1) La temperatura en grados Fahrenheit sigue el modelo matemático

PRUEBA 2ºA DE EVALUACIÓN DE INTEGRACIÓN APROXIMADA
Curso 2009-10
1) La temperatura en grados Fahrenheit sigue el modelo matemático:
T= 72 12sen
π(t - 8)
12
Donde t es el tiempo en horas, con t =0 correspondiendo a la medianoche. Supongamos que
el coste de la refrigeración de una casa es de 0,10€ por grado. Se pide:
a) Hallar n para obtener, utilizando la Regla de los Trapecios, el coste de refrigeración si el
termostato se coloca en 78ºF con un error menor que 0.01, sabiendo que dicho coste viene
dado por la integral
20
C=0,1
72 12sen
8
(t 8)
12
78 dt
b) Hallar una aproximación de dicho coste con el valor de n obtenido en a) y la mencionada
Regla de Trapecios.
Solución:
Apartado a) El coste de refrigeración viene dado por la integral
⌠
⌡
20
- 8) ⎞
⎝
8
⎝
⎞
- 78⎟ dt (cuyo valor con Derive es 1.967324722)
⎠
⎠
12
La cota de error para la regla de los trapecios es: err
- 8) ⎞
⎜⎯⎯⎟
⎝dt⎠
#3:
⎝
⎝
⎛
⎜
⎜
⎮
⎝
⎮
12
⎝
⎠
⎞
-
⎝
⎠
donde M=
12
3 ⎠
12
12
3 ⎠ ⎮⎟
12
⎮⎠
dibujamos para hallar el máximo o una cota
Observamos que el máximo de la función f''(x) (en valor absoluto y en el intervalo) es <0,9
pues el valor de la expresión del seno es ≤ 1, luego M <0,9
⎮
⎮
⎮
12
⎮
⎮ 12 ⎮
, sustituyendo en la cota de error
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
1
#5:
#6:
⎛ ⎛ 12 ⎞2
⎜
⎜ ⎝ n ⎠
⎞
⎝
⎠
⎟
12
n < -113.8419957 ∨ n > 113.8419957, luego basta tomar n=114
Apartado b)
#7:
20 - 8
2·k
114
19
t
⎛
⎜
⎜
#8:
⎛⎛
2·k ⎞
⎞ ⎞
- 8⎟ ⎟
19 ⎠
⎠ ⎟
⎝⎝
⎝
12
- 78
⎠
Aplicando la Fórmula de los Trapecios
#9:
⎛
⎜
⎜
20 - 8
⎞
114
⎛
113
⎞⎟
⎝
2
⎝
k=1
⎠⎠
El valor aproximado del coste es C=1.96±0.01
2) La probabilidad de encontrar hierro en muestras minerales de cierta región e s:
P(a<x<b)=
b / 100
a/100
1155 3
x 1 x
32
3
2 dx ,
donde x es el tanto por 1.
Se pide aplicar la regla de Simpson con n=20 para calcular:
a) La probabilidad de que una muestra contenga entre el 50% y el 100% de hierro.
b) Hallar una estimación del error cometido.
Solución:
Apartado a)
1
⌠
1155
⌡
32
3
- x)
3/2
dx
(cuyo valor con Derive es 0.7361092075)
0.5
1 - 0.5
k
20
40
1155
⎛
32
⎝
k ⎞3 ⎛
40 ⎠
⎝
⎛
⎝
k ⎞⎞3/2
40 ⎠⎠
Aplicando la Fórmula de Simpson
1 - 0.5
#14:
20
⎛
9
9
⎞
3
⎝
k=0
k=1
⎠
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
2
Apartado b)
La cota de error para la regla de Simpson es: err
donde M=
3
⎛d ⎞4 ⎛ 1155
⎝dx⎠
⎝
3
-
32
3/2⎞
10395·(105·x
⎠
2
- 280·x + 240·x - 64)
5/2
512·(1 - x)
⎛
⎜
⎮
3
2
⎮⎞
⎮ 10395·(105·x - 280·x + 240·x - 64) ⎮⎟
⎜
⎝
⎮
⎮
5/2
512·(1 - x)
⎮⎟
⎮⎠
Observamos que la derivada cuarta tiene como asíntota x=1, pues en x=1 la función se hace
infinita, luego no es posible hallar una cota del error con la fórmula habitual pues no
existe cota de la derivada (la derivada cuarta no es continua en x=1)
3) Se desea evaluar, de forma aproximada usando la regla de los trapecios, el coste de transporte
del volumen de tierra que se produce en la excavación de un túnel de ferrocarril de 375 m de
longitud y sección como la de la figura.
