Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística Tema 3 Técnicas de Conteo Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: • • Analizar los principios de conteo utilizados en probabilidad. Aplicar las técnicas de conteo en experimentos con resultados finitos. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Introducción al tema El problema principal en la probabilidad consiste en determinar el espacio muestral que tiene nuestro experimento. Mientras más grande es el experimento, mayor será el espacio muestral que presentará. En la vida real determinar el espacio muestral puede ser imposible de representar o incluso, de contabilizar. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Introducción al tema Dada la magnitud de posibilidades, resultaría casi imposible poner por escrito todas las posibles combinaciones y de ahí, tomar aquellas que cumplen con nuestro experimento. ¿Cómo le haríamos para determinar el número de posibles eventos que cumplen nuestro requerimiento, aún sin describir el total del espacio muestral? El desarrollo de técnicas de conteo ha permitido a los estadistas determinar probabilidades sin necesidad de describir el total del espacio muestral. Durante el tema, exploraremos las principales técnicas de conteo y resolveremos problemas de conteo utilizando estas herramientas. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Principio multiplicativo • • En algunos experimentos, el número de eventos posibles en un experimento es relativamente pequeño, por lo que resulta sencillo enlistarlos, como el tirar un dado balanceado. Existen experimentos en donde describir eventos posibles resultaría tedioso el enlistar y contar todas las formas posibles de obtener los eventos, pues la cantidad de posibles combinaciones puede llegar a ser enorme. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Principio multiplicativo • • El principio multiplicativo establece que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de realizar ambas. Matemáticamente, se expresa así: D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Principio multiplicativo • • • De cuántas maneras puede ir vestido una persona si cuenta con: – Cuatro trajes (a1) – Siete camisas de vestir (a2) – Cinco corbatas (a3) Aplicando la fórmula, tenemos que: Entonces: Número total de arreglos = a1 * a2 * a3 = 4 * 7 * 5 = 140 D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Principio aditivo • • El principio aditivo establece que si existen dos actividades en donde la primera tiene M formas de ser realizada y la segunda N formas de ser realizadas, entonces el conjunto de actividades puede ser llevado a cabo de M + N formas. La expresión matemática es : Donde cada Ai es un resultado de una serie de combinaciones. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Permutaciones La fórmula de la multiplicación nos ayuda a determinar la cantidad de arreglos posibles en dos o más grupos. Existen experimentos en donde sólo se tiene un grupo de donde se seleccionarán una serie de elementos y queremos determinar el número de arreglos posibles en la selección. La permutación nos ayuda a determinar el número posible de arreglos cuando sólo hay un grupo de elementos. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Permutaciones La permutación es la disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc., hasta n. Cada elemento es distinguible y no se puede repetir la selección de un objeto. Supone que primero se obtiene un elemento, después el segundo y así sucesivamente hasta obtener el total de objetos requeridos del grupo en cuestión. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Permutaciones • Matemáticamente, la expresión es: Donde: P = Número de permutaciones n = Número total de objetos en el conjunto r = Número de objetos a seleccionar del conjunto D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Permutaciones En un evento de caridad, existe una urna con 10 pelotas diferentes e identificables entre sí. Suponga que el presidente de la institución de caridad desea obtener tres pelotas que definirán a los ganadores de una rifa del primero, segundo y tercer premio respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de permutaciones posibles al seleccionar tres ganadores de un total de 10? D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Permutaciones • Aplicando la fórmula, tenemos que: Donde: n = 10 pelotas r = 3 pelotas • Se tienen 720 diferentes formas de obtener tres ganadores seleccionando 3 pelotas en una urna de 10. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Permutaciones • • En el planteamiento original, la permutación obtiene r elementos de un conjunto de n, en donde no se puede volver a seleccionar más de una vez un elemento dado. Cuando en un experimento pueden existir repeticiones, la fórmula de las permutaciones es: D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Permutaciones • • Supongamos que en el alfabeto solo existen 5 letras, ¿cuántas palabras de tres letras podrían formarse con 5 letras? En este caso, las letras pudieran repetirse al ir formando palabras, por tanto, se aplica la fórmula de la permutación con repeticiones Donde: n = 5 letras disponibles r = 3 letras a seleccionar D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Permutaciones • Aplicando la fórmula, tenemos que: D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Combinaciones En las permutaciones importa el orden en que se obtienen los objetos del conjunto. En el ejemplo de obtener dos pelotas de una urna de 10, no es lo mismo obtener primero la pelota A y en segundo lugar la pelota B que obtener primero la pelota B y en segundo lugar la pelota A. En este caso, la permutación contaría dos veces el obtener la pelota A y B. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Combinaciones Cuando en el experimento no importa el orden en que se obtienen los objetos, o bien, cuando los arreglos de objetos obtenidos son iguales no importando el orden en que se seleccionaron, se usa la fórmula de la combinación, que es la siguiente: D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Combinaciones Supongamos que en la rifa efectuada en el evento de caridad, el premio para cada uno de los tres elegidos es el mismo sin importar quién salga en primero, quién en segundo y quién en tercero. ¿Cuál es la cantidad de combinaciones posibles al seleccionar tres pelotas de un total de 10? D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Combinaciones • Aplicando la fórmula, tenemos que: Donde: n = 10 pelotas r = 3 pelotas • Se tienen 120 diferentes formas de obtener tres pelotas en una urna de 10 pelotas sin importar el orden en que se seleccionen. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Diagrama de árbol G G E P G E G E P G Una forma gráfica para obtener el total de eventos resultado de un experimento es a través de un diagrama de árbol. Veamos un ejemplo: En el mundial de futbol del 2010, la Selección Mexicana deberá enfrentar a tres rivales en la primera fase y obtener la mayor cantidad de puntos posibles para acceder a la siguiente fase. Considerando únicamente la primera fase, ¿cuántas posibles combinaciones de resultados puede obtener la Selección Mexicana? P E P G G E P G E E E P G P E P G G E P G P E E P G P E P D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Cierre Como podemos observar, algunos experimentos tienen un gran número de posibles resultados y resulta de utilidad saber el total de eventos que pueden generarse, para así obtener una probabilidad de ocurrencia de eventos que cumplan con algún requerimiento. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Cierre Las técnicas de conteo nos permiten determinar la cantidad de eventos que tiene un experimento sin tener que describir por completo el espacio muestral del mismo. El principio matemático y el principio aditivo son las dos técnicas de conteo básicas y están presentes en nuestra vida diaria, como por ejemplo, al momento de seleccionar nuestra ropa para el día o bien, cuando tomamos una decisión de hacia a dónde ir de vacaciones y cómo transportarnos hacia el lugar decidido. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Cierre Sin embargo, cuando se tiene un problema de selección de un subconjunto de resultados o eventos, las técnicas de permutación y combinación son de gran utilidad. Ambas determinan el total de eventos posibles para un experimento, sin embargo presentan una diferencia fundamental. En las permutaciones, el orden en que se seleccionan los objetos es importante, mientras que en las combinaciones importa el resultado final sin considerar el orden. Esto es trascendental en la determinación de qué fórmula utilizar en un experimento, como el ejemplo del sorteo visto en la sesión. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio. Probabilidad y Estadística Referencias bibliográficas • • • Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 2. Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.