1.2 - Refracción de la luz, Ley de Snell

Notas para el curso de Física de 1º de Bach.
Prof. Javier Silveira
UNIDAD 1 Parte 2: Refracción de la luz, Ley de Snell
Velocidad de la luz
En la parte anterior comenzamos el estudio del modelo de rayos de la luz, dijimos que los rayos de
luz salen de los cuerpos y se propagan en forma rectilínea, no mencionamos nada acerca de la velocidad de
esa propagación, pero para el fenómeno que estudiaremos en esta parte, la velocidad es un factor
importante.
Nuestra experiencia nos dice que la luz se propaga muy rápidamente. Si por ejemplo apuntamos
con una linterna de gran alcance a un objeto muy lejano, por ejemplo a 100 m, en el instante que la
encendemos ya vemos el objeto iluminado, es decir que la luz recorrió los 100 m, alcanzó el objeto, se
reflejó y retornó a nuestros ojos en sólo un instante.
Con el sonido parece ocurrir algo similar, sin embargo ya hace siglos se observó que cuando se
disparaba un cañón a una gran distancia, primero se veía el fogonazo y segundos después se escuchaba la
detonación, lo que demuestra que el sonido, si bien viaja muy rápido, es más lento que la luz.
¿Ha observado este retraso del sonido respecto a la luz en algún otro fenómeno?
Según los registros históricos, Galileo fue el primero en plantearse científicamente el problema de
la velocidad de la luz, ideó un experimento para intentar medirla.
Galileo en una noche se situó en una colina y un ayudante se situó en otra a unos 2 km de distancia,
ambos llevaban lámparas. Las lámparas estaban inicialmente cubiertas, las instrucciones dadas al ayudante
eran que descubriese su lámpara cuando viera que Galileo descubría la suya.
De esta forma, Galileo cuando descubría su lámpara comenzaba a contar el tiempo, la luz recorrería
los 2 km para llegar a la otra colina, cuando llegase, el ayudante descubriría su lámpara y la luz recorrería 2
km para llegar al lugar de Galileo, en total la luz viajaría 4 km, divido por el tiempo que tardó daría una
buena aproximación a la velocidad de la luz.
Página
La única conclusión fue que la velocidad de la luz era extremadamente rápida, ya que recorría 4 km
en un tiempo tan pequeño que no se podía medir.
1
Si bien el experimento fue correctamente planteado, no se llegó a ningún resultado, ya que en el
mismo instante en que Galileo descubría su lámpara ya observaba la luz del ayudante, el retroceso se debía
sólo al tiempo de reacción del ayudante pero no al tiempo de viaje de la luz. La velocidad de la luz era
demasiado alta como para poder medirla de esta forma.
Debieron pasar más de dos siglos para que se lograra un experimento que midiese la velocidad de
la luz con precisión.
El experimento lo ideó el físico francés Louis Fizeau en 1849. Consiste en 1) una rueda dentada
acoplada a un motor que puede girar muy rápidamente, 2) una fuente, 3) un espejo semiplateado que
tiene la propiedad de reflejar sólo la mitad de la luz que llega hasta él, mientras que la otra mitad lo
atraviesa, por último 4) un espejo colocado a una gran distancia, a más de 8 km.
Como se observa en la figura de arriba, un rayo de luz que sale de la fuente es reflejado por el
espejo parcialmente plateado y se dirige a la rueda dentada, si no está obstruido por un diente de la rueda
continua su viaje hasta el espejo, la distancia L a la que está el espejo es más de 8 km, el espejo refleja la
luz y el rayo reflejado retorna a la rueda dentada.
Si la rueda no gira muy rápidamente la luz podrá viajar los 16 km y retornar por la misma abertura
entre diente y diente original, por lo que el observador verá la luz que retorna (luego de atravesar el espejo
semiplateado) como pulsaciones debidas a las sucesivas obstrucciones de los dientes.
Si se incrementa la velocidad de la rueda lo suficiente, ocurrirá que la luz que retorna luego de
recorrer los 16 km será obstruida por el diente que está a continuación de la ranura de la cuál partió.
Cuando esto ocurra el observador verá que no retorna luz.
