Estadística

Estadística
Soluciones ejercicios: Variables aleatorias
Versión 8
Emilio Letón
1.
Nivel 1
1. Enunciar las dos propiedades que debe cumplir p(x) para ser función de probabilidad.
SOLUCIÓN:
Las dos propiedades para ser función de probabilidad (o también llamada función de masa)
P
son 0 p (x) 1 y
p (x) = 1 en el soporte (en el conjunto donde toma valores la v.a X).
2. Enunciar las cuatro propiedades que debe cumplir F (x) para ser función de distribución.
SOLUCIÓN:
Las cuatro propiedades para ser función de distribución son F ( 1) = 0; F (+1) = 1; monótona no decreciente y continua por la derecha.
3. Decir si es verdadera o falsa la siguiente a…rmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo
y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo:
“No hay variables aleatorias discretas …nitas que tomen valores negativos".
SOLUCIÓN:
Es falsa.
Por ejemplo la v.a. X que toma los valores
negativos y positivos y es discreta …nita.
1 y +1 de forma equiprobable toma valores
4. Sea X variable aleatoria que toma los valores f 1; 0; 2g. Determinar el valor de a para el cual
la función dada por
a
p (x) = ; x = 1; 0; 2
x
sea una función de probabilidad. ¿Se puede calcular P (X = 0) utilizando la función p (x)?
SOLUCIÓN:
En primer lugar, observar que una variable aleatoria no tiene por qué ser siempre positiva,
ni tampoco que los valores que pueda tomar sean correlativos. Por otra parte para que una
función p (x) sea función de probabilidad sobre un rango (soporte) de valores tiene que veri…car
que en dicho rango
p (x)
X
0
p (x) = 1
x
1
Pero se observa que p (x) ni siquiera está de…nida en x = 0, por lo que no hay ningún a
para el cual la función dada sea de probabilidad. Por lo tanto, no se puede calcular ninguna
probabilidad utilizando la función p (x) dada.
5. Enunciar las dos propiedades que debe cumplir f (x) para ser función de densidad.
SOLUCIÓN:
Las dos propiedades para ser función de densidad son 0
f (x) y
R
f (x) dx = 1:
x
6. Demostrar que
V [X] = E X 2
E 2 [X]
SOLUCIÓN:
Se tiene que
h
V [X] = E (X
2
)
= E X2 +
2
i
= E X2 +
2
= E X2 + E
2X
2 E [X] = E X 2 +
= E X2
2
2
(E [X]) = E X 2
2
2
2
E [2X ]
= E X2
2
E 2 [X]
7. Si X es una variable aleatoria que toma los valores f 1; 0; 2g. Determinar los valores de a
para los que las funciones siguientes sean de probabilidad
a) p (x) = a x2
2
b) p (x) = (ax)
c) p (x) =
4 .
4.
a
1 x.
d ) p (x) = a
e) p (x) =
x.
a+3
6
x2 +
5a+3
6
x + 1.
SOLUCIÓN:
a)
Para que se veri…que que p (x)
0 en el rango de valores, se tiene que
p ( 1) =
p (0) =
3a
4a
p (2) = 0
Por otra parte para que
X
0,a
0,a
0
0
0 8a
p (x) = 1 en el rango de valores, se tiene que veri…car que
x
p ( 1) + p (0) + p (2) = 1 ,
3a
4a + 0 = 1 , a =
1
7
Dado que ambas condiciones son compatibles, para a = 71 se tiene que p (x) = 71 x2 4
es función de probabilidad. Observar que dado que p (2) = 0, en realidad la variable
aleatoria que se está considerando, en este caso, es la que toma valores f 1; 0g.
b)
No es función de probabilidad para ningún valor de a porque para x = 0, p (0) =
2
4 < 0.
c)
Para que se veri…que que p (x)
0 en el rango de valores, se tiene que
a
2
p ( 1) =
0,a
p (0) = a
p (2) =
0,a
a
0
0
0 ,a
0
Para que esas condiciones sean compatibles X
a = 0 y entonces la función dada sería
p (x) = 0, con lo que no puede veri…car que
p (x) = 1 en el rango de valores. Por
x
tanto no hay ningún a que haga que la función dada sea de probabilidad. Observar que
no hay problemas en la de…nición de p (x), pues x = 1 que anularía el denominador, no
está en el rango de valores de X.
d)
Para que se veri…que que p (x)
0 en el rango de valores, se tiene que
p ( 1) = a + 1
0,a
p (0) = a
p (2) = a
0,a
2
1
0
0,a
2
Para que esas condiciones sean compatibles, a 2.
