Sucesiones. Lımite de una sucesi ´on.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.
1
Sucesiones. Lı́mite de una sucesión.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Repasar las operaciones básicas con expresiones algebraicas.
Repasar la factorización de polinomios y Ruffini.
Serı́a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2.
Sucesión.
Definición: Una sucesión de números reales es un aplicación del conjunto de los números naturales al conjunto
de los números reales:
s:N → R
de manera que a cada número natural le corresponde un número real.
Los valores asociados a los números naturales se designan por s(n) o sn . Se puede usar cualquier letra para
representar una sucesión cn , gn ,... serı́an ejemplos de sucesiones. Ası́ por ejemplo:
s: N
n
1
2
3
→
R
→ s(n) = sn
→ s(1) = s1
→ s(2) = s2
→ s(3) = s3
...
En algunas ocasiones es posible expresar el término n-ésimo (término que ocupa el lugar número n) en función
de n. A esta expresión se la denomina término general de la sucesión.
Ejemplo: Si sn = n2 + 1 es el término general de una sucesión, sus elementos serán:
s: N
n
1
2
3
→
→
→
→
→
...
R
s(n) = n2 + 1
s(1) = 12 + 1 = 2
s(2) = 22 + 1 = 5
s(3) = 32 + 1 = 9
En los dos siguientes apartados se estudiarán dos ejemplos de sucesiones muy usadas.
2.1.
Progresiones aritméticas.
Una progresión aritmética es una sucesión cuyo término general es de la forma:
an = a1 + (n − 1) · d
2 SUCESIÓN.
2
Básicamente lo que se hace es sumar un valor constante d a cada término de la sucesión para obtener el siguiente. A d se le denomina diferencia.
Ejemplo: Sea la sucesión sn = 2 + (n − 1) · 2. Sus elementos serán:
s: N
n
1
2
3
→
→
→
→
→
...
R
s(n) = 2 + (n − 1) · 2
s(1) = 2 + (1 − 1) · 2 = 2
s(2) = 2 + (2 − 1) · 2 = 4
s(3) = 2 + (3 − 1) · 2 = 6
Se puede apreciar que cada término de la sucesión se obtiene sumando 2 al anterior.
Ejercicios: Calcular el término general de las sucesiones:
1. an = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,...
2. an = 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,...
2.2.
Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión cuyo término general es de la forma:
an = a1 · r n−1
Básicamente lo que se hace es multiplicar un valor constante r a cada término de la sucesión para obtener el
siguiente. A r se le denomina razón.
Ejemplo: Sea la sucesión sn = 3 · 2n−1 . Sus elementos serán:
s: N
n
1
2
3
→
→
→
→
→
...
R
s(n) = 3 · 2n−1
s(1) = 3 · 21−1 = 3
s(2) = 3 · 22−1 = 6
s(3) = 3 · 23−1 = 12
Se puede apreciar que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando 2 al anterior.
Ejercicios: Calcular el término general de las sucesiones:
1. an = 2, 6, 18, 54, 162,...
2. an = 4, 20, 100, 500, 2500,...
3 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
3.
3
Idea intuitiva de lı́mite de una sucesión.
Sea, por ejemplo, la sucesión sn = n1 . Se pueden estudiar sus elementos:
s:
→
→
→
→
→
...
10 →
...
100 →
...
1000 →
...
N
n
1
2
3
R
s(n) = n1
s(1) = 11 = 1
s(2) = 21 = 0,5
s(3) = 13 = 0,333...
s(10) =
1
10
s(100) =
= 0,1
1
100
s(1000) =
= 0,01
1
1000
= 0,001
Se puede apreciar que cuanto mayor en n, sn es cada vez más bajo, más cercano a 0. Su evolución se puede ver
en la figura 1.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
-1
0.1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.1
Figura 1: Gráfica de la sucesión sn = n1 .
3 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
Otro ejemplo se puede ver con la sucesión an =
a:
→
→
→
...
10
→
...
100 →
...
1000 →
...
