Optimización de redes ramificadas contemplando la ubicación y

Capítulo 7
OPTIMIZACIÓN DE REDES RAMIFICADAS CONTEMPLANDO
LA UBICACIÓN Y TARADO DE VÁLVULAS REDUCTORAS
DE PRESIÓN
7.1.- INTRODUCCIÓN
El objetivo del presente capítulo es, como se anticipó en el anterior, desarrollar
un método de dimensionado económico de redes ramificadas que permita la inclusión
de válvulas reductoras de presión, al objeto de aprovechar su potencial para producir
ahorro sobre el coste de inversión en tuberías.
Como introducción a esta problemática, comenzaremos con la descripción de un
método de dimensionado económico de redes ramificadas basado en un modelo de
Programación Lineal, que incluye VRPs en la formulación.
La utilización de VRPs en el modelo se contempla con el doble objetivo de
obtener un ahorro en el coste de las tuberías y simultáneamente, garantizar el
cumplimiento de unas restricciones de presión máxima impuestas para los nudos de
consumo.
A partir del modelo descrito se desarrollará un ejemplo práctico de aplicación que
nos permitirá reconocer las pautas de su comportamiento y señalar sus puntos débiles.
El objeto de la segunda parte del capítulo es el desarrollo de un nuevo método de
dimensionado económico para redes ramificadas que permite la incorporación de VRPs,
fundamentado en la distinción conceptual entre requisitos hidráulicos y mecánicos
durante la etapa de diseño. Primeramente se estudia y justifica, a partir de criterios
económicos, la adopción de un valor óptimo de la presión de tarado para una VRP dada,
y a continuación se plantea el problema de la ubicación óptima de las válvulas.
7.1
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Las características principales del método desarrollado son las siguientes:
La optimización del conjunto de VRP se realiza de forma independiente del
dimensionado hidráulico de la red (diámetros) y en una fase posterior al mismo.
La determinación de la presión de tarado y la ubicación de las VRPs
constituyen asimismo dos procesos separados y sucesivos en este orden, de
forma que el proyectista puede escoger cualquier valor para las presiones de
tarado, diferentes de las propuestas en la primera fase.
La solución obtenida es óptima partiendo de cualquier situación previa, esto es,
el proyectista puede imponer cualquier VRP y optimizar el conjunto restante,
sin introducir ninguna modificación en el planteamiento.
7.2.- DIMENSIONADO ÓPTIMO CONJUNTO DE UNA RED RAMIFICADA CON
VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN. MÉTODO LINEAL.
7.2.1.- Planteamiento general.
El método que se estudia a continuación, al que denominaremos Método Lineal,
fue propuesto en 1976 por Robinson y Austin [11] en un intento de ampliar las
posibilidades del método de Programación Lineal para el dimensionado económico de
redes ramificadas de distribución, ya desarrollado en profundidad en los Capítulos 4 y
5, para contemplar la inclusión de válvulas reductoras de presión, tanto desde el punto
de vista hidráulico como del económico, por su efecto en la reducción de la presión de
trabajo de determinadas tuberías de la red.
La dificultad principal que debe salvarse consiste en la consideración de la
repercusión económica que la presión de trabajo de las tuberías tiene sobre el coste de
inversión total, puesto que como es sabido, la introducción directa de este factor en el
problema conduce a un espacio de soluciones no conexo y por tanto inadmisible para
un problema de PL.
7.2
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para llegar a una solución, en primer lugar los autores distinguen dentro de la red
de distribución entre líneas principales, objeto de dimensionado, y líneas de servicio, que
son las que llegan al usuario desde las líneas principales, de modo que el problema de
dimensionado implica tan sólo a líneas principales.
Paralelamente se considera la inclusión de VRP en líneas principales, cuyo
cometido consiste tanto en reducir las presiones máximas soportadas por las tuberías
principales (con la consiguiente reducción de coste al emplear tuberías de menor presión
de trabajo) como impedir que en los puntos de conexión con las líneas de servicio se
exceda de una presión máxima. También se contemplan en el problema un segundo tipo
de VRP para los nudos de servicio, cuyo única función reside en limitar el valor de la
presión máxima en dichos puntos, sin afectar, por consiguiente, a la presión de trabajo
de las tuberías principales.
El dimensionado se efectúa teniendo en cuenta las dos situaciones de
funcionamiento extremas en régimen permanente: para el cálculo de las presiones
máximas en el sistema se considera la situación en la cual no se transporta caudal
alguno por las tuberías y por tanto, todo el sistema está sometido a la presión
hidrostática provocada por el sistema de alimentación (flujo nulo), mientras que para el
cálculo de las presiones mínimas se considera la situación en la cual se extraen los
caudales máximos del sistema (flujo máximo).
La función objetivo Z a minimizar está compuesta, en general, tanto por la
anualidad de la inversión en tuberías, que debe tener en cuenta el coste completo de las
mismas, esto es, material, trasporte, instalación, enterramiento, etc..., como por el coste
anual de la energía. También puede incluirse la anualidad correspondiente a la inversión
en la estación elevadora y/o depósito elevado en cabecera.
Además, al añadir válvulas reductoras a la formulación del problema, será
necesario incluir asimismo en la función objetivo el coste completo de éstas.
En la formulación presentada por Robinson y Austin se considera únicamente los
costes de inversión, esto es, los costes de las tuberías, el coste de construcción de un
depósito elevado en cabecera y finalmente, el coste de las válvulas reductoras, como
hemos indicado.
7.3
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El problema puede resumirse en:
Minimizar Z =
Coste Tuberías (Ct) +
Coste Construcción Depósito (Ccd) +
Coste Válvulas Reductoras (Cv)
sujeto a:
Restricciones
Restricciones
Restricciones
Restricciones
geométricas
de presión mínima
de presión máxima
funcionales de las VRPs
7.2.2.- Formulación del problema.
La función objetivo la expresaremos, pues, como:
Función Objetivo Z
Ct
Ccd
Cv
(7.1)
El término correspondiente al coste de inversión en tuberías Ct puede expresarse
a su vez como:
N
ND
Ct
c j Li j
i 1
donde:
cj
Lij
Dj
ND
N
=
=
=
=
=
(7.2)
j 1
Coste por metro lineal del diámetro Dj totalmente instalado.
Longitud de la tubería de diámetro Dj dentro de la línea i.
Diámetro j de la lista de diámetros comerciales candidatos.
Número de diámetros candidatos considerados.
Número de líneas de la red.
El coste de inversión en el depósito elevado Ccd, por su parte, puede representarse
aproximadamente como una función, generalmente de tipo no lineal, de la altura del
mismo Hd, esto es:
Ccd
β
α Hd
7.4
(7.3)
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
con un valor β=0'5 y por tanto, representa un caso típico de economía de escala, puesto que
el coste unitario de la actividad Hd decrece con el valor de la misma, esto es:
Cc d
(β 1)
Coste unitario
cd
α Hd
( 1<β 1<0)
(7.4)
Hd
En este caso, para manejar adecuadamente la función de coste Ccd dentro de un
problema de PL resulta de gran utilidad el método propuesto por Salcedo y Weiss [12],
consistente en linealizar la función Ccd=Ccd(Hd) para una estimación inicial de la altura
del depósito H0d, a partir de la cual se calcula el coste unitario asociado c0d:
0
cd
α Hd
0
(β 1)
(7.5)
de modo que en primera aproximación:
Cc d
0
cd Hd
(7.6)
Con estos datos, se resuelve el problema de optimización y posteriormente se
comprueba si ha acontecido una variación significativa en el valor de c0d para el nuevo
valor obtenido H1d; en caso afirmativo, será necesario recalcular el valor de cd y volver
a formular el problema de optimización. El esquema de actuación, cuya convergencia
suele ser muy rápida, queda representado en la Figura 7.1.
Para formular el problema de optimización se considera que las VRP se ubican en
los nudos del sistema y se definen las siguientes variables:
VRP en líneas principales:
HLPVNm
HLPVFm
VHLm
CVPm
= Pérdida de carga entre los extremos de la VRP ubicada en el nudo m,
cuando no discurre caudal por la misma.
= Pérdida de carga entre los extremos de la VRP ubicada en el nudo m,
cuando discurre el caudal máximo.
= Pérdida de carga en la VRP ubicada en el nudo m cuando discurre el
máximo caudal y la válvula está completamente abierta.
= Coste de la VRP ubicada en el nudo m.
7.5
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.1.-
Tratamiento del proceso de optimización cuando se consideran costes de
naturaleza no lineal con economía de escala.
VRP en líneas de servicio:
HLSLVp
CVSp
= Pérdida de carga entre los extremos de la VRP ubicada en el nudo p,
del cual se alimenta una línea de servicio, cuando no discurre caudal
por la misma.
= Coste de la VRP de servicio ubicada en el nudo p.
Para las VRPs ubicadas en las líneas principales es necesario considerar la caída
de presión que provocan a caudal nulo dentro de las restricciones de presión máxima,
mientras que la pérdida a caudal máximo intervendrá en las restricciones de presión
mínima. El valor de la pérdida de carga cuando la VRP está totalmente abierta y
funcionando al caudal máximo supone un límite inferior que no puede ser rebajado si
la VRP aparece en la solución final.
Las VRPs ubicadas en las acometidas de las líneas de servicio tan sólo intervienen
para que la presión estática en dichas líneas no supere el valor máximo establecido, y
7.6
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
por tanto, la única variable que presenta interés en este tipo de válvula es la perdida de
carga que provocan a caudal nulo, esto es, cuando aparecen las máximas presiones
hidrostáticas.
En cambio, las VRPs principales tienen un doble cometido: por un lado participan
en la reducción de la presión de trabajo de las tuberías, y en consecuencia, permiten
reducir su coste; además, dependiendo de su presión de tarado, pueden incluso suplir el
cometido de las VRP de servicio, con el consiguiente ahorro en este segundo tipo de
válvula.
Para introducir el coste de las VRP en la función objetivo, se supone que éste es
proporcional a la pérdida de carga que producen cuando no fluye caudal, de forma que:
VRP principales: CVPm
CMLPVm HLPVNm
VRP de servicio: CVSp
CSLPVp HLSLVp
De modo análogo al descrito anteriormente para linealizar el coste del depósito
elevado, es posible también emplear el procedimiento de Salcedo y Weiss para actualizar
el valor de los coeficientes CMLPVm y CSLPVp en sucesivas iteraciones.
Una vez hemos detallado los términos que participan en la función objetivo,
podemos reescribirla como:
N
ND
Z
c j Li j
i 1
j 1
CMLPVm HLPVNm
cd Hd
m
CSLPVp HLSLVp
(7.7)
p
El conjunto de restricciones a las que estará sometido el sistema cuando se
considera la presencia de VRPs serán ahora las siguientes:
Restricciones geométricas:
ND
Li j
Li
j 1
donde:
Li = Longitud de la línea i.
7.7
∀i
(7.8)
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Restricciones de presión mínima en nudos seleccionados k:
ND
z0
Hd
zk
i ∈S k j 1
Ji j Li j
m ∈S k
HLPVFm ≥ PMINk
(7.9)
donde Jij = Pendiente hidráulica en la línea i con el diámetro j para el caudal de diseño.
Indican que la altura de presión residual disponible en un nudo seleccionado k
debe de ser mayor o igual a un valor mínimo PMINk, en las condiciones de caudal
máximo. En el balance se tienen en cuenta las pérdidas en todas las líneas i que se
encuentran en el trayecto Sk que une la cabecera de la red con el nudo k, así como las
caídas de presión en posibles VRPs ubicadas sobre las líneas principales de dicho
trayecto. En general, no es necesario asignar una restricción de presión mínima para
cada nudo del sistema, ni tan siquiera para cada nudo de consumo, pero cuanto menos
habrá que especificar aquellas que corresponden a los nudos extremos o terminales de
la red.
Restricciones de presión máxima en nudos seleccionados l: En este tipo de restricción
se impone que en un determinado nudo l, la altura de presión máxima no debe de
sobrepasar el valor máximo permitido PMAXl. Se tendrá en cuenta la presencia de
posibles VRP principales en el trayecto que une el nudo de cabecera con el nudo l,
contabilizando el valor de la pérdida de carga que producen en ausencia de caudal:
z0
Hd
zl
m ∈S l
HLPVNm ≤ PMAXl
∀l
(7.10)
Esta restricción se formulará únicamente cuando exista la necesidad de reducir la
presión de trabajo de las tuberías.
Restricciones de presión máxima en las conexiones de servicio:
z0
Hd
zp
m ∈S p
HLPVNm
HLSLVp≤ PMAXSp
∀p
(7.11)
Es similar a la restricción anterior, pero en este caso se plantea para acotar la
altura de presión (hidrostática) que va a soportar una línea o un sector de servicio hasta
un valor máximo PMAXSp. Recordemos que las VRPs de servicio sirven únicamente
para este cometido.