X
Por otra parte para que
p (x) = 1 en el rango de valores, se tiene que veri…car que
x
p ( 1) + p (0) + p (2) = a + 1 + a + a
2 = 3a
Por tanto no es compatible con lo anterior de que a
haga que la función dada sea de probabilidad.
e)
Para que se veri…que que p (x)
p ( 1) =
1=1,a=
2
3
2. Por lo que no hay ningún a que
0 en el rango de valores, se tiene que
a
3
5a
6
3+6
p (0) = 1
4a
=
a
0,a
0
0 8a
12 + 10a + 6 + 6
=a 0 ,a 0
6
Para que esas condiciones sean compatibles, a = 0.
X
Por otra parte para que
p (x) = 1 en el rango de valores, se tiene que veri…car que
p (2) =
x
p ( 1) + p (0) + p (2) =
a + 1 + a = 18a
Por tanto para que sea compatible con lo anterior, a = 0. Observar que en este caso a = 0
no anula la función p (x).
8. Sea X variable aleatoria que toma los valores f1; 2; 3; 4g con función de probabilidad
p (x) = a (1 + x) ; x = 1; 2; 3; 4
Se pide calcular:
a)
El valor a para que realmente p (x) sea realmente una función de probabilidad.
b) P (X = 0).
3
c) P (X = 1).
d ) P (X impar).
e) P (f1; 2g)
f ) P (fpor lo menos 1g)
SOLUCIÓN:
a)
Para que se veri…que que p (x)
Por otra parte para que
X
0 en el rango de valores, se tiene que
p (1) = 2a
0,a
0
p (2) = 3a
0 ,a
0
p (3) = 4a
0 ,a
0
p (4) = 5a
0 ,a
0
p (x) = 1 en el rango de valores, se tiene que veri…car que
x
p (1) + p (2) + p (3) + p (4) = 14a = 1 , a =
Dado que ambas condiciones son compatibles, para a =
es función de probabilidad.
1
14
1
14
se tiene que p (x) = a (1 + x)
b) P (X = 0) = 0 porque la variable aleatoria X nunca toma el valor 0.
c) P (X = 1) = p (1) = 17 .
d ) P (X impar) = P (f1g [ f3g) = p (1) + p (3) =
e) P (f1; 2g) = P (f1g [ f2g) = p (1) + p (2) =
6
14 .
5
14 .
f ) P (fpor lo menos 1g) = P (f1g [ f2g [ f3g [ f4g) = 1.
9. Sea X una variable aleatoria triangular continua T riCont (0; 2) cuya función de densidad f (x)
viene dada por
8
>
x
0<x<1
<
f (x) =
a (2 x) 1 < x < 2
>
:
0
resto
a)
Determinar a para que f (x) sea realmente función de densidad.
b)
Dibujar f (x). ¿Cuál es la razón de que a f (x) se la denomine triangular continua.
c)
Con la ayuda del grá…co f (x) comprobar por procedimientos geométricos que el área
bajo la curva de f (x) es 1.
d)
Determinar F (x) : Una vez calculada, comprobar que cumple las cuatro condiciones para
ser función de distribución.
e)
Calcular P (0; 3 < X
1; 5) utilizando la función de densidad f (x).
f)
Calcular P (0; 3 < X
1; 5) utilizando la función de distribución F (x).
g)
Calcular P (0; 3 < X
1; 5) utilizando razonamientos geométricos.
