Grupos de mosaicos

Grupos de mosaicos
Un mosaico periódico es una figura plana (necesariamente infinita) cuyo grupo de simetrías no
tiene puntos fijos ni rectas invariantes.
Ejemplos:
Pregunta: ¿Como son todos los posibles grupos de simetrías de mosaicos periódicos?
El subgrupo de traslaciones
El grupo de simetrias de un mosaico periodico puede contener traslaciones, rotaciones,
reflexiones o pasos, pero en principio no tendria que contener alguno de esos tipos de isometrias
isometrias.
●
Si G es el grupo de un mosaico periodico, entonces G contiene traslaciones en al menos dos
direcciones (y por lo tanto en una infinidad de direcciones).
Dem.
1. Si G solo contiene traslaciones. Si T es una traslacion en la direccion d, entonces G debe contener otra
traslacion T' en otra direccion, ya que de otro modo cada recta con direccion d seria invariante bajo G.
2. Si G no contiene rotaciones. Entonces todas las reflexiones y pasos son en rectas en la misma
direccion. Si I es una refexion o un paso en una recta r, entonces debe haber otra isometria I' en G que
mueva un punto p de r fuera de r. Si I' no es una traslacion, debe ser una reflexion o paso en la direccion
de r y I○I' es una traslacion en una direccion distinta de la recta r. Si I o I' es un paso, entonces I○I o I'○I'
es una traslacion en la direccion de la recta r, y ya encontramos dos traslaciones de G en direcciones
distintas.
p
p
I'p
r
I' r
r
I'○I p
I'p
I' r
I'○I r
I''p
I'○I p
I'○I r
Si I y I' son reflexiones entonces I○I' es una traslacion perpendicular a r y hay otra isometria I'' que lleva
un punto de r a un punto que no esta en la misma recta perpendicular a r. I'' no puede ser una reflexion
(porque una reflexion en una paralela a r dejar cada recta perpendicular a r invariante), asi que I'' debe ser
o una traslacion en una direccion no perpendicular a r o un paso, y entonces I''○I' es una traslacion en la
direccion de r.
3. Si G contiene una rotacion R con centro o y angulo α. Como G no tiene puntos fijos, debe existir una
isometria I en G tal que Io≠o. Entonces R'=I○R○I-1 es una rotacion con centro en o'=Io y angulo α, de
modo que T = R'○R-1 y T' = R'-1○R son dos traslaciones en direcciones diferentes, excepto si α=π,
cuando las dos traslaciones T y T' son a lo largo de la linea oo'.
Pero si α=π entonces debe existir otra isometria I' tal que I'o no esta en la linea oo', y por el argumento
anterior hay una traslacion T'' en la direccion oo'.
T''=R''○R-1
T'=R'-1○R
R''=I'○R○I'-1
R
R'
R
T=R'○R-1
R'=I○R○I-1
T'=R'-1○R-1
●
El subgrupo formado por las traslaciones en G es isomorfo a Z+Z.
Dem. Sea T la traslacion en G representada por el vector mas corto u, y T' la traslacion en G dada por el
vector mas corto v en una direccion distinta a u. Queremos ver que el subgrupo de traslaciones de G esta
generado por T y T', es decir, que cada traslacion en G es de la forma T'n Tm con m,n en Z.
Cualquier otra traslacion T'' en G esta dada por un vector w, y w=au+bv con a y b en R. Si a o b no fueran
enteros, podemos restarle a w' una combinacion entera de u y v para obtener un vector w'=a'u+b'v con
|a|,|b|<1/2. Esto implicaria que |w'|< |u| o |w'|< |v|, contradiciendo la eleccion de T y T' como las
traslaciones con vectores mas cortos. De modo que w=mv+nv' con m,n enteros, asi que T''=T'n○Tm.
w
w'
v
v
u
u
La latice de traslaciones
Si p es un punto del plano y H es elsub grupo de traslaciones de G, entonces el conjunto Hp formado por
las imagenes de p bajo todas las traslaciones es una reticula o latice.
Si q es cualquier otro punto del plano, a latice Hq es igual a la latice Hp, salvo por una traslacion.
3 latices distintas
Relaciones entre las traslaciones y las reflexiones y pasos.
Si Я es una refexion y o es un punto del mosaico en la recta de reflexion, entonces la imagen de
la latice Ho bajo Я es otra latice ЯHo, que es invariante bajo la accion del grupo ЯHЯ -1= H, y
como la lattice Яho contiene a o, Яho debe ser igual a la lattice Ho.
Asi que la reflexion Я debe der una reflexion de la lattice de trasladados de algun punto.