Restricciones sobre el tarado de las VRPs en líneas principales: La altura de presión de
tarado HTm correspondiente a una VRP ubicada en la línea principal m puede expresarse
7.8
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
haciendo referencia a las condiciones de funcionamiento cuando no discurre caudal
como:
(7.12)
HTm
z0 H d
zm HLPVNm
Al ubicar una VRP en una línea principal, deberá añadirse la restricción funcional
de que la presión de tarado así obtenida ha de ser mayor o igual a la que se obtiene
mediante el cálculo en condiciones de máximo caudal, para asegurar que ésta va a
trabajar en su zona normal de funcionamiento, esto es:
ND
z0 Hd zm HLPVNm HTm ≥ z0 Hd zm
i ∈S m
Ji j Li j
HLPVFm
(7.13)
j 1
o lo que es lo mismo:
ND
HLPVFm
i ∈S m
Ji j Li j
HLPVNm ≥ 0
(7.14)
j 1
Restricciones sobre la pérdida de carga producida por una VRP principal: Para cada
VRP que aparece en la formulación, deberá añadirse una restricción adicional para tener
en cuenta que la pérdida de carga producida a caudal máximo ha de ser mayor o igual
que la pérdida mínima correspondiente a válvula abierta:
(7.15)
HLPVFm ≥ VHLm
Restricciones propias del método: Como es sabido además, todas las variables que
intervienen en el problema deben de ser positivas o nulas, esto es:
(7.16)
Li j , Hd , HLPVNm , HLPVFm , HLSLVp ≥ 0 ∀ i , j , m , p
7.2.3.- Método de resolución.
Inicialmente los autores plantean formular el problema sin incluir VRP de ningún
tipo, de forma que sólo intervengan restricciones de tipo geométrico y de presión
mínima en nudos extremos de la red.
En etapas sucesivas, cada vez que resulte necesaria la intervención de una VRP,
se consideran las restricciones correspondientes a dicha válvula, así como su repercusión
en las restantes restricciones. El procedimiento puede resumirse de la siguiente forma:
7.9
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
1.- Establecer la formulación del problema de PL suponiendo que todas las tuberías son del menor timbraje (Clase 1) y sin
incluir VRPs.
2.- Optimizar el sistema mediante PL.
3.- Si el problema resulta irresoluble, replantear las restricciones e hipótesis de partida e intentar su resolución de nuevo.
4.- Realizar un análisis de las presiones del sistema, e identificar todos aquellos nudos donde aparecen presiones
inadmisibles. Veamos a continuación una lista de características que hacen que una presión sea inadmisible y posibles
remedios:
Tipo 1: No se satisface la presión
residual mínima en algún nudo del
sistema.
Solución: Añadir una restricción de presión mínima adicional para
cada nudo donde no se verifique la presión residual mínima y volver
a solucionar el problema.
Tipo 2: La presión en una línea de
servicio excede el valor máximo.
Solución: Añadir VRP en línea de servicio o en línea principal para
reducir la presión, con la correspondiente restricción de presión
máxima.
Tipo 3: Aunque la presión es menor
que la correspondiente a la clase 1, se
está empleando clase 2 en una
tubería.
Remedio: Cambiar la tubería de clase 2 por clase 1.
Tipo 4: La presión en una tubería es
superior a la que soporta la clase 2.
Tipo 5: La presión en una tubería es
mayor que la correspondiente a la
clase 1 y menor que la de clase 2,
aunque se está utilizando clase 1.
Remedio: Calcular la diferencia de coste de emplear clase 1 en
lugar de clase 2 en todas las tuberías donde se excede la presión
correspondiente a la clase 2. Si la diferencia es superior al coste de
una VRP, añadir la válvula y utilizar tubería de clase 1; si la
diferencia de coste es menor que el de una VRP, utilizar clase 2 y
ubicar la VRP. Aunque esta segunda forma de proceder resulta
paradójica, sirve para dotar de una mayor flexibilidad a la solución
final. En cualquier caso, es necesario añadir restricciones de presión
máxima para que no se exceda el valor correspondiente a la tubería
de la clase que corresponda.
Remedio: El mismo que en el caso 4.
5.- Ajustar los costes de la altura de cabecera y de las VRP según el método de Salcedo y Weiss. Si los nuevos
coeficientes de coste difieren significativamente de los que se han planteado, será necesario recalcularlos y volver a
formular y optimizar el sistema (Paso 2).
6.- Si no ha habido necesidad de realizar cambios en el paso 5, añadir las restricciones pertinentes del tipo (7.15)
referentes a la pérdida a válvula abierta. Si dichas restricciones no se satisfacen, volver a optimizar el sistema (ver paso
2). En caso contrario, el problema está resuelto.
7.10
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Observaciones sobre el método:
En la implantación del método, los autores consideran tan sólo la existencia de dos
clases de tubería en función de la presión de trabajo. La clase 1 corresponde a una
presión máxima de 18'3 m. (60 pies) y la clase 2 a 21'35 m. (70 pies)
Al introducir por primera vez una VRP en la formulación del problema, tanto si es
principal como si es de servicio, los autores proponen que su coste sea nulo
inicialmente, para conseguir mantenerlas en la solución, al menos en la primera
iteración.
En el método propuesto, la intervención de las VRP principales sólo puede tener un
impacto económico cuando consiguen sustituir la función de las VRP de servicio,
puesto que el abaratamiento producido como consecuencia de reducir timbraje en
algunas tuberías es transparente al procedimiento indicado.
7.2.4.- Ejemplo de aplicación.
El ejemplo presentado por los autores consiste en el dimensionado óptimo de una
red ramificada, cuyos datos principales se muestran en la figura siguiente.
Figura 7.2.- Red ramificada del ejemplo.
7.11
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Todas las líneas representadas en la Figura 7.2 son líneas principales; las líneas
de servicio, que no están representadas en dicha figura, partirían de los nudos de
servicio, señalados con un cuadrado en la figura. Las VRPs de servicio se ubican en los
nudos de servicio, en derivación hacia las líneas de servicio, y por tanto, no producen
ningún efecto sobre las presiones en las líneas principales.
En los nudos de consumo del sistema, que corresponden a los puntos de servicio
indicados, se requiere una altura de presión mínima de 9'15 m. (30 pies), mientras que
se admite una altura de presión máxima en las líneas de servicio de 15'25 m. (50 pies).
En la siguiente tabla se presentan los costes unitarios de cada tipo de tubería,
clasificados por diámetros internos, así como la pendiente hidráulica que proporciona
cada diámetro en las líneas de la red para los caudales de diseño, numeradas según el
nudo de su extremo aguas abajo.
Diámetros
Costes ($/m.)
Pendiente hidráulica (m/Km.)
Pulg.
mm.
Clase 1
(60 pies=
18'3 m.)
Clase 2
(70 pies=
21'35 m.)
línea
2
línea
3
línea
4
línea
5
línea
6
línea
7
línea
8
2
50'8
1'213
1'311
34'56
30'7
11'59
7'651
13'35
8'812
5'235
2'5
63'5
1'475
1'574
11'73
10'42
3'932
2'6
4'529
2'991
1'777
3
76'2
1'902
2'131
4'84
4'299
1'623
1'072
1'869
1'234
0'733
3'5
88'9
2'262
2'623
2'291
2'035
0'768
0'597
0'884
0'584
0'347
4 101'6
2'623
---
1'2
1'066
0'403
0'266
0'463
0'306
0'182
5
127
3'607
4'59
0'406
0'361
0'136
0'09
0'157
0'103
0'062
6 152'4
4'59
---
0'167
0'149
0'056
0'037
0'065
0'043
0'025
Tabla 7.1.- Coste unitario y pendiente hidráulica de los diámetros empleados.
Se ha considerado la posibilidad de instalar VRP en líneas principales y en líneas
de servicio, cuyo coste se establece respectivamente en 810 $ y 200 $. El sistema de
alimentación consiste en un deposito elevado cuya altura debe ser determinada en el
proceso de optimización, considerando que la inversión total en el depósito puede
aproximarse a una función del tipo:
Ccd ($)
2000
905 35
Hd (m.)
En una primera iteración se considera un coste unitario aproximado de
ccd=328 $/m., para un valor inicial H0d=17'72 m. Con estas hipótesis, se formula el
7.12
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
problema de dimensionado solamente con restricciones de presión mínima y
considerando que todas las tuberías son de clase 1. En iteraciones sucesivas se irán
incorporando a la formulación las VRPs que resulten necesarias por existir un exceso
de presión tanto en los nudos de servicio como en las propias tuberías.
A continuación se resumen los resultados obtenidos por Robinson y Austin al
aplicar el método expuesto de PL; en la Tabla 7.2 se presentan los valores que van
tomando las variables del problema en cada iteración, mientras que en la Tabla 7.3 se
muestran los valores correspondientes de las presiones estática y dinámica en los nudos
de la red. En la nomenclatura de las variables correspondientes a tuberías, un
identificativo como por ejemplo L3351 corresponde a la longitud parcial dentro de la
línea 3 de un segmento de diámetro 3'5 pulgadas de clase 1.
A continuación vamos a analizar lo que sucede en cada una de las iteraciones,
tomando como referencia los resultados de las Tablas 7.2 y 7.3.
1ª iteración
Inicialmente se supone que todas las tuberías son de la Clase 1 y en la 1ª iteración
obtenemos una solución en la cual, la presión estática en las tuberías 3, 4 y 5 (la presión
más desfavorable de entre los dos nudos extremos) es mayor que la soportada por la
clase 1, pero inferior a la de la clase 2; en las tuberías 6, 7 y 8 la presión estática supera
incluso el valor máximo de la clase 2. Además, la presión estática en los nudos de
servicio supera el valor máximo permitido en todos ellos excepto el 2.
Como primera medida se propone la utilización de tuberías de la Clase 2 para las
líneas 3, 4, 5, 6, 7 y 8, y además, al objeto de disminuir las presiones estáticas, se
amplia la formulación para introducir VRP principales en los nudos 2, 3, 4 y 6, y VRP
de servicio en los nudos 3, 4, 7 y 8. Inicialmente se supone un coste nulo de las VRP
en la función objetivo.
2ª iteración: De los resultados se desprenden las siguientes conclusiones:
a)
En el resultado final aparece una VRP principal en el nudo 2 y otra en el 6, cuya
función hace innecesaria la aparición de VRP de servicio en los nudos 7 y 8, y
además, no afecta al valor de la presión dinámica en dicho nudo; en los nudos 3
y 4 aparecen sendas VRP de servicio.
7.13
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
ITERACIONES
1
Variables
Uds.
(m.)
2
Coste
Ud. ($)
Uds.
(m.)
3
Coste
Ud. ($)
Uds.
(m.)
4
Coste
Ud. ($)
Uds.
(m.)
5
Coste
Ud. ($)
Uds.
(m.)
Coste
Ud. ($)
L2351
L2401
L2501
805'2
-----
2'262
2'623
3'607
--805'2
---
2'262
2'623
3'607
--805'2
---
2'262
2'623
3'607
--356'4
448'8
2'262
2'623
3'607
--356'4
448'8
2'262
2'623
3'607
L3351
L3401
L3352
805'2
-----
2'262
2'623
2'623
--750'2
55'0
2'262
2'623
2'623
--805'2
---
2'262
2'623
2'623
--805'2
---
2'262
2'623
2'623
--805'2
---
2'262
2'623
2'623
L4301
L4351
L4302
1207'8
-----
1'902
2'262
2'131
----1207'8
1'902
2'262
2'131
300'7
907'1
---
1'902
2'262
2'131
300'7
907'1
---
1'902
2'262
2'131
300'7
907'1
---
1'902
2'262
2'131
L5251
L5301
L5252
415'3
524'1
---
1'475
1'902
1'574
111'9
524'1
303'4
1'475
1'902
1'574
--939'4
---
1'475
1'902
1'574
--939'4
---
1'475
1'902
1'574
--939'4
---
1'475
1'902
1'574
L6251
L6301
L6252
1610'4
-----
1'475
1'902
1'574
----1610'4
1'475
1'902
1'574
436'7
530'2
643'5
1'475
1'902
1'574
1080'2
530'2
---
1'475
1'902
1'574
811'8
530'2
268'4
1'475
1'902
1'574
L7251
L7252
805'2
---
1'475
1'574
--805'2
1'475
1'574
805'2
---
1'475
1'574
805'2
---
1'475
1'574
--805'2
1'475
1'574
L8201
L8202
402'6
---
1'213
1'311
--402'6
1'213
1'311
402'6
---
1'213
1'311
402'6
---
1'213
1'311
--402'6
1'213
1'311
HLPVN2
HLPVF2
0'0
0'0
0'97
---
0'0
0'0
-----
835'05
0'0
-----
835'05
0'0
-----
835'05
0'0
HLPVN3
HLPVF3
0'0
0'0
-----
0'0
0'0
0'97
---
0'0
0'0
-----
835'05
0'0
-----
835'05
0'0
HLPVN6
HLPVF6
0'0
0'0
4'51
---
0'0
0'0
-----
179'6
0'0
-----
179'6
0'0
-----
179'6
0'0
HLSLV3
0'0
0'85
0'0
0'37
235'3
---
540'5
---
540'5
HLSLV4
0'0
1'46
0'0
---
137'0
0'61
137'0
0'61
327'9
HLSLV7
0'0
---
0'0
3'05
0'0
3'66
65'6
3'66
54'6
HLSLV8
0'0
---
0'0
3'05
0'0
3'66
65'6
3'66
54'6
328'0
8'54
481'6
7'08
544'0
6'71
622'7
6'71
647'6
Hd
10'14
Ct
11654'8 $
12759'0 $
13054'3 $
14001'0 $
14099'4 $
Ccd
4882'9 $
4645'7 $
4409'0 $
4345'2 $
4345'2 $
Cv
0'0 $
2020'0 $
1410'0 $
600 $
600 $
16484'7 $
19424'7 $
18873'3 $
18946'2 $
19044'6 $
TOTAL
NOTA: Los costes expresados en la tabla corresponden a las funciones de coste reales y no a la
aproximación lineal.
