Lógica

Lógica
Proposicional
Ing. Nerio Villalobos Finol
2
LÓGICA PROPOSICIONAL
2
Lógica Proposicional
PROPOSICIONES
Definición. Una proposición es una oración con valor declarativo o informativo,
de la cual se puede predicar su veracidad o falsedad, es decir, que puede ser falsa
o verdadera pero no ambas a la vez.
La proposición es la expresión lingüística del juicio, cuya característica
fundamental es ser verdadero o falso empíricamente. Son proposiciones las
oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas matemáticas, las
fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente definidos.
No son proposiciones las opiniones y suposiciones; los proverbios, modismos y
refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas,
exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en
general; ni las operaciones aritméticas.
El valor de verdad de una proposición depende no solamente de las relaciones
entre las palabras del lenguaje y los objetos en el mundo, sino también del estado
del mundo y del conocimiento acerca de ese estado. El valor de verdad de la
oración Pablo corre depende no solamente de la persona denotada en Pablo y el
significado del verbo correr, sino también del momento cuando esta oración es
expresada. Pablo probablemente corre ahora, pero ciertamente que no siempre
corre.
De la misma manera, debemos hacer una distinción entre la oración gramatical
propiamente dicha, a la que llamaremos enunciado, y el contenido o significado
del enunciado, que es la proposición. Así los siguientes enunciados representan
en realidad a la misma proposición:
En Maracaibo hace mucho calor
Maracaibo es una ciudad muy calurosa
La temperatura media de Maracaibo es bastante alta
El clima de Maracaibo es cálido
Maracaibo is a hot city
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
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Las siguientes expresiones son ejemplos de proposiciones:
Bolívar libertó a Venezuela
El hierro es un mineral
Boole fue un matemático
36 + 63 = 99
La palabra “esdrújula” es esdrújula
Los siguientes son ejemplos de expresiones las cuales no son proposiciones
El hombre más fuerte del mundo
El director del periódico
¡Quién se ganara el Kino!
13 + 7
¡Tú te callas!
X obtuvo el Premio Nobel en 1970
¿Cuánto cuesta ese reloj?
Las proposiciones se representan por letras minúsculas: p, q, r, s, t, u, etc. Por
ejemplo, sea la proposición q igual a 34 + 56 = 90
CLASIFICACION
1. Proposiciones Simples o Atómicas
Son las que carecen totalmente de conectivos lógicos, sean monádicos (como la
negación) o binarios (que implican dos proposiciones) y que, por lo tanto, son
inseparables. En este grupo se encuentran las proposiciones predicativas y las
relacionales.
Proposición Predicativa
Es aquella en la cual se afirma o atribuye una característica respecto de un
objeto. Ejemplo: Juan Pérez es profesor
Proposición Relacional
Es aquella en la cual existe relación de dependencia, estableciendo un enlace
entre dos o más objetos. Ejemplo: Caracas es la capital de Venezuela.
2. Proposición Compuesta o Molecular
Son aquellas que resultan de la combinación de varias proposiciones simples,
unidas por uno o más conectivos lógicos y que pueden ser separadas y
descompuestas en proposiciones más simples. Su valor de verdad depende del de
las proposiciones que la componen.
NERIO VILLALOBOS FINOL
4
LÓGICA PROPOSICIONAL
CONECTIVOS LÓGICOS
NEGACION
Definición: Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe p, a
la afirmación que dice "no p". p es verdadera cuando p es falsa, y viceversa.
Símbolos: , , ‘
Expresión verbal: no p; no es cierto que p; no es verdad que p; nunca p; es
falso que p; es absurdo que p; carece de sentido que p; es inconcebible que p;
no ocurre que p; no es el caso que p; es mentira que p; es erróneo que p;
además de los prefijos negativos a-, des-, in-, i-.
Comentario: Son proposiciones que presentan un conector monádico, porque
afecta a una proposición simple, cambiando su valor de veracidad.
p
p
V
F
F
V
Tabla de Verdad de la Negación
CONJUNCIÓN
Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama conjunción de p y q, y se
escribe p q, a la proposición que dice "p y q". p q es verdadera cuando p y
q son verdaderas simultáneamente.
Símbolos: , ., *
Expresión verbal: p y q; p aunque q; p pero q; p mas q; p también q; p sin
embargo q; p además q; p del mismo modo q; p al igual que q; p así como q; p
no obstante q; p tal como q; p es compatible con q; p incluso q.
Comentario: La resultante o valor de veracidad es verdadera sólo en el caso
que ambas proposiciones sean verdaderas. En los otros casos la resultante
será falsa.
p
p
q
q
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Conjunción
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
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DISYUNCION INCLUSIVA
Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama disyunción inclusiva de p y
q, que se escribe p q, a la proposición que dice "p o q". p q es verdadera
cuando al menos una de ellas es verdadera.
Símbolos: , +
Expresión verbal: p o q; p o también q; quizás p, quizás q; p o también q; p y/o
q.
Comentario: La resultante es falsa únicamente en el caso en que ambas
componentes sean falsas. En los otros casos la resultante es verdadera.
p
p
q
q
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Disyunción Inclusiva
DISYUNCION EXCLUSIVA
Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama disyunción exclusiva de p y
q, que se escribe p q, a la proposición que dice “o p o q”. p q es verdadera
cuando una de ellas es verdadera y la otra falsa.
Símbolo: ,
Expresión verbal: o p o q; o bien p o bien q; p a menos que q; a menos que q,
p; p salvo que q; p a no ser que q; p excepto que q.
Comentario: La resultante es falsa solamente cuando ambas componentes son
iguales. En los otros casos es verdadera.
p
p
q
q
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva
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LÓGICA PROPOSICIONAL
IMPLICACIÓN
Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama implicación de p y q, y se
escribe p
q, a la proposición que dice "si p entonces q". p
q es verdadera
cuando q es verdadera, o bien p y q son falsas a la vez. Se dice que existe una
relación causa-efecto entre p y q
Símbolos: ,
Expresión verbal: si p entonces q; p implica q; si p, q; cuando p, q; siempre
que p, q; cada vez que p, q; q porque p; con tal que p es obvio que q; en caso
de que p tendrá sentido q; en virtud de que p es evidente q; dado que p por eso
q; p es condición suficiente para que q; q es condición necesaria para que p.
Comentario: La resultante es falsa únicamente en el caso de que el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los otros casos es
verdadero.
p
p
q
q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad de la Implicación
Esta operación también la podemos expresar intercambiando el antecedente con
el consecuente. Su símbolo es p
q, y su expresión verbal puede ser: p porque
q; p es condición necesaria para q; p, si q; p se concluye de q; p siempre que q; p
es insuficiente para q; p pues q; p cada vez que q; p dado que q; p ya que q; etc.
EQUIVALENCIA
Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama equivalencia de p y q, y se
escribe p
q, a la proposición que dice "p equivale a q". p
q es verdadera
cuando p y q son verdaderas o falsas simultáneamente.
Símbolo:  ,
Expresión verbal: p si y sólo si q; p cuando y sólo cuando q; p es equivalente a
q; p equivale a q; p se define como q; p es lo mismo que q; p es idéntico a q; p
implica a q y q implica a p; p es condición necesaria y suficiente para q; etc.
Comentario: La resultante es verdadera en el caso de que ambas
componentes sean verdaderas o ambas sean falsas. En los demás casos son
falsas. La equivalencia también es conocida como doble implicación y también
como bicondicional.
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
p
p
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q
q
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad de la Equivalencia
Tenemos a continuación una tabla de verdad general de las principales
operaciones:
p
q
p
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
p
q
p
q
p
q q
q p
q
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8
LÓGICA PROPOSICIONAL
FÓRMULAS PROPOSICIONALES
Las proposiciones compuestas o fórmulas proposicionales se obtienen al
combinar proposiciones simples para expresar afirmaciones más complejas. La
combinación de los átomos se efectúa a través de los conectivos lógicos ( ), ( ),
( ), ( ), ( ). Las fórmulas proposiciones serán simbolizadas como A, B, C,...
Definición: Una fórmula bien formada (fbf) del cálculo proposicional se define
mediante las siguientes reglas:
Base. Una variable proposicional atómica (p, q, r, etc.) es una fórmula bien
formada.
Inducción. Si A y B son fórmulas bien formadas, entonces A, A B, A B,
A B, A
ByA
B son fórmulas bien formadas.
Cerradura. Todas las fórmulas bien formadas se generan aplicando algunas
de las reglas anteriores y de ninguna otra forma.
