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Electromagnetismo
Solución Prueba 1 de Cátedra
17 de Abril del 2004
Profesor:
Ayudantes:
José Rogan C.
Pamela Mena R.
Felipe Asenjo Z.
1. a) Una distribución de carga esféricamente simétrica de radio R tiene una densidad
a
interior de carga dada por ρ = , donde a es una constante. Para r > R la densidad
r
es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.
Solución:
Dada la simetrı́a del problema postulamos un campo en la dirección radial, i.e.
~ r) = E(r)r̂. Eligimos una superficie de Gauss esférica, primero con radio > R y
E(~
luego con radio < R.
Caso r > R, la normal de la superficie esférica de Gauss es r̂ luego si planteamos la
Ley de Gauss, tenemos
Z
Z
~ · d~a = 4π
E
ρdv
S
V =∂S
Z
Z R
a
E(r)r̂ · r̂da = 4π
4πr2 dr
S
0 r
Z
Z R
2
E(r) da = 16π a
r dr
S
0
R !
1
E(r)4πr2 = 16π 2 a
r2 2 0
2πaR2
,
r>R.
(1)
r2
Ahora consideremos el caso r < R, nuevamente la normal de la superficie esférica es
r̂. La ley de Gauss en este caso
Z
Z
~ · d~a = 4π
E
ρdv
S
V =∂S
Z
Z r
a
E(r)r̂ · r̂da = 4π
4πr02 dr0
0
r
S
0
Z
Z r
2
E(r) da = 16π a
r0 dr0
S
r 0
1 02 2
2
E(r)4πr = 16π a
r
2 0
E(r) = 2πa ,
r<R.
(2)
E(r) =
resumiendo los resultados