Tabla 7.2.- Resultados de cálculo del ejemplo.
7.14
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
ITERACIONES
Nudo
1
2
3
4
5
PE (m.) PD (m.) PE (m.) PD (m.) PE (m.) PD (m.) PE (m.) PD (m.) PE (m.) PD (m.)
1
10'14
10'14
8'54
8'54
7'08
7'08
6'71
6'71
6'71
6'71
2
13'19
11'34
11'58
(10'61)
10'61
(10'61)
10'12
9'15
9'76
9'15
9'76
9'15
3
18'68
15'20
16'10
15'19
15'61
(14'64)
13'78
(13'78)
15'25
13'78
15'25
13'78
4
19'29
13'85
16'71
13'84
15'25
13'20
15'86
13'20
15'86
13'20
5
16'24
9'15
13'66
9'15
12'20
9'15
12'81
9'15
12'81
9'15
6
22'34
11'56
19'76
(15'25)
11'55
(11'55)
18'30
11'54
18'91
11'54
18'91
11'54
7
22'34
9'15
15'25
9'15
18'30
9'15
18'91
9'15
18'91
9'15
8
22'34
9'45
15'25
9'45
18'30
9'45
18'91
9'45
18'91
9'45
NOTA: Los valores expresados entre paréntesis corresponden a la presión a la salida de una VRP
principal, cuando ésta aparece en la solución.
Tabla 7.3.- Presiones estática (PE) y dinámica (PD) del ejemplo.
b)
En las líneas 3, 4, 5, 7 y 8 se han utilizado tuberías de la clase 2, aunque la
máxima presión estática que soportan es incluso menor que la correspondiente a
la Clase 1. La sustitución de dichas tuberías por otras de clase 1 reportaría un
ahorro total de 445'65 $.
De esta forma, el coste real de la solución obtenida en la 2ª iteración, una
vez se ha corregido la clase de tubería es de 19424'7 - 445'65 = 18979'05 $.
3ª iteración:
a)
En la línea 6 se está empleando tubería de clase 2 sin necesidad. La sustitución
por clase 1 reporta un ahorro de 63'7 $.
b)
La VRP de servicio del nudo 3 es innecesaria, puesto que la VRP principal sita
en dicho nudo sustituye su función. La eliminación de esta VRP reporta un ahorro
de 200 $.
7.15
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El coste corregido de la solución es de 18873'3 - 200 - 63'7 = 18609'6 $.
4ª iteración:
Las líneas 6, 7 y 8 emplean tubería clase 1 cuando realmente necesitan clase 2. La
sustitución supone un encarecimiento de 226'12 $, de manera que el coste
corregido de la solución asciende a 18946'2 + 226'12 = 19172'32 $.
5ª y última iteración:
La clase de tubería es la adecuada en todas las líneas, y la solución supone un
coste total de 19044'6 $.
Como podemos comprobar, las soluciones finales obtenidas después corregir los
resultados en todas las iteraciones son factibles; sin embargo, el procedimiento de
optimización conduce a un posible valor óptimo en la 3ª iteración, y sin embargo, sigue
adelante y finaliza con una solución que presenta un coste superior.
Son necesarias dos condiciones para la finalización del proceso iterativo:
A)
Que la clase de tubería seleccionada inicialmente sea la adecuada a las presión
estática que soportan.
B)
Que el valor de aquellas variables de decisión cuyo coste ha sido aproximado a
una función lineal no experimente una variación significativa.
7.2.5.- Crítica del método.
A la vista del ejemplo anterior, parece claro que estas condiciones de finalización
del proceso iterativo no garantizan que se alcance la solución óptima.
Veamos las características principales que concurren en el proceso descrito:
Siempre que aparecen VRP principales, la presión de trabajo de las tuberías resulta
inadecuada en la solución final, tanto por exceso como por defecto. Desde el punto
7.16
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
de vista de los autores esto significa dotar de flexibilidad al proceso, impidiendo
la finalización prematura del mismo.
Inicialmente se considera un coste unitario nulo para todas las VRP que aparecen
en la formulación. Esta medida facilita la aparición de las válvulas en la solución
final. Sin embargo, cuando una VRP desaparece de la solución, en las posteriores
iteraciones se conserva un coste unitario no nulo, dificultando así la
reincorporación de la VRP a la solución.
El propósito de las VRP principales es doble: por un lado, permitir el empleo de
tuberías con menor presión de trabajo, y por otro, conseguir presiones por debajo
del valor máximo en los puntos de servicio.
El primer cometido no se pone de manifiesto a través del proceso de optimización,
puesto que la influencia de la presión de trabajo de las tuberías no aparece de
forma explícita en la función objetivo.
El segundo cometido en cambio, sí es tenido en cuenta dentro del proceso: una
VRP principal aparecerá en la solución final sustituyendo la función de un
determinado número de VRPs de servicio, siempre y cuando el coste total de las
mismas sea superior al de la VRP principal.
Una observación que podemos constatar a la vista de las tablas de resultados es
que cuando aparece una VRP principal, la variable asociada HLPVF (pérdida de
carga en la válvula a caudal pleno) es nula, lo que significa que la presión de
tarado de la misma coincide con la presión dinámica en el nudo donde se ubica,
o expresado de forma distinta, la reducción de presión en la VRP afecta tan sólo
a las presiones estáticas y en ningún caso a la presión dinámica. Sin duda, una
reducción en la presión dinámica requeriría el empleo de diámetros mayores aguas
abajo de la VRP para preservar la presión mínima en los nudos, con el
consiguiente encarecimiento de estas tuberías.
En el siguiente apartado vamos a explotar precisamente esta última circunstancia,
en base a la cual formularemos un nuevo método de optimización original que
contemple la presencia de VRP en redes ramificadas.
7.17
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.3.- CRITERIOS PREVIOS PARA LA IMPLANTACIÓN DE
ESTABLECIMIENTO DE LA PRESIÓN ÓPTIMA DE TARADO.
VRPs:
La disposición de VRPs en las redes ramificadas, pese a constituir una necesidad
funcional habitual, no ha sido generalmente considerada como objeto de optimización.
La única excepción que conocemos se debe a Robinson y Austin [11], cuyo trabajo se
ha analizado en el apartado anterior, basándose en una extensión del método de
Programación Lineal (PL) en la que se plantea optimizar la ubicación y tarado de las
VRPs mediante la imposición de una serie de restricciones funcionales de presión
máxima.
Sintetizando el método de Robinson y Austin, su objetivo consiste en determinar
las presiones de tarado de las VRPs de forma que, cumpliendo las restricciones de
presión máxima, proporcionen el máximo ahorro en tubería disminuyendo su presión de
trabajo, con el mínimo coste de las válvulas. Para poder incluir las VRPs en la
formulación lineal, los autores suponen que el coste de la VRP es una función lineal de
la pérdida de carga que provoca. La principal dificultad del modelo propuesto estriba en
la consideración de que el tarado de una VRP principal pueda influir en las presiones
dinámicas en la red, y por tanto, en la determinación de los diámetros óptimos. Como
hemos visto en el desarrollo del ejemplo, aunque la formulación contempla esta
posibilidad, esto no ocurre de hecho en ningún caso.
A la luz de los resultados del ejemplo y la crítica efectuada, parece claro que el
método no permite asegurar que se alcance la solución óptima en todos los casos. Para
salvar las dificultades que plantea el modelo de Robinson y Austin puede seguirse dos
caminos bien diferentes:
A)
Incluir explícitamente la influencia económica de la presión de trabajo de las
tuberías en la función objetivo, o bien,
B)
Desligar la ubicación y tarado de las válvulas reductoras de presión del
problema de dimensionado de los diámetros de la red.
En el presente apartado vamos a sentar las bases de un método de optimización
para el conjunto de las posibles VRPs a instalar en una red ramificada, siguiendo las
directrices de la opción B, esto es, independizando el problema de dimensionado
7.18
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
hidráulico (determinación del diámetro de las tuberías), del problema de dimensionado
mecánico (determinación de la presión de trabajo o timbraje de las tuberías).
Como veremos a continuación, la separación de ambos problemas sólo va a ser
posible si la presión de tarado de la VRP es superior o igual a la presión dinámica del
punto en que se ubica, y en efecto, así va a suceder puesto que una presión de tarado
por debajo de dicho valor no estaría justificada desde el punto de vista económico.
Para ilustrar esta afirmación utilizaremos un sencillo ejemplo. Supongamos una
ramificación terminal de un red cualquiera, en uno de cuyos extremos aguas abajo se
encuentra la tubería l, con diámetro D1, alimentando al nudo de consumo Nb, como
muestra la Figura 7.3. Vamos a analizar lo que sucede en esta tubería si ubicamos una
VRP en su extremo aguas arriba (nudo Na).
Figura 7.3.- Línea terminal con VRP.
Supongamos que la presión de trabajo de la tubería comercial tan sólo puede
adoptar unos valores estándar, que denominaremos PE>PD>PC>PB>PA. La tubería l está
sometida inicialmente a una presión estática P0, de modo que la presión de trabajo de
la tubería es PE (Clase E) siendo PE>P0>PD.
7.19
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El diámetro de la tubería, que denominamos DE1 (diámetro D1 y presión de
trabajo PE) es suficiente para que en el nudo de consumo Nb ubicado aguas abajo de la
tubería se obtenga una presión dinámica igual a la mínima requerida cuando por ella y
por las tuberías situadas aguas arriba discurre el caudal de diseño, de modo que el coste
de esta tubería es CE1 y la presión dinámica en el nudo aguas arriba, Na, es Pd.
Figura 7.4.- V ariación del coste de la tubería l con la presión de tarado de la VRP.
Si la presión de tarado de la VRP situada en el nudo Na es mayor que el valor P0,
la válvula reductora nunca actuará como tal, puesto que la presión aguas arriba siempre
será inferior a la de tarado.
Reduciendo la presión de tarado a un valor por debajo de P0, es posible conseguir
un ahorro en la tubería al reducir su presión de trabajo. La Figura 7.4 muestra la
variación del coste de la tubería l cuando se reduce la presión de tarado de la VRP. Por
debajo de una presión de tarado Pt=P1, es posible utilizar tubería de clase D, cuyo coste
pasa a ser CD1 (CE1>CD1). Si se reduce aún más la presión de tarado por debajo del valor
Pt=P2 será posible emplear tubería de la clase C, cuyo coste CC1 es aún menor.
7.20
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Sin embargo, cuando la presión de tarado toma valores inferiores a Pd, la presión
de alimentación de la tubería será insuficiente para mantener en su extremo aguas abajo
la presión mínima exigida, con el mismo diámetro D1.
La única forma de restaurar la presión mínima en el nudo Nb es reducir las
pérdidas de carga aumentando el diámetro de la tubería al siguiente comercialmente
disponible D2 (D2>D1) y como consecuencia, el coste de la tubería se incrementará desde
CC1 a CC2 (correspondiente a una tubería de diámetro D2 y clase C).
