Ejercicios Aplicaciones de la derivada. 1.

Ejercicios Aplicaciones de la derivada.
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1.-La cotización de una acción sigue durante una semana la función f (x) = 0,02x + 1, donde x es el día
de la semana (0 = lunes, 1 = martes, …). Halla la tasa de variación media de esa cotización de lunes a
viernes.
2.-El espacio recorrido en metros por un Aedes albopictus que se encuentra en la clase de 1º A de
bachillerato descrito por s(t)=√
a) ¿Qué espacio ha recorrido a los 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad media que ha mantenido entre los 4 y 7 segundos?
c) ¿Cuál es la velocidad a los 2 segundos?
3.- Determina la tasa de variación media de esta función en cada uno de los intervalos.
a) [−1, 1] b) [1, 3] c) [−1, 3] d) ¿sabrías decirme cual es la función?
e) TVI en x=1
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4.-Calcula la tasa de variación instantánea de f(x)=x en x=-1
5.-Halla la función derivada de las siguientes funciones aplicando la definición derivabilidad en un punto.
a) ( )
√
b) f(x)= (
c) ( )
)
5.- Halla la función derivada de f (x) = ln(x+1), aplicando la definición de derivada de una función en un
punto.
(x-1)
6.-Halla la función derivada de f (x) = e
un punto.
en x=2, aplicando la definición de derivada de una función en
7.-Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos en los que la función
cambia su expresión algebraica.
8.- Halla la derivada de las siguientes funciones.
a) f (x) = x √
x
c) f (x) = e ⋅ tg x
e) f(x)=cos(lnx)
h) f(x)=x √
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2
j) f(x)= 2 sen x+senx
2
b) f (x) =(5x ⋅ sen x) +(x ⋅ cos x)
2
d) f (x) = 3x −arc sen (1-x)
f) f(x)=ln(cosx)
i) f(x)=ln[(1-x)/)1+x)]
j) f(x)=arctg[senx/(1+cosx)]
9.-Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y = sen x e y =cos x. ¿cuál será la f
10.-Encuentra dos funciones polinómicas de segundo grado que pasen por los puntos
(0, 4) y (3, 10). Comprueba que la tasa de variación media en el intervalo [0, 3]
es la misma para las dos funciones.
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11.- Halla los máximos y mínimos globales de f (x) = sen x en [0, 2π].
12.- Calcula los extremos absolutos y relativos de f(x)=
en [1, 3].
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(x)?
13.-Representa las siguientes funciones, utilizando el dominio, asíntotas, monotonía, extremos,
curvatura y puntos de inflexión (como mínimo).
Polinómicas
Racionales
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a) y= -4x - 15x +18x -10.
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2
b) y = x −6x + 12x−5
Exponenciales.
2 x
a) y= x e
1/x
b) y=e
x
x
c) y= e /(e -1)
2 -x
d) y= x e
Logaritmos
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a) y= ln(x -5x+4)
b) y= (lnx)/x
c) y=x/lnx
14.-Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y=x+√ en el punto de abscisa 4.
15.- ¿Cuánto tiene que valer a para que la función f (x) = x ln x −ax tenga, en el punto de abscisa e, una
recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante?
16.- Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados.
3x−8
2
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a) y = 2 en x =3
b) y = x ln (x + 3) en x=−2
c) y =(3x −5)
d) y= sen (2x+π) en x=0
e) y=arctg (1-x) en x=-1
en x = -1
f) y=sec(x) en x= π
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17.-Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x + 3x + 3x + 4, que son paralelas a la
recta de ecuación 6x−2y + 1 = 0.
18.- Hallar un punto de la curva y = √
segundo cuadrante.
en el cual la recta tangente sea paralela a la bisectriz del
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◦
19.-Determinar en qué puntos de la curva y =x/(1 − x ) la tangente tiene una inclinación de 45
20.- ¿Son continuas y derivables las funciones en todos los puntos de enlace? (nota: redefine primero f)
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2
a) y = |x −4|
b) y = |x + 1|
c) y=|x-4|(x-1)
21.- Se ha estimado que el gasto de electricidad del Colegio Colón, de 8 a 17 horas, sigue esta función. E
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(t) = 0,01t −0,36t + 4,05t−10, donde t pertenece al intervalo (8, 17).
a) ¿Cuál es el consumo a las 10 horas?¿Y a las 16 horas?
b) ¿En qué momento del día es máximo el consumo? ¿Y mínimo?
c) Determina las horas del día en las que el consumo se incrementa.
22.-Un investigador está probando la acción de un medicamento sobre una bacteria. Ha comprobado
que el número de bacterias, N, varía con el tiempo, t, una vez suministrado el medicamento, según la
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función:
N(t) = 20t −510t + 3.600t + 2.000
a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento?¿Y al cabo de 10 horas?
b) En ese momento, ¿el número de bacterias está creciendo o disminuyendo?
c) ¿Cuál es el momento en que la acción del producto es máxima?
d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del medicamento?
e) ¿Y en qué momento empieza a perder su efecto el medicamento?
23.- Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada.
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24.- La función dada por f(x) = ax + bx + cx + d. Calcular a, b, c, d sabiendo que la gráfica de f tiene un
punto de inflexión en Q(−1, 3) y que la tangente a dicha gráfica en el punto M(0, 1) es horizontal.
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25.- La función dada por f(x) = x(ax + bx + c). Calcular a, b, c tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que
en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.