Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 2
Probabilidad condicional e
independencia
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Distinguir los eventos condicionales de los eventos
independientes.
Aplicar el Teorema de Bayes en situaciones de la vida
real.
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Probabilidad y Estadística
Introducción al tema
La vida diaria es una sucesión de eventos que nos
llevan de un resultado a otro, en ocasiones sin casi
darnos cuenta de ello, la ley de causa efecto se
encuentra presente a cada momento. Si se nos olvida
poner el despertador, probablemente no nos
despertemos a la hora acostumbrada y llegaremos tarde
a la escuela o al trabajo.
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Introducción al tema
Sin embargo, algunos eventos no tienen relación entre
sí, por ejemplo el resultado de dos juegos de futbol o
bien, la probabilidad de lluvia y el día de la semana,
pues son eventos que no tienen relación y que suceden
sin que uno afecte o genere al otro.
En la probabilidad y estadística, la causalidad entre un
evento y otro o, la independencia entre eventos debe ser
identificada para elegir la herramienta correcta en la
interpretación de los experimentos y el cálculo de
probabilidades. Pero ¿cómo identificamos la condición
de causalidad?, ¿cómo determinamos que un evento es
independiente del otro?
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Probabilidad y Estadística
Probabilidad Condicional
•
Para dos eventos cualesquiera A y B, con P(B) > 0, la
probabilidad condicional de A dado que ocurrió B se
define mediante la ecuación
P(A | B) = P (A ∩ B)
P (B)
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Probabilidad Condicional
•
•
Una forma de representar los problemas de probabilidad
condicional es a través de un diagrama de Venn.
Una muestra al azar de 100 diferentes tipos de animales
es arroja los siguientes resultados:
–
–
–
–
–
–
–
15 animales son aves que vuelan y nadan
45 animales son aves que nadan
20 animales son aves que vuelan
55 animales son aves
25 animales vuelan y nadan
70 animales nadan
50 animales vuelan
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Probabilidad Condicional
•
El diagrama de Venn resultante es:
Aves
Animales que vuelan
5
5
20
15
30
10
15
Animales que nadan
•
¿Cuál es la probabilidad de que un animal seleccionado
al azar sea un ave?
P(Ave) = 55 = 0.55
100
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Probabilidad Condicional
•
•
Otra forma de representar la probabilidad condicional es
a través de los diagramas de árbol.
Supongamos el siguiente ejemplo: Se hace un estudio
para determinar el tiempo en años en que fallan ciertas
partes electrónicas de una marca de televisores
Tipo de falla
Fallo < 1
año
1 año <
Fallo < 5
años
6 año <
Fallo < 10
años
Fallo > 10
años
Monitor
10
30
5
75
Fuente de
alimentación
25
15
10
30
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Probabilidad Condicional
•
Probabilidad Condicional
El diagrama de
árbol resultante es:
Probabilidad Conjunta
Menos 1 año
10 / 200
1 a 5 años
30 / 200
6 a 10 años
5 / 200
Más de 10 años
75 / 200
10 / 120
30 / 120
Monitor
5 / 120
120 / 200
75 / 120
Menos 1 año
10 / 200
25 / 80
80 / 200
15 / 80
Fuente de
alimentación
15 / 200
1 a 5 años
10 / 80
6 a 10 años
10 / 200
Más de 10 años
30 / 200
30 / 80
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Probabilidad Condicional
•
¿Cuál es la probabilidad de que un televisor con falla en
el monitor haya fallado en un periodo de 5 a 10 años?.
P(5 a 10 años | Monitor) = P (5 a 10 años | Monitor)
P (Monitor)
P(5 a 10 años | Monitor) = 30 / 200 = 0.25
120 / 200
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Probabilidad y Estadística
Independencia de eventos
La probabilidad condicional nos ayuda a
determinar la probabilidad de ocurrencia
de un evento A dado que ya sabemos con
certeza que ya ocurrió un evento B.
Sin embargo, hay situaciones en donde la
probabilidad de ocurrencia de un evento A
no se ve afectada por la ocurrencia de un
evento B.