Naturalmente, si continuamos disminuyendo la presión de tarado de la VRP es
posible reducir aún más el timbraje de la tubería, pero la reducción del coste
subsiguiente no compensará el incremento causado por el aumento del diámetro, o lo
que es lo mismo:
C
C2
C
C
C 1 > C2
B
C2
(7.18)
como claramente se pone de manifiesto en la Figura 7.4.
Esta condición se cumple para cualquier tubería comercial, sea cual sea el material,
el diámetro y la presión de trabajo, como puede comprobarse sobre cualquier catálogo
de precios de tuberías, y este hecho constituye precisamente la base para establecer la
presión de tarado óptima de una VRP como la presión dinámica existente en el punto
en que se ubica, para las condiciones de diseño.
El mínimo coste de la tubería se consigue pues cuando la presión de tarado de la
VRP está comprendido entre P2 y Pd, siendo esta última la presión dinámica en el nudo
Na, y P2 el valor de la presión de tarado para el cual se produce la última reducción de
la presión de trabajo de la tubería antes del incremento del diámetro.
Esta conclusión equivale a decir que el valor óptimo de la presión de tarado de
una VRP no va a influir en el nivel dinámico de presiones y por lo tanto, nunca va a
suponer una modificación de los diámetros adoptados bajo criterios de economía. Es
posible por tanto, desde un punto de vista económico, separar el proceso de
dimensionado óptimo de los diámetros, del establecimiento de las posibles VRPs en la
red y su presión de tarado.
Así pues, la presión óptima de tarado de una VRP dada, en el contexto de un red
7.21
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
cuyos diámetros hayan sido previamente optimizados, vendrá definida por la presión
dinámica resultante en el punto de ubicación de la misma; de esta forma, el proceso de
selección del conjunto óptimo de VRP se limita a establecer cuáles de las posibles
válvulas estarán presentes en la solución final, esto es, las variables de decisión van a
ser en tal caso de tipo binario (ubicar o no una determinada VRP).
Para cualquier posible VRP, podemos calcular su presión óptima de tarado, y el
máximo caudal que fluye a través de ella será también un dato conocido; en
consecuencia, estos dos factores son suficientes para determinar su selección, y por
consiguiente su coste.
El criterio que se ha expuesto para establecer la presión óptima de tarado de una
VRP debe de ser modificado en el caso de que concurran determinadas circunstancias
que afecten a las presiones dinámicas consideradas, como son:
a)
Que el dimensionado de la red se haya realizado contemplando varios
estados de carga: En este caso, la presión óptima de tarado corresponderá al
máximo valor de la presión dinámica en el nudo donde se ubica la VRP, de
entre todos los estados de carga.
b)
Que existan holguras de presión en algunos nudos de consumo de la red:
Esto significa que la presión dinámica en algunos de estos nudos excederá
el valor mínimo necesario. En tal caso, una VRP ubicada aguas arriba de
tales nudos puede poseer una presión de tarado menor incluso que la presión
dinámica en dicho nudo sin que las presiones dinámicas en los nudos
ubicados aguas abajo violen las restricciones de presión mínima.
La aparición de holguras de presión es muy habitual, fundamentalmente debido al
empleo de diámetros mayores de los estrictamente necesarios para conseguir unas
presiones mínimas debido a la limitación de la velocidad del agua en las tuberías.
Esta restricción funcional, que es usual en el dimensionado de redes, se introduce
para evitar la erosión del material, y también para acotar las sobrepresiones producidas
por el golpe de ariete. Los valores máximos admisibles suelen estar comprendidos entre
2 y 3 m/s.
7.22
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Esta limitación de velocidad se traduce en un diámetro mínimo admisible para
cada tubería, Dmin, en función del caudal de diseño q, que deberá cumplir la condición
expresada en (6.9),
Dmin (comercial) ≥
4q
π vmax
Como consecuencia de esta restricción, puede suceder que al finalizar el
dimensionado de una red, algunos nudos alcanzan presiones superiores a la mínima
exigida, simplemente porque algunas de las tuberías situadas aguas arriba han alcanzado
su diámetro mínimo en el proceso de optimización; las consecuencias de este hecho
sobre la presión de tarado óptima de una VRP se muestran en la Figura 7.5.
Figura 7.5.- Ramificación de tuberías con holgura de presión.
Como se desprende de la figura, la presión de tarado óptima podrá rebajarse aún
en este caso en el valor mínimo de la holgura de presión de entre todos los nudos
situados aguas abajo de la VRP, esto es:
Pt ( óptimo )
Pd
∆ Pd
(7.19)
donde Pd es la presión dinámica del nudo donde se ubica la VRP para la situación de
diseño, y ∆Pd es el valor mínimo de las holguras de presión (Pd,i - Pmin,i) en los nudos i
situados aguas abajo de la VRP.
7.23
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.4.- UBICACIÓN ÓPTIMA DEL CONJUNTO DE VRPs EN UN SISTEMA DE
TUBERÍAS EN SERIE.
7.4.1.- Introducción.
Como consecuencia de los principios establecidos en el apartado anterior, para
determinar la presión óptima de tarado de una VRP dada, necesitaremos conocer el
diámetro de las tuberías de la red, obtenidos por cualquier procedimiento, basado en
criterios económicos o no, así como los caudales de diseño que se han utilizado, y
finalmente, la presión mínima de servicio requerida en los nudos ubicados aguas abajo
de la VRP en cuestión (para establecer el valor de las holguras de presión).
Por otra parte, para determinar el ahorro que una VRP puede producir en una
determinada línea de la red, es necesario conocer no sólo el coste de la tubería de dicha
línea, sino además, la diferencia de precio de la misma cuando se emplea una u otra
presión de trabajo.
La determinación de la presión óptima de tarado propuesta anteriormente satisface
parcialmente el objetivo buscado, pero todavía falta formular un procedimiento para
determinar cuáles de las posibles VRPs a ubicar en una red ramificada serán más
eficientes desde el punto de vista económico, o de otra forma, determinar el conjunto
óptimo de VRPs que maximizan el ahorro en tuberías, como consecuencia de reducir la
presión de trabajo de las mismas, teniendo en cuenta además el propio coste de las
válvulas.
Antes de analizar en profundidad los métodos para optimizar la ubicación de las
válvulas reductoras de presión, deberemos de pasar revista a las peculiaridades que
presenta el uso de VRPs en la red. Por fijar un criterio, se considera que las VRPs se
ubicarán en los nudos del sistema, al igual que en el método de Robinson y Austin. Ello
no constituye ninguna limitación al problema, puesto que siempre es posible considerar
en la formulación un nuevo nudo de la red en cualquier punto candidato a albergar una
posible VRP, aunque no se trate de uno de los nudos definidos inicialmente.
En primer lugar, como se ha expuesto anteriormente, podemos asociar cada una
de las posibles VRPs a una variable de decisión de tipo binario Xi cuyo valor será 1 si
la VRP en cuestión existe y 0 si no ocurre así.
7.24
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
En segundo lugar, la decisión de incluir una VRP en la red puede aportar un
ahorro en las tuberías que se encuentran aguas abajo de la misma, pero no hay que
olvidar que esta decisión acarrea un coste adicional, el de la propia válvula y su
instalación; por esta razón, una VRP cuyo coste propio sea superior al máximo ahorro
que podría llegar a producir en las tuberías, nunca aparecerá en la solución final, por lo
que no será necesario incluirla en el proceso de optimización.
En tercer lugar, se plantea una complicación adicional al considerar la posibilidad
de ubicar varias VRPs en la red simultáneamente, puesto que el ahorro en tubería que
puede producir cada una de ellas dependerá de la presencia del resto. Para explicar este
concepto, imaginemos una ramificación de la red, en la que se plantea la ubicación de
dos posibles VRPs, que denominamos VRPa y VRPb, como muestra la Figura 7.6.
Figura 7.6.- Ramificación con dos posibles VRPs.
La válvula VRPa puede producir un ahorro sobre las tuberías de las zonas A y B,
mientras que VRPb actúa solamente sobre la zona B. En cuanto a la magnitud del
posible ahorro, VRPa actúa sobre una longitud de tuberías sin duda superior que en el
caso de VRPb, pero esta circunstancia no es suficiente para aseverar que el ahorro
producido por VRPa es superior al que proporciona VRPb. En efecto, puesto que la línea
de alturas piezométricas es estrictamente decreciente, VRPb permite una mayor reducción
de la presión que VRPa y por ello, tal vez podría producir un ahorro mayor que VRPa
en las tuberías de la zona B.
7.25
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
La Figura 7.7 representa el ahorro en tubería en las zonas A y B, obtenido al
instalar las válvulas VRPa y VRPb. El área correspondiente al caso 1 representa el ahorro
que se obtiene instalando solamente VRPa; el área del caso 2 corresponde al ahorro
proporcionado al instalar solamente VRPb y finalmente, el área del caso 3 representa el
ahorro obtenido en las tuberías cuando se instalan conjuntamente ambas válvulas.
Figura 7.7.- A horro en tuberías obtenido en la instalación de la Fig. 7.6.
Es evidente que el ahorro que se obtiene instalando ambas válvulas es siempre
menor o igual a la suma de los ahorros que proporcionan las mismas por separado,
como tendremos ocasión de comprobar más adelante. Esta condición es de suma
importancia para formular posibles métodos de optimización de las VRPs.
Continuando con el mismo caso, la Figura 7.8 representa los ahorros que se
obtendrían por efecto de instalar VRPa y VRPb.
En el caso (1) se considera en primer lugar la instalación de VRPa, que produce
un ahorro A1; la ubicación de VRPb en esta situación acarrea un ahorro en tubería (A2),
menor del que podría proporcionar si no existiese VRPa.
7.26
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El caso (2) representa la situación inversa, esto es, se ubica en primer lugar VRPb
produciendo un ahorro A1' , y en segundo lugar se instala VRPa, produciendo un ahorro
A2' , que sólo afecta a las tuberías de la zona A, y es por supuesto menor al que podría
llegar a producir si VRPb no hubiese sido instalada.
Figura 7.8.- Secuencia de instalación de las VRPs y ahorros asociados.
Naturalmente, el ahorro total obtenido es independiente del orden en que
consideremos la introducción de cada una de las VRPs, esto es A1+A2 = A1' +A2' , pero
observemos que el ahorro asociado a la instalación de cada VRP no es constante y
dependerá de la existencia de otras VRPs en la solución.
Al objeto de analizar los diferentes procedimientos planteados para optimizar la
ubicación de las válvulas reductoras y comparar su efectividad, vamos a trabajar con un
sencillo ejemplo, representado en la Figura 7.9.
El sistema consiste en un conjunto de nueve tuberías dispuestas en serie, que
suministra agua a todos los nudos representados. El sistema está alimentado a una
presión conocida, por ejemplo, mediante un depósito cuyo nivel de agua se sitúa a una
altura de 150 m.
7.27
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para dimensionar el sistema se ha empleado un modelo de Programación Lineal
(programa DIOPRAM), ya explicado en el Capítulo 5, considerando una velocidad
máxima admisible de 2 m/s y una presión mínima de 25 m. en todos los nudos de
consumo.
Figura 7.9.- Sistema formado por una serie de tuberías.
Los parámetros de funcionamiento del sistema, una vez dimensionado, aparecen
en la Tabla 7.4. Los diámetros de las tuberías y su presión de trabajo corresponden a un
material comercial, cuyos datos completos se encuentran en la Tabla 7.5.
Para el cálculo de la pérdida de carga en las tuberías se ha empleado la fórmula
de Darcy-Weisbach, obteniendo el valor del factor de fricción f a partir de la expresión
de Colebrook-White, considerando una rugosidad absoluta de ε=0'025 mm.,
correspondiente a tubería de fibrocemento.
En la Figura 7.9 se ha trazado la línea de alturas piezométricas (LAP) obtenida tras
el dimensionado; como puede comprobarse, en todos los nudos de consumo la presión
dinámica es superior a la presión mínima exigida, debido a la restricción de velocidad
máxima.
7.28
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Línea Longitud Caudal Diám. Presión trabajo Pérdida Máx. presión
(m.)
(l/s)
(mm.)
(Clase)
carga (m.) estática (m.)
(m.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
800
650
350
500
700
650
350
450
200
90
80
70
60
50
40
30
20
10
250
250
250
200
200
175
150
125
100
75 (C)
75 (C)
75 (C)
100 (D)
100 (D)
125 (E)
125 (E)
125 (E)
150 (F)
9'09
5'92
2'49
8'01
7'98
9'44
6'37
9'46
3'49
Nudo aguas abajo
Cota (m.)
55
70
85
95
100
110
120
125
130
Presión
dinámica (m.)
95
80
65
55
50
40
30
25
20
Coste
(·103 ptas.)