SOLUCIÓN:
4
R +1
a) Para que f (x) sea función de densidad tiene que veri…car que f (x) 0 y que 1 f (x) dx =
1. Por tanto para que f (x) 0 se tiene que a 0 y para la segunda condición
Z +1
Z 0
Z 1
Z 2
Z +1
1=
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx +
f (x) dx +
f (x) dx
1
=
Z
1
Z
1
xdx +
0
0
1
2
1
2
a (2
1 2
a 2
x
+ 2ax
x
2
2
0
a
1 a
1+a
2a +
= + =
2
2 2
2
1
1
= + 4a
2
2
x) dx =
2a
1
por lo que
1+a
=1,a=1
2
Para que se veri…quen las dos condiciones se tiene que a = 1.
b)
Si se dibuja f (x) se obtiene un triángulo sobre el segmento [0; 2], de ahí el nombre de
triangular y continua porque la v.a X está de…nida sobre un contínuo de valores.
c)
Basta con calcular el área del triángulo, que al ser base por altura dividido por 2 es
(2
d)
0) 1
=1
2
Rx
Para determinar F (x) =
f (t) dt se tiene que
Rx
0dt
1 R
R0
Z x
x
0dt + 0 tdt
1
R
R
R
F (x) =
f (t) dt =
0
1
x
>
0dt + 0 tdt + 1 (2 t) dt
1
>
1 R
>
R
Rx
: R0
1
2
0dt + 0 tdt + 1 (2 t) dt + 2 0dt
1
1
8
>
>
>
<
x<0
0 x<1
1 x<2
2 x
por lo que
F (x) =
8
>
>
>
<
0
x<0
0 x<1
1 1 x<2
2 x
1 2
2x
1 2
2x
>
2x
>
>
:
1
Efectivamente cumple las cuatro propiedades para ser función de distribción (F ( 1) =
0; F (+1) = 1, F (x) continua por la derecha (es más, es continua) y F (x) monótona
no decreciente).
e)
Para calcular P (0; 3 < X
P (0; 3 < X
1; 5) utilizando la función de densidad f (x) se tiene que
Z 1;5
Z 1
Z 1;5
1; 5) =
f (x) dx =
xdx +
(2 x) dx
0;3
=
f)
Para calcular P (0; 3 < X
P (0; 3 < X
g)
1 2
x
2
1
+ 2x
0;3
0;3
1 2
x
2
1
1;5
= 0; 455 + 0; 375 = 0; 83
1
1; 5) utilizando la función de distribución F (x) se tiene que
1; 5) = F (1; 5) F (0; 3) = 2 (1; 5)
1
1
1; 52 1
0; 32 = 0; 875 0; 045 = 0; 83
2
2
Para calcular P (0; 3 < X 1; 5) utilizando razonamientos geométricos se tiene que hay
que descomponer el área requerida en rectángulos y triángulos, con lo que
P (0; 3 < X
1; 5) = (1
0; 3) 0; 3 +
5
(1
0; 3) 0; 7
0; 5 0; 5
+ (0; 5 0; 5) +
= 0; 83
2
2
2.
Nivel 2
1. Sea X v.a. con función de distribución F (x). Demostrar que 8a; b 2 R se tiene que
a) P (a < X
b) = F (b)
F (a) :
b) P (a
b) = F (b)
F (a) + P (X = a) :
X
c) P (a < X < b) = F (b)
F (a)
P (X = b) :
d ) P (a
F (a)
P (X = b) + P (X = a) :
X < b) = F (b)
SOLUCIÓN:
a)
Dado que el suceso (X b) se puede expresar como la unión de los sucesos disjuntos
(a < X b) y (X a) se tiene que
P (X
b) = P [(a < X
b) [ (X
a)] = P (a < X
b) + P (X
a)
y, por tanto,
P (a < X
b)
b) = P (X
P (X
a) = F (b)
F (a)
Dado que el suceso (a X b) se puede expresar como la unión de los sucesos disjuntos
(a < X b) y (X = a) se tiene que
P (a
X
b) = P [(a < X
b) [ (X = a)] = P (a < X
= F (b)
c)
b)
b) + P (X = a)
F (a) + P (X = a)
Dado que el suceso (a < X b) se puede expresar como la unión de los sucesos disjuntos
(a < X < b) y (X = b) se tiene que
P (a < X
b) = P [(a < X < b) [ (X = b)] = P (a < X < b) + P (X = b)
y, por tanto,
P (a < X < b) = P (a < X
d)
b)
P (X = b) = F (b)
F (a)
P (X = b)
Dado que el suceso (a X < b) se puede expresar como la unión de los sucesos disjuntos
(a < X < b) y (X = a) se tiene que
P (a
X
b) = P [(a < X < b) [ (X = a)] = P (a < X < b) + P (X = a)
= F (b)
F (a)
P (X = b) + P (X = a)
2. Se dice que una v.a. X es simétrica en torno a si, por de…nición, P (X
x) = P (X
+ x).