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Independencia de eventos
•
La independencia de eventos puede definirse como:
–
•
“Dos eventos son independientes si P(A|B) = P(A),
de lo contrario, son dependientes”
Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad
de que ocurra A o B está dada por la fórmula:
P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = P(A1) * P(A2) *…* P(An)
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Probabilidad y Estadística
Independencia de eventos
•
Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad
de que ambas caigan águila?
–
–
•
P(A) = Lanzar una primer moneda y que caiga
águila
P(B) = Lanzar una segunda moneda y que caiga
águila
Dado que son eventos independientes, entonces:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25
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Teorema de Bayes
•
•
El teorema de Bayes dice:
– El resultado obtenido por la distribución de
probabilidad condicional de un evento A dado que
ocurrió B, en términos de la probabilidad
condicional del evento B dado que ocurrió A y la
distribución de probabilidad el evento A.
Matemáticamente, se expresa de la siguiente forma:
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Probabilidad y Estadística
Teorema de Bayes
•
•
En forma general, podemos deducir de teorema de
Bayes que la suma de las probabilidades condicionales
debe ser igual a 1
Matemáticamente, la expresión es:
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Teorema de Bayes
•
Para entender mejor el teorema de Bayes, consideremos
el siguiente ejemplo:
Se han colocado dos
embarques cada uno
con 20 computadoras
portátiles de reciente
modelo.
También se sabe
que en el
embarque 2 existe
una computadora
descompuesta
Se sabe que en el
embarque 1 existen 5
computadoras
descompuestas
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Probabilidad y Estadística
Teorema de Bayes
•
El diagrama de árbol resultante es:
5 / 20
Descompuesta
Embarque 1
1/2
15 / 20
1 / 20
Funcional
Descompuesta
1/2
Embarque 2
19 / 20
•
Funcional
De acuerdo al teorema de Bayes, tenemos:
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Teorema de Bayes
P(A1 | B)
P(A1)
P(A2)
• Probabilidad de que se seleccionó el embarque 1 dado que la
computadora estaba descompuesta.
• Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 1.
• Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 2.
P(B | A1)
• Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta
dado que se seleccionó el embarque 1.
P(B | A1)
• Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta
dado que se seleccionó el embarque 2.
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Probabilidad y Estadística
Teorema de Bayes
•
•
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos que:
Del resultado obtenido podemos interpretar lo siguiente:
– Dado que en el embarque 1 tiene más
computadoras defectuosas que el embarque 2, es
más probable que la computadora haya sido
tomado del embarque 1.
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Cierre
La ocurrencia de los eventos
probabilísticos en un experimento
puede darse de dos formas: Una en
la que la probabilidad ocurrencia de
un evento A depende de la
ocurrencia de un evento B; la
segunda, en donde la ocurrencia de
un evento A es independiente de la
ocurrencia de un evento B. A estas
formas se les conoce como
probabilidad condicional e
independencia.
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Probabilidad y Estadística
Cierre
Durante el diseño de un experimento, es importante
identificar si los eventos que se estudian tienen relación
o no, con el fin de utilizar las reglas de probabilidad
adecuadas, ya sea la regla especial de multiplicación o
la regla general de multiplicación.
Un caso especial de probabilidad condicional está
representado por el teorema de Bayes, cuya principal
función es determinar probabilidades de ocurrencia de
eventos dependientes dados ciertos eventos que
conocemos como ciertos.
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Cierre
Existe una discusión entre los estadistas tradicionales y
los llamados estadistas bayesianos. El sentido de la
discusión es que los estadistas tradicionales solo
aceptan resultados de probabilidades que puedan ser
repetibles mediante la experimentación, mientras que los
estadistas bayesianos permiten probabilidades
subjetivas.
De ello, derivamos que el teorema de Bayes puede
servir para determinar la modificación a las
probabilidades subjetivas cuando obtenemos nueva
información útil para el experimento en cuestión.
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Probabilidad y Estadística
Referencias bibliográficas
•
•
•
Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 2.
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
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Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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