45'9
55'0
67'5
69'5
66'5
67'1
70'7
66'2
67'8
3262'4
2650'7
1639'7
1688'0
2363'2
2266'5
893'5
828'4
261'6
Total
15854'0
Tabla 7.4.- Parámetros de funcionamiento del sistema.
Presión de trabajo en m. (Clase)
Diam
(mm)
25
(A)
50
(B)
75
(C)
100
(D)
125
(E)
150
(F)
800
970
100
830
980
1190
125
1180
1460
1840
80
150
1410
1740
2030
2550
175
1830
2370
2750
3490
200
2110
2310
2890
3380
3760
4310
250
2600
3270
4080
4690
5160
5890
300
3850
4470
5470
6240
6640
7270
350
4400
5440
6530
7610
8380
9150
400
5710
7240
8150
9020
9930
10830
450
7630
8630
9810
10550
11720
12110
Tabla 7.5.- Coste unitario de las tuberías (ptas/m.).
Con la ubicación de las VRPs se pretende conseguir el máximo ahorro en las
tuberías reduciendo su timbraje, sin modificar los diámetros de la red y respetando las
presiones mínimas en los nudos de consumo.
Para la optimización del conjunto de VRPs a instalar, se considera la posibilidad
de ubicar una VRP en cada uno de los nudos del sistema, sin incluir el nudo de cabecera
ni el nudo extremo, puesto que no tienen ninguna implicación en el posible ahorro en
tuberías.
7.29
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El primer paso consiste en calcular la presión de tarado óptima para cada VRP,
a partir de las presiones dinámicas y las holguras de presión que se presentan en los
nudos del sistema situados aguas abajo de la VRP en cuestión, tal y como se ha
explicado en el apartado anterior.
Como ejemplo, vamos a calcular la presión óptima de tarado de una VRP ubicada
en el nudo 4 (VRP4). La presión dinámica en este nudo vale 69'5 m., pero la existencia
de holguras de presión permite adoptar una presión de tarado inferior a este valor sin
violar las restricciones de presión mínima en los nudos aguas abajo.
Nudo
Pd Pmin
(m.) (m.)
Holgura
[Pd-Pmin] (m.)
5
66'5 25'0
41'5
6
67'1 25'0
42'1
7
70'7 25'0
45'7
8
66'2 25'0
(*) 41'2
9
67'8 25'0
42'8
A la vista de la Tabla 7.6, podemos obtener
el valor de la presión óptima de tarado de
VRP4, como:
Pt,4 = Pd,4 - min [Pd,i - Pmin,i] i=5,..,9
esto es:
Pt,4 = 69'5 - 41'2 = 28'3 m.
Tabla 7.6.- Holgura de presión en
los nudos aguas abajo de VRP4
Al ubicar la válvula VRP4, la presión estática a la salida pasa a ser igual a su
presión de tarado. Los nudos ubicados aguas abajo de VRP4, afectados por la acción de
ésta, experimentan una reducción en la presión estática igual a la que se produce en el
nudo 4, esto es, ∆Pe = Pe,4 - Pt,4 = 95'0 - 28'3 = 66'7 m.
La reducción en la presión estática acarrea la posibilidad de emplear tuberías con
menor presión de trabajo y por lo tanto más económicas. La Tabla 7.7 muestra el ahorro
que es posible conseguir en las tuberías afectadas al ubicar la válvula VRP4, con la
presión de tarado óptima.
El efecto de cada una de las posibles VRPs se calcula siguiendo un procedimiento
análogo. De esta manera obtenemos los datos que se presentan en la Tabla 7.8.
7.30
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Línea
5
6
7
8
9
Longitud Diám.
(m.)
(mm.)
700
650
350
450
200
Máx.
presión
estática
(m.)
200
175
150
125
100
100
110
120
125
130
Presión
trabajo
(Clase)
(m.)
100
125
125
125
150
Situación resultante al ubicar VRP4
Coste
(·103 ptas.)
(D)
(E)
(E)
(E)
(F)
2363'2
2266'5
893'5
828'4
261'6
TOTALES
Máx.
Presión
presión trabajo
Coste
Ahorro
estática (Clase) (·103 ptas.) (·103 ptas.)
(m.)
(m.)
33'3
43'3
53'3
58'3
63.3
50
50
75
75
75
(B)
(B)
(C)
(C)
(C)
6613'5
1612'2
1186'5
608'5
533'4
181'6
751'0
1080'0
285'0
295'0
80'0
4122'5
2491'0
Tabla 7.7.- Resultados obtenidos al instalar VRP4.
LINEAS
VRP
Presión
Tarado
(m.)
Caudal
(l/s)
Coste Valvula
(·103 ptas.)
2
3
4
5
6
7
8
9
1
15'9
80
300
528
497
246
344
775
181
169
46
2
13'7
70
300
497
537
751
775
285
295
80
3
26'3
60
250
537
751
775
285
295
80
4
28'3
50
250
751
1080
285
295
80
5
25'3
40
250
1080
405
295
80
6
25'8
30
200
405
388
80
7
29'5
20
200
388
80
8
23'5
10
180
80
Tabla 7.8.- A horros conseguidos al situar una VRP en cada uno de los nudos del
sistema (·103 ptas.).
Dentro de la Tabla 7.8, en la columna correspondiente al caudal, se ha considerado
que cada VRP se ubica inmediatamente aguas abajo de la derivacíon para el consumo
del nudo correspondiente. El coste de cada VRP ha sido asignado de forma arbitraria,
aunque considerando que para mayores caudales será necesario instalar VRPs de mayor
tamaño y por ello, de mayor coste.
La zona en blanco corresponde a las líneas que no están afectadas por una VRP
(se encuentran aguas arriba aguas arriba de la misma) y por tanto, no experimentan
ahorro alguno por efecto de la instalación de ésta.
7.31
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Los ahorros en tubería que presenta la Tabla 7.8 corresponden a la instalación de
una única VRP en cada caso, y no muestra, al menos de forma explícita, la influencia
de la posible instalación de las demás. La decisión de ubicar o no una determinada VRP
en un nudo estará determinada por el ahorro que implica, y éste a su vez dependerá de
la ubicación de algunas o todas las restantes VRPs.
Una alternativa para optimizar el conjunto de VRP es plantear todas las
combinaciones posibles: en el caso del ejemplo, las dos posibles decisiones asociadas
a cada una de las VRPs consisten en instalarla (Xi=1) o no (Xi=0), lo que significa un
total de 28=256 alternativas, pero con un mayor número, el problema podría resultar
impracticable.
A continuación, vamos a plantear diferentes posibilidades para resolver el
problema de optimizar la ubicación de las VRPs en el sistema, buscando la máxima
eficiencia económica, esto es, minimizar el ahorro neto (ahorro en tuberías menos coste
de inversión en VRPs) que podemos obtener mediante su instalación.
7.4.2.- Solución mediante Programación Entera.
Puesto que las variables de decisión vinculadas con la instalación de las VRPs son
de tipo binario, es posible formular el problema de optimización en términos apropiados
para su resolución mediante Programación Entera Binaria.
La función objetivo deberá contemplar tanto el ahorro en tubería asociado a la
presencia de las válvulas, como el propio coste de las mismas, esto es:
NV
Ai
FUNCIÓN OBJETIVO Z
Cvi Xi
(7.20)
i 1
donde Cvi es el coste que supone instalar VRPi, Ai representa el ahorro en tubería que
proporciona dicha válvula y NV es el número de VRPs consideradas en el problema.
Considerando aisladamente la instalación de cada VRPi, el coeficiente Ai será igual
a la suma de los ahorros conseguidos en las tuberías afectadas por su presencia, esto es:
j ∈P i
gi , j
(7.21)
donde Pi representa en este caso el conjunto de tuberías situadas aguas abajo de VRPi
y gi,j es el ahorro alcanzado en la tubería j como consecuencia de la instalación de VRPi.
7.32
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
En el ejemplo que estamos considerando, los valores de gi,j son precisamente los que
presenta la Tabla 7.8.
Pero además del efecto económico aislado de un determinada VRP, la función
objetivo debe incluir la influencia del resto de válvulas. Recordemos que el ahorro
proporcionado por una VRP cambia sustancialmente en el caso de que existan otras
VRPs instaladas.
Siguiendo con el ejemplo, vamos a evaluar las consecuencias de instalar VRP2. Si
no existen otras válvulas instaladas, el ahorro en tubería que se conseguirá es:
A2
j ∈P 2
g2 , j
mientras que en el caso de que VRP1 haya sido instalada con anterioridad, el ahorro que
puede proporcionar VRP2 será:
A2
j ∈P 2
g2 , j
j ∈P 2
g1 , j
j ∈P 2
g2 , j
g1 , j
puesto que los valores del ahorro g1,j en las tuberías j del conjunto P2 ya habrán sido
contabilizadas al incluir VRP1.
La generalización de esta formulación exige una cierta cautela para evitar que los
ahorros en las tuberías se sumen o detraigan varias veces. Por ello, estableceremos un
cierta jerarquía en el conjunto de VRPs, de forma que para calcular el coeficiente Ai se
tomará en cuenta únicamente la influencia "antieconómica" de las válvulas situadas
aguas arriba de la misma.
Podemos pues formular el coeficiente Ai en los siguientes términos:
Ai
j∈P i
gi , j
Xl
l <i
1
(i >m >l)
Xm
k ∈P i
gl , k
(7.22)
donde el índice l representa a las válvulas situadas aguas arriba de VRPi y el índice m
hace referencia a las válvulas que se encuentran entre VRPi y VRPl.
El criterio de índices seguido en la expresión (7.22) es válido en tanto las VRPs
se numeren en el sentido de circulación del caudal.
7.33
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El significado de la expresión anterior, que no puede calificarse de sencilla,
responde al siguiente criterio:
Ahorro producido
VRPi aisladamente
Ai =
Ahorro producido en las tuberías del conjunto
- Pi por la primera VRP que se encuentra hacia
aguas arriba
por
Si completamos la función objetivo de (7.20) con la expresión (7.22) obtenemos:
NV
Z
i 1
j∈P i
gi , j
Cvi
Xl
Xm
1
l <i
(i >m >l)
k ∈P i
gl , k
Xi
(7.23)
Lamentablemente la expresión anterior no es lineal, pero puesto que las variables
Xi son binarias (0/1), es posible definir una nuevas variables auxiliares sustituyendo a
los productos del tipo:
Xi Xl
1
Xm
(7.24)
i >m >l
En general, para realizar la sustitución de un producto de N variables binarias yi
por una única variable binaria Y, tal que:
N
Y
1 si yi
yi
i
1 ∀i
0 si ∃ i / yi
1
(7.25)
0
en una formulación lineal, deberá incluirse dos restricciones adicionales para cada nueva
variable:
N
(a)
Y ≤ N
yi
i
1
1
(7.26)
N
(b)
yi
i
N Y ≤ 0
1
La restricción (a) garantiza que si todas las variables yi toman un valor 1, la
variables Y valdrá 1, aunque si alguna yi vale 0, no proporciona ninguna condición para
el valor de Y. La restricción (b) se adopta para asegurar que si alguna yi vale 0, también
sea nula la variable Y.
7.34
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para el ejemplo que se presenta, definiremos las variables auxiliares como:
Yi , l
Xi Xl
Xm
1
(7.27)
i >m >l
siendo las restricciones adicionales:
(a) Xi
Xl
Xm
1
Yi , l ≤ Nm
1 → Xi
Xl
i>m>l
(b)
Xi
Xl
1
Xm
Nm
Xm
i>m>l
Yi , l ≤ 1
2 Yi , l ≤ 0 →
(7.28)
i>m>l
→
Xi
Xl
Xm
i>m>l
Nm
2 Yi , l ≤ Nm
donde Nm representa el número de VRPs posibles a ubicar entre VRPi y VRPl.