Entonces el tiempo que le toma a la rueda moverse el especio correspondiente a una ranura es el
tiempo en que la luz recorre los 16 km.
Conociendo la velocidad de rotación de la rueda, cuando no se observa retorno de luz, se pude
deducir la velocidad de la luz.
El experimento de Fizeau dio un buen resultado, pero posteriormente fue perfeccionado aún más,
de modo que actualmente sabemos que la velocidad de la luz es: c = 3,00 x 108 m/s.
Página
Como nos imaginábamos la velocidad de la luz es extremadamente grande, también se puede
expresar como 300.000 km/s.
2
Como este valor es muy importante se simboliza con la letra “c”. De ahora en más con la letra “c”
nos estaremos refiriendo a esa constante física que vale 3,00 x 108 m/s.
Teniendo en cuenta que la circunferencia terrestre es 40.000 km aproximadamente, si viajáramos a
la velocidad de la luz podríamos dar más de 7 vueltas al mundo en sólo un segundo.
Con el perfeccionamiento del los métodos para medir la velocidad de la luz se pudo medir también
su velocidad en otros materiales transparentes distintos al aire, así por ejemplo, la siguiente tabla muestra
algunos valores.
MATERIAL
VELOCIDAD DE LA LUZ (108 m/s)
vacío
3,00
aire
3,00
agua
2,26
solución de azúcar (50%) 2,11
vidrio
1,97
Diamante
1,24
Vemos entonces que los distintos materiales que son medios de propagación de la luz, si bien
permiten que la luz viaje por ellos, la enlentecen en comparación con la velocidad con la que viaja en el
aire.
También observe que la velocidad de la luz en el aire es la misma que en el vacío (si usamos tres
cifras significativas), es decir que el aire no se opone apreciablemente a la propagación de la luz.
Refracción
Veamos ahora el fenómeno que ocurre cuando la luz viene viajando por un medio de propagación
(por ejemplo el aire) y se encuentra con un medio distinto (por ejemplo agua), y en lugar de reflejarse
continúa su viaje en ese otro medio.
Lo que ocurre en general cuando un rayo de luz cambia de medio de
propagación es una desviación. Eso explica porqué por ejemplo si sumergimos un lápiz
en un vaso con agua, el lápiz parece estar quebrado, como se ve en la foto. La parte
sumergida del lápiz que vemos es una imagen, luego de que la luz fue desviada al
pasar del agua al aire y llegar a nuestros ojos.
¿Además del “quiebre” del lápiz observa en la foto algún otro efecto de la
refracción?
La definición de refracción es: el cambio en la dirección de propagación de un rayo cuando pasa de
un medio de propagación a otro.
La refracción ocurre cuando las velocidades de
propagación de la luz en los medios son distintas.
Ley de Snell
Página
En el dibujo de la izquierda un rayo está
incidiendo en un punto de la superficie de separación
de dos medios distintos. Puede ocurrir que este rayo
se refleje, pero analizaremos el caso en que el rayo
3
Ahora vamos a formular la ley que dice cómo
es la desviación de un rayo en la refracción, es decir,
una ley que sabiendo con qué ángulo incide un rayo,
de qué medio proviene, y a qué medio ingresa, nos
diga con qué ángulo se desviará.
atraviesa la superficie de separación y penetra en el segundo medio.
Al medio desde el que proviene el rayo lo llamamos medio 1, por ejemplo el aire. Al medio en el
que ingresa el rayo lo llamamos medio 2, por ejemplo el agua.
Al igual que hicimos cuando estudiamos reflexión, a los ángulos los medimos respecto a la normal
en el punto de incidencia.
Al ángulo que forma el rayo incidente con la normal lo llamamos ángulo de incidencia, lo
simbolizamos con la letra griega tita y subíndice 1: θ1. Con θ2 simbolizamos al ángulo de refracción, que es
el ángulo que forma el rayo refractado con la normal.
Si hay desviación, θ2 debe ser distinto a θ1, puede que sea mayor o puede que sea menor, en el
caso del ejemplo, un rayo pasando del aire al agua, θ2 es menor que θ1.
La ley que estamos buscando debe ser una expresión matemática en función de esos ángulos y en
función también de los medios de propagación involucrados.
