FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE

1/5
Conceptos previos
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Es
otro
vector
r r
a × b = a·b·senα .
cuyo
módulo
viene
dado
por:
Su dirección es perpendicular al plano en el que se
encuentran los dos vectores y su sentido viene dado por el de
avance de un sacacorchos que gira como lo hacemos para llevar el primer vector sobre el segundo por el
camino más corto. (Regla de Maxwell).
Según la definición de producto vectorial se puede deducir que su módulo coincide con el área del
paralelogramo que forman ambos vectores y las paralelas a ellos trazadas por sus extremos.
r r
a × b = a·b·senα = b·h = S
Una superficie puede ser representada por un vector.
FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE.
En primer lugar se debe recordar que una superficie se
puede representar por un vector de dirección perpendicular a ella y
cuyo sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al
perímetro de la misma.
Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el
interior de un campo, se define como flujo del campo a través de la superficie:
r r
Φ = ∫ S a dS
pero
r r
a · dS = a·dS ·cos α y dado que dS⋅cosα sería el módulo de la superficie elemental perpendicular al
vector
a (dS') resulta:
r r
Φ = ∫ S a dS = ∫ S a dS cos α = ∫ S a dS '
Si la superficie fuese cerrada:
r r
Φ = ∫ S a dS
Se considera como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia
afuera de la superficie (ver signo del producto escalar).
2/5
TEOREMA DE GAUSS PARA UN CAMPO ELECTRICO.
Consideremos una carga puntual q (positiva), centrada
en ella trazamos una superficie esférica S. El flujo a
través de dicha superficie viene dado por:
r r
Φ = ∫ s E·dS
Dado que el vector intensidad de campo y el vector
superficie tienen la misma dirección y sentido y que el módulo del primero es constante y
con valor:
E=
Se puede poner:
de donde:
1
·
q
4π ε 0 r 2
Φ = ∫ s E·dS = E ∫ s dS = E·4π r 2
1 q
q
Φ=
· 2 ·4π r 2 =
4π ε 0 r
ε0
Al igual que hacíamos en el campo gravitatorio, puesto que el flujo coincide con el
número de lineas de fuerza que atraviesan la superficie, se puede ver que éste es
independiente de la forma de la superficie.
El flujo a través de S' (esférica centrada en q) es el mismo que a través de S. φ =
q/ε0.
Si hubiese dos o más cargas en el interior de la
superficie dado que se cumple el principio de superposición se
ve que:
Φ = Φ1 + Φ 2 =
q1 + q 2
ε0
Es decir : Φ =
qinterior
ε0
Si en el interior de la superficie no hubiese ninguna carga el flujo sería nulo:
Φ = 0 = Φentrante + Φ saliente
Por tanto el teorema de Gauss establece que el flujo de un campo eléctrico a través
de una superficie cerrada viene dado por:
φ = q/ε0.
3/5
APLICACION DEL TEOREMA DE GAUSS EL CÁLCULO DE CAMPOS.
1. Cálculo del campo creado por una esfera cargada
uniformemente.
a) En el exterior de la esfera:
Supondremos que la densidad de carga en la esfera es
constante y uniforme en todos sus puntos:
q
ρ=
4
·π R 3
3
Siendo q la carga total y R el radio de la esfera.
Para calcular el campo creado por la esfera en P aplicamos el teorema de Gauss:
q
Φ=
(I)
ε0
Además el flujo a través de la superficie esférica S trazada con el mismo centro de
la esfera cargada y radio r será:
r r
Φ = ∫ S E·dS = ∫ S E·dS
puesto que los dos vectores tienen igual dirección y sentido. Por otro lado, dado que E es
constante en todos los puntos de S pues todos distan lo mismo de la superficie de la esfera
cargada:
Φ = E ∫ S dS = E·4π r 2 (II)
Como el flujo es igual independientemente de como lo calculemos: (I) = (II)
q
1 q
E·4π r 2 =
asÍ E_ =
·
4π r 2 r 2
ε0
Luego la intensidad de campo creado por una esfera cargada en un punto que dista r > R
de su centro es la misma que el que crearía una carga puntual (q) situada en el centro de
dicha esfera.
b) en el interior de la esfera: r < R.