10000 →
N
n
1
4
3n+1
n+3 :
R
a(n) = 3n+1
n+3
a(1) = 3·1+1
1+3 = 1
a(10) =
3·10+1
10+3
a(100) =
= 2,384...
3·100+1
100+3
a(1000) =
= 2,922...
3·1000+1
1000+3
a(10000) =
= 2,992...
3·10000+1
10000+3
= 2,9992...
En este caso se puede apreciar como poco a poco cuanto mayor se n, más se acerca el valor de la función a 3.
Su evolución se puede ver en la figura 2.
4
3
2
1
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-1
Figura 2: Gráfica de la sucesión an =
3n+1
n+3 .
En los ejemplos anteriores los valores de las sucesiones se van acercando a un valor al que, sin embargo, no
terminan de llegar nunca. El valor al que se van acercando los valores de la sucesión se le llama lı́mite de la
sucesión.
Definición: Si el lı́mite de una sucesión de término general sn es L, se escribe:
lı́m sn = L
n→∞
Una sucesión, sn , tiende a L cuando n tiende a infinito, cuando la diferencia entre sn y L es cada vez menor.
Es decir, cuando n → ∞, |sn − L| → 0.
Otra forma más matemática de escribir esto es:
Para todo número real ǫ existe un número entero δ, tal que para todo n que cumpla que n ≥ δ, se tiene
|sn − L| < ǫ
3 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
5
5
4
3
2
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
-1
Figura 3: Gráfica de una sucesión tendiendo a su lı́mite.
Si nos fijamos en la gráfica de la figura 3 esta sucesión tiende a 3. Se puede elegir un entorno al rededor de
3, que se representa como un área gris en la figura, y en contrar un valor a partir del cual los puntos están dentro
de ese entorno. Toda función que tenga lı́mite cumplirá esta propiedad. En el entorno marcado en la figura 3 el
valor a partir del cual los puntos de la sucesión están dentro de entorno es 8.
También puede suceder que los valores de un sucesión crezcan sin control hacia valores muy altos sin alcanzar un lı́mite. En este caso se dirá que la sucesión tiende a más infinito +∞. También puede bajar sin control
hacia los valores negativos sin alcanzar ningún lı́mite. Se dirá que la sucesión tiende a −∞.
3.1.
Propiedades de los lı́mites.
Las propiedades de los lı́mites son las siguientes:
El lı́mite de una suma es la suma de los lı́mites:
lı́m f (x) + g(x) = lı́m f (x) + lı́m g(x)
x→p
x→p
x→p
El lı́mite de un producto es el producto de los lı́mites:
lı́m f (x) · g(x) = lı́m f (x) · lı́m g(x)
x→p
x→p
x→p
El lı́mite de un cociente es el cociente de los lı́mites:
lı́m f (x)
f (x)
x→p
=
x→p g(x)
lı́m g(x)
lı́m
x→p
4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN +∞ O −∞.
6
El lı́mite de una potencia es la potencia de los lı́mites:
lı́m g(x)
lı́m f (x)g(x) = lı́m f (x)x→p
x→p
x→p
En los casos anteriores p puede ser un número, +∞ o −∞. Las expresiones anteriores son válidas a no ser que
se obtenga una indeterminación. En los siguientes apartados se verán las operaciones con indeterminaciones.
4.
Lı́mite de una función en +∞ o −∞.
Antes de empezar, se estudiarán los lı́mites de la función f (x) = x1 . Se empieza con el lı́mite para x → ∞:
f:
R
x
1
10
100
1000
→
→
→
→
→
→
...
R
f (x) = x1
f (1) = 11 = 1
1
= 0,1
f (10) = 10
1
f (100) = 100 = 0,01
1
f (1000) = 1000
= 0,001
Este lı́mite se puede ver que:
1
=0
x
De forma similar se puede estudiar el lı́mite cuando x → −∞:
lı́m
x→∞
f:
R
x
−1
−10
−100
−1000
→
→
→
→
→
→
...