En particular, Я debe enviar cada direccion de traslacion a una direccion de traslacion por la
misma longitud.
Si d1 y d2 son las direcciones de las dos primeras traslaciones mas cortas, y sus distancias de
traslacion son distintas, entonces Я debe preservar ambas direcciones, asi que la direccion de
reflexion debe ser paralela o perpendicular a ambas. En particular, la latice debe ser ortogonal.
Si las distancias de traslacion en las direccion d 1 y d2 son iguales, entonces Я puede preservar o
intercambiar las direcciones d1 y d2 . Si d1 y d2 son perpendiculares la latice es cuadrada y la
reflexion puede ser en la direccion d 1 y d2 y en la direccion de sus bicectrices. Si d1 y d2 no son
perpendiculares, la latice es rombica y la reflexion debe ser en la direccion de las bisectrices.
Ademas, si T es una traslacion y L es la recta de reflexion de Я, entonces TЯ es una reflexion o
un paso en la recta (T/2)L, y TЯ○Я es la traslacion T (asi que hay rectas de reflexion o pasos a la
mitad de las distancias de traslacion, pero no mas cercanas).
Los mismos argumentos funcionan si en lugar de una reflexion R consideramos un paso P.
Relaciones entre las rotaciones y las traslaciones.
Sea G el grupo de un mosaico periodico y H el subgrupo de traslaciones de G.
Para cada punto p del mosaico,el conjunto de traslaciones de p, denotado por Hp, es una lattice
invariante bajo la accion de H.
●
Si o es un centro de rotacion del mosaico, la latice Ho tambien es invariante bajo las rotaciones del
mosaico con centro en o.
Dem. Si R es una rotacion con centro en o, entonces la imagen de la latice Ho bajo R es otra latice Rho,
que contiene a o y es invariante bajo la accion del grupo RHR-1. Pero RHR-1=H, asi que RHo es
invariante bajo H, y como contiene a o, debe ser igual a Ho.
Esto muestra que las rotaciones del mosaico con centro en o deben ser rotaciones de la lattice Ho.
Rotaciones de los mosaicos
Si el grupo de un mosaico periodico contiene una rotacion R entonces contiene una infinidad de
rotaciones (las conjugadas de R por las traslaciones del grupo, al menos).
¿Cuales son los angulos posibles de las rotaciones en los grupos de mosaicos periodicos?
●
Las unicas rotaciones posibles en el grupo de un mosaico periodico del plano son las de 180o,
120o, 90o y 60o.
Dem. Todas las rotaciones con un mismo centro son multiplos de la rotacion con angulo mas pequeño,
que debe ser de la forma 2π/n para algun n en N.
Sea R una rotacion con centro o y angulo 2π/m m>0, y sea R' la rotacion cuyo centro o' es el mas
cercano a o, y cuyo angulo de rotacion es 2π/n , n>0. Entonces R'○R es una rotacion R'' con centro o'' y
angulo un multiplo de 2π/p.
Veamos el triangulo con vertices o, o' y o''.
Como las rotaciones R , R' pueden obtenerse componiendo
reflexiones en dos lados del triangulo, los angulos en los
vertices o y o' son π/m y π/n respectivamente.
R''
o''
R'''
El angulo en el vertice o'' es un multiplo de π/p, ya que es
la mitad del angulo de la rotacion (R'')-1. Si fuera mas
grande que π/p y R''' es la rotacion con centro en o'' y
angulo 2π/p, entonces R○R''' seria una rotacion cuyo
centro o''' estaria mas cerca de o que o'
R'
Asi que los angulos en o, o' y o'' son π/m, π/n y π/p.
o'
o'''
R
o
Como los angulos internos cualquier triangulo suman π,
entonces 1/m + 1/n + 1/p = 1
π
/p
Las soluciones positivas de esta ecuacion son:
{m,n,o} = {2,4,4} {3,3,3} {2,3,6}
Asi que los unicos angulos de rotacion posibles son:
180o, 120o, 90o y 60o
π/
n
π
/m
Tarea 5
Entregar (1 ) y (2 o 3) el lunes 2.
1. Muestra que el grupo de traslaciones del plano generado por las 3 traslaciones:
T1(x,y)=(x+5,y+3)
T2(x,y)=(x+2,y+4)
T3(x,y)=(x+3,y-2)
puede generarse con solo dos traslaciones. Encuentralas.
2. ¿Cuantos grupos de mosaicos periodicos sin rotaciones puedes encontrar?
3. Encuentra todos los grupos posibles de simetrias de latices del plano.
4. ¿Son isomorfos o no los grupos de simetrias de estos mosaicos?