 2πaR2
r̂
~ r) =
E(~
r2
2πar̂
r>R
r<R
(3)
b) Considere tres cargas puntuales sobre el eje x, q en x = −a, −2q en el origen (x = 0)
y q en x = a.
i)
Calcule el campo eléctrico en todo el plano xy.
ii) Calcule el potencial eléctrico.
iii) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante P (y a) a lo largo del
eje y, está dado por:
3qa2
~
E(y)
= − 4 ŷ .
y
Solución:
Calculemos primero el potencial eléctrico sobre todo el plano debido a las tres cargas.
q
ϕ(x, y) = p
(x +
a)2
+
y2
+p
−2q
x2
+
y2
q
+p
(x − a)2 + y 2
.
(4)
Calculemos las dos componentes del campo eléctrico
q(x + a)
−2qx
q(x − a)
∂ϕ
=
+
+
3/2
3/2
∂x
[(x + a)2 + y 2 ]
[x2 + y 2 ]
[(x − a)2 + y 2 ]3/2
qy
∂ϕ
−2qy
qy
=
Ey = −
+
+
∂y
[(x + a)2 + y 2 ]3/2 [x2 + y 2 ]3/2 [(x − a)2 + y 2 ]3/2
Ex = −
(5)
(6)
Nos restringimos al eje y, es decir x = 0. Las componentes del campo quedan:
Ex =
Ey =
qa
y 2 ]3/2
[a2 +
qy
[a2 + y 2 ]3/2
−
qa
=0
[a2 + y 2 ]3/2
2qy
qy
2q
1
− 3 +
= 2
−1
y
y (1 + (a/y)2 )3/2
[a2 + y 2 ]3/2
(7)
(8)
En el caso y >> a, es decir, a/y 1 podemos usar el desarrollo en serie hasta
priemr orden
(1 + x)n ≈ 1 + nx + . . .
luego
1
3 a2
≈
1
−
,
(1 + (a/y)2 )3/2
2 y2
(9)
2q 3a2
3qa2
~
E(y)
= − 2 × 2 = − 4 ŷ ,
y
2y
y
(10)
Usando esto en (8) tenemos
cuando y >> a.
2. a) Se tiene un plato que corresponde a un trozo de cáscara esférica de radio R. El plato
tiene una densidad de carga superficial σ, tal que el ángulo formado por el borde
del plato y el eje de simetrı́a donde éste se encuentra, vale α. Ver figura 1.
R
α
σ
Figura 1: Cascarón esférico.
i)
Calcule el campo eléctrico en el centro de curvatura.
ii) Calcule el potencial eléctrico en el mismo punto que el caso anterior.
iii) Considere el caso cuando α → π y evalúe el campo y el potencial eléctricos,
comente.
Solución:
Por simetrı́a sólo habra campo sobre el eje, llamemoslo z, luego debemos considerar
sólo la proyección sobre el eje, es decir
Z 2π Z π
Z
σR2 sen θdθdφ
dq
cos(π
−
θ)
=
−
cos θ
Ez =
R2
R2
0
π−α
Z π
π
sen θ cos θ dθ = πσ cos2 θπ−α
= −2πσ
π−α
2
= πσ(1 − cos (π − α)) = πσ(1 − cos2 α) = πσ sen2 α .
(11)
Evaluemos el potencial
Z
Z 2π Z π
dq
σR2 sen θdθdφ
ϕ=
=
R
R
π−α
Z π0
= 2πσR
sen θ dθ = −2πσR cos θ|ππ−α
π−α
= −2πσR(−1 − cos(π − α)) = 2πσR(1 − cos α) .
(12)
Si α → π tenemos que el campo es nulo en el interior de un cascarón esférico, este
resultado es conocido. El potencial toma un valor constante ϕ = 4πσR si usamos
que la densidad superficial es uniforme y la esfera completa tiene carga Q entonces
σ = Q/4πR2 reemplazando en el potencial ϕ = Q/R el cual tambien es un resultado
conocido de una esfera con carga Q y radio R.
b) Un alambre de longitud finita, que tiene una densidad de carga lineal uniforme λ,
se dobla en la forma indicada en la figura 2. Encuentre el potencial eléctrico en el
punto O.
R
2R
2R
Figura 2: Alambre doblado.
Solución:
El potencial en O lo podemos escribir como
Z π
Z 3R
Z −R
λRdθ
λdx
λdx
+
+
,
ϕO =
R
x
0
R
−3R −x
(13)
integrando
−R
3R
ϕO = −λ log(x)
+ λπ + λ log(R + x) ,
R
−3R 3R
−R
+ λπ + λ log
= −λ log
−3R
R
= λ log 3 + λπ + λ log 3 = λ(2 log 3 + π)
(14)
3. Considere dos conductores esféricos concéntricos, uno sólido de radio a, conectado a
tierra (V (r = a) = 0), y el otro, que consiste en un cascarón de radio interior b y
exterior c, sobre el cual se ha depositado una carga Q. Calcule la carga inducida sobre
la esfera interior y el campo eléctrico en todo el espacio. Ver figura 3.
c
b
a
Figura 3: Conductores esféricos concéntricos.
Hint: Podrı́a ser útil, para este problema, calcular el potencial en r = a.
Solución:
La carga en el conductro externo se separa en una carga sobre la superficie externa Qe
una carga sobre la superficie interna Qi tal que Qe + Qi = Q además induce la superficie
interna una carga −Qi sobre la esfera interior.
Si calculamos el campo en todo el espacio

Qe



 r2
E(r) = 0



 −Qi
r2
r>c
b<r<c
(15)
a<r<b
Calculemos la diferencia de potencial entre la superficie r = a y r → ∞
Z
a
ϕ(r = a) − ϕ(r = ∞) = −
~ · d~s
E
∞
Z c
Z b
Z a
Qi
Qe
~
r̂ · (−r̂)(−dr) −
E · d~s −
r̂ · (−r̂)(−dr)
=−
2
2
∞ r
c
b r
Qe
Qi Qi
Qe Qi Qi
=
−0−0+
−
=
+
−
(16)
c
a
b
c
a
b
Pero tanto en r = ∞ como en r = a el potencial es nulo, luego
Q − Qi Qi Qi
+
−
c
b a
1 1 1
Q
+ −
0 = + Qi
c
c a b
1 1 1
Q
Qi
− −
=
b a c
c
ac − bc − ab
=Q
Qi
ab
ab
Qi = Q
ac − bc − ab
ϕ(r = a) − ϕ(r = ∞) =
(17)
El siguiente desarrollo en serie le será útil:
(a + x)n ≈ an + nan−1 x +
n(n − 1) n−2 2
a x + ...
2!
Tiempo Máximo: 3.5 hrs.