Datos topográficos:
 Espaciamiento horizontal h=40 cm
 y0 =4.11m; y1 =4.32m; y2 =4.53m; y3 =4.81m;
y4 =5.10m; y5 =5.11m; y6 =4.85m; y7 =4,65m;
y8 =4,43m; y9 =4,31m; y10 = 4.09m;
Se pide:
a) El volumen aproximado de tierra evacuada
b) El coste de evacuación, sabiendo que cada camión volquete transporta 100m3 de tierra y
cada viaje cuesta 250€.
Solución:
Apartado a) h=0.4m. y según los datos aportados n=10, aplicando la regla de los trapecios
podemos obtener el área de la sección del túnel. El volumen aproximado será el área
obtenida por 422
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
3
Aplicando la Fórmula de los Trapecios:
0.4
5 + 4.65
2
+ 4.43 + 4.31)) = 18.484, luego el volumen es V= 18.484 ⨯ 375 = 6931.5 m3
6931.5/100 =69,31 por lo que el Nº de camiones necesarios
será 70
El coste de evacuación será 70 x250€ = 17500€
PRUEBA 2ºB DE EVALUACIÓN DE INTEGRACIÓN APROXIMADA
Curso 2009-10
2) Tras unos minutos de ejercicio, una persona tiene un ciclo respiratorio cuyo ritmo de
inspiración de aire es f(x)=1,75 sen (πx/2). Se quiere hallar, en litros, el valor aproximado del
volumen de aire que una persona inhala en un ciclo integrando la función en el intervalo
[0,2]. Para ello, se pide:
a) Hallar n para obtener, utilizando la regla de Simpson, dicho volumen con un error menor
que 0.0001
b) Hallar una aproximación de dicho volumen con el valor de n obtenido en a) y la
mencionada regla de Simpson.
Solución:
Apartado a)
2
⌠
(cuyo valor con Derive es 2.228169203)
⌡
⎝
2
⎠
0
La cota de error para la regla de Simpson es: err
⎜⎯⎯⎟
⎝dx⎠
#3:
⎝
⎝
2
⎠⎠
donde M=
64
⎛
⎜
⎜
⎮
⎝
⎝
⎮
64
2
⎠ ⎮⎟
⎮⎠
Para hallar el máximo de la cuarta derivada o una cota podemos seguir 2 procedimientos:
 O bien observamos en la figura que 11 es una cota superior al máximo, luego M <11.

O bien, aplicar que
<1, luego, M<
<11
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
4
⎛ 2 ⎞4
#4:
⎝ n ⎠
luego despejando n se obtiene:
180
#5:
n < -11.82544628 ∨ n > 11.82544628
n ha de ser un número par, luego el primer valor que lo cumple es n=12
Apartado b)
Hallamos los puntos x k de la partición y sustituimos en la función integrando para hallar
los y k de la fórmula de Simpson y la aplicamos
#6:
2
k
12
6
x = 0 +
⎛
⎜
⎜
#7:
⎝
k
⎞
6
⎟
2
#8:
⎛
⎜
⎜
⎠
k
⎞
6
⎟
g
⎝
2
⎠
2
#9:
12
3
⎛
5
5
⎞
g(0) + g(12) + 4· ∑ g(2·k + 1) + 2· ∑ g(2·k)⎟ = 2.228227831
⎝
k=0
k=1
⎠
Luego el valor aproximado del volumen pedido es 2.2282±0.0001
3) En un experimento de psicología se estudia la capacidad de recordar lo aprendido en una
clase tras un cierto periodo de tiempo. Se utiliza como modelo una distribución cuya función
15
x 1 x , donde x es el tanto por 1 recordado (x%/100). La probabilidad de
de densidad es
4
que una persona recuerde entre el a% y el b% de lo aprendido en un cierto curso es
P(a<x<b)=
b / 100 15
a/100
4
x 1 x dx .