Demostrar que esta condición es equivalente a que se veri…que que F (
x) = 1 F ( + x)+
P (X = + x) y que en el caso de que X sea continua es equivalente a f (
x) = f ( + x).
SOLUCIÓN:
Se deja para el alumno.
3. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a…rmaciones. En caso de que sean verdaderas
demostrarlo y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo.
6
a) Para cualquier X v.a. se veri…ca que 8a; b 2 R se tiene que
P (a < X
b) = P (a
X
b) = P (a < X < b) = P (a
X < b) :
b)
Si X es v.a. discreta o continua entonces se veri…ca, si a < b < c, que P (a X c) =
P (a X b) + P (b X c) :
P
c) Las condiciones sobre p (x) en v.a. discretas de que 0 p (x) 1 y que
p (x) = 1 se
x
R
traducen a f (x) en v.a. continuas de forma que 0 f (x) 1 y que f (x) dx = 1.
x
d)
Sea X v.a. con función de densidad dada por
(
1
2x 0 < x < 2
f (x) =
0
resto
entonces su función de distribución viene dada por
(
1 2
0<x<2
4x
F (x) =
0
resto
e)
Si X es una v.a. discreta …nita entonces se veri…ca que E [X]
0:
SOLUCIÓN:
a)
Es falsa.
En general se veri…ca que
P (a < X
P (a
X
b) = F (b)
b) = F (b)
P (a < X < b) = F (b)
P (a
X < b) = F (b)
F (a)
F (a) :
F (a) + P (X = a) :
F (a)
P (X = b) :
P (X = b) + P (X = a) :
Si además X es v.a. continua, se tiene que P (X = x) = 0 y por tanto, en ese caso
P (a < X
b)
b) = P (a
X
b) = P (a < X < b) = P (a
X < b) :
Es falsa.
En general se tiene que
P (a
= F (b)
= F (c)
X
b) + P (b
X
F (a) + P (X = a) + F (c)
c)
F (b) + P (X = b)
F (a) + P (X = a) + P (X = b) = P (a
X
c) + P (X = b)
Se observa que en el caso de que X sea v.a. continua, sí se veri…ca que P (a
P (a X b) + P (b X c) :
c)
Es falsa.
Las condiciones sobre f (x) en v.a. continuas son 0
f (x) y que
R
c) =
f (x) dx = 1. Se
x
observa que f (x) puede ser superior a 1 ya que f (x) no es una probabilidad.
7
X
d)
Es falsa.
Directamente se observa que la función de distribución dada no cumple las cuatro propiedades
para ser función de distribución (en concreto falla porque F (+1) 6= 1; F (x) no es continua por la derecha y no es monótona no decreciente).
Rx
Para determinar F (x) = 1 f (t) dt se tiene que
F (x) =
Z
x
f (t) dt =
1
por lo que
F (x) =
8
>
<
Rx
0dt
x<0
1 R
x 1
0dt
+
tdt
0
x<2
1 R
0 2 R
>
2 1
x
: R0
0dt + 0 2 tdt + 2 0dt
2 x
1
8
>
<
>
:
R0
0
1 2
4x
1 2
4x
0+
=
0+1+0=1
x<0
0 x<2
2 x
Efectivamente cumple las cuatro propiedades para ser función de distribución (F ( 1) =
0; F (+1) = 1, F (x) continua por la derecha (es más, es continua) y F (x) monótona
no decreciente).
e)
Es falsa.
Por ejemplo la v.a discreta X que toma los valores
probabilidad 14 cumple que
E [X] = ( 1)
1
3
+ (+1)
=
4
4
1 con probabilidad
3+1
=
4
3
4
y +1 con
1
<0
2
4. Sea X v.a. continua que veri…ca que P (X > 4) = 0;50 y que P (X < 4;3) = 0;65. Decir si es
verdadero o falso el siguiente razonamiento:
P (4 < X < 4;3) = P ((4 < X) \ (X < 4;3)) = P (4 < X) P (X < 4;3) = 0;50 0;65 = 0;325
En el supuesto de que sea falso el razonamiento, calcular el valor verdadero de P (4 < X < 4;3).
