica y Control de Procesos d CA 2 = F ⎛⎜ C − C ⎞⎟ − rV V A ⎟ 1⎜ A 2⎠ ⎝ 1 dt • Balance de Energía: Suponemos que la reacción sucede en fase líquida, entonces, U ≈ H La entalpía deberá considerarse con estado de referencia de energías de formación estándar a T y Pref, a la composición de la mezcla para que sea aplicable a sistemas reaccionantes. h = ∆h f + ∫ D T Tref Cp dT Entalpía de formación estándar a T y Pref. Entonces, para este caso, siendo el sistema el volumen de mezcla reaccionante en el reactor: dH sis = ρ1 F1 h1 − ρ 2 F2 h2 − Q dt Ahora bien, el cambio en la entalpía del sistema se debe a tres causas: cambio en la temperatura, cambio en las moles de A y cambio en las moles de B. Entonces: H sis = H (T,N A ,N B ) Calculando la diferencial total por la regla de la cadena: dH sis dt ⎛ ∂H sis =⎜ ⎜ ⎝ ∂T ⎛ ⎞ dT ⎜ ∂H sis ⎟ +⎜ ⎟ ⎠ N A ,N B dt ⎜⎝ ∂N A Luego: T ∂H sis ∂T = ∂ρV ∫ CpdT Tref = ρVCp ∂T ⎛ ⎜ ∂H sis ⎜ ⎜ ∂N A ⎝ ⎞ __ ⎟ = H A ⎟ ⎟ ⎠ N B ,T “Entalpía molar parcial de A” ⎛ ⎜ ∂H sis ⎜ ⎜ ∂N B ⎝ ⎞ __ ⎟ =H B ⎟ ⎟ ⎠ N A ,T “Entalpía molar parcial de B” Además del balance de materia por componente: dC A2 dN A =V = C A1 F1 − C A 2 F2 − rV dt dt ⎞ ⎛ dN A ⎜ ∂H sis ⎟ +⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂N B ⎠ N B ,T dt ⎝ ⎞ dN B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ N A ,T dt Apuntes de Dinámica y Control de Procesos dN B =V dC B2 0 = C B1 F1 − C B 2 F2 + rV dt dt Ojo: El signo (+) es porque la especie aparece Se hace cero por que NO HAY B en la alimentación Entonces, substituyendo en la expansión: __ dH sis dT __ = ρVCp + H A C A1 F1 − C A2 F2 − rV + H B − C B2 F2 + rV dt dt ] Igualando esta expansión con la ecuación de balance de energía: __ dH sis dT __ = ρVCp + H A C A1 F1 − C A2 F2 − rV + H B − C B2 F2 + rV dt dt ] [ ] [ [ ] [ = ρ1 F1 h1 − ρ 2 F2 h2 − Q Reconociendo que: __ __ D H A ≡ ∆h f A y H B ≡ ∆h f B D Y que: C A = χ A ρ y CB = χ B ρ Donde χi = fracción mol de i Entonces: D F1 ρ1 h1 = F1 ρ1 ∆h f 1 + ρ1Cp1 (T1 − T ) [ ] Como χA = 1; ρ1 ≡ C A1 __ ⎡ ⎤ = F1 ⎢C A1 H A 1 + ρ1Cp1 (T1 − T )⎥ ⎣ ⎦ F2 ρ 2 h2 = F2 [ρ 2 ( χ A H A + χ B H B ) + ρ 2 Cp 2 (T2 − T )] Haciendo T ≡ T2 para simplificar la expresión: __ __ ⎡ ⎤ F2 ρ 2 h2 = F2 ⎢ ρ 2 χ A H A + ρ 2 χ B H B ⎥ ⎣ ⎦ __ __ ⎡ ⎤ F2 ρ 2 h2 = F2 ⎢C A 2 H A + C B 2 H B ⎥ ⎣ ⎦ Substituyendo estas identidades en la ecuación de energía; y resolviendo para T2: ρVCp dT __ __ __ __ __ __ = − H A C A1 F1 + H A C A 2 F2 + H A rV + H B C B1 F2 − H B rV + H A C A1 F1 dt __ __ + F1 ρ1Cp1 (T1 − T2 ) − H A C A 2 F2 − H B C B 2 F2 − Q Además definiendo: Apuntes de Dinámica y Control de Procesos (Calor de __ ⎛ __ ⎞ Re acción a T2 ) = ⎜ H A − H B ⎟ = − ∆H r ⎝ ⎠ Así como ρ ≡ ρ1 (despreciando el cambio de densidad) y Cp ≡ Cp1 (despreciando el cambio en la capacidad calorífica) Resulta: V dT2 = F1 (T1 − T2 ) + (− ∆Hr )rV − Q dt ρCp ρCp Considerando que la cinética de la reacción sea de primer orden: r = κ0e − ∆G RT CA Donde: ∆G: Energía de Gibas de reacción a T2. R: Constante de los gases. κ0: Factor pre exponencial cinético. También se tomará la ecuación constitutiva: Q = UAt (T2 − TC ) Suponiendo TE = TCo = TC Entonces resulta que el modelo del reactor es: • Balance de Materia de A: V dC A 2 = F1 (C A1 − C A 2 ) − κ 0 e − ∆G RT2 C A2 dt • Balance de Energía: V dT2 = F1 (T1 − T2 ) + (− ∆Hr )V κ dt ρCp − 0 e ∆G RT2 C A2 − UA (T2 − TC ) ρCp Tomando variables de desviación y considerando que F1 no cambia en el tiempo se tiene que: V dC ′A 2 F1 dt ∆G − ⎤ ⎡ − ∆G RT2 S RT2 ⎢ C A2 − e C A2 s ⎥ = C ′A1 − C ′A 2 − κ 0 e ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ Término no lineal V dT2′ F1 dt = T1′ − T2′ + (− ∆Hr )Vκ 0 ⎡⎢ pCpF1 ⎢ ⎣⎢ − e Linealizando el término no-lineal: ∆G RT2 − C A2 − e ∆G RT2 S ⎤ UAt (T2′ − TC′ ) C A2 s ⎥ − ⎥ ⎦⎥ ρCp Apuntes de Dinámica y Control de Procesos − ∆G − ∆G ∆G − ⎤ ⎡ − ∆G ∆G RT RT RT RT ⎢e 2 C − e 2 S C ⎥ = e 2 S C A 2 S*T2′ + e 2 S C ′A 2 A2 s A2 ⎥ ⎢ 2 ⎦⎥ RT2 S ⎣⎢ (Queda al lector la oportunidad de demostrar ésta ecuación) Entonces el modelo que resulta es el siguiente: dC ′A 2 τ pa + C ′A 2 = Κ pa − Κ pb T2′ dt τ pb dT2′ + T2′ = Κ pc T1′ + Κ pd C ′A 2 + Κ peTC′ dt Donde: τ pa = V − ⎛ ⎜ F1 ⎜1 + κ 0 e RT2 ⎜ ⎝ ∆G κ0 Κ pb = ∆G − e 1 + κ0e ∆G RT2 S ∆G RT 1 + κ0e − RT2 S 2 2s − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ; Κ pa = ∆G ; Κ pc = 1 ⎛ ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 −⎜ 1+ ρCp ⎜⎝ ρCpF1 UA RT2 S Κ pd ⎛ ⎞ − ∆G ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟ RT2 S ⎜ ⎟e ⎜ ρCpF ⎟ 1 ⎝ ⎠ = ∆G ⎛ ⎞⎛ − UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S −⎜ 1+ e ⎟⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ρCp ⎝ ρCpF1 ⎠⎝ RT2 s Κ pe ⎛ ⎞ ⎜ UA ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ρCp ⎟ ⎝ ⎠ = ∆G ⎞⎛ ⎛ − UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S 1+ e −⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ρCp ⎝ ρCpF1 ⎠⎝ RT 2 s τ pb = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ V ⎡ ⎛ UA ⎜ (− ∆Hr )Vκ 0 ⎢ −⎜ F1 1 + ⎢ ⎢⎣ ρCp ⎜⎝ ρCpF1 ∆G ⎞⎛ − ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S e ⎟⎜ ⎟⎜ RT 2 2s ⎠⎝ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ∆G ⎞⎛ − ⎟⎜ ∆GC A 2 S RT2 S e ⎟⎜ ⎟⎜ RT 2 2s ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