Con todas estas consideraciones, la formulación para el caso del ejemplo resulta:
Maximizar
-
2486.0
2258.0
1761.0
1515.0
1171.0
396.0
215.0
X1 + 2920.0 X2 + 2473.0 X3 +
Y21
Y31 - 2723.0 Y32
Y41 - 2186.0 Y42 - 2186.0 Y43
Y51 - 1435.0 Y52 - 1435.0 Y53
Y61 - 660.0 Y62 - 660.0 Y63
Y71 - 375.0 Y72 - 375.0 Y73
2241.0 X4 + 1610.0 X5 + 673.0 X6 + 268.0 X7
- 1740.0 Y54
- 660.0 Y64 - 780.0
- 375.0 Y74 - 375.0
Y65
Y75 - 468.0
Y76
Sujeto a:
X1 +
- X1
X1 - X1
X2 +
- X2
X1 +
- X1
X4 +
- X4
X3 +
- X3
X1 +
- X1
X2 +
- X2
X3 +
- X3
X4 +
- X4
X1 +
X2 - Y21
1
- X2 + 2 Y21 0
X2 + X3 - Y31
1
+ X2 - X3 + 3 Y31
1
X3 - Y32
1
- X3 + 2 Y32
0
X4 - X2 - X3 - Y41
1
- X4 + X2 + X3 + 4 Y41
2
X2 - X3 - Y42
1
- X2 + X3 + 3 Y42
1
X4 - Y43
1
- X4 + 2 Y43
0
X5 - X2 - X3 - X4 - Y51
1
- X5 + X2 + X3 + X4 + 5 Y51
X5 - X3 - X4 - Y52
1
- X5 + X3 + X4 + 4 Y52
2
X5 - X4 - Y53
1
- X5 + X4 + 3 Y53
1
X5 - Y54
1
- X5 + 2 Y54
0
X6 - X2 - X3 - X4 - X5 - Y61
3
1
- X1
X2 +
- X2
X3 +
- X3
X4 +
- X4
X5 +
- X5
X1 +
- X1
X2 +
- X2
X3 +
- X3
X4 +
- X4
X5 +
- X5
X6 +
- X6
- X6
X6 - X6
X6 - X6
X6 - X6
X6 - X6
X7 - X7
X7 - X7
X7 - X7
X7 - X7
X7 - X7
X7 - X7
+ X2 + X3 + X4 + X5 + 6 Y61
4
X3 - X4 - X5 - Y62
1
+ X3 + X4 + X5 + 5 Y62
3
X4 - X5 - Y63
1
+ X4 + X5 + 4 Y63
2
X5 - Y64
1
+ X5 + 3 Y64
1
Y65
1
+ 2 Y65
0
X2 - X3 - X4 - X5 - X6 - Y71
1
+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + 7 Y71
X3 - X4 - X5 - X6 - Y72
1
+ X3 + X4 + X5 + X6 + 6 Y72
4
X4 - X5 - X6 - Y73
1
+ X4 + X5 + X6 + 5 Y73
3
X5 - X6 - Y74
1
+ X5 + X6 + 4 Y74
2
X6 - Y75
1
+ X6 + 3 Y75
1
Y76
1
+ 2 Y76
0
5
Podemos comprobar que la válvula VRP8 no ha sido tomada en consideración,
puesto que el ahorro que puede llegar a producir aisladamente es menor que su propio
coste, por lo que nunca aparecerá en la solución final.
7.35
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para obtener la solución óptima, se ha procesado el ejemplo mediante el programa
LINDO para Programación Lineal y Entera, obteniendo los siguientes resultados:
X1 = X3 = X5 = 1
Ahorro neto Z = 3.373.000 ptas.
X2 = X4 = X6 = X7 = 0
La Figura 7.10 muestra el estado final de presiones del sistema al actuar las VRPs
contempladas en la solución óptima, tanto para condiciones estáticas como dinámicas.
Figura 7.10.- Presiones en el sistema del ejemplo con las VRPs de la solución final.
Para formular un problema de esta índole con N válvulas en términos de
Programación Entera Binaria, es necesario definir N·(N+1)/2 variables, de las cuales N
corresponden a las auténticas variables Xi de decisión (ubicar o no una VRP), mientras
que el resto de las N·(N-1)/2 variables son auxiliares. A su vez, la presencia de estas
variables auxiliares requiere la definición de N·(N-1) restricciones adicionales.
El número de variables y restricciones del problema aumenta de manera
aproximadamente cuadrática con el número de VRPs consideradas, y si a ello se añade
la complejidad del manejo interno de las variables enteras por parte del programa de
7.36
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
cálculo, la viabilidad práctica de este tipo de modelo queda en entredicho para un
número de VRPs no excesivamente grande.
La ventaja fundamental que aporta es que proporciona la solución óptima después
de un número finito de operaciones. La existencia de dicha solución óptima está
garantizada, puesto que se parte de una situación formal e hidráulicamente factible, que
responde a la solución {Xi=0 ∀i}.
7.4.3.- Solución mediante Algoritmos Genéticos.
Otro de los posibles métodos que podemos emplear para resolver el problema
planteado se conoce genéricamente con el nombre de Algoritmos Genéticos (AG) y
están basados en las leyes de selección natural.
Es un método especialmente indicado en todos aquellos problemas formulables en
variables binarias y en los que otros métodos de búsqueda no resultan convenientes, bien
sea porque el espacio de soluciones no es conexo, por la existencia de varios óptimos
locales o por la imposibilidad de obtener derivadas de la función objetivo.
La mayoría de las técnicas de búsqueda convencionales parten de una solución
factible que se pretende mejorar aplicando criterios de muy diverso tipo, pero cuya
característica general es el desplazamiento en la dirección que indica una posible mejora
de la función objetivo. Cuando la complejidad del problema aumenta, la estructura
topológica del espacio de soluciones presenta peculiaridades cada vez más intrincadas
e insalvables, que dificultan de modo considerable la exploración de dicho espacio.
Por el contrario, los Algoritmos Genéticos están basados en la exploración del
espacio de soluciones a partir de un conjunto de puntos aleatoriamente dispuestos
(población), de forma que mediante unas sencillas reglas de transición probabilística se
generen sucesivas poblaciones que mejoren el valor (aptitud) obtenido en las anteriores.
Puesto que las reglas de transición que permiten construir una población de
soluciones a partir de otra son de naturaleza probabilística, no aseguran que se alcance
la solución óptima, pero sí garantizan una exploración más exhaustiva del espacio de
7.37
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
soluciones, sin el peligro de que los puntos de la población queden confinados en un
entorno de un punto óptimo local.
Según Goldberg [2], los AG responden a unas expectativas para las que otros
métodos de búsqueda tradicionales resultan limitados, como son:
se trata de un procedimiento general e independiente de la estructura del
problema.
requiere un mínimo de información auxiliar para guiar la búsqueda.
presentan una perspectiva más global que el resto de técnicas, puesto que
exploran el espacio de soluciones a partir de un conjunto de puntos.
Los elementos de trabajo de un AG son los siguientes:
Eslabón: Unidad básica de información, que toma un valor binario (0/1). El
valor de una variable de decisión puede representarse mediante un conjunto de
eslabones (representación binaria de un número). Un eslabón puede representar
también la existencia o inexistencia de una determinada característica en la
solución.
En el problema de optimización de las VRP que hemos planteado, la
presencia o ausencia de una VRP se simboliza con un eslabón de valor 1 o 0
respectivamente.
Cadena: Es la representación de una solución del problema, y está constituida
por una serie ordenada de eslabones, donde cada uno de ellos (o cada grupo de
eslabones) está asociado a una determinada variable de decisión.
La característica que mide la "bondad" de una cadena respecto de otras se
conoce con el nombre de aptitud de la misma. En el caso que nos ocupa, la
aptitud de una cadena está dada por el valor de la función objetivo para la
solución que representa, esto es, el ahorro neto que proporciona.
Población: Conjunto discreto y finito de cadenas, estando asociada cada una de
ellas a una posible solución del problema.
7.38
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
En el problema que nos ocupa, los eslabones corresponden a las variables de

decisión Xi asociadas a la válvula VRPi. Una cadena X
está constituida por NV
eslabones ordenados {X1, X2, ... ,XNV} y corresponderá a una posible solución al
problema de optimización del conjunto de VRPs.
p
La aptitud de la cadena X
corresponde al valor de la función objetivo para la
p
solución representada, esto es Z = Zp(Xp1, Xp2, ... ,XNp V). Finalmente, una población P está
1 2
 NC
constituida por un conjunto de NC cadenas, de forma que P={X
, X ,..., X
}.
Los AG tratan de manipular la población, siguiendo un paralelismo con las leyes
de selección natural, para conseguir una "evolución" de la población inicial hacia nuevas
poblaciones cuya aptitud promedio sea cada vez superior, y ello se consigue mediante
la intervención de tres procesos básicos, que son:
Reproducción: Las cadenas de una población que poseen una mayor aptitud, se
"reproducen" un mayor número de veces en la siguiente población. Una medida
de la probabilidad de reproducción de una cadena en la siguiente población
puede ser la aptitud relativa respecto del conjunto de la población, esto es:
Aptitud relativa de la cadena p
Zp
(7.29)
NC
Zq
q 1
Naturalmente puede adoptarse cualquier otro criterio que refuerce o debilite la
reproducción de las cadenas más aptas.
Figura 7.11.- Proceso de reproducción.
7.39
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Cruzamiento: En el proceso de reproducción se ha generado una población
intermedia, donde se refuerza la presencia de las cadenas más aptas. A
continuación se emparejan aleatoriamente las cadenas de la población
intermedia y se realiza un cruzamiento entre los eslabones de cada pareja de
cadenas a partir de un determinado eslabón, también escogido de forma
aleatoria.
Figura 7.12.- Proceso de cruzamiento.
La probabilidad de que una pareja de cadenas resulten cruzadas se conoce
como tasa o probabilidad de cruzamiento pc.
Mutación: Finalmente, el proceso de mutación se aplica a la población
resultante del cruzamiento y consiste simplemente en la transposición del valor
de un eslabón en una cadena, esto es, si su valor es 0 pasa a ser 1 y viceversa.
Para comprender la utilidad de este proceso, imaginemos que en la población
inicial, un determinado eslabón tenga el mismo valor en todas las cadenas; es
evidente que los procesos de reproducción y cruzamiento no van a modificar
en ningún caso el valor de dicho eslabón, y de no existir otro tipo de
procedimiento que permita esa modificación, la búsqueda quedaría confinada
en una porción del espacio de soluciones. El proceso de mutación puede
establecer una posible "vía de escape" para impedir el confinamiento de la
búsqueda. La probabilidad de que un eslabón resulte mutado se denomina tasa
o probabilidad de mutación pm.
7.40
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El ejemplo que presenta Goldberg [2], para la optimización energética de una
conducción con varias estaciones de bombeo en serie, utiliza una población compuesta
por 100 cadenas, cada una de las cuales posee 40 eslabones, con una probabilidad de
cruzamiento pc = 0'7 y una probabilidad de mutación pc = 0'01.
Estos parámetros responden a unos criterios generales que aconsejan el empleo de
poblaciones de tamaño moderado (NC = 35÷200), con probabilidad de cruzamiento
elevada (pc = 0'5÷1'0) y probabilidad de mutación inversamente proporcional al tamaño
de la población (pm = {0'1/NC}÷{5'0/NC}).
Aunque la intervención del azar es fundamental en la realización de los procesos
descritos, la búsqueda no es aleatoria, al menos en su totalidad, puesto que está dirigida
por procesos y parámetros bien definidos. Los AG pueden calificarse como métodos
heurísticos, puesto que es el propio algoritmo quien "aprende" a orientar el proceso de
búsqueda hacia poblaciones con una mayor aptitud promedio.
Aunque no puede demostrarse formalmente que los AG poseen una efectividad
mayor que otros métodos de búsqueda, ni tan siquiera que sean más efectivo que una
simple búsqueda aleatoria, su aplicación práctica pone de manifiesto que la aptitud
promedio de la población aumenta como consecuencia de su aplicación sucesiva.
La estructura del problema de optimización de una sistema con VRPs, como el que
se ha planteado, es idónea para su resolución mediante un AG, puesto que al ser de tipo
binario las variables de decisión Xi, podemos asociar cada una de ellas a un eslabón, y
el conjunto {X1, ... ,X8} puede ser asociado a una cadena, correspondiente a una posible

solución. Por ejemplo, la cadena X
={0,1,0,1,1,0,0,0} correspondería a una solución que
incluyese las válvulas VRP2, VRP4 y VRP5.
La Figura 7.13 muestra el esquema del proceso de optimización que se ha seguido,
empleando un algoritmo de tipo genético.
El primer paso consiste en generar aleatoriamente una primera población sobre la
que se aplican los tres procesos descritos de reproducción, cruzamiento y mutación. Para
la culminación de dichas fases es necesario evaluar previamente la aptitud (ahorro neto)
de cada cadena de la población, y la aptitud promedio de toda la población, conforme
a la expresión (7.23), si bien el proceso real para determinar la aptitud se ha
7.41
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
simplificado, como se explicará posteriormente.
Figura 7.13.- Optimización del ejemplo mediante un AG.
Para evaluar la probabilidad de reproducción en el algoritmo se ha considerado el
cuadrado de la aptitud de las cadenas, con intención de reforzar la presencia de las
cadenas más aptas en poblaciones sucesivas, de forma que:
Zp
Probabilidad de reproducción de la cadena p
(7.30)
NC
Z
q 1
7.42
2
q 2
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para el resto de parámetros empleados se han considerado los siguientes valores:
-
Tamaño de la población NC = 30
Prob. de cruzamiento pc = 0'7
Prob. de mutación pm = 0'02
Máximo número de generaciones = 50
Máximo número de apariciones del óptimo = 15
La Figura 7.14 muestra los resultados de tres ejecuciones diferentes del algoritmo.