Quién encontró esa ley fue el científico holandés W. Snell que vivió entre los años 1591 y 1626.
Snell debió realizar una gran cantidad de experimentos, midiendo distintos ángulos de incidencia y
sus correspondientes ángulos de refracción, y elaboró tablas con todos esos datos.
Lo primero que debió haber notado es que al aumentar el ángulo de incidencia también aumenta el
ángulo de refracción, es decir que hay una relación directa entre θ1 y θ2, sin embargo no hay
proporcionalidad, es decir que si por ejemplo el ángulo de incidencia se aumenta al doble, el ángulo de
refracción también aumentará, pero no al doble.
Para poder reducir todos sus resultados experimentales en una simple ley matemática, debemos
recurrir a la trigonometría, usando la función seno podemos expresar la ley de la refracción de esta forma:
sen sen Es decir que dados los dos medios de propagación, siempre se cumple para todos los ángulos de
incidencia ensayados, que el seno de ese ángulo dividido por el seno del correspondiente ángulo de
refracción, siempre da el mismo resultado, es decir, la constante que aparece en la ecuación de arriba.
El valor de la constante depende de los medios de propagación utilizados. Después de Snell se supo
que el valor de esa constante depende de los valores de la velocidad de la luz en cada uno de los medios.
Concretamente, si v1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y v2 la velocidad de la luz en el medio
2, la constante es:
Por lo tanto la Ley de Snell se puede escribir haciendo explícita la constante:
Página
Ejemplo: Si tenemos un vaso con agua y un rayo de luz incide en la superficie del agua con un
ángulo de incidencia de 45o, ¿Cuánto vale el ángulo de refracción?
4
También hay una segunda ley que dice que el rayo incidente, la normal y el rayo refractado están
en un mismo plano, de forma similar al caso de la reflexión.
Según la tabla con las velocidades de la luz en distintos medios que está más arriba, la velocidad de
la luz en el aire es vaire = 3,00 x 108 m/s, y la velocidad de la luz en el agua es vagua = 2,26 x 108 m/s.
En este caso el ángulo de incidencia es 45o, es decir θ1 = 45o, y haciendo uso de una calculadora
científica vemos que sen(45o) = 0,70711.
La Ley de Snell para este caso se puede escribir entonces:
!"
En esta ecuación se desconoce el valor de sen θ2, todos los demás elementos de la ecuación son
valores conocidos ya que son datos del problema, hay que despejar entonces sen θ2.
Para despejar hay que recordar la regla “lo que está en el numerador de un miembro de la igualdad
se puede pasar al denominador del otro miembro y viceversa”. Entonces nos queda:
!" Sustituyendo por los correspondientes valore numéricos:
2,26 x 10) m/s x 0,70711
0,53269
3,00 x 10) m/s
Sabemos entonces que sen θ2 = 0,53269, para terminar el problema debemos encontrar qué ángulo
tiene ese número como seno, debemos recurrir entonces a la función inversa del seno (se obtiene con la
tecla “shift” de la calculadora): sen -1 (0,53269) = 32,187.
De los datos dados en el problema el que tiene menor número de cifras significativas es el ángulo
de incidencia, 45o, que tiene dos cifras significativas, por lo tanto el resultado final se debe expresar con
dos cifras, por lo que hay que redondear 32,187 a dos cifras, expresamos el resultado final así:
θ2 = 32o
Índice de refracción
En el ejemplo anterior si en lugar de agua pura el vaso tuviese una solución de azúcar (50%), el
resultado hubiese sido otro, ya que la tabla muestra que en la solución de azúcar el valor de la velocidad de
la luz es diferente.
¿Cuánto valdría el ángulo de refracción en el caso de la solución de azúcar?
En general la desviación de la luz dependerá de los medios involucrados, por lo tanto se pude
definir una propiedad característica de los medios de propagación de la luz que diga cómo es su
comportamiento en la refracción de la luz.
Esa propiedad característica es el índice de refracción, que se simboliza con la letra “n” y se define
como:
En esta ecuación “c” es la constante que mencionamos antes, que es la velocidad de la luz en el
vacío y vale c = 3,00 x 108 m/s. En la ecuación “v” es la velocidad de propagación de la luz en el medio para
el cual se está calculando el índice de refracción.