Consideramos una superficie esférica de radio r centrada en el propio centro de la esfera
cargada. Igual que antes la intensidad de campo en todos los puntos de S tendrá dirección
radial y el mismo módulo en todos ellos por lo que el flujo a través de la superficie S es:
r r
Φ = ∫ S E·dS = ∫ S E·dS = E·∫ S dS = E·4π r 2
4/5
Según el teorema de Gauss:
Φ=
q interior
ε
4
3
ρ· π r 3
=
ε
Igualando los segundos miembros de los flujos:
4
ρ· π r 3
ρ ·r
q 1
· ·r
E·4π r 2 = 3
donde : E =
=
3ε 4πε R 3
ε
2. Campo creado por un hilo indefinido cargado. Llamaremos λ =q/l la densidad lineal
de carga en el hilo. Si queremos calcular _ a una distancia r del hilo lo haremos
calculando el flujo a través de la superficie cilíndrica.
Φ = E·S lateral = E·2πrh
Según el teorema de Gauss: φ = qint/ε0
La carga contenida en el cilindro de altura h será: qint = λ ⋅h por lo tanto sustituyendo este
valor en la expresión del flujo e igualando los segundos miembros:
λ ·h
λ
⇒ De donde : E =
E·2πrh =
2πr ε 0
ε0
3. Campo creado en un punto próximo a un plano cargado. Supondremos que la densidad
superficial de carga es σ = q/S. Consideremos un cilindro imaginario de base A (area). El
plano está cargado positivamente en P. El flujo a través de toda la superficie cilíndrica es:
φ = E⋅A + E⋅A (tener en cuenta que el vector intensidad de campo es perpendicular al
vector superficie correspondiente a la superficie lateral del cilindro.
Según el teorema de Gauss:
q
σ ·A
σ ·A
Φ = interior =
por lo que : 2EA =
ε0
ε0
ε0
De donde:
E=
σ
2ε 0
5/5
Nuevo concepto
GRADIENTE DE UN ESCALAR.
Sea un campo en el que un escalar V toma, en cada punto, valores definidos. Puede resultar interesante estudiar como varía el escalar en
el campo. Definimos como gradiente del escalar (grad V) un vector cuya dirección es la de
más rápida variación de V, cuyo sentido es el de valores crecientes de V y cuyo módulo
dV
viene dado por:
 ∆V 
lim 
=
∆n → 0 ∆n
dn


Siendo n la dirección de más rápida variación del escalar V: gradV = dV
dn
Sean dos superficies equiescalares muy próximas entre si. Estudiaremos cómo varía V en la dirección dada por el desplazamiento dr.
dV
dV dn
dV
=
=
cos α
dr
dn dr
dn
Como se puede ver en la figura anterior.
De ahí podemos deducir que:
dV =
dV
dr cos α
dn
O lo que es lo mismo: dV = gradV · dr
Considerando que
dr = d x + d y + d z
δV
δV
δV
dV =
dx +
dy +
dz
δx
δy
δz
Se deduce que:
gradV =
δV r δV r δV r
i +
j +
k
δx
δy
δz
Por otra parte se puede calcular la circulación del vector gradiente a lo largo de una curva:
r
∫ gradV · dr =
∫ dV
1
1
2
C =
2
de donde C = V2 - V1 solo depende del valor del escalar en las posiciones final e inicial y no del camino seguido.
Propiedades del gradiente:
Supongamos que la circulación se calcula a lo largo de una curva situada en una superficie equiescalar:
r
∫ gradV · dr =
∫ dV
1
1
2
C =
2
= V 2 −V 1 = 0
lo cual significa que gradV y d son perpendiculares en todo momento, es decir que gradV es perpendicular a la superficie equiescalar.
La variacion del escalar será máxima cuando el ángulo que formen gradV y d¯ r (α = 0) es decir la dirección del gradiente
será la que corresponda a una mayor rapidez en la variación de V.
El sentido será el de valores crecientes de V.