SOLUCIÓN:
Falso. Ya que
P (4 < X < 4;3) = F (4;3)
F (4) = P (X
4;3)
P (X
4) = 0;65
(1
0;50) = 0;15.
El paso P ((4 < X) \ (X < 4;3)) = P (4 < X) P (X < 4;3) sería cierto si lo sucesos fueran
independientes y no lo son. Para ver que no son independientes, se observa que:
P (4 < XjX < 4;3) =
3.
P (4 < X < 4;3)
0;15
=
= 0;23 6= 0;50 = P (4 < X) .
P (X < 4;3)
0;65
Nivel 3
1. Sean las variables aleatorias X =
1
Ln (1
U) e Y =
a)
¿Son X e Y iguales?
b)
¿Tienen X e Y la misma densidad?
c)
¿Qué sugieren los apartados anteriores?
8
1
Ln (U ) con U
U (0; 1) y
> 0:
SOLUCIÓN:
a)
Por la propia construcción de X e Y , se tiene que son distintas numéricamente.
b)
Utilizando la función de densidad de X se tiene que al ser x =
que 0 < u = 1 e x < 1; por lo que si
0<1
x
e
, Ln1 >
<1,
x>
1<
x
e
e
Ln (1
x
>0
u) se veri…ca
>0
1 , 0 < x < +1 , 0 < x < +1
fX (x) = fU (u)
= fU 1
<0,1>e
1
x
con lo que
fX (x) =
x
e
(
x
e
0
du
dx
=1
x
e
x
= e
0 < x < +1
resto
que corresponde a una exp( ).
De forma análoga la función de densidad de Y se tiene que al ser y =
que 0 < u = e y < 1; por lo que si
y
0<e
<1,
1<
1
Ln (u) se veri…ca
y < Ln1
>0
, +1 > y > 0 , 0 < y < +1
fY (y) = fU (u)
= fU e
y
con lo que
fY (y) =
(
e
y
e
y
0
=1
du
dy
e
y
= e
y
0 < y < +1
resto
que corresponde a una exp( ) :
Por tanto X e Y son dos variables aleatorias que tienen la misma densidad: las dos son
exponenciales de parámetro :
Otra forma de llegar a este resultado es observar que U
c)
U (0; 1) , 1
U
U (0; 1) :
Los apartados anteriores dan un ejemplo de que puede ocurrir que dos variables aleatorias
distintas tengan la misma densidad.
2. Sea f función de densidad de una v.a. X continua de…nida de la siguiente forma:
(
k x 2 (0; 1)
f (x) =
0
resto
a)
Determinar k para que f sea realmente una función de densidad. ¿Cómo se llama esta
función de densidad teórica?
b)
¿Cuánto vale P X =
c)
Calcular E [X] y V [X].
d)
Si se de…ne Y = 1
1
2
?
X.
9
SOLUCIÓN:
a)
Para que f sea función de densidad debe veri…car que f (x)
y que
Z
0, que es cierto si k
0,
+1
f (x) dx = 1.
1
Para que esto último sea cierto:
1=
Z
+1
f (x) dx =
1
Z
1
kdx = k
0
Z
1
0
1
dx = k [x]0 = k
Por tanto, k = 1, que además cumple la primera condición de ser k 0. Esta función es
la Uniforme Contínua de parámetros 0 y 1, que se denota por U (0; 1).
b) P X = 21 = 0, porque para cualquier v.a. continua la probabilidad de que tome un valor
en concreto es siempre nula.
c)
Para calcular E [X] se tiene que
E [X] =
Z
+1
xf (x) dx =
1
Z
1
x 1dx =
0
Para calcular V [X] se utiliza que V [X] = E X 2
primer lugar E X 2 que es
E X2 =
Z
+1
x2 f (x) dx =
1
Por tanto, V [X] = E X 2
d)
Z
1 2
x
2
1
3
1
1 2
2
x2 1dx =
=
=
1
2
E 2 [X], por lo que se calcula en
0
E 2 [X] =
1
0
1
3
1
4
=
1 3
x
3
1
0
=
1
3
1
12 .