Los paréntesis ( y ) se emplean para estructurar fórmulas proposicionales algo
complejas. Sin embargo, puede emplearse la siguiente convención, si se desea
evitar el uso de paréntesis en una fórmula. El conectivo
se aplica a la
proposición -simple o compleja- más pequeña que le sigue; luego se aplica el
conectivo
para conectar las dos sentencias -simples o compuestas- más
pequeña que lo rodean; y así para el resto de los conectivos , ,
y
en
estricto orden. Así, si se desea restaurar los paréntesis en la siguiente fórmula:
P
Q
R
Q
R
P
La fórmula resultante sería:
(((( P)
Q)
R)
(Q
(R
P)))
Determine cuales son fórmulas bien formadas.
(p q)
(( p)
q)
p q
q p r
p q, q
p
(p y q)
(q)
Definición. En el cálculo proposicional, una función de interpretación o una
interpretación es una función que asigna un valor de verdad del conjunto {V, F} a
las proposiciones atómicas que componen una fórmula proposicional.
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
9
Esto quiere decir que el significado de una fórmula debe ser una función del
significado de sus componentes, más específicamente, el valor de verdad
asignado a la fórmula dependerá de la estructura de esa fórmula y de los valores
de verdad asignados a las proposiciones contenidas en ella. Las tablas de verdad
son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes
interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas.
Definición. Una fórmula proposicional G se dice que es verdadera baja una
interpretación si y sólo si G es evaluada con V en la interpretación; de otra forma
decimos que G es falsa bajo la interpretación.
Definición: Una fórmula proposicional G se dice que es válida si y sólo si es
verdadera en todas sus interpretaciones. Una fórmula válida se conoce también
como una tautología.
Definición: Una fórmula proposicional G es inconsistente si y solo si es falsa en
todas las posibles interpretaciones. Una fórmula inconsistente se conoce también
como una contradicción.
Definición: Una fórmula proposicional G se dice que es consistente si y sólo si
es verdadera en al menos una de sus interpretaciones. Una fórmula consistente se
conoce también como una contingencia.
Considérese este otro ejemplo:
((p
q)
p)
q)
(p
q)
q
p
Q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
(p
p
((p
q)
p)
q
NERIO VILLALOBOS FINOL
10
LÓGICA PROPOSICIONAL
TABLAS DE VERDAD
En una fórmula con n diferentes proposiciones atómicas se tienen 2n distintas
interpretaciones que pueden ser mostradas en una tabla de verdad determinando
que una fórmula presente algunos de los casos anteriores. Explicaremos con más
detalles cómo se construye una tabla de verdad, en este caso con 3 variables.
Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en
ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula 2n, siendo n el
número de variables. En este caso 2n = 23, o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazamos pues
ocho renglones.
Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una
columna de valores. Empezando por la derecha, alternamos las V y las F de
una en una en la primera columna, de dos en dos para la segunda, y de cuatro
en cuatro para la tercera, hasta completar el número de renglones (en este
caso ocho).
Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se
empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que
esté fuera de todo paréntesis.
(p
q) (r
q)
p
q
r
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
(p
q)
(r
q)
Fig. 7. Ejemplo de construcción de tablas de verdad.
Podemos también omitir las columnas de las variables y realizar las operaciones
directamente, lo cual sería muy útil en el caso de fórmulas muy largas, aunque
también implica repetir la distribución de V’s y de F’s en las columnas de las
variables que aparecen más de una vez en la fórmula. También hay que numerar
NERIO VILLALOBOS FINOL
11
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
los resultados parciales y señalar los correspondientes operandos de cada
operación resuelta, hasta llegar al final. Veamos un ejemplo: (p
q) (q r)
p
q
q
r
Dibujamos el cuadro con una columna para cada
variable y cada conectivo, sin incluir los
paréntesis, e igualmente el número de renglones
será de 2n, con n=variables de la fórmula, en este
caso también es 23 = 8.
p
V
F
V
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
V
V
V
F
F
F
F
Colocamos los valores de verdad, las V’s y las
F’s, con el mismo patrón de alternarlas de uno
en uno para la primera variable, de dos en dos
para la segunda y de cuatro en cuatro para la
tercera, teniendo en cuenta que cada vez que
se repite una variable el patrón será el mismo.
Ahora procedemos a resolver por partes cada operación, numerando su
resultado y señalando cuales son sus operandos lógicos, hasta llegar al final
que también indicaremos con un signo especial.
p
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
1
q
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
//
q
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
2
r
V
V
V
V
F
F
F
F
NERIO VILLALOBOS FINOL
12
LÓGICA PROPOSICIONAL
Resolvamos este otro ejemplo, un poco más complejo ya que, además de incluir 4
variables, contempla diversos conectivos.
((p
p
( q
q
r))
((q
r
s)
p)
q
s
p
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
3
1
//
7
5
4
NERIO VILLALOBOS FINOL
2
6
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
13
FORMALIZACIÓN
Formalizar es traducir expresiones, en especial enunciados y argumentaciones,
del lenguaje natural en un lenguaje formal. Dada una expresión, formulada en
español o en cualquier otro lenguaje natural, hemos de dejar a un lado nuestras
convicciones acerca de cómo son los hechos. Al formalizar lo único a lo que
debemos atender es al contenido semántico de los enunciados de la expresión, y
sus equivalencias en el lenguaje formal. Para la lógica de proposiciones, se
recomienda tener en cuenta lo siguiente:
Identificar las expresiones lingüísticas que son contrapartidas de los conectivos
del lenguaje formal.
Identificar las distintas proposiciones atómicas del texto a formalizar.
Identificar las oraciones que expresan una misma proposición, asignando la
misma variable proposicional a dichas oraciones.
Sustituir las oraciones por las variables proposicionales asignadas.
Identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y
hacerlas corresponder con el operador de la negación ( ). En este sentido
conviene recordar que las negaciones no siempre aparecen al comienzo de un
enunciado sino intercaladas en el mismo, como: no p, no es cierto que p, es
falso que p, etc., además de ciertos prefijos como des-, in-, i-, y a-. También
conviene tener presente que determinadas ocurrencias de la doble negación
en español expresan en realidad una negación simple, como en: No quiero ni
pensar en eso. Por último, es importante identificar cuándo un enunciado en
forma afirmativa expresa en realidad la negación de otro enunciado que
aparece en el mismo texto a formalizar, como: p es venezolano, p es
extranjero, que corresponderían a p y p.
La constante lógica de la conjunción la utilizaremos en expresiones que se
entiendan como: p y q, p pero q, p aunque q, etc.
La constante lógica de la disyunción la utilizaremos en expresiones que se
entiendan como: p o q, ya p ya q ya ambas, etc.
La constante lógica de la implicación
la utilizaremos en expresiones que se
entiendan como: Si p entonces q; Si p, q; Cada vez que p, q; Es suficiente p
para que q; siempre que p, q; es necesario q para que p; etc.
La constante lógica de la equivalencia
la utilizaremos en expresiones que se
entiendan como: p si y sólo si q; p cuando y sólo cuando q; p es condición
suficiente y necesaria para que q.
NERIO VILLALOBOS FINOL
14
LÓGICA PROPOSICIONAL
Explicitar los paréntesis imprescindibles para evitar ambigüedades, omitiendo
los innecesarios.
Construir tantas fbs como enunciados separados por un punto figuren en el
texto a formalizar.
Veamos algunos ejemplos:
1. Desde el punto de vista evolutivo, el individuo es efímero; únicamente las
poblaciones persisten a lo largo del tiempo.
Podemos descomponerlo en p y q así:
p: Desde el punto de vista evolutivo el individuo es efímero
q: Desde el punto de vista evolutivo únicamente las poblaciones persisten a lo
largo del tiempo.
Su formalización, entonces sería: p
q
2. Los siguientes enunciados son equivalentes, y se deben formalizar de la
misma forma: p
La estrella de la mañana es uno de los planetas de nuestro sistema solar.
La estrella matutina es un planeta del sistema solar.
La estrella de la tarde es uno de los planetas que giran alrededor del sol
Venus es uno de los planetas del sistema solar.
3. No quiero ni pensar en ello. La anterior son dos ocurrencias del negador, las
cuales expresan negación simple.
Sea p = Quiero pensar en ello.
Formalización: p
4. Si Liliana aprueba el examen, se irá de vacaciones; pero si reprueba, se
quedará en casa estudiando.
p = Liliana aprueba el examen
p = Liliana reprueba el examen
r = Liliana se quedará en casa estudiando
Formalización: (p
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q)
( p
r)
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
15
5. No es cierto que sea falso que no llueva.
p = llueva
Formalicemos paso a paso:
No es cierto que sea falso que no p.
No es cierto que sea falso que p.
No es cierto que p.
p
6. Puedes venir a tomar café siempre que quieras.
Lo anterior se podría parafrasear como: Cuando quieras puedes venir a tomar
café
p = Puedes venir a tomar café
q = quieras
Formalización: q
p
7. Entrarás sólo si has llegado a tiempo
p = Entrarás
q = has llegado a tiempo
Formalización: q
p
8. Es suficiente conseguir un buen informe del jefe para que todos deseen estar
en tu lugar
p = Conseguir un buen informe del jefe
q = todos deseen estar en tu lugar
Formalización: p
q
9. Es necesario presentarse al examen para aprobar la asignatura.
p = Presentarse al examen
q = aprobar la asignatura
Formalización: p
q
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16
LÓGICA PROPOSICIONAL
10. Para realizarte en la vida has de escribir un libro, tener un hijo y plantar un
árbol.
p = te realizas en la vida
q = escribes un libro
r = tienes un hijo
s = plantas un árbol
Formalización: (q
r
s)
p
11. Siempre que el coronel no tiene quien le escriba, se escribe a sí mismo largas
y elogiosas epístolas
p = el coronel tiene quién le escriba
q = se escribe así mismo largas epístolas
r = se escribe así mismo elogiosas epístolas
Formalización:
p
(q
r)
12. A menos que le toque la lotería a Juan, sigue siendo pobre
p = le toca la lotería a Juan
q = Juan sigue siendo pobre
Formalización:
p
q
13. Solo si le toca la lotería a Juan, no sigue siendo pobre.
Que se puede parafrasear como: Si no es cierto que Juan sigue siendo pobre,
es que le toca la lotería.
p = le toca la lotería a Juan
q = Juan sigue siendo pobre
Formalización:
q
p
14. Sólo si a Juan no le toca la lotería, sigue siendo pobre.
p = le toca la lotería a Juan
q = Juan sigue siendo pobre
Formalización: q
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p
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
17
EJERCICIOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL
a. Indique si las siguientes expresiones constituyen proposiciones o no
1. Blancanieves vivía con siete enanos
2. Las caraotas son muy sinvergüenzas
3. Llegaste tarde anoche
4. X2 – 3X = -2
5. Los endopírricos son muy cuasifórbidos
6. Albert Einstein era tarado mental
7. Todos los metales conducen electricidad
8. ( x )2 = x
9. La sangre puede ser roja
10. a2 > a3
11. Julio Cesar venció a los japoneses en 1814
12. Los leones son pelones
13. Sócrates fue maestro de Platón
14. Ojalá que cumplas lo que prometes
15. Beethoven jugaba béisbol
16. No creo que llueva
17. Al conducir, no beba
18. 62 + 43
19. Ganemos
20. Ganamos
21. ¿Ganamos?
22. ¡Ganamos!
23. No ganamos
24. Los sarracenos usaban cimitarras
25. El hierro se come
26. ¿El Titanic se hundió o se quemó?
27. Adán y Eva no tenían hermanos
28. Espero que apruebes la materia
29. Yo soy el abuelo de mi padre
30. 2n es par para todo n entero
31. El dulce placer de no hacer nada
32. Pablito clavó un clavito
33. x2 es positivo para todo x entero
34. Quien bien te quiere te hará llorar
35. Trabaja, sin cesar trabaja
36. A veces llueve, a veces no
37. Pienso, luego existo
38. Quien a buen árbol se arrima buena sombra le cobija
39. Si pudiera viajar a Europa...
40. La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
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18
LÓGICA PROPOSICIONAL
b. Halle la tabla de verdad para las siguientes fórmulas proposicionales e indique
si son tautologías, contradicciones o convergencias.
1. (p
q)
( q
2. (( p
q)
3. (p
p)
4. (p
p)
5.
(p
( q
q)
7. ( (p
8.
p
q)
6. (p
q)
9. (p
q)
p
10. p
(p
q)
11. ((p
(p
12. ( p
q)
13. ((p
q)
14. ((p
15.
16. ((p
18.
( p
q)
p
s)
r))
(p
(q
r))
(( p
(r
(p
s))
r))
q)
q)
((p
r)
q)
(( p
q)
r)
r)
(r
(q
r)
q)
(q
( q
(q
r
( (r
(p
q)
19. ((((p
20. (p
q))
q)
17. ( ( p
q)
(r
r))
q)
((p
p)
( p
q)
(p
r)
s))
(r
NERIO VILLALOBOS FINOL
q)
s))))
p)
( r
q)
( p
q))
(r
s))
r))
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
19
b. Formalice las siguientes expresiones, reconociendo cada proposición atómica
y asignándole una variable.
1. Como no había pelotas no se pudo jugar
2. Vamos a Caracas y a Margarita, a menos que llueva
3. Si no hay cerveza, tomaremos vino o campaña
4. No es cierto que siempre que llueve, truena y relampaguea
5. Ellos bailan o bien en pareja o bien en grupo
6. Carlos canta pero también toca el piano o el órgano
7. A pesar de no tener dinero, sin embargo se divierte
8. No fueron a la fiesta porque no los invitaron o porque no tenían dinero
9. Como tiene sus tres lados iguales, es un triángulo equilátero
10. El perro ladra y el gallo canta, o yo estoy me estoy volviendo loco
11. Siempre que hay fiesta en la casa, Juan se viste y se presenta
12. Si no aprobó el examen fue porque no estudió o porque no pudo copiarse
13. Si estudias te graduarás o sino tendrás que trabajar
14. Es falso que como no tenía dinero no lo dejaron entrar a la fiesta
15. Juan juega en segunda o en tercera pero ni de lanzador ni de receptor
16. Cuando Juan se case y consiga trabajo, le regalo el apartamento
17. Los niños lloran y los pájaros se asustan cada vez que los perros ladran
18. O me equivoco o no hay ni comida ni bebida
19. Juan canta muy bien, pero Carlos, además de cantar, toca el piano
20. Si sube la temperatura no implica que haya una infección
21. Luís o Juan se van en el carro, o sino Juan se queda y Luís toma un taxi
22. Cada vez que me miro en el espejo, me veo más viejo.
23. Carlos, al igual que Miguel, son buenos estudiantes excepto cuando llega la
Navidad
24. No es lo mismo que canta por no llorar que llora porque no es feliz
25. Corro mas no sudo, excepto si hay mucha humedad
26. Con tal que no llores, te llevaré al parque
27. Si no son naranjas ni son limones, deben ser mandarinas
28. Ya que no vino y perdió el examen es evidente que no aprobará la materia y
no se graduará
29. O me equivoco o Juan se casó con María y Pedro todavía es soltero
30. Comer dulces o grasas no necesariamente engorda
31. Quizás llueva, quizás haga sol, pero de todas maneras me llevo el paraguas
32. Pedro juega muy bien a pesar que está lesionado y tiene gripe.
33. Es absurdo que Carlos sea el jefe ya que no sabe leer ni escribir
34. El carro no se detuvo en todo el camino dado que era urgente llegar a tiempo
35. Pedro vive muy feliz a pesar de que no fuma, no bebe ni baila pegado
36. No hay por qué preocuparse salvo que suba el dólar o suba la inflación
37. Fumar y beber en exceso equivale a sufrir graves enfermedades o incluso la
muerte
38. No es cierto que María y Pedro no se quieran el uno al otro
39. Si la Ingeniería no es fácil, es absurdo que estudies Computación y Eléctrica
40. Hoy es un día bonito pero mañana, si no llueve, será mejor
NERIO VILLALOBOS FINOL
20
LÓGICA PROPOSICIONAL
LEYES LÓGICAS
Si dos fórmulas proposicionales son lógicamente equivalentes, o sea tautologías,
no puede haber una sola circunstancia en la que una de ellas sea verdadera, y la
otra falsa, o sea, sus respectivas tablas de verdad coinciden para cualquier
interpretación. A estas equivalencias lógicas las denominamos Leyes Lógicas.
LEYES DE MORGAN
(p q)
( p
q)
(p q)
( p
q)
CONMUTACIÓN
(p q)
(q p)
(p q)
(q p)
ASOCIACIÓN
((p q) r)
(p
((p q) r)
(p
DISTRIBUCIÓN
(p (q r))
((p
(p (q r))
((p
(q
(q
r))
r))
q)
q)
(p
(p
r))
r))
DOBLE NEGACIÓN
p
p
TRANSPOSICIÓN
(p
q)
( q
p)
DEFINICIÓN DEL CONDICIONAL
(p
q)
( p q)
(p
q)
DEFINICIÓN DE EQUIVALENCIA
(p
q)
((p
q) (q
p))
(p
q)
((p q) ( p
q))
EXPORTACIÓN
((p
(q
r))
((p
IDEMPOTENCIA
(p p)
p
(p p)
p
p
p
ABSORCIÓN
(p q)
p
(p q)
p
q)
r)
p
p
p
IDENTIDAD
F
F
V
p
p
F
IMPLICACIONES LÓGICAS
p
(p
q)
q
(p
q)
(p
q)
p
(p
q)
q
NERIO VILLALOBOS FINOL
p
p
p
F
V
p
p
V
V
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
21
INFERENCIAS
Se ha definido a la lógica como la ciencia del razonamiento. Esta definición no es
adecuada. El razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se
realizan inferencias, es decir, se derivan conclusiones a partir de premisas. Pero
es aun pensamiento y, por lo tanto, forma parte de los temas de estudio de la
psicología, ya que, en general, tienen una alta carga emocional y subjetiva. Al
lógico no le interesan los oscuros caminos por los cuales la mente llega a sus
conclusiones durante los procesos reales del razonamiento. La lógica estudia la
forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido.
Definición. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener la
verdad de una proposición, conocida como conclusión, a partir de la verdad de
una o más proposiciones, conocidas como premisas.
El proceso de inferencia también es llamado argumentación, y un argumento es
lo expresado por la inferencia, y así como a una misma proposición le pueden
corresponder varios enunciados que expresan lo mismo, de la misma manera
varias inferencias pueden corresponder a un mismo argumento.
Definición. Dado un grupo de fórmulas P1, P2,..., Pn y otra llamada Q, Q es una
consecuencia lógica de P1, P2,..., Pn si y solo si la fórmula (P1 P2 … Pn)
Q es
válida o si la fórmula P1 P2 … Pn
Q es inconsistente.
Al lógico sólo le interesa la corrección del proceso, una vez terminado. Su
problema es siempre el siguiente: ¿La conclusión a la que se llegado deriva de
las premisas usadas y afirmadas? Si las conclusiones se desprenden de las
premisas, esto es, si las premisas constituyen un buen fundamento de la
conclusión, de manera que afirmar la verdad de las premisas garantiza la
afirmación de que también la conclusión es verdadera, entonces el razonamiento
es correcto. En caso contrario es incorrecto. La forma habitual de representar una
inferencia es la siguiente:
P1
P2
...
Pn
-----------Q
en donde el símbolo
significa por lo tanto, luego, se concluye que, etc.
Para demostrar si Q es una consecuencia lógica se pueden usar tablas de verdad
o aplicar las leyes lógicas para encontrar su forma normal. Demostrar el teorema
significa demostrar que la implicación es una tautología.
NERIO VILLALOBOS FINOL
22
LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejemplo 1:
i. Si Juan estudia entonces aprobará la materia
ii. Juan estudia
-----------------------------------------------------------------Luego, Juan aprobará la materia
Las proposiciones i) y ii) representan las premisas, mientras que la última (“Juan
aprobará la materia”) representa la conclusión de esta inferencia. La validez de
esta inferencia parece muy clara intuitivamente, ya que es difícil asegurar que las
premisas sean verdaderas y que al mismo tiempo la conclusión no lo sea. Si
reemplazamos “Juan estudia” por la variable p, y “Juan aprobará la materia” por q,
podríamos generalizar la anterior inferencia de la siguiente manera:
i. p
q
ii. p
-----------q
La inferencia del ejemplo 1 es válida porque su forma o estructura lógica también
lo es. Toda inferencia que tenga dicha forma es válida, independientemente de los
significados que asuman p o q. Por ejemplo, podríamos sustituir p por “Carlos
practica deportes” y a q por “Carlos estará en forma” y obtendríamos otra
inferencia válida. Cada vez que hagamos este tipo de sustituciones obtendremos
igualmente inferencias válidas.
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento
universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las
proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que
contienen. A estos argumentos se les llama reglas de inferencia.
Toda argumentación debe comenzar con la hipótesis, proseguir con los distintos
pasos, justificando cada uno por alguna regla de inferencia o tautología conocida
(leyes lógicas), y llegar a la conclusión.
Las inferencias pueden ser deductivas o inductivas y radica la diferencia en el
grado de relación existente entre las premisas y la conclusión, pues en una
inferencia deductiva la conclusión deriva necesariamente de las premisas: la
verdad de éstas garantiza la de aquella; las premisas implican la conclusión.
Consecuentemente, una inferencia es deductivamente válida cuando es imposible
que sus premisas sean verdaderas y su conclusión sea falsa. En una inferencia
inductiva, en cambio, la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas:
éstas solamente la hacen probable.
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
23
REGLAS DE INFERENCIA
Las reglas de inferencia usan dos tipos de elementos, los datos (hechos o
evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas en una base de
conocimientos), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Por ejemplo, si la
premisa de una regla es cierta, los datos iniciales se incrementan incorporando las
nuevas conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de partida como
las conclusiones derivadas de ellos forman parte de los hechos o datos de que se
dispone en un instante dado.
Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos: simples o compuestas. Las
conclusiones simples son las que resultan de una regla. Las conclusiones
compuestas son las que resultan de más de una regla. Para obtener conclusiones,
los expertos utilizan diferentes tipos de reglas y estrategias de inferencia y control.
MODUS PONENS O RAZONAMIENTO DIRECTO
Es quizás la regla de inferencia más comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener
conclusiones simples. La tautología conocida como Modus Ponens adquiere la
siguiente forma lógica: ((p
q) p)
q, que, traducido al lenguaje natural, sería
algo así como si p implica q, y p es verdadero, entonces q también debe ser
verdadero. Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte y q: estoy cansado,
entonces, según este esquema tautológico:
Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, como es cierto que hago mucho
deporte, concluyo que estoy cansado
Expresado en su la forma argumental sería:
i. Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.
ii. Hago mucho deporte
---------------------------------------------------------------------Por consiguiente, estoy cansado
Y en forma simbólica:
i. p
q
ii. p
------------q
Este esquema de razonamiento es el que más utilizamos en nuestra vida
cotidiana, motivo por el que se denomina también Razonamiento Directo.
((p
q)
p)
q
NERIO VILLALOBOS FINOL
24
LÓGICA PROPOSICIONAL
p
q
p
q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad del Modus Ponens
Falacia de la Afirmación del Consecuente
Aunque la implicación ((p
q)
p
q que define el Modus Ponens es
tautológica, una fórmula parecida, ((p
q) q)
p no es tautológica y supone
una falacia o falso argumento conocido como afirmación del consecuente. En
nuestro ejemplo, ((p
q) q
p se traduciría en lenguaje natural como:
i. Si hago deporte, entonces me canso
ii. Es verdad que me canso
---------------------------------------------------Luego, es verdad que hago deporte.
Es notorio que este razonamiento es falso (puedo cansarme por otras
circunstancias que no son necesariamente hacer deporte).
MODUS TOLLENS O RAZONAMIENTO INDIRECTO
Se utiliza también para obtener conclusiones simples. La tautología conocida
como Modus Tollens adquiere la siguiente forma lógica: ((p
q)
q)
p que
traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y q es falso,
entonces p también debe ser falso. Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte y
q: estoy cansado, entonces según este esquema tautológico:
Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y no es cierto que estoy
cansado, quiere decir que no hago mucho deporte.
Recurriendo a su forma argumental:
i. Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.
ii. No estoy cansado
---------------------------------------------------------------------Por consiguiente, no hago mucho deporte
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
25
Expresado en forma simbólica:
i. p
q
ii. q
-------------p
Este esquema de razonamiento no es tan intuitivo como el Modus Ponens; es un
poco más enrevesado: Si p fuera cierto, entonces q también debería ser cierto,
pero q es falso. Por lo tanto, p también debería ser falso, o en otro caso, q también
habría de ser verdadero (por la tabla de verdad del condicional, que impide que el
antecedente, p, sea verdadero, y el consecuente, q, sea falso)
((p
P
q)
q)
q
p
q
p
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
Tabla de Verdad del Modus Tollens
Falacia de la Negación del Antecedente
Una fórmula parecida al Modus Tollens: ((p
q)
p)
q no es tautológica y
supone una falacia conocida como Negación del Antecedente. En nuestro
ejemplo, ((p
q)
p)
q se traduciría en lenguaje natural como:
i. Si hago deporte, entonces me canso
ii. No es verdad que haga deporte
-----------------------------------------------------Luego no es verdad que me canse
Es palmario que este razonamiento es falso, puesto que puedo cansarme por
otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte.
NERIO VILLALOBOS FINOL
26
LÓGICA PROPOSICIONAL
SILOGISMO DISYUNTIVO
La tautología conocida como silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma lógica:
((p q)
p))
q y también ((p q)
q))
p que, traducido al lenguaje natural
sería algo así como si es cierto que la disyunción p o q es verdadera, y
además sabemos que no es cierto p, entonces sabemos que q es cierto con
seguridad.
La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o
bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p no es cierto,
entonces con seguridad q (el otro término de la disyunción) ha de ser cierto. Por
ejemplo, sean p: Raúl marcó gol y q: Ronaldo marcó gol
Entonces, según esta regla de inferencia:
Si es cierto que Raúl marcó gol o Ronaldo fue quien marcó, y además sabemos
que no marcó Raúl, entonces es seguro que quien marcó fue Ronaldo.
Recurriendo a su forma argumental:
i. Raúl marcó gol o fue Ronaldo quien marcó
ii. Raúl no marcó gol
--------------------------------------------------------------Por consiguiente, Ronaldo marcó gol.
Expresado en forma simbólica:
i. p q
ii. p
-----------q
Con la otra tautología ((p
q)
q)
p ocurre lo mismo mutatis mutandi
SILOGISMO HOPOTÉTICO o TRANSITIVIDAD
La tautología que expresa la propiedad transitiva de la implicación tiene la
siguiente forma lógica: ((p
q) (q r))
(p
r) que, traducido al lenguaje
natural, sería algo así como si es cierto que p implica q es verdadera, y
además sabemos que es cierto que q implica r, entonces forzosamente p
también implica r. Por ejemplo, sean p: Real Madrid gana, q: Los madrilistas
están alegres, y r: Los barcelonistas están tristes, entonces, según esta regla de
inferencia:
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
27
Si sabemos que si gana el Real Madrid entonces los madridistas están alegres, y
que si los madridistas están alegres los barcelonistas están tristes, nos
encontramos, en consecuencia, que si el Real Madrid gana, los barcelonistas
están tristes.
Recurriendo a su forma argumental correspondiente:
i. Si el Real Madrid gana, los madridistas están alegres.
ii. Si los madridistas están alegres, los barcelonistas están tristes.
-----------------------------------------------------------------------------------------------Luego, si el Real Madrid gana los barcelonistas están tristes.
Expresado en forma simbólica:
i. p
q
ii. q
r
-----------p
r
En ocasiones se puede expresar la ley de la transitividad de la implicación sin
utilizar paréntesis: los dos primeras condicionales quedarían p
q
r, y
podemos obtener la conclusión eliminando la q intermedia: p
r.
SIMPLIFICACIÓN
La tautología conocida como simplificación se expresa bien sea con la forma
lógica (p q)
p y también con la fórmula (p q)
q, que, traducido al lenguaje
natural sería algo así como si p y q son ambos ciertos, entonces p en
particular es cierto.
La definición de la conjunción exige que tanto p como q sean ciertos para que p
q sea cierto. La ley de la simplificación lo único que dice es que si p q es cierto,
entonces tenemos garantizado que cualquiera de esos dos términos de la
mencionada conjunción son ciertos por separado. Por ejemplo, sean p: hago
mucho deporte, y q: estoy cansado, entonces, según este esquema tautológico:
Si hago mucho deporte y estoy cansado, entonces es cierto que hago mucho
deporte
Recurriendo a su forma argumental:
Hago mucho deporte y estoy cansado
------------------------------------------------------Por consiguiente, hago mucho deporte
NERIO VILLALOBOS FINOL
28
LÓGICA PROPOSICIONAL
Expresado en forma simbólica:
p q
------p
Con la otra simplificación (p
q)
q ocurre lo mismo mutatis mutandi.
ADICIÓN
La tautología conocida como adición se expresa bien sea con la forma lógica p
(p q) y también con la fórmula q
(p q) que, traducido al lenguaje natural,
sería algo así como si es cierto que p, entonces estamos seguros que la
disyunción p o q son verdad.
La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o
bien p o bien q sean ciertos, o ambas son ciertas. En consecuencia, si sabemos
que p es cierto, entonces cualquier disyunción en la que esté p será cierta con
independencia del valor de verdad del otro término de la disyunción (o, para la otra
formulación, cualquier disyunción en la que esté q será cierta).
Por ejemplo, sean
p: hago mucho deporte, y q: estoy cansado
Entonces, según este esquema tautológico:
Si hago mucho deporte, entonces es cierto que hago mucho deporte o estoy
cansado
Recurriendo a su forma argumental:
Hago mucho deporte
------------------------------------------------------Por consiguiente, hago mucho deporte o estoy cansado
Expresado en forma simbólica:
p
------------p q
Con la otra adición q
NERIO VILLALOBOS FINOL
(p
q) ocurre lo mismo mutatis mutandi.
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
29
REGLAS DE INFERENCIA
MODUS PONENS
p
q
p
--------q
MODUS TOLLENS
p
q
q
----------p
SILOGISMO HIPOTÉTICO
p
q
q
r
----------p
r
SILOGISMO DISYUNTIVO
p q
p q
p
q
----------------q
p
DILEMA CONSTRUCTIVO
(p
q) (r
s)
p r
-----------------------q s
DILEMA DESTRUCTIVO
(p
q) (r
s)
q
s
------------------------p
r
SIMPLIFICACIÓN
p
q
p
q
-----------------p
q
ADICIÓN
p
--------p
q
q
---------p
q
NERIO VILLALOBOS FINOL
30
LÓGICA PROPOSICIONAL
FALACIAS
Un cálculo lógico es una herramienta que nos permite decidir si un razonamiento
es formalmente correcto o no. Esto, que puede parecer sencillo, no lo es tanto, y
a menudo, resulta sumamente difícil distinguir los razonamientos válidos de los
incorrectos, sobre todo si no disponemos de una herramienta tan eficaz como
puede ser un cálculo lógico. Por ejemplo, el siguiente argumento ¿es válido o
incorrecto?
Si París es la capital de Italia entonces Madrid es la capital de España; pero, París
no es la capital de Italia. En consecuencia, Madrid no es la capital de España.
Muchas veces un argumento parece válido, pero un análisis lógico detallado
puede desenmascararlo y mostrarlo como incorrecto. Muchas veces un argumento
no válido, pero que parece válido, se usa con la intención de engañar o convencer.
La lógica puede prevenir estas situaciones. A estos argumentos los denominamos
falacias o sofismas.
Hay muchos tipos de falacias, algunas lo son por forma lógica y en ese sentido
coinciden con argumentos incorrectos o falsos argumentos, como el
mencionábamos arriba. Estas son sencillas de detectar usando un cálculo lógico.
Pero hay otro tipo de falacias que lo son no tanto en virtud de su forma lógica sino
en virtud de su contenido material. Una clasificación de las falacias puede ser:
FORMALES
EQUÍVOCO
ANFIBOLOGÍA
AMBIGÜEDAD
ACENTO
COMPOSICIÓN
DIVISIÓN
INFORMALES
DATOS
FALACIAS
INSUFICIENTES
ACCIDENTE
ACCIDENTE INVERSO
FALSA CAUSA Y FALSA PRUEBA
PREGUNTA COMPLEJA
AD IGNORANTIAM
AD VERECUNDIAM
FALACIAS
MATERIALES
AD HOMINEM
PERTINENCIA
AD BACULUM
AD POPULUM
AD MISERICORDIAM
PETITIO PRINCIPII
IGNORATIO ELENCHI
TU QUOQUE
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
31
Si bien existen muchas clasificaciones de falacias aquí nos guiaremos por las que
aparecen en el libro Introducción a la Lógica de Copi. Aunque seguiremos su
presentación, en algunos casos presentaremos varias formas del mismo tipo de
falacias. De todas maneras no se pretende un criterio exhaustivo en la
clasificación de falacias sino mostrar las más comunes.
En las falacias la verdad de las premisas no logra garantizar la verdad de la
conclusión. Por supuesto que muchas falacias pueden caer en más de una de las
clases mencionadas. Lo importarte a la hora de explicar una falacia no es sólo
mostrar que eso no es así sino intentar fundamentar por qué razón las premisas
no garantizan la conclusión. Si bien en muchas ocasiones reales la ocurrencia de
falacias está ligada a un interés por mentir, también muchas veces se cometen por
descuido o por falta de cuidado en la reflexión.
1. Falacias de Ambigüedad
Son argumentos deductivos que parecen válidos pero que no lo son porque hay
una modificación en el significado de algunos de los términos. Hay de dos tipos:
1.1. Equívoco
Ocurre cuando la palabra tiene más de un significado y se pasa de un sentido en
las premisas a otro en la conclusión. Suele ser el error más evidente y por ello se
utiliza mucho en el humor. El consabido “Nadie puede arreglar este país. Vote por
Nadie”, utiliza este recurso, tal como los chistes con doble sentido.
Otro ejemplo es cuando se usa un término relacional, que depende del contexto
en dos sentidos diferentes: “Todo hombre grande es un gran hombre”, “un edificio
pequeño es un objeto pequeño”.
Otra forma de caer en el equívoco es cuando se utilizan definiciones que no son lo
suficientemente exhaustivas, generando problemas de clasificación. Una definición
señala que si se cumple la causa, entonces se cumple la consecuencia, pero a la
vez lo otro también vale, es decir, que si se cumple la consecuencia entonces se
cumple la causa. Por lo tanto, cuando la definición es incompleta, impide que
valga lo segundo. Por ejemplo es una falacia concluir que un cuadrado es una
figura que tiene cuatro lados iguales, o que un gato es un animal peludo y con
bigotes.
El término se usa dentro del mismo argumento con dos significados distintos, por
ejemplo:
Sólo el hombre es racional
Ninguna mujer es un hombre
--------------------------------------Luego, ninguna mujer es racional
NERIO VILLALOBOS FINOL
32
LÓGICA PROPOSICIONAL
1.2. Anfibología
Ocurre cuando se utilizan enunciados cuya construcción gramatical los vuelve
ambiguos. Generalmente se trata de expresiones que dan lugar a comentarios
humorísticos, como la solicitud de trabajo que dice “Inútil sin experiencia” o el
aviso de venta de “medias para hombres de lana”.
La anfibología se origina por la ambigüedad estructural o por una ambigüedad
semántica al interpretar un elemento que determina la estructura lógica. Por
ejemplo:
Todo hombre ama a una mujer
Romeo ama a Julieta
---------------------------------------------Luego, todo hombre ama a Julieta
1.3. Acento
Ocurre cuando a partir de darle más peso a algunas palabras del enunciado se
sacan conclusiones que no se darían si se consideran las mismas palabras de otra
manera. Del enunciado “Difícilmente va a llegar a ser un buen jugador de fútbol”
se comete una falacia de acento si se concluye que va a llegar a ser un buen
jugador de fútbol aunque le va a costar mucho trabajo y dificultades.
1.4. Composición
Ocurre cuando se afirma sobre el todo lo que sólo es cierto de las partes, o
cuando se atribuyen propiedades de ciertos elementos a una colección que
contiene esos elementos.
Un ejemplo del primer caso ocurriría si se pretendiera sostener que dado que cada
órgano del cuerpo humano tiene una función específica, entonces el ser humano
tiene una función específica en el mundo. Un ejemplo del segundo caso ocurriría
si se pretendiera que dado que las bombas atómicas generan más muertes que
cualquier otra bomba utilizada en una guerra, las bombas atómicas han causado
más muertos que todo el resto del armamento junto.
1.5. División
Ocurre (al contrario de la de Composición) si a las partes se les adjudican las
propiedades del todo, como si el todo fuera una simple sumatoria de las partes. En
verdad el conjunto de las partes puede tener propiedades que cada parte no
posee por sí sola. Por ejemplo, se cae en esta falacia cuando se atribuyen a las
partes propiedades que valen para el colectivo. Que la Universidad de Harvard
sea famosa no significa que cada persona que estudia o trabaja allí lo sea.
Otro caso de este tipo de falacia se comete cuando algo que vale para una
colección de elementos se atribuye a un elemento de esa colección. Un ejemplo
de lo segundo es que si bien en la Universidad los estudiantes hacen diversas
carreras, eso no significa que cada estudiante estudia diversas carreras.
NERIO VILLALOBOS FINOL
LÓGICA Y COMPUTACIÓN
33
2. Falacias de Datos Insuficientes
Son razonamientos inductivos incorrectos, porque en ellos se presentan las
premisas como base para la generalización, cuando en realidad no la tienen. Este
tipo de falacias son muy comunes cuando generalizamos a partir de sólo varios
casos conocidos. “Todos los hombres son iguales”, es un ejemplo. A menudo, este
tipo de generalizaciones resultan ser meros prejuicios.
2.1. Accidente
Ocurre cuando consideramos como verdadero en particular lo que es verdad en
general. Suele ocurrir esto al manejar equivocadamente los argumentos de tipo
estadístico. Que de cada cinco personas una nazca en China, no significa que
todos aquellos que tienen cinco hijos tienen uno que es chino.
También se cae en esta falacia cuando se afirma una regla general en
circunstancias excepcionales. Del hecho de que no se deba manejar a cierta
velocidad no se extrae que en una circunstancia de peligro, para escapar de un
grupo de asesinos, uno no deba sobrepasar el límite de velocidad permitido.
A veces puede ocurrir que a partir de un enunciado general que es verdadero se
concluya algo que no lo es en el caso particular. Generalmente ocurre por una
confusión de clases. Por ejemplo: “Yo no he matado a ningún ser humano. Todos
los vampiros mueren cuando se les clava una estaca en el corazón. A este
individuo yo le clavé una estaca en el corazón y murió. Así que era un vampiro”.
2.2. Accidente inverso
Ocurre cuando consideramos como verdadero en general algo que sólo es verdad
en ciertos casos particulares. Caen en esta falacia cierto tipo de razonamientos
inductivos. Los razonamientos inductivos siempre pueden fallar al pasar de la
verdad de las premisas a la verdad de la conclusión. Sin embargo una buena
inferencia inductiva puede hacernos pensar que una determinada conclusión
posiblemente sea cierta. Esto ocurre generalmente cuando ciertas afirmaciones
son válidas solo para ciertos grupos y con éste motivo se tratan de hacer
generalizaciones sobre un colectivo más amplio.
Del hecho de que muchos adolescentes consuman alcohol en exceso no se
deduce que todos los adolescentes consumen alcohol en exceso. Tampoco del
hecho de que todos los seres humanos sean mortales puede deducirse que todos
los mortales son seres humanos.
Por otra parte, también se incurriría en esta falacia cuando se aplica una
excepción cuando se debería considerar la regla general, es decir, cuando se
hace de una excepción una regla general, confundiendo una regla general con una
regla absoluta. Una regla absoluta vale para todo individuo en toda ocasión, una
regla general vale para todo individuo, pero solo en circunstancias normales. Por
ejemplo incurriría en esta falacia quien afirmase que “Todos tenemos derecho a
NERIO VILLALOBOS FINOL
34
LÓGICA PROPOSICIONAL
hacer el parcial fuera de fecha porque a ella se lo dejaron hacer porque la
atropelló un auto”.
Muchas veces la generalización es demasiado apresurada debido a una muestra
muy pequeña usada como base de la generalización. Muchas veces este error
ocurre al usarse analogías; están incorrectamente construidas, de manera que
alguno de los componentes tiene componentes que harían improcedente la
asimilación. Es decir, no se apoya en una semejanza relevante o se olvidan
diferencias que impiden la conclusión. Por ejemplo cuando a partir de una cierta
experiencia política se afirma: “Los gobiernos son como violines, se toman con la
izquierda y se tocan con la derecha”.
2.3. La Falsa Causa y la Falsa Prueba
Son razonamientos que apelan a una causa o a una prueba para llegar a una
conclusión con la que no hay una verdadera conexión causal. Por ejemplo:
Fumar es malo para la salud
Me duele un pie
-----------------------------------------Eso me pasa por fumar
Ocurre cuando porque ciertas cosas ocurrieron juntas, o una seguida de la otra,
asumimos que una es causa de la otra, sin atender a otras posibles causas.
Muchas veces esos fenómenos tienen una causa común que los explica. Es
célebre el ejemplo que del hecho de que pueda probarse que en los lugares donde
hay más alta tasa de natalidad hay mayor cantidad de cigüeñas no puede
deducirse que la causa de ello sean, precisamente, las cigüeñas.
A veces también se da una encadenación fantasiosa de causas concluyendo una
transitividad que no vale, por no ser necesaria. Por ejemplo: “Si tomas un trago de
alcohol y te gusta, seguramente tomarás más. Y otro día volverás a beber y cada
vez lo harás más y más frecuentemente hasta que vivirás borracho todo el día”
.
También se causa esta falacia cuando se afirma una causa que aunque
verdadera, resulta insignificante al lado de otras causas que determinan el
fenómeno, o cuando luego de dos eventos ocurre otro y tomamos por causa el
que no lo es. Un ejemplo de esto sería: “Una comida que evite las flatulencias nos
ayudará a disminuir la contaminación ambiental”. Otras veces no es insignificante,
pero sin duda dista de ser la causa principal. Por ejemplo, “Le pegaron tres
balazos en el corazón y al caer hacia atrás tuvo la mala suerte de caer
incrustándose la punta de una reja en la espalda, incrustándosele mortalmente”.
Otras veces se equivoca la relación causal. Sería una falacia de este tipo sostener
que el SIDA ha ido en aumento a causa de la educación sexual, ya que la
educación sexual ha aumentado desde el descubrimiento del SIDA.
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También ocurre que se pone como causa de una conclusión elementos que a
primera vista parecen correctos, pero que excluyen evidencia importante que
puede cambiar el juicio final. Esto pasaría si se afirmara que un boxeador que
lleva diez peleas seguidas ganadas por knock out en el último mes podría ganarle
al campeón de la categoría que ganó las ultimas tres veces por puntos y hace más
de dos meses que no pelea. Claro que las diez victorias podrían ser contra
peleadores mediocres y sin potencial alguno, mientras que es común que un
campeón del mundo defienda su título cada cierto tiempo y que las peleas por el
título sean más parejas.
También incluiremos dentro de esta categoría a la falacia que consiste en creer
que dada una relación causal, si es verdad la consecuencia, entonces lo es la
causa (afirmación de la consecuencia). Es que la consecuencia es una condición
necesaria para que haya ocurrido la causa, pero no es una condición suficiente.
Esto a causa de que la consecuencia se puede deber a otras causas.
Por ejemplo caería en esta falacia quien luego de establecer que si se comen
sustancias nocivas, entonces se tendrá un malestar de salud, afirmara que porque
se tiene un malestar de salud es que se han ingerido sustancias nocivas. Otro
ejemplo de este tipo de errores, pero un poco más complejo en su construcción se
da cuando de un grupo se afirman dos propiedades y luego se pretende que
cualquiera que tenga una propiedad tendrá la otra. Por ejemplo: “Si una persona
es decente, entonces paga sus impuestos y si una persona es decente, entonces
jamás robará. Por lo tanto si alguien paga los impuestos, jamás robará”.
Otra forma de hacer una falacia de este tipo es cuando establecida una relación
causal, al no ocurrir la causa, eso significa que no ocurrirá la consecuencia
(negación de la causa). Esto pierde de vista que bien podría ocurrir que la causa
no fuera la única que da origen a esa consecuencia Se confunde una causa
suficiente (compatible con otras causas suficientes) con una causa necesaria (sin
la cual no se produce el efecto). Por ejemplo incurriría en esa falacia quien dijera:
“Mira, no sé adonde hemos llegado pero de seguro no es Europa. Barcelona está
en Europa y te aseguro que esta ciudad no es Barcelona”.
2.4. Pregunta compleja
Ocurre cuando se hace una pregunta tal que se presupone la verdad de lo que se
pregunta. Por lo tanto la respuesta, sea cual sea, siempre confirmará lo
preguntado. El truco está en que se formulan varias preguntas en una.
Generalmente esto va acompañado de la petición de responder sí o no.
Generalmente toma la forma de una pregunta doble y la falacia se evitaría
haciendo las dos preguntas por separado. Por ejemplo si alguien preguntara a otra
persona, supongamos en un juicio, si es verdad o no que su adicción al alcohol lo
llevó a robar dinero de la empresa. Si el interrogado sólo dijera no, podría su
interrogante querer afirmar que es adicto al alcohol.
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3. Falacias de Pertinencia
A menudo, son meros argumentos retóricos que tienen el objetivo de convencer a
alguien apelando a argumentos o razones que no son lógicamente pertinentes.
Entre las más comunes podemos destacar las siguientes:
3.1. Argumento por la Ignorancia (Ad Ignorantiam)
Esta falacia ocurre cuando la única razón que se da para afirmar algo es que no
hay todavía, o incluso porque es imposible establecer, una prueba en contrario. Se
basan en el desconocimiento o en la carencia de refutación para afirmar una
aserción, que, en estas circunstancias, no sería confirmada. Por ejemplo, Nadie ha
podido refutar la existencia de Dios, por lo tanto tiene que existir, o quien afirmara
que Dios no existe porque tampoco hay todavía prueba en contrario. Otro ejemplo:
“Gané el premio porque hice control mental para atraer cosas positivas en mi
vida”.
Algunas veces ocurre que se pretende probar algo citando como razón a favor
nada más que el hecho de que eso ha ocurrido y se hace imposible demostrar que
no ocurrió por esas causas: “Tú fuiste a la biblioteca para encontrarte con Ana, a
mi no me engañas”.
3.2. Apelación inapropiada a la Autoridad (Ad Verecumdiam)
Se comete esta falacia cuando se toma como garantía o bien la opinión de alguien
no calificado en el tema o cuando se acude a alguien profesionalmente adecuado
pero que puede dar una opinión sobre un asunto ajeno a su área de estudio. Se
aprovechan de la autoridad intelectual o del prestigio de alguien para derivar una
conclusión. Éstas tienen la siguiente estructura: “A afirma p. Por tanto, p.
Es frecuente en publicidad encontrar que se propone que determinado producto es
bueno solo porque alguien famoso lo dice. Y no pocas veces algunas personas
sostienen que tal o cual opinión es la correcta sólo porque tal o cual periodista o
analista de televisión o radio la dijeron. Bastantes veces ocurre que se pretende
asegurar la necesidad de tomar determinadas medidas económicas sólo porque lo
dicen algunos economistas que ocupan puestos importantes o de los que se pide
la consideración de inteligentes. Incluso a veces se olvida que alguien puede
saber hacer algo y tener opiniones equivocadas o injustificadas acerca de cómo se
hace; esto es común cuando se cita a artistas como garantía de que tal o cual
producto artístico es mejor que otros o de que el proceso creativo es de tal o cual
manera.
Pensemos en la falacia de la siguiente afirmación: “Si el Premio Nóbel en
Literatura, hombre de reconocida trayectoria intelectual y de profundos
conocimientos, dice que en la quinta carrera del domingo hay que jugarle al
caballo número cinco, es que hay que jugarle al número cinco”.
Muchas veces, en particular los periodistas, dan como ciertas informaciones sin
poder tener control de la fuente y las dan por confirmadas solo porque la fuente
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tiene reputación de importante. Supongamos que una revista especializada en
economía señala que la empresa X está segunda en la lista de las más
importantes del mundo a nivel de producción y facturación. No hay ningún
problema en decir que tal fuente afirma eso. Pero se comete una falacia si se
afirma algo como: “Es indiscutible. La empresa x es la segunda en importancia en
el mundo a nivel de producción y facturación. La revista tal lo afirma claramente”.
Otra variante de esto es la apelación a rumores o a fuentes anónimas. Es claro
que muchas veces no se cita a las fuentes para salvaguardar el canal de
información, pero la falacia ocurre en que se afirme que algo es verdad porque lo
dice tal o cual fuente, cuando no puede ser comprobado eso que se dice.
3.3. Argumento contra el Hombre (Ad Hominem)
Ocurre cuando no se ataca a los argumentos del oponente sino a las
características personales (nacionalidad, religión, ética, etc.) del que argumenta.
Podemos atacar o desprestigiar la capacidad argumentativa del que presenta la
opinión, pero sin presentar razones contra la opinión en sí. Por ejemplo, cuando
decimos en tono despectivo aquello de “si tú lo dices…”.
Muchas veces, incluso, ocurre que se señala que lo que alguien dice es falso sólo
porque si fuera verdadero él sacaría una ventaja de ello (el caso extremo –pero
que sirve para mostrar hasta donde puede llevar una postura así- es el de un
abogado acusador que sostuviera: “El acusado miente cuando dice que es
inocente porque sabe que si le creyéramos saldría libre”. También se comete esta
falacia cuando se ataca lo que alguien dice porque quien lo dice no se comporta
de esa manera.
Hay otra falacia que habitualmente se llama falacia del espantapájaros y que
podría incluirse en esta categoría. Ocurre cuando se reconstruye un argumento
opuesto y se combate contra sus razones más débiles creyendo con eso haber
desmantelado todo el argumento. Incurriría en esa falacia quien sostuviera: “¿Qué
puede llevar a que alguien se oponga a la venta de las Empresas Públicas? Sin
duda que hay un altísimo componente de nostalgia porque todos hemos crecido
en un país orgulloso de sus Empresas Públicas. Ese era el país de nuestros
padres y de los padres de nuestros padres. Pero madurar implica dejar la
nostalgia y tener una visión realista de la vida. La nostalgia no nos va a ayudar a
sacar adelante el país y la venta propuesta, sí.”
3.4. Apelación a la fuerza (Ad Baculum)
Ocurre cuando se abandona toda razón para fundamentar algo y se pasa
directamente a la alusión más o menos velada de que tal cosa debe hacerse
porque quien tiene el poder para sancionar lo hará si eso no se hace. Es decir, no
hay argumento a favor sino una amenaza contra quien use un argumento en
contra. Apelan al poder o la autoridad para fundamentar una opinión. Expresiones
de este tipo serían: “¿Por qué? Porque lo digo yo” o “Debes arreglar tu habitación
ahora porque si no tendrás prohibido salir el fin de semana”.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
3.5. Apelación a la emoción (Ad Populum)
Ocurre cuando en vez de presentar verdaderas pruebas para garantizar lo que se
quiere concluir, lo que se hace es movilizar al interlocutor por medio de la
sensibilidad. Apelan a emociones que conmueven no por su fuerza lógica sino por
su capacidad retórica.
Es muy común tanto en publicidad como en política. “Llegó la bebida joven.
Búscala ya” o “Hemos apoyado esta medida porque nos parece que el país exige
de todos una muestra de entrega y de patriotismo”
A veces esto puede hacerse aduciendo consecuencias desagradables de que algo
sea verdad. “La evolución no puede ser cierta porque entonces corremos peligro
de en algún momento, como especie, desaparecer y no haber sido más que un
momento en la historia.”
Muchas veces se enjuicia negativamente a un supuesto opositor a lo que decimos,
como paso de evitar que alguien tome esa alternativa. Un ejemplo sería: “Sólo
alguien que no estuviera comprometido con el bienestar de la gente y del país
podría negarse a votar esta ley”.
3.6. Apelación a la piedad (Ad Misericordiam)
Ocurre cuando las emociones de piedad y altruismo son las emociones principales
a las que se apela. Se trata de que se crea lo que se dice porque quien lo dice
está o estaría, si no se le cree, en una situación lastimosa. “No voy a hablar ahora
de todo el dolor que he padecido, de toda mi entrega, de las cosas que he
postergado por este proyecto que someto a vuestra aprobación...”
3.7. Petición de Principio (Petitio Principii)
Ocurre porque la verdad de la conclusión se asume en las premisas. Parece muy
fácil de evitar, pero muchas veces las premisas están expresadas de tal manera
que parecen querer decir algo diferente de lo que se quiere probar, aunque un
análisis más atento demostraría que quieren decir lo mismo. Por supuesto que, en
términos estrictos, un argumento de estas características siempre es válido pero lo
es trivialmente. Pero es una falacia, porque no explica nada. Es como si se dijera,
si tal cosa ocurre entonces tal cosa ocurre.
“Un buen libro siempre es bueno para el alma, porque el espíritu siempre se
beneficia con la buena literatura”.
Emparentado con esto está lo que se llama definición circular, donde aquello
que se define forma parte de la definición. Por ejemplo: “Un individuo es humano
si y solo si tiene padres humanos”.
3.8. Tu Quoque
Es un tipo de argumento muy utilizado, no sólo en deducciones lógicas sino
también en excusas del deber o en defensa de la culpa. Tu quoque significa “tú
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también” y es la idea de poder excusarse, acusando a quien acusa. Produce
actitudes tan singulares como cuando todos hablan en clase, yo también me creo
en el derecho de hablar.
3.9. Conclusión Inatinente (Ignoratio Elenchi)
Si bien en el fondo ninguna falacia prueba lo que quiere, este término se utilizará
para designar a otro tipo de falacias de pertinencia que no caigan dentro de las
clasificaciones anteriores. Un ejemplo de ellos sería: “Es necesario apoyar este
paquete de medidas económicas porque es necesario tomar una serie de medidas
económicas para mejorar la economía, reducir el déficit fiscal y generar más
trabajos”. Esta es una manera de desviar la cuestión y no probar lo que se
pretende sino que se acepten otros valores que todos consideran como buenos.
Por ejemplo, también se incurre en una falacia de ignoratio elenchi cuando se
tienen dos premisas negativas, de las cuales no puede haber conclusión. Por
ejemplo: “Ningún ser humano es un simio y ningún simio habla. Por lo tanto ningún
ser humano habla”.
Se puede incluir aquí la falacia de la afirmación gratuita, donde quien habla saca
una conclusión sin que se dé razones para ello. Generalmente es una actitud de
no querer aceptar causa en contrario. “No solo los seres humanos, también los
animales tienen derechos”. Generalmente se llama a esa premisa eludir la carga
de la prueba, lo cual es una forma de eludir la cuestión.
Otra falacia es cuando se asume que pequeñas diferencias son irrelevantes en
una serie continua de sucesos. Supone creer que los extremos son lo mismo y
que cualquier diferencia que se pretenda hacer en el medio, es arbitraria. Por
ejemplo: “Si un grano no es un montón, y si agrego un grano de arroz tampoco es
un montón y si agrego otro tampoco, entonces nunca hay un montón de granos de
arroz”.
También es una falacia proponer una alternativa no exhaustiva y al rechazar una
de las alternativas, creer que es la otra la que queda afirmada. Una verdadera
alternativa debe darse entre términos que sean exhaustivos y excluyentes. Por
ejemplo “Las personas pueden ser todas altas o todas narigudas. Como no son
todas altas, entonces son todas narigudas"”
Puede citarse como parte de esta falacia aquellos casos en que las premisas que
se usan para explicar tienen que ver con la clasificación pero no con la causalidad.
Por ejemplo: “A mi perro le gustan los huesos porque es perro”. Claro que ello se
sustenta en que a todos los perros le gustan los huesos, pero eso no explica por
qué.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
PARADOJAS
Una paradoja, a veces también llamada aporía, es una proposición o argumento
que no tiene una solución definitiva. Si optamos por una posible solución entonces
parece transformarse y convertirse en lo contrario. Esto nos llevar a concluir que
existen verdades que no se pueden demostrar. De algún modo, esto subvierte la
intuición de sentido común de que las oraciones o razonamientos son o
verdaderos o falsos. Una paradoja es un tipo de argumento que ¡si es verdadero
entonces es falso!
Existen muchos tipos de paradojas, que no son triviales sino que suponen serios
problemas a teorías tan aparentemente sólidas como la matemática o la lógica. Un
buen y antiguo ejemplo de paradoja semántica es la famosa paradoja de
Epiménides, que podemos formular como: “Esta oración es falsa” o “Estoy
mintiendo”. ¿Es verdad que la oración es falsa? ¿Es verdad que miento? Pero, si
es verdad que miento, entonces no miento. Luego, si es verdad esta aseveración,
entonces es falsa. Estas paradojas semánticas se producen cuando nos referimos
en la misma afirmación a dos mundos distintos, de tal manera, que en uno la
oración es verdadera y en el otro falsa.
Otra famosa paradoja minó desde sus orígenes la teoría de conjuntos. La formula
Russell de la siguiente manera: Un conjunto es una colección de cosas.
Normalmente el conjunto completo no forma parte de sí mismo. Pero si decidimos
unir en un conjunto a todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo,
obtendríamos el conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo,
pero este conjunto, ¿forma parte de sí mismo o no? No debería, pero si es el
conjunto de todos los conjuntos de este tipo, entonces debería estar incluido en sí
mismo.
¿Qué pasa con los barberos que no se afeitan a sí mismo? Si existen estos
barberos habrá alguien que los afeite. Imaginemos que es uno sólo. El barbero de
todos los barberos que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo? Si no lo
hace, estará dentro del grupo al que afeita y entonces se afeitará a sí mismo, y si
no está, entonces no se afeita a sí mismo y debería, por consiguiente, formar parte
del conjunto. Difícil tarea tiene este barbero, quizá sea mejor dejarse la barba.
Otra famosa paradoja, es la de Zenon, aunque en este caso quizá sea una aporía,
es decir, un argumento problemático, pues pareciendo perfectamente correcto y
sin tacha, produce un resultado completamente inadmisible.
Zenon de Elea, discípulo de Parménides es conocido fundamentalmente por sus
aporías o paradojas sobre el movimiento. Fiel a su maestro Parménides, intentaba
negar la posibilidad del movimiento, para lo cual construyó sus aporías. La más
famosa es la de Aquiles y la Tortuga: Si Aquiles retara a una carrera a una tortuga,
dándole ventaja, Aquiles no la alcanzaría nunca. Porque para cuando Aquiles
llegara al lugar alcanzado por la Tortuga, ésta ya se habría desplazado hacia
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delante, y para cuando Aquiles llegara al nuevo lugar alcanzado por la Tortuga,
ésta de nuevo habría avanzado otro tanto. En esta persecución, la Tortuga
alcanzaría la meta siempre antes que Aquiles, aunque fuera por poco.
En principio, este argumento contra el movimiento y otros semejantes que se le
ocurrieron parecen definitivos y sólo hasta que la matemática moderna ha
comprendido la idea de límite de una sucesión decreciente ha podido disolverse la
aporía. Comprendemos que la noción de aporía es un problema que se presenta
al comparar lo que debería ocurrir según la razón y lo que ocurre en los hechos
reales.
Podemos mencionar otra paradoja de tipo distinto. La relata Proclos, quien
contaba que Protágoras, un sofista ilustre de la Atenas democrática, había
enseñado a un discípulo lo que era justo para que fuera un buen abogado y había
pactado con él que no tenía que pagarle los estudios hasta que hubiera ganado un
pleito. Pero el discípulo, al acabar los estudios, no se hace cargo de ningún
proceso para no ganarlo y así tener que pagarle a Protágoras. Pero éste razona y
decide demandarlo. Si pierde – piensa Protágoras – el discípulo le tendrá que
pagar según el acuerdo, y si gana cobrará por mandato del juez. El discípulo,
curiosamente, piensa que en ningún caso tendrá que pagar el costo de sus
estudios: bien por el acuerdo tomado, o bien por la sentencia judicial.
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