Se pide aplicar el método de los trapecios con n=40 para calcular:
a) La probabilidad de que un individuo que participa en el experimento recuerde entre el 50
y el 75% de lo aprendido.
b) Hallar una estimación del error cometido.
Solución:
Apartado a)
⌠
0.75
15
- x) dx
⌡
0.5
(cuyo valor con Derive es 0.3530934335)
4
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
5
Hallamos los puntos xk de la partición y sustituimos en la función integrando para hallar
los yk de la fórmula de los trapecios y la aplicamos
0.75 - 0.5
15
⎛
40
k ⎞
⎛
4
⎝
160 ⎠
⎝
k
-
⎛
160
k ⎞⎞
3·√10·√(80 - k)·(k + 80)
⎝
160 ⎠⎠
5120
3·√10·√(80 - k)·(k + 80)
5120
0.25
#15:
40
⎛
39
⎞
2
⎝
k=1
⎠
Apartado b)
La cota de error para la regla de los trapecios es: err
#16:
#17:
⎛d ⎞2 ⎛ 15
⎜⎯⎯⎟
⎝dx⎠ ⎝ 4
-
⎛
IF⎜0.5 < x < 0.7
⎜
⎝
⎮
⎞
15·(3·x - 4)
⎠
3/2
16·(1 - x)
donde M=
15·(3·x - 4) ⎮⎞
⎮
3/2 ⎮⎟
⎮ 16·(1 - x)
⎮⎠
La derivada es creciente luego el máximo se obtiene en x=0.75
⎮
#18:
15·(3·0.75 - 4) ⎮
= 13,125, una cota del error es, por tanto,
⎮
3/2 ⎮
⎮ 16·(1 - 0.75)
⎮
⎛
0.25
⎞2
⎝
40
⎠
-5
13,125 =1.068115234·10 < 0.00002
12
Luego el valor obtenido en a) hay que corregirlo con este dato, es decir,
I=0.35308±0.00002, luego, 0,35306<I<0.35310, por lo tanto, un 35,30% recuerdan entre el 50%
y 75% de clase.
Unidad Docente de M atemáticas Prueba de Integración aproximada de M atemáticas II
6
4) Se desea evaluar, de forma aproximada usando la regla de los trapecios, el coste de transporte
del volumen de tierra que se produce en la excavación de un túnel de ferrocarril de 422 m de
longitud y sección como la de la figura.
Datos topográficos:
 Espaciamiento horizontal h=40 cm
 y0 =4.11m; y1 =4.32m; y2 =4.53m; y3 =4.81m;
y4 =5.10m; y5 =5.11m; y6 =4.85m; y7 =4,65m;
y8 =4,43m; y9 =4,31m; y10 = 4.09m;
Se pide:
a) El volumen aproximado de tierra evacuada
b) El coste de evacuación, sabiendo que cada camión volquete transporta 100m3 de tierra y
cada viaje cuesta 250€.
Solución:
Apartado a) h=0.4m. y según los datos aportados n=10, aplicando la regla de los trapecios
podemos obtener el área de la sección del túnel. El volumen aproximado será el área
obtenida por 422
0.4
2
+ 4.43 + 4.31)) = 18.484
#21:
v = 18.484 ⨯ 422 = 7800.248
El coste de evacuación será 7800.248/100x250€ =19500.62€
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7