1, y
La variable Y = 1 X veri…ca que y = 1 x = g1 (x) ; x = 1 y = h1 (y) ; dx
dy =
0
0
como g1 > 0 siempre ó g1 < 0 siempre, se tiene que:
(
(
1 j 1j = 1 0 < 1 y < 1
1 0<y<1
dx
fY (y) = fX (h1 (y))
=
=
dy
0
resto
0
resto
Por tanto, se tiene que si X
U (0; 1) entonces Y = 1
X es también U (0; 1).
3. Sea X v.a uniforme continua U (0; 1) calcular la función de densidad de la variable Y = 1=X.
SOLUCIÓN:
Al ser
fy (y) = fX
dado que x = y1 , se veri…ca que
dx
dy
1
y2 ,
=
f (x) =
por lo que
f (x) =
(
(
1
y
dx
dy
y se tiene que
1 y12
0
1
y2
0
10
0 < y1 < 1
resto
1 < y < +1
resto
4. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a…rmaciones. En caso de que sean verdaderas
demostrarlo y en caso de que sean falsas dar un contraejemplo:
a)
Si X
U (0; 2) e Y
T riCont (0; 2) dada por
8
>
0<y<1
< y
fY (y) =
2 y 1<y<2
>
:
0
resto
entonces E [X] = E [Y ].
b)
Si X
U (0; 1) entonces se veri…ca que
X E [X]
W = p
V [X]
SOLUCIÓN:
a)
E [X] 1 E [X]
p
; p
V [X]
V [X]
U
!
Es verdadera.
Para cualquier par de variables aleatorias X e Y que sean simétricas en torno a un
valor a (y suponiendo que tienen media …nita), automáticamente la media y la mediana
coinciden y por tanto E [X] = E [Y ] = a, con lo que en este caso E [X] = E [Y ] = 1:
Analíticamente para X
U (0; 2)
E [X] =
Z
Z
+1
xfX (x) dx =
1
2
0
1
11 2
x
x dx =
2
22
2
0
=1
(observar que en una uniforme su media es el punto medio del intervalo donde su densidad
es positiva).
Para Y
T riCont (0; 2)
E [Y ] =
=
Z
+1
yfY (y) dy =
1
1 3
y
3
Z
1
y ydy +
+ y2
1 3
y
3
2
1
2
y (2
y) dy
1
0
1
0
Z
2
1
=
1+9
3
7
=1
(observar que este ejemplo sirve para ilustrar que E [X] = E [Y ] ; X = Y ).
b)
Es verdadera.
Observar en primer lugar que W es una combinación lineal de X ya que
X E [X]
E [X]
1
W = p
=p
+p
X = a + bX
V [X]
V [X]
V [X]
Utilizando la función de densidad de W se tiene que al ser w = a + bx se veri…ca que
0 < x = w b a < 1; por lo que si
0<
w
a
b
<1,0<w
a<b,a<w <b+a
fW (w) = fX (x)
= fX
w
a
b
11
1
b
dx
dw
b>0
= 1
1
b
con lo que
fW (w) =
(
1
b
0
a<w <a+b
resto
pE[X] ; 1p E[X]
que corresponde a una U (a; b) y por tanto U
V [X]
V [X]
5. Decir si es verdadera o falsa la siguiente a…rmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo
y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo o su valor correcto: ”Sea X v.a. con función
1
1
de densidad f (x) = 1 1+x
2 con x 2 R entonces se veri…ca que Y = X tiene la misma función
de densidad que X.”
SOLUCIÓN:
Es verdadera.
Al ser Y =
1
X
se tiene que
fY (y) = fX
y dado que x = y1 , se veri…ca que
dx
dy
fY (y) =
=
1
y2 ,
1
1
y
con lo que
1
1+
dx
dy
1
y
1
y2
2
con
1
2R
y
por lo que
fY (y) =
y se veri…ca que Y =
4.
1
X
1
y2
y2 + 1
1
y2
=
1
1
con y 2 R
1 + y2
tiene la misma función de densidad que X:
Nivel 4
1. Sea X una variable aleatoria Rayleigh de parámetro
dada por
(
2
x exp
2x
f (x) =
0
y cuya función de distribución F (x) viene dada por
(
2
1 exp
2x
F (x) =
0
cuya función de densidad f (x) viene
x>0
resto
x>0
resto
a)
¿Cómo se pasa de f (x) a F (x)? ¿Cómo se pasa de F (x) a f (x)?
b)
Determinar E [X] (utilizar la de…nición de la función
p
1
junto a
).