R
f (x) = x1
1
f (−1) = −1
= −1
1
f (−10) = −10 = −0,1
1
f (−100) = −100
= −0,01
1
f (−1000) = −1000 = −0,001
Este lı́mite se puede ver que:
lı́m
x→−∞
1
=0
x
Nota: En general se puede decir que para cualquier número n:
n
n
=
=0
x→∞ x
∞
lı́m
lı́m
x→−∞
Cualquier número divido por ±∞ vale 0.
n
n
=
=0
x
−∞
4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN +∞ O −∞.
7
Otra propiedad interesante es el lı́mite de f (x) = x, cuando x → ∞:
f:
R
x
1
10
100
1000
→
→
→
→
→
→
...
R
f (x) = x
f (1) = 1
f (10) = 10
f (100) = 100
f (1000) = 1000
Este lı́mite se puede ver que:
lı́m x = ∞
x→∞
De forma similar se calcula el lı́mite de f (x) = x, cuando x → −∞:
f:
R
x
−1
−10
−100
−1000
→
→
→
→
→
→
...
R
f (x) = x
f (−1) = −1
f (−10) = −10
f (−100) = −100
f (−1000) = −1000
Este lı́mite se puede ver que:
lı́m x = −∞
x→−∞
¿Y qué sucede si un lı́mite que tiene a ±∞ se eleva a una potencia? No es difı́cil comprobar que lı́m xn = ∞.
Y que lı́m xn = ∞, si n es par y lı́m xn = −∞ si n es impar.
x→−∞
x→∞
x→−∞
Nota:
∞n = ∞
+∞ si n par
(−∞)n =
−∞ si n impar
Otro caso es el de la suma de infinitos. Es fácil demostrar que la suma de infinitos es infinito.
Nota:
∞+∞=∞
Otro lı́mite interesante es el lı́mite de una función constante. Si f (x) = 3, se puede ver sin gran esfuerzo
que lı́m 3 = 3 ó que lı́m 3 = 3.
x→∞
x→−∞
Por lo tanto:
Nota: Si n es un número real R, el lı́mite cuando x → p, donde p puede ser un número real, +∞ o −∞ valdrá:
lı́m n = n
x→p
4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN +∞ O −∞.
8
El lı́mite de un número será el propio número.
Por último una propiedad con la que habrá que tener mucho cuidado:
Nota:
n
= ±∞
0
Siempre habrá que comprobar numéricamente si el lı́mite tiende a +∞ o a −∞.
Nota: En general, para calcular el lı́mite de una función cuando x → ∞ o x → −∞, se aplicarán las propiedades de los lı́mites, además de:
n
n
lı́m
=
=0
x→∞ x
∞
n
n
lı́m
=
=0
x→−∞ x
−∞
lı́m x = ∞
x→∞
lı́m x = −∞
x→−∞
∞n = ∞
+∞ si n par
n
(−∞) =
−∞ si n impar
∞+∞=∞
lı́m n = n
x→p
n
= ±∞ Siempre habrá que comprobar numéricamente si el lı́mite tiende a +∞ o a −∞.
0
Ejemplo: Se van a calcular los siguientes lı́mites:
lı́m x2 + 2x + 1
x→∞
Aplicando las propiedades de los lı́mites vistas anteriormente y un poco de sentido común:
lı́m x2 + 2x + 1 = lı́m x2 + lı́m 2x + lı́m 1 = ∞2 + 2 · ∞ + 1 = ∞ + ∞ + 1 = ∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
Otro lı́mite:
lı́m x2 − 4x + 5
x→∞
Con las propiedades anteriores:
lı́m x2 − 4x + 5 = lı́m x2 − lı́m 4x + lı́m 5 =
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
∞
− ∞}
+5
| {z
Es una indeterminación
En el caso de encontrar una indeterminación, habrá que aplicar las técnicas que se verán en los apartados siguientes.
Más lı́mites:
lı́m n + 1
n+1 lı́m x2 + 4x + 5
= lı́m x2 + 4x + 5 x→∞
= ∞∞ = ∞
x→∞
x→∞
4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN +∞ O −∞.
9
Las indeterminaciones son resultados en los que hay que aplicar técnicas concretas para resolver el lı́mite.
En el ejemplo anterior ha aparecido la indeterminación ∞ − ∞ que no es 0!!!. Habrá que aplicar unas técnicas
especiales para determinar lo que vale.
Se estudian ahora las operaciones a realizar en el caso de encontrar una indeterminación.
4.1.
Indeterminación
∞
∞
de funciones racionales.
En el caso de tener una indeterminación de este tipo, y se tenga un cociente de polinomios se deberán tener
en cuenta los siguientes trucos:
En cualquier fracción se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número, o un
polinomio y el resultado no varı́a. Por ejemplo:
2=
4
3·4
12
=
=
=2
2
3·2
6
En cualquier expresión se puede sumar o restar un mismo número y la expresión no varı́a:
5 = 3+2= 3+2+9−9 = 5
Muchı́simo cuidado: En el caso de polinomios procurar verificarlo usando números.
Por ejemplo, se puede hacer:
x2 + x − x
x2
=
x+1
x+1
Pero no se cumplirı́a:
x2 + x
x2
6=
−x
x+1
x+1
En caso de duda, sólo hay que dar valores a la x de la expresión para comprobar si la operación ha sido correcta.
Para resolver las indeterminaciones
Por ejemplo:
∞
∞,
se usarán las reglas anteriores de una forma más o menos ingeniosa.
6x2 + 3x + 1
x→∞ 2x2 + 4x + 3
Por las propiedades de los lı́mites, el lı́mite de un cociente es el cociente de los lı́mites:
lı́m
6x2 + 3x + 1
lı́mx→∞ 6x2 + 3x + 1
∞
=
=
x→∞ 2x2 + 4x + 3
lı́mx→∞ 2x2 + 4x + 3
∞
lı́m
Se llega a una indeterminación
6x2 +3x+1
x2
lı́m
x→∞ 2x2 +4x+3
x2
=
∞
∞.
6x2
2
lı́m x
x→∞ 2x2
x2
El truco consiste en dividir el numerador y el denominador entre x2 :
+
+
3x
x2
4x
x2
+
+
1
x2
3
x2
= lı́m
6+
x→∞
2+
3
x
4
x
+
+
1
x2
3
x2
=
6+
2+
3
∞
4
∞
+
+
1
∞
3
∞
=
6+0+0
6
= =3
2+0+0
2
¿Por qué se ha dividido entre x2 ? Básicamente porque es el monomio de mayor grado de los 2 polinomios.
Otro ejemplo:
6x2 + 3x + 1
lı́m
x→∞ 2x3 + 4x + 3
En este caso se divide entre el monomio x3 , ya que es el monomio de mayor grado:
6x2 +3x+1
x3
lı́m 2x3 +4x+3
x→∞
x3
=
6x2
x3
lı́m 2x
3
x→∞
x3
+
+
3x
x3
4x
x3
+
+
1
x3
3
x3
= lı́m
x→∞
6
x
+
2+
3
x2
4
x2
+
+
1
x3
3
x3
=
3
1
+∞
+∞
0+0+0
0
4
3 = 2+0+0 = 2 =0
2+ ∞ + ∞
6
∞
4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN +∞ O −∞.
10
Otro ejemplo:
6x3 + 3x + 1
=
x→∞ 2x2 + 4x + 3
lı́m
En este caso se divide entre el monomio x3 , ya que es el monomio de mayor grado:
6x3 + 3x + 1
lı́m
= lı́m
x→∞ 2x2 + 4x + 3
x→∞
6x3
x3
2x2
x3
+
+
3x
x3
4x
x3
+
+
1
x3
3
x3
= lı́m
6+
x→∞ 2
x
+
3
x2
4
x2
+
+
1
x3
3
x3
1
3
+∞
6+ ∞
6+0+0
6
= 2
4
3 = 0+0+0 = 0
∞ + ∞ + ∞
Por lo que se vio en el apartado anterior si:
n
= ±∞ Siempre habrá que comprobar numéricamente si el lı́mite tiende a +∞ o a −∞.
0
Se comienzan a dar valores a la sucesión para ver si tiende a +∞ o −∞:
an =
6n2 + 3n + 1
2n3 + 4n + 3
a10 = 24,8189
a20 = 54,4292
a30 = 84,2907
a40 = 114,22
a50 = 144,177
a60 = 174,148
a70 = 204,127
a80 = 234,111
a90 = 264,099
a100 = 294,089
Se puede ver que la sucesión tiende hacia valores positivos. Por lo que:
6x3 + 3x + 1
= +∞
x→∞ 2x2 + 4x + 3
lı́m
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
3x2 + 3x + 1
x→∞ 2x2 + 4x + 3
lı́m
2.
−3x2 + 4x + 1
x→∞
4x + 3
lı́m
3.
lı́m
x→∞
Sol. 1. 3/2, 2. −∞, 3. 0
3x + 1
2x2 + 4x + 3
5 INDETERMINACIÓN ∞ − ∞.
4.2.
Indeterminación
∞
∞
11
de funciones irracionales.
Se consideran lı́mites en los que hay radicales en el numerador o en el numerador de la fracción. Por
ejemplo:
√
3x3 + 3x − 2x
lı́m
x→∞
3x + 3
Se procede de forma similar al caso anterior. Hay que buscar el monomio de mayor grado y dividirlo entre
numerador y √
denominador. Importante: Se debe tener en cuenta que si el monomio está
√ dentro√de una raı́z se
m n
n/m
. Ası́, en el caso anterior, el monomio de mayor grado serı́a 3x3 = 3x3/2 , por lo
cumple que a = a
que habrı́a que dividir denominador y numerador entre x3/2 :
q
q
√
√
2
3x3
3x
2x
3x3 +3x−2x
3 + x32 − x1/2
+ x3 − x3/2
3
x3
x3/2
lı́m
=∞
= lı́m
= lı́m
=
3x+3
3x
3
3
3
x→∞
x→∞
x→∞
0
3/2
3/2 + 3/2
1/2 + 3/2
x
x
x
x
x
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
lı́m
x→∞
2.
lı́m
√
3x2 + 3x + 1
2x2 + 4x + 3
√
x→∞
3.
lı́m √
x→∞
4x2 + 4x + 1
2x + 3
3x2 + 1
2x2 + 4x + 3
Sol. 1. 0, 2. 1, 3. +∞
5.
Indeterminación ∞ − ∞.
Supongamos el lı́mite:
lı́m 3x2 − x = ∞ − ∞
x→∞
Se llega a una indeterminación. En este caso se hace un pequeño truco, 3x2 − x es lo mismo que poner,
x(3x − 1), sólo hay que hacer la operación para comprobarlo. Lo que se ha hecho es sacar factor común la x.
Ahora se tiene:
lı́m 3x2 − x = lı́m x(3x − 1) =
x→∞
x→∞
Por las propiedades de los lı́mites, el lı́mite de un producto es el producto de los lı́mites:
lı́m 3x2 − x = lı́m x(3x − 1) = lı́m x · lı́m (3x − 1) = (+∞) · (+∞) = +∞
x→∞
x→∞
}
| {z } |x→∞ {z
x→∞
+∞
+∞
De forma similar, el lı́mite:
lı́m 3x2 − x3 = lı́m x2 (3 − x) = lı́m x2 · lı́m 3 − x = (+∞) · (−∞) = −∞
x→∞
|x→∞
{z } |x→∞{z }
x→+∞
+∞
−∞
5 INDETERMINACIÓN ∞ − ∞.
12
En general, cuando se tiene una suma de monomios, sólo se considerará el monomio de mayor grado.