5
1
Página
0
Por ejemplo, el índice de refracción del agua es:
2342 2342
3,00 x 10) m/s
1,33
2,26 x 10) m/s
Observe que el índice de refracción no tiene unidad de medida, es adimensional.
¿Cuánto vale n para las otras sustancias de la tabla?
Ley de Snell en función de los índices de refracción
La Ley de Snell se puede expresar en una forma equivalente, sin que aparezcan en la ecuación las
velocidades de propagación de la luz en los medios, y en su lugar los índices de refracción.
A continuación hacemos una serie de operaciones matemáticas que nos conducen a la nueva
expresión.
Partimos de la formulación vista de la Ley de Snell:
sen sen Podemos pasar senθ2 al numerador del miembro derecho de la igualdad y v1 al denominador del
miembro izquierdo:
sen sen Ahora multiplico ambos miembros por la constante c:
sen sen Esta ecuación también se pude escribir en forma equivalente en la siguiente forma, poniendo las
velocidades de forma que aparezcan dividiendo a c y no a los factores seno:
sen sen Pero observe que los factores c/v1 y c/v2 son respectivamente n1, el índice de refracción del medio 1
y n2, el índice de refracción del medio 2.
Por lo tanto la ecuación que estábamos buscando es la siguiente:
Esta forma de la Ley de Snell es útil para resolver problemas donde no se conocen las velocidades
de propagación de los medios pero sí sus índices de refracción.
Reflexión total interna
Página
Si de un objeto situado en el medio 1 sale un rayo OA, como muestra la figura de abajo, el ángulo
de refracción será mayor que el de incidencia (ver el problema 1 del repartido de problemas 2). Para el
rayo OB, el ángulo de incidencia es mayor que antes y aún mayor el ángulo de refracción.
6
Consideremos dos medios de propagación de la luz, medio 1 y medio dos, tales que n1 > n2, por
ejemplo, el medio 1 puede ser agua y el medio 2 el aire.
Si seguimos aumentando el
ángulo de incidencia llegaremos a un
ángulo de refracción de 90o, para el
rayo incidente OC, este sería un caso
límite, donde el rayo refractado es
tangente a la superficie de separación
de los medios, al ángulo de incidencia
en este caso se le llama ángulo límite, y
se representa con la letra L.
Cualquier otro rayo que incida
con un ángulo mayor a L, por ejemplo
el rayo OD en la figura, no será refractado, sino que se reflejará y no saldrá del medio 1, a este fenómeno
se le llama reflexión total interna.
Una importante aplicación de este fenómeno es la
fibra óptica, que permite trasmitir información mediante
una señal luminosa, la luz viaja por una fibra de cuarzo.
Sabemos que la luz viaja en línea recta, sin embargo
la fibra óptica puede curvarse siempre que sea necesario y
mediante reflexiones totales internas la luz se adaptará a la curvatura.
Aplicaciones: Lentes e Instrumentos ópticos
Para finalizar con esta parte hay que señalar que la importancia de la ley de la refracción está entre
otras cosas, en que es la base para la fabricación de lentes. Las lentes son fundamentales para la
constricción de instrumentos ópticos como telescopios o microscopios, y para los anteojos que corrigen
problemas de visión.
Las lentes son objetos construidos con algún material transparente con una forma geométrica bien
definida. Por ejemplo a la izquierda aparecen lentes construidas con dos superficies esféricas, en el primer
caso es una lente bicóncava y en el de abajo una lente biconvexa.
Conociendo el índice de refracción del material de la lente,
considerando la normal y utilizando la ley de la refracción, se puede
calcular como será la desviación de un rayo que la atraviese.
Se puede demostrar como un haz paralelo incidiendo en una
lente biconvexa se transforma en un haz convergente a un foco, como
muestra la figura, o como en el otro caso se transforma en un haz
divergente.
Página
7
No profundizaremos en este tema de las lentes, pero hay que
comprender que los procedimientos para calcular y entender la
formación de imágenes son muy similares a los que utilizamos en el
caso de espejos.