2 =
c)
Determinar V [X].
d)
Calcular la mediana poblacional de la v.a. X.
e)
Calcular la moda poblacional de la v.a. X.
SOLUCIÓN:
12
(p) y sus propiedades básicas
a) De f (x) a F (x) se pasa integrando ya que
Z
F (x) =
x
f (t) dt
1
y de F (x) a f (x) se pasa derivando ya que
F 0 (x) = f (x)
b)
La media poblacional de X viene dada por
Z +1
Z
xf (x) dx =
= E [X] =
1
+1
x x exp
2
x=0
x2 dx
Si se hace el cambio
1 2
x ; dy = xdx
2
para buscar la función (p), se tiene que
p Z +1
Z +1
1
2
2y
1 p
dy = p
y 1 2 exp ( y) dy
= E [X] =
exp ( y) p
2y
y=0
y=0
p
p Z +1
p
p 1= 12
1
3
1
2
2
2
y 2 exp ( y) dy = p
1+
=p
=p
2
2
y=0
r
r
r p
r
2 3
3
2 1
1
2 2p
p
=
1
1 =
=
=
2
2
2
2
2
2 2
c) Para calcular la varianza poblacional de X se hace uso de la expresión
y=
2
= V [X] = E X 2
Por tanto, en primer lugar, se calcula
Z +1
Z
E X2 =
x2 f (x) dx =
1
E 2 [X]
+1
x2 x exp
2
x=0
x2 dx
Si se hace el cambio
1 2
x ; dy = xdx
2
para buscar la función (p), se tiene que
Z +1
1
2
2
E X2 =
2y exp ( y) dy =
(2) = (2
y=
1)! =
2
y=0
y por tanto
2
d)
= V [X] = E X 2
E 2 [X] =
2
=
4
2
2
Para calcular la mediana poblacional xmed de X hay que resolver le ecuación F (x) = 12 ,
por lo que hay que resolver
1
1 exp
x2 =
2
2
Por tanto
1
= exp
x2
2
2
1
Ln =
x2
2
2
( 2)
1
Ln = x2
2
con lo que
r
2Ln2
xmed = +
13
e)
Para calcular la moda poblacional xmod de X hay que calcular el máximo o máximos de
f (x), por lo que
0
f (x) =
exp
=
2
x2 + x (
x) exp
x2
x2
exp
2
1
2
x2
q
0
Por tanto para que f (x) = 0 se tiene que x = + 1 . Para terminar, se comprueba que
relamente es un máximo para lo cual hay que calcular la segunda derivada de f y ver
que en ese punto es negativa. Esto es cierto porque
00
f (x) =
(
x) exp
2
=
(
x2
2 x exp
x) exp
1
y se veri…ca que, al ser 1 + 2
> 0, f
00
2. Determinar el valor o los valores de
para que
(
e
f (x) =
0
x2
2
q
x
2
x2
x2 (
2
x2
x2
1+2
1
x) exp
< 0.
x 0
resto
sea función de densidad.
SOLUCIÓN:
Se puede hacer por dos métodos: integración directa y buscando la función gamma.
Para hacerlo por integración directa, se tiene que
Z +1
Z +1
f (x) dx =
e x dx =
e
x= 1
x=0
Por lo que para cualquier , siempre que sea
x +1
0
=
1
e+ 1
1
=1
> 0, se tiene que es función de densidad.
Para hacerlo buscando la función gamma, se tiene que, haciendo el cambio
Z
+1
e
x
x=0
dx =
Z
y = x; dy = dx
Z +1
1
e y dy =
y1
+1
y=0
1
e
y
dy =
(1) = 0! = 1
y=0
De nuevo para cualquier , siempre que sea > 0, se tiene que es función de densidad.
R +1
3. Usando la función gamma (p) = x=0 e x xp 1 dx, con p > 0, veri…ca que (1) = 1; (p) =
p
1
(p 1) (p 1) 8p > 1; (p) = (p 1)! 8p 2 N y que
, demostrar que
2 =
Z
+1
e
1 2
2x
x=0
SOLUCIÓN:
Se deja para el alumno.
14
dx =
r
2
: