FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 25 página 26 Instituto Valladolid Preparatoria 2 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS 2.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No existen tablas para ángulos mayores de 90 grados. Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, o el coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonométrica mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mismo, los valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cuadrante. Así, el valor del seno de 135 es sen 135 = 0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, lo que puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45 se repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener el valor del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente. Hay que tomar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje x positivo, avanzando en el sentido de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados respecto de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de las funciones mayores de 90 grados. Recordar que se le llama ángulo obtuso al mayor de 90º y menor que 180º; se le llama ángulo cóncavo al mayor de 180º y menor de 360º . Reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como "reducir la función desde un ángulo obtuso o cóncavo a un ángulo agudo". En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio de ciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45. La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: La función trigonométrica para un ángulo obtuso o cóncavo (más de 90o) equivale a la función del ángulo agudo que se forma en el cuadrante correspondiente al ángulo obtuso o cóncavo original. FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 27 Esto significa que existen siempre dos ángulos equivalentes al ángulo obtuso o cóncavo original, como puede verse en la figura 2.1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reducciones deben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: respecto del eje x o respecto del eje y . En todos los casos se tienen dos ángulos: * Un ángulo obtuso o cóncavo (el ángulo original). * Un ángulo agudo, respecto de x o respecto de y (el ángulo reducido). Ver la figura 2.1. Por otra parte, con la calculadora puede comprobarse que si el seno de 225 es sen 225 = − 0.707106781 numéricamente es el mismo que el seno de 45, solamente que cambiado de signo. Esto hace ver que las funciones trigonométricas de más de 90 grados, además de corresponder su valor a una función que esté entre 0 y 90 grados, algunas son positivas y otras negativas. El proceso de reducción consta de 2 pasos: * el signo de la función , * la función equivalente, entre 0o y 90o. 2.2 SIGNOS DE LAS FUNCIONES Cada función trigonométrica, dependiendo del cuadrante en el que estén, tiene un signo, ya sea positivo o negativo. Se parte de las definiciones de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, que son: figura 2.1 página 28 Instituto Valladolid Preparatoria seno = cateto opuesto hipotenusa tangente = cateto opuesto cateto adyacente cotangente = cateto adyacente cateto opuesto secante = hipotenusa cateto adyacente cosecante = coseno = ; cateto adyacente hipotenusa hipotenusa cateto opuesto figura 2.2 las cuales son, respecto de la figura 2.2: sen θ = y r ; cos θ = x r ; tan θ = y x cot θ = x y ; sec θ = r x ; csc θ = r y SEGUNDO CUADRANTE Conforme a la figura 2.3, se ve que en el segundo cuadrante x es negativa y y positiva (r siempre es positiva), de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden deducir los signos que les corresponden a cada una de las funciones trigonométricas, de lo que se obtiene: sen θ = +y = + +r +y tan θ = _ = _ x ; cos θ = _x = _ +r ; cot θ = _x = _ +y figura 2.3 +r sec θ = _ = _ x ; csc θ = +r = + +y FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 29 TERCER CUADRANTE Conforme a la figura 2.4, se ve que en el tercer cuadrante x es negativa y y negativa (r siempre es positiva), de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma: ; _x cos θ = = _ +r _y tan θ = _ = + x ; _x cot θ = _ = + y +r _ sec θ = _ = x ; +r csc θ = _ = _ y _y sen θ = = _ +r figura 2.4 CUARTO CUADRANTE Conforme a la figura 2.5, se ve que en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa (r siempre es positiva), de manera que aplicando las definiciones anteriores se pueden obtener los signos de la siguiente forma: sen θ = _y = _ +r ; cos θ = tan θ = _y _ = +x ; +x cot θ = _ = _ y sec θ = +r = + +x ; +r _ csc θ = _ = y +x = + +r figura 2.5 Resumiendo, los signos de las seis funciones trigonométricas en cada cuadrante se muestran en la siguiente tabla, en donde puede apreciarse que se cumple una especie de ley de la herradura, es decir que el signo del seno es el mismo que el signo de la cosecante en cualquier cuadrante; el signo del coseno es el mismo que el signo de la secante en cualquier cuadrante y el signo de la tangente es el mismo que el signo de la cotangente en cualquier cuadrante: página 30 2.3 Instituto Valladolid Preparatoria FUNCIÓN EQUIVALENTE Conviene en este momento recordar dos cosas: una, que reducir una función trigonométrica de más de 90o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como "reducir el ángulo obtuso a un ángulo agudo". La otra, que el proceso de reducción consta de dos pasos: hallar el signo de la función y luego la función equivalente. El proceso de reducción consiste en: a) Asignar el signo de la función, de acuerdo al cuadrante en que esté (ver la tabla anterior), y b) tomar la función equivalente con el correspondiente ángulo reducido, es decir, con el correspondiente ángulo agudo. Es importante distinguir entre la función equivalente y el valor numérico de la función. Por ejemplo, si sen 135 = sen 45 = 0.7077106781 , se dice que para el sen 135 su función equivalente es sen 45 , en cambio el valor numérico de sen 135 es 0.707106781. Cuando se hace o se pide hacer una reducción, lo que importa solamente es la función equivalente, no el valor numérico de la función. FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 31 Ese ángulo equivalente reducido, o sea el equivalente entre 0º y 90º, puede estar tomado hacia el eje x o hacia el eje y. Cuando se hace hacia el eje X se dice que la reducción se hace por medio del eje x; de la misma forma, si el ángulo equivalente reducido que viene en tablas, se toma hacia el eje Y , se dice que la reducción se hace por medio del eje y. 2.3.1 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE X EN EL PRIMER CUADRANTE Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas, menores de 90o. EN EL SEGUNDO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.6, es decir, el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que es el original y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. Ángulo agudo equivalente al original De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: sen 2 = + cos 2 = ! tan 2 = ! cot 2 = ! sec 2 = ! csc 2 = + Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 180 - En el segundo cuadrante sen (180 ! 2) cos (180 ! 2) tan (180 ! 2) cot (180 ! 2) sec (180 ! 2) csc (180 ! 2) sen 114 cos 133 tan 98 sec 169 csc 136 = = = = = Ángulo obtuso (original) Ángulo equivalente reducido por el eje X figura 2.6 + ! ! ! ! sen (180 ! 114) cos (180 ! 133) tan (180 ! 98) sec (180 ! 169) csc (180 ! 136) Recuérdese que 2 representa al ángulo obtuso original. = = = = = + ! ! ! + sen 66 cos 47 tan 82 sec 11 csc 44 página 32 Instituto Valladolid Preparatoria EJERCICIO 4 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = sen (180 ! 125) = sen 55 . 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 174 sen 144 sen 121 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 159 cos 171 cos 139 9) 10) 11) 12) tan 100 tan 108 tan 129 tan 147 13) 14) 15) 16) cot 102 cot 154 cot 122 cot 172 17) 18) 19) 20) sec 119 sec 109 sec 171 sec 130 21) 22) 23) 24) csc 117 csc 131 csc 176 csc 143 25) 26) 27) 28) csc 124 cos 120 sen 128 cot 133 29) 30) 31) 32) tan 139 sec 166 csc 160 cot 122 EN EL TERCER CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.7, es decir, el ángulo obtuso (de más de 90 grados) que es el original y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: sen 2 = cos 2 = tan 2 = cot 2 = sec 2 = csc 2 = ! ! + + ! ! sen (2 ! 180) cos (2 ! 180) tan (2 ! 180) cot (2 ! 180) sec (2 ! 180) csc (2 ! 180) Ángulo agudo equivalente al original Ángulo obtuso (original) - 180 Ángulo equivalente reducido por el eje X En el tercer cuadrante figura 2.7 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 214 cos 233 tan 198 sec 269 csc 183 página 33 = = = = = ! ! + ! ! sen (214 ! 180) cos (233 ! 180) tag (198 ! 180) sec (269 ! 180) csc (183 ! 180) = = = = = ! ! + ! + sen 34 cos 53 tan 18 sec 89 csc 3 EJERCICIO 5 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino el proceso de reducción que es: sen 228 = ! sen (228 ! 180) = ! sen 48 . 1) 2) 3) 4) sen 205 sen 194 sen 244 sen 251 5) 6) 7) 8) cos 219 cos 199 cos 261 cos 239 9) 10) 11) 12) tan 190 tan 208 tan 244 tan 217 13) 14) 15) 16) cot 193 cot 205 cot 259 cot 245 17) 18) 19) 20) sec 219 sec 199 sec 231 sec 239 21) 22) 23) 24) csc 197 csc 191 csc 256 csc 183 25) 26) 27) 28) csc 224 sen 200 tan 188 tan 233 29) 30) 31) 32) sec 261 cos 230 cot 251 csc 258 EN EL CUARTO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.8, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) 360 Ángulo equivalente reducido por el eje X En el cuarto cuadrante figura 2.8 página 34 Instituto Valladolid Preparatoria sen 2 = ! sen (360 ! 2) cos 2 = + cos (360 - 2) tan 2 = ! tan (360 - 2) cot 2 = ! cot (360 - 2) sec 2 = + sec (360 - 2) csc 2 = ! csc (360 ! 2) Recuérdese que 2 representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 294 cos 283 tan 298 cot 316 sec 330 = = = = = ! + ! ! + sen (360 ! 294) cos (360 ! 283) tan (360 ! 298) cot (360 ! 316) sec (360 ! 330) = = = = = ! + ! ! + sen 66 cos 77 tan 62 cot 44 sec 30 EJERCICIO 6 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje X , escribiendo el procedimiento paso por paso. 1) 2) 3) 4) sen 275 sen 294 sen 344 sen 351 5) 6) 7) 8) cos 319 cos 299 cos 321 cos 315 9) 10) 11) 12) tan 290 tan 308 tan 344 tan 317 13) 14) 15) 16) cot 272 cot 299 cot 306 cot 344 17) 18) 19) 20) sec 319 sec 359 sec 310 sec 289 21) 22) 23) 24) csc 297 csc 281 csc 276 csc 313 25) 26) 27) 28) csc 324 tan 300 sen 348 cos 333 29) 30) 31) 32) cot 359 sec 333 sec 302 sen 322 EJERCICIO 7: (generales) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el primer cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el segundo cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el tercer cuadrante. Deducir los signos de las funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante. Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje X. Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje X. Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje X. FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 35 Reducir las siguientes funciones por medio del eje X: 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 194 sen 244 sen 321 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 199 cos 271 cos 309 9) tan 100 10) tan 208 11) tan 299 12) tan 347 13) 14) 15) 16) sen 105 tan 243 csc 201 cos 339 17) 18) 19) 20) cot 119 cot 199 cot 271 cot 309 21) 22) 23) 24) sec 117 sec 191 sec 276 sec 343 25) 26) 27) 28) csc 124 csc 200 csc 288 csc 333 29) 30) 31) 32) cot 97 sec 184 tan 275 cot 347 33) 34) 35) 36) sen 123 sen 199 sen 249 sen 332 37) 38) 39) 40) cos 128 cos 194 cos 275 cos 308 41) 42) 43) 44) tan 105 tan 238 tan 288 tan 340 45) 46) 47) 48) cos 100 sec 200 cot 300 csc 316 49) 50) 51) 52) cot 117 cot 196 cot 276 cot 329 53) 54) 55) 56) sec 118 sec 193 sec 277 sec 348 57) 58) 59) 60) csc 127 csc 230 csc 291 csc 330 61) 62) 63) 64) tan 35 sen 61 cos 77 cot 12 2.3.2 REDUCCIONES POR MEDIO DEL EJE Y COFUNCIONES Se dice que la reducción se hace por medio del eje Y cuando el ángulo reducido es respecto del eje Y, como lo muestra la figura 2.1 de la página 27. En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90 grados, de manera que si uno de ellos es 2, el otro será (90 ! 2). Ver figura 2.9. En esa misma figura 2.9 se puede observar que las seis funciones trigonométricas del ángulo 2 son: sen θ = y r ; cos θ = x r tan θ = y x ; cot θ = x y r 90 θ θ x sec θ = r x ; csc θ = mientras que las del ángulo (90 ! 2) son: r y figura 2.9 y página 36 Instituto Valladolid Preparatoria sen ( 90 − θ ) = x ; r cos ( 90 − θ ) = y r tan ( 90 − θ ) = x ; y cot ( 90 − θ ) = y x sec ( 90 − θ ) = r ; y csc ( 90 − θ ) = r x de aquí se ve que las siguientes funciones son iguales: sen 2 = cos (90 ! 2) cos 2 = sen (90 ! 2) tan 2 = cot (90 ! 2) cot 2 = tan (90 ! 2) sec 2 = csc (90 ! 2) csc 2 = sec (90 ! 2) Las funciones anteriores que son iguales se llaman cofunciones 1, es decir, el seno y el coseno son cofunciones; la tangente y la cotangente son cofunciones; la secante y la cosecante son cofunciones. figura 2.10 En otras palabras, el seno de un ángulo 2 medido respecto del eje X es igual al coseno del ángulo (90 ! 2) medido respecto del eje Y. Lo mismo puede afirmarse de la tangente de un ángulo 2 medido respecto del eje X que es igual a la cotangente del ángulo (90 ! 2) medido respecto del eje Y. De la secante y la cosecante también. Ver figura 2.10. Esta es la clave para la siguiente regla: En toda reducción por medio del eje Y, la función trigonométrica a reducir cambia a su respectiva cofunción. 1 El prefijo co viene de la preposición latina cum, que significa con y se emplea en el idioma Español para dar idea de algo que actúa junto con... conjuntamente... en común. Por ejemplo, la palabra codirector significa director con otro; la palabra coincidir significa incidir al mismo tiempo. Así, las cofunciones tienen en común la misma relación de dos lados del triángulo; por ejemplo, el seno de θ y el coseno de (90 - θ) tienen en común ser iguales a la relación y/r. FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 37 El proceso de reducción por medio del eje Y es semejante al que se hace por medio del eje X , es decir, primero se pone el signo que le corresponde a esa función de acuerdo al cuadrante en el que esté y luego se busca el valor numérico. EN EL PRIMER CUADRANTE Las funciones trigonométricas en el primer cuadrante no se reducen pues ya son, por sí solas, menores de 90o. EN EL SEGUNDO CUADRANTE Ángulo agudo equivalente al original Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.11, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. Ángulo equivalente reducido por el eje Y - 90 Ángulo obtuso (original) De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 90 y 180 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: En el segundo cuadrante figura 2.11 sen 2 = + cos (2 ! 90) cos 2 = ! sen (2 ! 90) tan 2 = ! cot (2 ! 90) cot 2 = ! tan (2 ! 90) sec 2 = ! csc (2 ! 90) csc 2 = + sec (2 ! 90) Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 114 cos 133 tan 98 sec 169 csc 136 = = = = = + ! ! ! + cos (114 ! 90) sen (133 - 90) cot ( 98 - 90) csc (169 - 90) sec (136 - 90) = = = = = + ! ! ! + cos 24 sen 43 cot 8 csc 79 sec 46 Recuérdese que θ representa al ángulo obtuso original de más de 90 grados. página 38 Instituto Valladolid Preparatoria EJERCICIO 8 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 125 no interesa que valga 0.819152, sino el proceso de reducción que es: sen 125 = + cos (125 ! 90) = + cos 35 . 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 174 sen 144 sen 121 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 159 cos 171 cos 139 9) 10) 11) 12) tan 100 tan 108 tan 129 tan 147 13) 14) 15) 16) cot 102 cot 154 cot 122 cot 172 17) 18) 19) 20) sec 119 sec 109 sec 171 sec 130 21) 22) 23) 24) csc 117 csc 131 csc 176 csc 143 25) 26) 27) 28) csc 124 cos 120 sen 128 cot 133 29) 30) 31) 32) tan 139 sec 166 csc 160 cot 122 EN EL TERCER CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.12, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 180 y 270 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) 270 - Ángulo equivalente reducido por el eje Y En el tercer cuadrante sen 2 = ! cos (270 ! 2) cos 2 = ! sen (270 ! 2) tan 2 = + cot (270 ! 2) cot 2 = + tan (270 ! 2) sec 2 = ! csc (270 ! 2) csc 2 = ! sec (270 ! 2) figura 2.12 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 214 cos 233 tan 198 sec 269 csc 183 = = = = = ! ! + ! ! página 39 cos (270 - 214) sen (270 - 233) cot (270 - 198) csc (270 - 269) sec (270 - 183) = = = = = ! ! + ! ! cos 56 sen 37 cot 72 csc 1 sec 87 EJERCICIO 9 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 228 no interesa que valga ! 0.743144825, sino el proceso de reducción que es: sen 228 = ! cos (270 ! 228) = ! cos 42 . 1) 2) 3) 4) sen 205 sen 194 sen 244 sen 251 5) 6) 7) 8) cos 219 cos 199 cos 261 cos 239 9) 10) 11) 12) tan 190 tan 208 tan 244 tan 217 13) 14) 15) 16) cot 193 cot 205 cot 259 cot 245 17) 18) 19) 20) sec 219 sec 199 sec 231 sec 239 21) 22) 23) 24) csc 197 csc 191 csc 256 csc 183 25) 26) 27) 28) csc 224 sen 200 tan 188 tan 233 29) 30) 31) 32) sec 261 cos 230 cot 251 csc 258 EN EL CUARTO CUADRANTE Inicialmente se tienen los dos ángulos citados, como se muestra en la figura 2.13, es decir, el ángulo obtuso original (de más de 90 grados) y un ángulo agudo (menor de 90 grados) que es el ángulo reducido correspondiente, o al que se debe reducir. De manera que las fórmulas correspondientes, o sea las funciones reducidas para ángulos comprendidos entre 270 y 360 grados, donde 2 representa el ángulo obtuso original, son: Ángulo obtuso (original) -2 70 Ángulo equivalente reducido por el eje Y En el cuarto cuadrante figura 13 página 40 Instituto Valladolid Preparatoria sen 2 = ! cos (2 ! 270) cos 2 = + sen (2 ! 270) tan 2 = ! cot (2 ! 270) cot 2 = ! tan (2 ! 270) sec 2 = + csc (2 ! 270) csc 2 = ! sec (2 ! 270) Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen 294 cos 283 tan 298 cot 316 sec 330 = = = = = ! + ! ! + cos (294 - 270) sen (283 - 270) cot (298 - 270) tan (316 - 270) csc (330 - 270) = = = = = ! + ! ! + cos 24 sen 13 cot 28 tan 46 csc 60 CONCLUSIONES: Cuando la reducción se hace por medio del eje X: 1) La función trigonométrica se conserva. 2) Se utilizan los valores de 180 y 360 . Cuando la reducción se hace por medio del eje Y: 1) La función trigonométrica cambia a su cofunción. 2) Se utilizan los valores 90 y 270 . EJERCICIO 10 Reducir las siguientes funciones trigonométricas por medio del eje Y , escribiendo el procedimiento paso por paso. NOTA: En todos estos ejercicios de reducción el alumno debe desarrollar el procedimiento de reducción como en los ejemplos mostrados, pero no debe anotar el valor numérico, ya que eso no es lo que interesa, porque, entre otras cosas, ese valor lo puede simplemente copiar de una calculadora. Por ejemplo, para sen 328 no interesa que valga ! 0.529919264, sino el proceso de reducción que es: sen 328 = ! cos (328 ! 270) = ! cos 58 . FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 41 1) 2) 3) 4) sen 275 sen 294 sen 344 sen 351 5) 6) 7) 8) cos 319 cos 299 cos 321 cos 315 9) 10) 11) 12) tan 290 tan 308 tan 344 tan 317 13) 14) 15) 16) cot 272 cot 299 cot 306 cot 344 17) 18) 19) 20) sec 319 sec 359 sec 310 sec 289 21) 22) 23) 24) csc 297 csc 281 csc 276 csc 313 25) 26) 27) 28) csc 324 tan 300 sen 348 cos 333 29) 30) 31) 32) cot 359 sec 333 sec 302 sen 322 EJERCICIO 11: (generales) 1) Deducir las fórmulas de reducción en el segundo cuadrante por medio del eje Y. 2) Deducir las fórmulas de reducción en el tercer cuadrante por medio del eje Y. 3) Deducir las fórmulas de reducción en el cuarto cuadrante por medio del eje Y. Reducir las siguientes funciones por medio del eje Y: 1) 2) 3) 4) sen 105 sen 194 sen 244 sen 321 5) 6) 7) 8) cos 119 cos 199 cos 271 cos 309 9) 10) 11) 12) tan 100 tan 208 tan 299 tan 347 13) 14) 15) 16) sen 105 tan 243 csc 201 cos 339 17) 18) 19) 20) cot 119 cot 199 cot 271 cot 309 21) 22) 23) 24) sec 117 sec 191 sec 276 sec 343 25) 26) 27) 28) csc 124 csc 200 csc 288 csc 333 29) 30) 31) 32) cot97 sec 184 tan 275 cot 347 33) 34) 35) 36) sen 123 sen 199 sen 249 sen 332 37) 38) 39) 40) cos 128 cos 194 cos 275 cos 308 41) 42) 43) 44) tan 105 tan 238 tan 288 tan 340 45) 46) 47) 48) cos 100 sec 200 cot 300 csc 316 49) 50) 51) 52) cot 117 cot 196 cot 276 cot 329 53) 54) 55) 56) sec 118 sec 193 sec 277 sec 348 57) 58) 59) 60) csc 127 csc 230 csc 291 csc 330 61) 62) 63) 64) tan 35 sen 61 cos 77 cot 12 página 42 2.4 Instituto Valladolid Preparatoria ÁNGULOS MAYORES DE 360 GRADOS También es posible sacar las funciones trigonométricas para ángulos mayores de 360 grados, o sea, de más de una vuelta. Simplemente a dicho ángulo se le restan el número de vueltas completas que le quepan y al resto se le aplica lo analizado anteriormente. Es muy fácil entender por qué figura 2.14 deben quitarse vueltas enteras para obtener un ángulo menor de 360 grados cuya función sea equivalente. Supóngase que se tiene inicialmente una polea montada sobre una base, como lo muestra la figura 2.14, (posición inicial) en la que se ha puesto una marca tanto en la polea como en la base, haciéndose coincidir para que sirva de referencia de la posición inicial de dicha polea. En un momento dado se le da un impulso a la polea haciéndola girar libremente, de manera que al detenerse queda en la posición final mostrada en la misma figura 2.14. La cuestión a resolver es: ¿Para dónde y cómo giró la polea? Existen cuatro posibilidades, las cuales se muestran en el siguiente cuadro sinóptico de la figura 2.15. Si se hace girar en el sentido contrario a las manecillas del reloj, o lo que es lo mismo, en el sentido de avance de los cuadrantes, el ángulo se considera positivo; si se hace girar en el sentido de las manecillas del reloj, o lo que es lo mismos en sentido contrario al avance de los cuadrantes, el ángulo se considera negativo. figura 2.15 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 43 En otras palabras, un ángulo es positivo si a partir del eje X + se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes. Un ángulo es negativo si a partir del eje X + se mide en el sentido de las manecillas del reloj, o bien en sentido contrario al avance de los cuadrantes. La figura 2.16 muestra los casos en que la polea haya girado positivamente, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes. Pero se dé la opción 1 (menos de una vuelta) o la opción 2 (más de una vuelta), el resultado final es el mismo, es decir, la marca en la polea quedó donde mismo en una u otra opción. Por esa razón, los dos ángulos se consideran equivalentes. La figura 2.17 muestra el caso de que la polea haya girado negativamente, es decir en el sentido de las manecillas del reloj o al inverso del avance de los cuadrantes. figura 2.16 Pero, igualmente, se dé la opción 3 (menos de una vuelta) o la opción 4 (más de una vuelta), el resultado final es el mismo, es decir, la marca en la polea quedó donde mismo en una u otra opción. Por esa razón, los dos ángulos se consideran equivalentes. De tal manera que, por ejemplo, el ángulo de 375 es equivalente al ángulo de 15 grados, pues si a 375º se le quita una vuelta entera, o sea 360º, quedan los 15º. En general, para saber cuántas vueltas enteras “le caben” a cualquier ángulo mayor de 360 grados, debe dividirse el ángulo entre 360. Del cociente obtenido, la parte entera indica el número de vueltas completas que le caben. Por ejemplo, para reducir el ángulo de 1749 grados, se divide 1749 entre 360, lo cual da 4.8583333. La parte entera de este cociente, el 4, indica que a 1749 le "caben" cuatro vueltas completas. Esas cuatro vueltas son 4× 360 = 1440º figura 2.17 página 44 Instituto Valladolid Preparatoria de manera que se obtiene: p 1749 = p (1749 ! 1440) = p 309 Para reducir una función trigonométrica de más de 360 grados se realizan los siguientes pasos: 1) Se reduce el ángulo de más de 360 grados a su equivalente de menos de 360 grados. 2) Se reduce la función trigonométrica, ya sea por medio del eje X o por medio del eje Y, conforme se analizó anteriormente. Ejemplo 1: Reducir por medio del eje X la función sen 987 . Solución: sen 987 = sen (987 ! 720) = sen 267 = ! sen (267 ! 180) = ! sen 87 # Se reduce el ángulo original quitándole dos vueltas enteras al restarle 720. # Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado las dos vueltas enteras. # Se reduce la función trigonométrica por medio del eje X, con el criterio de la página 32 para el 3er cuadrante. # Reducción final. sen 987 = − sen 87 O sea que: Ejemplo 2: Reducir por medio del eje Y la función cot 1381 . Solución: cot 1381 = cot (1381 ! 1080) = cot 301 = ! tan (301 ! 270) = ! tan 31 O sea que: # Se reduce el ángulo original quitándole tres vueltas enteras. # Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado las tres vueltas enteras. Obsérvese que todavía no se ha pasado a la cofunción porque aún no se ha hecho la reducción al ángulo agudo equivalente. # Se reduce la función trigonométrica por medio del eje Y, con el criterio de la página 39 para el cuarto cuadrante. # Reducción final. cot 1381 = − tan 31 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 45 Ejemplo 3: Reducir por medio del eje X la función tan 1505 . tan 1505 = tan (1505 ! 1440) # Se reduce el ángulo original quitándole cuatro vueltas enteras. = tan 65 # Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado las cuatro vueltas enteras. Como ya es un ángulo menor de 90o, ya no se reduce, pues este valor ya está en tablas. solución: tan 1505 = tan 65 O sea que: EJERCICIO 12 Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360o por medio del eje X. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) sen 498 cot 455 sen 608 cot 784 sen 1074 cot 1222 sen 1977 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) cos 559 sec 452 cos 771 sec 1073 cos 2335 sec 2083 cos 2446 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) tan 620 csc 809 tan 833 csc 5507 tan 3096 cos 1730 tan 3007 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) csc 388 sen 1002 cot 773 tan 608 csc 2001 cos 1554 sec 888 Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360o por medio del eje Y. 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) sen 538 cot 405 sen 644 cot 841 sen 1004 cot 1262 sen 999 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) cos 759 sec 502 cos 721 sec 1377 cos 2381 sec 2188 cos 2601 2.5 ÁNGULOS NEGATIVOS 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) tan 628 csc 852 tan 803 csc 3507 tan 4096 csc 1789 tan 1558 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) sec 2336 cos 444 cot 1084 cot 1338 cos 2500 csc 1575 cot 995 Como se mencionó en la página 42, un ángulo es positivo si a partir del eje X + se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, o lo que es lo mismo en en el sentido del avance de los cuadrantes. Un ángulo es negativo si a partir del eje X + se mide en el sentido de las manecillas del reloj, o lo que es lo mismo en sentido contrario al avance de los cuadrantes. página 46 Instituto Valladolid Preparatoria De manera que dos ángulos son exactamente iguales, o son el mismo, si sus valores absolutos suman una vuelta completa, es decir, 360o. Por ejemplo, p 127 = p ! 233 , ver figura 2.18, solamente que el de + 127o está medido en el sentido del avance de los cuadrantes (contrario a las manecillas del reloj), mientras que el de ! 233o está medido en sentido contrario al avance de los cuadrantes, o lo que es lo mismo, en el sentido del avance de las manecillas del reloj. Hay que recordar que el cuadrante número 1 es el de arriba a la derecha; el número 2 el de arriba a la izquierda; el número 3 el de abajo a la izquierda y el número 4 el de abajo a la derecha. El ángulo, en ambos casos, es exactamente el mismo, lo único que cambió fue la manera de medirlo. En otras palabras, para decir que un ángulo se midió "por arriba" se emplea el signo + y para decir que se midió "por abajo" se emplea el signo ! De tal forma que: figura 2.18 Para convertir un ángulo positivo en negativo, simplemente se le resta 360, e inversamente, para convertir un ángulo negativo en positivo, simplemente se le suma 360. Ejemplos: 1) ) 244 = ) ( 244 − 360 ) = ) ( − 116 ) 2) ) ( − 108 ) = ) ( − 108 + 360 ) = ) + 252 3) ) 67 = ) ( 67 − 360 ) = ) ( − 293 ) 4) ) ( − 12 ) = ) ( − 12 + 360 ) = ) + 348 5) ) 164 = ) (164 − 360 ) = ) ( − 196 ) 6) ) ( − 101 ) = ) ( − 101 + 360 ) = ) + 259 FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 47 EJERCICIO 13 Convertir los siguientes ángulos positivos en ángulos negativos: ( 46 = ( 309 = ( 176 = ( 324 = ( 106 = ( 145 = ( 334 = ( 316 = 1) 5) 9) 13) 17) 21) 25) 29) 2) 6) 10) 14) 18) 22) 26) 30) ( 241 = ( 63 = ( 12 = ( 193 = ( 51 = ( 52 = ( 139 = ( 55 = 3) 7) 11) 15) 19) 23) 27) 31) ( 144 = ( 260 = ( 200 = ( 88 = (6= ( 200 = ( 40 = (9= 4) 8) 12) 16) 20) 24) 28) 32) ( 154 = ( 300 = (7= ( 71 = ( 351 = (4= ( 19 = ( 322 = Convertir los siguientes ángulos negativos en ángulos positivos: 33) ( ( − 66 ) 34) ( ( − 257 ) 35) ( ( − 114 ) 36) ( ( − 159 ) 37) ( ( − 355 ) 38) ( ( − 50 ) 39) ( ( − 286 ) 40) ( ( − 307 ) 41) ( ( − 172 ) 42) ( ( − 14 ) 43) ( ( − 201) 44) ( ( − 6) 45) ( ( − 328 ) 46) ( ( − 173) 47) ( ( − 81) 48) ( ( − 17 ) 49) ( ( − 186 ) 50) ( ( − 53) 51) ( (− 7) 52) ( ( − 354 ) 53) ( ( − 177 ) 54) ( ( − 11) 55) ( ( − 255 ) 56) ( ( − 5) 57) ( ( − 303) 58) ( ( − 105 ) 59) ( ( − 77 ) 60) ( ( − 80 ) 61) ( ( − 199 ) 62) ( ( − 50 ) 63) ( ( − 37 ) 64) ( ( − 325 ) 2.6 ÁNGULOS NEGATIVOS DE MÁS DE UNA VUELTA Se puede presentar el caso de una función trigonométrica de un ángulo negativo de "más de una vuelta". Entonces lo primero que debe hacerse es quitarle el número de vueltas enteras que le quepan. Para quitarle vueltas enteras a un ángulo negativo se le suma 360 ó múltiplos de 360. NOTAS: 1.2.- El ángulo que resulta sigue siendo negativo. Todo ángulo negativo debe escribirse entre paréntesis. página 48 Instituto Valladolid Preparatoria Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) sen (! 455) cos (! 813) tan (! 1413) sec (! 1803) csc (! 2183) = = = = = sen (! 455 + 360) cos (! 813 + 720) tan (! 1413 + 1080) sec (! 1803 + 1800) csc (! 2183 + 2160) = = = = = sen (! 95) cos (! 93) tan (! 333) sec (! 3) csc (! 23) Para reducir entonces una función trigonométrica de un ángulo negativo de más de una vuelta, o sea buscar su equivalente que corresponda a una función comprendida entre 0o y 90o, conforme a todo lo anteriormente ya explicado, se realizan los siguientes pasos: Para reducir un ángulo negativo de más de 360 grados: 1) Se le quitan todas las vueltas enteras posibles. 2) Se convierte en su correspondiente ángulo positivo. 3) Se reduce, ya sea por medio del eje X o por medio del eje Y, de acuerdo con lo visto en la página 31 y en la página 35. Ejemplo 1: Reducir por medio del eje X : cot (! 952) = cot (! 952 + 720) = cot (! 232) = cot (! 232 + 360) = cot 128 = ! cot (180 ! 128) = ! cot 52 O sea que: L L L L L L se le quitan vueltas enteras. ángulo negativo de menos de una vuelta. se transforma en ángulo positivo ángulo positivo correspondiente se reduce por el eje x reducción final cot (! 952) = - cot 52 Ejemplo 2: Reducir por medio del eje Y . csc (- 491) = csc (- 491 + 360) = csc (- 131) = csc (- 131 + 360) L se le quitan vueltas enteras. L ángulo negativo de menos de una vuelta. L se transforma en ángulo positivo. FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 49 = csc 229 = - sec (270 - 229) = - sec 41 O sea que: L ángulo positivo correspondiente. L se reduce por el eje Y . L reducción final. csc (- 491) = - sec 41 EJERCICIO 14 Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos negativos por medio del eje X . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) sen (- 298) cot (- 55) sen (- 208) cot (- 284) sen (- 104) cot (- 122) sen (- 197) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 2.7 VALORES EN LOS EJES cos (- 559) sec (- 42) cos (- 771) sec (- 173) cos (- 235) sec (- 2083) cos (- 2446) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) tan (- 620) csc (- 109) tan (- 833) csc (- 5507) tan (- 296) cos (- 1730) tan (- 3007) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) csc(- 388) sen (- 1002) cot(- 773) tan(- 608) csc (- 2001) cos(- 154) sec(- 888) Hasta aquí se tiene un análisis completo de cómo obtener el valor de la función trigonométrica de cualquier ángulo. Solamente hace falta analizar los ángulos que están sobre los ejes. Porque se dijo ya cómo reducir cualquier función que corresponda a un ángulo que esté entre 90o y 180o, pero nada se dijo de cuando es exactamente 90o ó 180o; se dijo también cómo reducir cualquier función que corresponda a un ángulo que esté entre 180o y 270o, pero nada se dijo de cuando es exactamente 180o ó 270o. En todos los casos, debe deducirse cuánto vale x y cuánto vale y , observando en la figura correspondiente que una de las dos se hace cero. Por su parte, r siempre es positiva, ya que los signos positivos o negativos solamente tienen sentido para denotar una medida horizontal o una medida vertical y, además, siempre va a coincidir o con x o con y . página 50 Instituto Valladolid Preparatoria a) PARA 0o r debe girar para que se haga cero r conforme r gira, y se hace más pequeña. θ va tendiendo a cero. y r r y x x x cuando se hace cero, r coincide con x y y desaparece figura 2.19 De la figura 2.19 se deduce que cuando θ se hace cero al girar r, entonces y = 0 y además r = x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es decir, positivo siempre). Se tiene entonces que x es positiva (x º + x) y es cero (y þ 0) r es igual a lo que vale x (r þ x) De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 0o son: sen 0 = y 0 = =0 r x ; cos 0 = x x = =1 r x tan 0 = y 0 = =0 x x ; cot 0 = x x = =∞ 0 y sec 0 = r x = =1 x x ; csc 0 = r x = =∞ 0 y Es decir, que: sen 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 cot 0 = ∞ sec 0 = 1 csc 0 = ∞ FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 51 b) PARA 90o r debe girar para que se haga 90 cuando se hace 90, r coincide con y y x desaparece conforme r gira, x se hace más pequeña. θ crece acercándose a 90º. r r y r = 90 y x x figura 2.20 De la figura 2.20 se deduce que cuando θ se hace 90 grados al girar r, entonces x = 0 y además r = y (r mide lo mismo que y por lo que tiene el valor numérico de y, pero sin signo, es decir, positivo siempre) . Se tiene entonces que x es cero (x þ 0) y es positiva (y þ y) r es igual a lo que vale y (r þ y) De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 90o son: sen 90 = y y = =1 r y ; cos 90 = x 0 = =0 r y tan 90 = y y = =∞ 0 x ; cot 90 = x 0 = =0 y y sec 90 = r y = =∞ 0 x ; csc 90 = r y = =1 y y Es decir, que: sen 90 = 1 tan 90 = sec 90 = ; ; ; cos 90 = 0 cot 90 = 0 csc 90 = 1 página 52 Instituto Valladolid Preparatoria c) PARA 180o r debe girar para que se haga 180 cuando se hace 180, r coincide con x y y desaparece conforme r gira, y se hace más pequeña. θ se aproxima a 180º. = 180 y r r y r -x -x -x figura 2.21 De la figura 2.21 se deduce que cuando θ se hace 180 al girar r, entonces y = 0 y además r se empalma con x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es decir, positivo siempre). En este caso hay que agregar que el valor real de x , como está hacia la izquierda, es - x . Se tiene entonces que x es negativa y es cero r es igual a lo que vale x (x ý - x) (y ý 0) (r ý x , r no tiene signo) De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 180o son: sen 180 = y 0 = =0 r x tan 180 = y 0 = =0 −x −x sec 180 = r x = = −1 −x −x cos 180 = ; −x −x = = −1 r x cot 180 = ; ; −x −x = =−∞ 0 y csc 180 = Es decir, que sen 180 = 0 tan 180 = 0 ; ; cos 180 = - 1 cot 180 = - sec 180 = - 1 ; csc 180 = r x = =∞ 0 y FUNCIONES DE MÁS DE 90 GRADOS página 53 d) PARA 270o r debe girar para que se haga 270 conforme r gira, x se hace más pequeña. θ se aproxima a 270º. cuando se hace 270, r coincide con x y y desaparece = 270 -x -y -x -y r -y r r figura 2.22 De la figura 2.22 se deduce que cuando θ se hace 270 al girar r, entonces x = 0 y además r mide lo mismo que y , o sea r = y por lo que tienen el mismo valor numérico, pero r sin signo, es decir, positivo siempre. En este caso hay que agregar que el valor real de y, como está hacia abajo, es - y. Se tiene entonces que x es cero y es negativa r es igual a lo que vale y (x ý 0) (y ý - y) (r ý y ; r no tiene signo) De manera que los valores de las seis funciones trigonométricas para 270o son: −y r −y tan 270 = x r sec 270 = x sen 270 = −y = −1 ; y −y =−∞ ; 0 y = =∞ ; 0 = x 0 = =0 r y x 0 = =0 cot 270 = −y −y r y = = −1 csc 270 = −y −y cos 270 = Es decir, que sen 270 = - 1 tan 270 = - ; ; cos 270 = 0 cot 270 = 0 sec 270 = ; csc 270 = - 1 página 54 Instituto Valladolid Preparatoria En síntesis, los valores en los ejes son los siguientes: 0 90 180 270 sen 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tan 0 ∞ 0 −∞ cot ∞ 0 −∞ 0 sec 1 ∞ -1 ∞ csc ∞ 1 ∞ -1