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
lı́m x3 − 3x2 + 2x + 1 =
x→+∞
2.
lı́m −2x3 − 3x2 + 2x + 1 =
x→+∞
3.
x3 − 3x2 + 2x + 1
=
x→+∞
x2 − x
lı́m
En el caso de tener sumas de fracciones de polinomios , se realizará la operación, suma o diferencia, con lo
∞
que, probablemente se transformará en otro del tipo
:
∞
3
3
x − 8x2 16x2 + 13x − 3
x − 8x2 16x2 + 13x − 3
+
+
= ∞ − ∞ = lı́m
=
lı́m
x→+∞
x→+∞
x−3
x2 − 2x − 3
x−3
(x − 3)(x + 1)
4
3
x − 7x3 + 8x2 + 13x − 3
(x − 8x2 )(x + 1) + 16x2 + 13x − 3
= lı́m
=
= lı́m
|{z}
x→+∞
x→+∞
(x − 3)(x + 1)
(x − 3)(x + 1)
Simplificando
= lı́m
x→+∞
x3 − 4x2 − 4x + 1
x+1
= +∞
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
lı́m
x→+∞
2.
3x + 1 2x − 1
−
=
x−1
x+2
3 x2 − 1
3x + 1
− 2
=
x→+∞ x − 1
x +x−2
lı́m
3.
x3 − 3 x 2 + 2 x + 1
− x2 =
x→+∞
x2 − x
lı́m
Sol.: 1. 1, 2. 0, 3. −∞
Sólo hay que considerar un caso especial, cuando se tenga una diferencia de radicales:
p
p
lı́m 2x3 + x − 4x3 + 1 = ∞ − ∞
x→∞
6 EL NÚMERO E.
13
Se opera multiplicando y dividiendo por el conjugado:
lı́m
x→∞
p
2x3
+x−
p
4x3
+ 1 = lı́m
x→∞
p
2x3
+x−
p
4x3
√2x3 + x + √4x3 + 1
√
=
+1 √
2x3 + x + 4x3 + 1
−2x3 + x + 1
√
x→∞
2x3 + x + 4x3 + 1
Llegados a este punto, el truco de multiplicar y dividir por el conjugado, nos ha llevado a conseguir una indeterminación ∞
∞:
= lı́m √
−2x3 + x + 1
√
= lı́m
lı́m √
x→∞
x→∞ 2x3 + x + 4x3 + 1
−2x3 +x+1
x3√
√
2x3 +x+ 4x3 +1
x3
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
lı́m
x→∞
2.
p
lı́m
p
lı́m
p
x→∞
3.
x→∞
2x3 − 1 −
√
5x3 + 2x2 −
x2 − x −
3x3
√
5x3
p
x2 + x
Sols.: 1. −∞, 2. ∞, 3. −1
6.
El número e.
Hay una sucesión que tiende a un valor muy especial:
1 x
lı́m 1 +
= 2,718281...
x→∞
x
Este valor se le llama el número e = 2,718281....
Esto se puede calcular dándole valores a la sucesión:
1 n
an = 1 +
n
a10 = 2,593742
a100 = 2,704814
a1000 = 2,716924
a10000 = 2,718146
a100000 = 2,718268
a1000000 = 2,718280
=
−2
= −∞
0
7 INDETERMINACIÓN 1∞ .
14
Indeterminación 1∞ .
7.
Hay que recordar la regla:
lı́m (f (x) − 1)g(x)
lı́m f (x)g(x) = e x→p
x→p
Esta regla se obtiene a partir de la definición del número e.
Se calcula un lı́mite que posea esta indeterminación, por ejemplo:
3
x
lı́m (x + 1) = 1
x→∞
∞
=e
lı́m (x + 1 − 1)
x→∞
3
3
lı́m x
x→∞
x =e
x = e3
Ejercicios: Calcular los siguientes lı́mites:
1.
lı́m
lı́m
x→∞
2.
x→∞
2x − 1
2x
3.
lı́m
x→∞
Sols.: 1. e−10/3 , 2.
√
e, 3. 1/e
3x − 1
3x + 4
2x2
5+x
−x+3
x−1
x
x