Figura 7.14.- Resultado de tres ejecuciones del algoritmo.
Las curvas que indican Optimo (i) corresponden a la aptitud de la mejor cadena
en cada generación, en la ejecución i-ésima, mientras que las curvas denominadas Medio
(i) corresponden a la aptitud media de las 10 mejores cadenas en cada generación.
Podemos constatar que la solución óptima, que ya es conocida del apartado
anterior, y cuya aptitud se cifra en 3373·103 ptas., aparece en varias generaciones en
todas las ejecuciones. Las curvas de aptitud media muestran asimismo una tendencia al
incremento de la misma, aunque en forma irregular.
7.43
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El proceso de cálculo de la aptitud (ahorro neto) de una cadena (solución) se
realiza considerando las VRPs presentes en la misma (en las que Xi = 1), en sentido
contrario a la circulación de caudal, contabilizando los ahorros en tubería que produce
la VRP y detrayendo el coste de la propia VRP.
Cuando el coste de una determinada tubería experimenta una reducción por efecto
de ubicar una VRP dada, ninguna otra VRP ubicada aguas arriba podrá proporcionar un
ahorro adicional en la tubería. Por esta razón, cada vez que se considera la presencia de
una VRP y el ahorro que produce, será necesario anular el valor de los ahorros gi,j
producido por las válvulas VRPi situadas aguas arriba en las tuberías j cuyo ahorro ya
ha sido contabilizado.
En la Figura 7.15 se muestra el procedimiento seguido para calcular el ahorro neto

para el caso de solución óptima X
= {1,0,1,0,1,0,0,0}. La representación está basada en
el contenido de la Tabla 7.8, que presenta el posible ahorro en cada tubería como
consecuencia de la ubicación de cada VRP del ejemplo. Siguiendo el sentido hacia aguas
arriba, encontramos en primer lugar a VRP5, que produce un ahorro en las tuberías 6,
7, 8 y 9 por valor de 1860·103 ptas., siendo su coste 250·103 ptas.; así, el ahorro neto
conseguido es de 1610·103 ptas.
Una vez se ha contabilizado el ahorro en las tuberías 6, 7, 8 y 9, ninguna otra
VRP situada aguas arriba puede aportar mayor ahorro en las mismas, de manera que se
anulan los coeficientes gi,j de la tabla, correspondientes a las válvulas i<5 y a las tuberías
j≥6.
Los resultados obtenidos de la aplicación de un AG son más que aceptables y
resultan muy prometedores para abordar la optimización de sistemas más complejos.
Respecto de la aplicación de otros posibles métodos, podemos destacar las
siguientes ventajas:
El algoritmo es completamente general e independiente del problema concreto que
se pretende solucionar. Los únicos vínculos que hay que establecer entre ambos
son por un lado, la representación simbólica de las variables de decisión y por
otro, la función objetivo adecuadamente formulada para evaluar la aptitud de las
posibles soluciones.
7.44
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
LINEAS
VRP
Coste
VRP
2
3
4
5
6
7
8
9
1
300
528
497
246
344
775
181
169
46
2
300
497
537
751
775
285
295
80
3
250
537
751
775
285
295
80
4
250
751
1080
285
295
80
X5=1
5
250
1080
405
295
80
X6=0
6
200
X7=0
7
200
X8=0
8
180
VRP
Coste
VRP
2
3
4
5
6
7
8
9
1
300
528
497
246
344
0
0
0
0
2
300
497
537
751
0
0
0
0
75
0
0
0
0
1080
405
295
80
Ahorro neto
1860 - 250 = 1610
103 ptas.
1288 - 250 = 1038
103 ptas.
1025 - 300 = 725
103 ptas.
LINEAS
X3=1
3
250
X4=0
4
250
X5=1
5
250
X6=0
6
200
X7=0
7
200
X8=0
8
180
VRP
Coste
VRP
2
3
4
5
6
7
8
9
528
49
0
0
0
0
0
0
537
75
0
0
0
0
1080
405
295
80
537
LINEAS
X1=1
1
300
X2=0
2
300
X3=1
3
250
X4=0
4
250
X5=1
5
250
X6=0
6
200
X7=0
7
200
X8=0
8
180
Total Ahorro neto (Aptitud)
3373
103 ptas.
Figura 7.15.- Secuencia de cálculo de la aptitud de una cadena.
7.45
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Aunque un AG no permite identificar si la solución óptima obtenida es el óptimo
global, sí proporciona un conjunto de soluciones cuya aptitud promedio mejora
durante el proceso.
La intervención del azar en las etapas de reproducción, cruzamiento y mutación,
aseguran una exploración exhaustiva del espacio de soluciones mediante una
población de pequeño tamaño, con el ahorro consiguiente de tiempo de cálculo y
memoria del computador.
Los inconvenientes principales que presenta son:
No permite identificar si realmente se ha alcanzado la solución óptima global.
Derivado del anterior inconveniente, no es posible establecer un criterio de
convergencia directamente relacionado con la aptitud de la solución.
No es posible determinar de forma general la influencia de los parámetros
empleados, tales como tamaño de la población, probabilidades de reproducción,
cruzamiento y mutación sobre la "bondad" del algoritmo.
7.46
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.4.4.- Solución mediante Programación Dinámica.
En los dos apartados anteriores han sido analizados sendos métodos para la
resolución del problema de la ubicación óptima de un conjunto de VRPs en una
conducción en serie.
El primer método revisado, basado en una formulación de Programación Entera,
ofrece una solución óptima al problema tras un número finito de cálculos. Como se ha
visto, la existencia de la solución óptima está garantizada, puesto existe una solución
factible inicial, que corresponde al sistema sin válvulas reductoras {Xi = 0 ∀i}.
Aunque el éxito del procedimiento está garantizado, cuando se emplea este tipo
de formulación en un sistema con N posibles VRPs, requiere la definición de N·(N+1)/2
variables, con sus correspondientes coeficientes de coste, así como un total de N·(N-1)
restricciones, razón por la cual su utilización queda limitada a sistemas con un pequeño
número de VRPs.
El segundo método expuesto, consistente en la resolución del problema mediante
la aplicación de un Algoritmo Genético, debido a su naturaleza aleatoria, no permite
determinar con certeza si ha sido obtenida la solución óptima global, aunque presenta
una facilidad de implementación que lo hace muy atractivo en problemas de ingeniería
de difícil formulación mediante otros métodos.
A la vista de los dos métodos que se han considerado en los apartados anteriores,
el procedimiento más apropiado debería conjugar las ventajas de ambas formulaciones,
esto es, la sencillez de planteamiento del AG y simultáneamente, la obtención de una
solución óptima global en un número finito de pasos.
El sistema hidráulico del ejemplo, como conjunto de elementos dispuestos en serie,
se adapta perfectamente a la estructura secuencial de decisiones que caracteriza a los
problemas de Programación Dinámica (PD). A diferencia de otros métodos de
optimización, la Programación Dinámica está basada en un principio de optimalidad en
lugar de ser un modelo matemático estricto y, consecuentemente, cada problema
concreto requiere la estructuración de un algoritmo personalizado para su resolución.
Esta circunstancia, que en principio podría parecer un inconveniente, también
proporciona una gran flexibilidad para su aplicación en los problemas más diversos.
7.47
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El principio de optimalidad, que constituye el fundamento de la Programación
Dinámica, postula que una política óptima tiene la propiedad de que cualesquiera que
sean el estado y la decisión iniciales, las decisiones subsecuentes deben constituir una
política óptima con respecto al estado resultante de la decisión inicial.
Las características básicas de los problemas de PD son las siguientes:
a)
Un problema de PD se descompone en una secuencia de etapas, cada una de las
cuales admite varios estados.
b)
En cada etapa se requiere una política de decisión por medio de la cual el estado
de la etapa actual se tranforma en un estado de la siguiente etapa.
c)
El procedimiento de solución comienza secuencialmente desde la última etapa
hacia la primera, definiendo la política óptima mediante la cual se llega a cada
uno de los estados de una etapa determinada.
d)
La política óptima para el problema global se obtiene finalmente identificando el
óptimo de cada una de las etapas desde la primera etapa en dirección a la última.
Fig. 7.16.- Representación de una etapa de PD.
En una estructura en serie cada etapa está caracterizada formalmente por las
siguientes variables:
Xi
Entrada en la etapa i (Estado de la etapa).
Xi+1 Salida de la etapa i (Estado de la etapa i+1).
di
Decisión de la etapa i.
7.48
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Ci
Zi
Función de retorno de estado, o contribución de la etapa i a la función
objetivo.
Valor óptimo de la función objetivo en la etapa i.
En un proceso en serie con varias etapas, la salida de la etapa i es la entrada de
la etapa i+1. El conjunto de variables que corresponden a las salida de cada etapa del
proceso, son las variables de estado (dependientes), mientras que el conjunto de
variables de entrada en una etapa son las variables de decisión (independientes).
En general, el valor óptimo para un sistema de N etapas es el máximo de las suma
de los retornos Ci para las N etapas; consecuentemente, para cada valor de la entrada
existirá una decisión que hace que el valor de la función objetivo de la etapa i sea
óptimo, de modo que resulta necesario determinar el valor óptimo de la variable de
decisión para cada posible estado de entrada. Esta necesidad se concreta en dos
relaciones:
1)
Una ecuación recursiva, que defina la política óptima de decisión para cualquier
estado de la etapa, como por ejemplo:
Z i(Xi)
2)
max/min Zi 1(Xi 1)
di
Ci(Xi,di)
(7.31)
Una ecuación de transformación, que relacione el estado de una etapa con el
estado de la siguiente en función de la decisión adoptada:
Xi
1
ti ( X i , d i )
(7.32)
Al sustituir la ecuación (7.32) en (7.31) podemos comprobar que el término a
optimizar es únicamente función de Xi y di, y por tanto, el valor correspondiente a una
decisión di óptima, será unicamente función del estado en la etapa Xi.
El planteamiento del problema propuesto para optimizar la ubicación de las VRPs
en una conducción en serie, expresado en términos de Programación Dinámica, posee
los siguientes componentes:
Etapas: Cada etapa corresponde a un nudo candidato para ubicar en él una
posible VRP, estando las etapas ordenadas en el sentido del flujo.
7.49
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Estados de una etapa: Una etapa cuenta únicamente con dos estados posibles,
que son: Xi = 1 si existe una VRP en el nudo o bien Xi = 0 en caso
contrario).
Decisiones: Desde una etapa cualquiera caben únicamente dos tipos de
decisiones, consistentes en ubicar o no una VRP en la etapa siguiente (aguas
abajo). Estando las VRPs ordenadas en el sentido del flujo, el ahorro
obtenido al ubicar una determinada VRP (retorno de la etapa
correspondiente) es función de las VRP ubicadas aguas arriba.
Así, la variable de estado Xi en la etapa i toma valores 1 o 0 dependiendo de la
existencia o no de VRPi, al igual que la variable de decisión di, puesto que se parte de
un valor óptimo conocido de la presión de tarado de la válvula.
El valor de la función objetivo Zi(Xi) en la etapa i puede expresarse en forma
recursiva entre etapas sucesivas, siguiendo las directrices de la ecuación (7.31), como:
Z i(X i)
max
di
Z i 1(X i 1)
C i ( Xi , di )
(7.33)
donde Ci(Xi,di) es la contribución de la etapa i en la función objetivo.
La decisión di en una etapa coincide con el estado Xi+1 de la etapa siguiente, de
manera que la relación de transformación entre estados en etapas sucesivas es:
Xi
1
t i ( Xi , di )
di
(7.34)
Al sustituir la relación de transformación (7.34) en (7.33) resulta:
Z i(X i)
max
di
Z i 1(di)
C i ( Xi , di )
(7.35)
El procedimiento de resolución comienza en la etapa N dirigido hacia la primera
etapa, identificando sucesivamente las decisiones óptimas para cada estado de la etapa
correspondiente.
Puesto que no existen etapas después de la N (correspondiente al nudo aguas abajo
de la serie) tampoco tiene sentido hablar de la decisión dN, y por tanto, si asignamos el
retorno Ci de la etapa a la decisión adoptada en la misma, la última etapa N proporciona
un retorno CN = 0. Por otra parte, es necesario introducir una primera etapa de estado
7.50
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
fijo, cuyo índice será 0, y cuya decisión corresponderá a d0 = X1. La etapa 0 constituye
el final del proceso y no se corresponde con ninguna VRP.
Fig. 7.17.- Esquema general del proceso de optimización mediante PD.
Tal y como se ha descrito, el proceso comienza evaluando la función objetivo
óptima en la etapa N-1:
Z N 1(0)
Z N 1(X N 1)
max CN 1 ( XN 1 , dN 1 ) →
dN 1
Z N 1(1)
max CN 1 ( 0 , dN 1 )
dN 1
max CN 1 ( 1 , dN 1 )
dN 1
Una vez se conocen los valores de ZN-1 para los posibles estados de la etapa,
sustituyendo el valor de ésta en la ecuación recursiva (7.35), determinaremos la función
ZN-2, y así sucesivamente hasta concluir en la etapa 0 (nudo aguas arriba de la serie).
Al finalizar el proceso, el valor óptimo de la función objetivo para todo el sistema
viene dado por Z0, que desarrollando la expresión (7.33) resultará:
N 1
Z0
max
d0 .. dN
C0 ( d 0 )
C i(X i , d i)
(7.36)
i 1
1
A partir de la solución óptima es posible identificar desde la etapa 0 en adelante,
la decisión óptima que en cada etapa ha conducido finalmente a la solución óptima
global.
7.51
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Si denominamos d*i y X*i a la decisión y estado óptimos en la etapa i, la secuencia
de identificación de la solución final se muestra en la siguiente figura.
Fig. 7.18.- Identificación de los estados y decisiones óptimas.
Así pues, el valor óptimo de la función objetivo puede escribirse como:
N 1
Z0
C 0 ( d0 )
C i(X i , d i )
(7.37)
i 1
El obstáculo fundamental que nos encontramos radica en lograr que se confirmen
las condiciones prescritas en el principio de optimalidad, esto es, que las decisiones que
conducen a la solución óptima sean asimismo óptimas en el contexto de la propia etapa.
Puesto que la optimización se realiza secuencialmente desde la última etapa hacia
la primera, ello significa que la decisión óptima que se adopta en una determinada etapa
sólo puede estar condicionada por la información previa disponible, esto es, por los
resultados obtenidos en las etapas que se situan aguas abajo de la actual y que ya han
experimentado una suboptimización.
Lógicamente, la decisión óptima en una etapa dada no puede estar condicionada
a los resultados de etapas que todavía no han sido analizadas (las que se corresponden
a posiciones situadas aguas arriba de la actual).
La función C(Xi,di) de retorno de estado debe incluir dos conceptos: por un lado,
el coste de la instalación de la válvula VRPi+1, asociada a la decisión di, y por otro lado,
el ahorro en tubería que puede producir dicha válvula; pero esta última cantidad depende
de las posibles VRPs instaladas aguas arriba, de las cuales no se conoce todavía nada,
puesto que pertenecen a etapas que se analizarán con posterioridad.
Para eliminar esta indeterminación de la función C(Xi,di), será necesario
caracterizarla únicamente mediante las variables de la propia etapa y para ello es
7.52
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
necesario "aislar" el ahorro que produce una determinada VRP del resto de válvulas
ubicadas aguas arriba.
Al ubicar una VRP se consigue un ahorro determinado, a la vez que se pierde
cierta parte o la totalidad del ahorro que pueden producir las VRP situadas aguas abajo.
Si gi,k es el ahorro conseguido en la tubería k por ubicar la VRPi (valores de la Tabla
7.8), y Ai al ahorro total en tuberías que produce dicha válvula, tendremos que:
Ai
gi,k
k ∈P i
(7.38)
donde Pi es el conjunto de tuberías situadas aguas abajo de la VRPi.
Si además añadimos una VRP en el nudo i+1, aguas abajo del nudo i, el ahorro
que conseguiremos en tuberías será:
A ( VRPi VRPi 1 )
k ∈P i
gi,k
k ∈P i
gi
1
1,k
k ∈P i P i
gi,k ≤ ( Ai Ai 1 )
(7.39)
1
donde el tercer sumatorio tiene en cuenta el ahorro ya imputado en las tuberías aguas
abajo de ambas válvulas, representadas por el conjunto Pi ∩ Pi+1 (obsérvese que
Pi ∩ Pi+1 = Pi+1), al instalar VRPi. En consecuencia, al considerar ambas VRP, el ahorro
conseguido no corresponde a la suma de los valores Ai+Ai+1, sinó que es menor o igual
que éste, como ya se justificó plenamente en 7.4.1.
Para resolver este inconveniente definimos el ahorro residual rgi+1,k en la línea k
debido a la válvula VRPi+1 como:
rgi
1,k
gi
1,k
gi,k
(7.40)
donde i es el índice de la VRP situada inmediatamente aguas arriba de VRPi+1.
El ahorro residual representa el ahorro en tubería que es exclusivamente atribuible
a una determinada VRP, independientemente de la instalación del resto de válvulas
situadas aguas arriba. Utilizando como referencia el ahorro residual, se consigue
independizar las decisiones de una etapa de la posible presencia de VRPs de etapas que
todavía no han sido analizadas. Para la primera VRP de la serie, los ahorros residuales
coinciden con los ahorros totales:
(VRP1) → rg 1 , k
7.53
g 1 , k ∀k ∈P1
(7.41)
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
La Figura 7.19 es una
representación esquemática del
cálculo de los valores del ahorro
residual. Observemos que la suma
línea k
gi,k
(rgi,k)
VRPi
rgi,k extendida a todas las VRPi
i
que afectan a la tubería k,
corresponde al valor max gi,k ,
i
como era de esperar.
gi+1,k
(rgi+1,k)=gi+1,k-gi,k
VRPi+1
Fig. 7.19.- Cálculo del ahorro residual rgi+1,k.
Considerando pues los ahorros residuales en lugar de los ahorros absolutos, la
contribución de la etapa i a la función objetivo será:
C(Xi,di)
di
k ∈P i
rgi
(1 Xi)
1,k
1
(1 di) (1 Xi)
k ∈P m
k ∈P i
rgi,k
1
Cvi
1
Pi
(7.42)
rgi,k
donde Cvi+1 es el coste de la válvula VRPi+1 y el último sumando representa la suma de
ahorros residuales debidos a las VRPs situadas aguas abajo de VRPi+1 no contabilizados
hasta la etapa presente (este concepto será explicado más adelante). A continuación, la
Tabla 7.9 presenta los posibles valores de la función C(Xi,di).
Xi
1
1
0
di = Xi+1
1
C(Xi,di)
rgi
k ∈P i
0
1
0
Suma de los ahorros residuales en tuberías
aguas abajo de VRPi+1 menos su propio coste.
1
1
0
k ∈P i
rgi
Cvi
1,k
Contribución nula
Suma de los ahorros residuales en tuberías
aguas abajo de VRPi+1, más la suma de los
ahorros residuales debidos a VRPi en las mismas
tuberías menos el coste de VRPi+1
1
1
k ∈P i
0
Cvi
1,k
Interpretación
rgi,k
1
Pi
La contribución es igual a la suma de ahorros
residuales no contemplados hasta la etapa i.
rgi,k
k ∈P m
Tabla 7.9.- Interpretación de la contribución económica de la etapa i-ésima C(X i,di).
7.54
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
El ahorro en tubería imputable exclusivamente a VRPi+1 es la suma de ahorros
residuales en las tuberías situadas aguas abajo de ésta. Si suponemos que VRPi no ha
sido ubicada, dicho ahorro resulta incrementado en una cuantía igual a la suma de los
ahorros residuales correspondientes a VRPi en las tuberías aguas abajo de VRPi+1.
De lo que sucede aguas arriba de VRPi no conocemos nada, pero al estudiar la
etapa i-1, seguiremos el mismo procedimiento para las tuberías aguas abajo de VRPi, y
así sucesivamente hasta la primera VRP, de forma que nunca se consideran los ahorros
en tuberías por duplicado. Si suponemos que VRPi ha sido ubicada y decidimos no
ubicar VRPi+1, no se produce ahorro alguno puesto que no se realiza acción alguna y los
ahorros producidos hasta la VRPi han sido contabilizados en etapas anteriores.
Cuando decidimos no ubicar VRPi+1 no estando ubicada tampoco VRPi, podría
pensarse que la contribución de la etapa es nula, puesto que no emprendemos acciones
para reducir las presiones, pero debemos contemplar la posibilidad de que alguna VRP
situada aguas abajo de VRPi+1 haya resultado ubicada en el proceso de optimización.
Supongamos que la válvula VRPm (situada aguas abajo de VRPi+1) resulta
económicamente eficiente y decidimos ubicarla; ¿que repercusión tiene esta circunstancia
sobre la etapa i?: en todos los casos en que Xi=1 o di=1 se contabilizan los ahorros
residuales en tuberías aguas abajo de VRPi+1 (incluidas las tuberías afectadas por VRPm,
puesto que Pm ⊂ Pi+1), pero si Xi=0 y di=0, el ahorro que produce VRPm será mayor al
considerado hasta ahora, pués deberá incluir la suma de ahorros residuales de VRPi en
las tuberías del conjunto Pm no contabilizados hasta el momento.
Así pues, en cada etapa es necesario conocer las VRP ubicadas aguas abajo
(estados óptimos de las etapas i+2, i+3, ...) para determinar el valor de C(Xi=0,di=0) y
la única forma es realizar una suboptimización del problema en cada etapa, desde la
última a la primera, de forma que para cada estado de la etapa i+1 conozcamos a priori
el conjunto de estados óptimos en las etapas posteriores.
El máximo ahorro que puede producir una VRP se da cuando se ubica
aisladamente; así pues, todas aquellas VRP que, aisladamente, producen un ahorro total
menor que su propio coste nunca serán escogidas en la optimización; para evitar cálculos
innecesarios, todas aquellas VRPs en las que se presenta esta circunstancia, no serán
tomadas en consideración. Concretamente, en el ejemplo que estamos utilizando para
7.55
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
comparar los diferentes métodos, tan sólo la válvula VRP8 se encuentra en esas
condiciones, puesto que el máximo ahorro que puede producir en tubería es de
80·103 ptas., mientras que su propio coste se cifra en 180·103 ptas.
A continuación presentaremos los resultados que se obtienen al aplicar la
formulación mediante PD al ejemplo de referencia.
En primer lugar, tomando como base la Tabla 7.8 (ahorro en tubería gi,k),
construiremos una nueva tabla que incluya los ahorros residuales (rgi,k) siguiendo el
esquema de cálculo que se ha presentado en la Figura 7.19.
LINEAS
VRP
Presión
Tarado
(m.)
Caudal
(l/s)
Coste Valvula
(·103 ptas.)
2
3
4
5
6
7
8
9
1
15.9
80
300
528
(528)
497
(497)
246
(246)
344
(344)
775
(775)
181
(181)
169
(169)
46
(46)
2
13.7
70
300
497
(0)
537
(291)
751
(407)
775
(0)
285
(104)
295
(126)
80
(34)
3
26.3
60
250
537
(0)
751
(0)
775
(0)
285
(0)
295
(0)
80
(0)
4
28.3
50
250
751
(0)
1080
(305)
285
(0)
295
(0)
80
(0)
5
25.3
40
250
1080
(0)
405
(120)
295
(0)
80
(0)
6
25.8
30
200
405
(0)
388
(93)
80
(0)
7
29.5
20
200
388
(0)
80
(0)
8
23.5
10
180
80
(0)
Tabla 7.10.- A horros residuales (entre paréntesis) calculados a partir de la Tabla 7.8
(·103 ptas.).
El proceso de optimización del conjunto de VRPs del ejemplo se representa
gráficamente en tres de sus fases en la Figura 7.20, en la página siguiente.
A continuación, en la Figura 7.21 se ha representado, a título de ejemplo, el
procedimiento de cálculo de la función Ci(Xi,di) en la etapa 2, considerando todos los
estados y decisiones posibles, y tomando como base la tabla de ahorros residuales del
ejemplo (Tabla 7.10).
7.56
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Fig. 7.20.- Proceso de optimización del ejemplo mediante PD en tres de sus fases.
7.57
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
LINEAS
VRP
Coste
VRP
2
1
300
528
X2=1
2
300
X3=1
3
250
X4=0
4
250
X5=1
5
250
X6=0
6
200
X7=0
7
200
3
4
497 246
0
5
6
7
8
9
344 775
181 169
46
291
407
0
104 126
34
0
0
0
0
0
0
0
305
0
0
0
0
120
0
0
0
93
0
0
0
8
9
169
46
X2=1 ; d2=X3=1
C 2 (1,1)
rg 3,k Cv3
k ∈P3
250 10 3 ptas.
LINEAS
X2=0
VRP
Coste
VRP
1
300
2
300
X3=1
3
250
X4=0
4
250
X5=1
5
250
X6=0
6
200
X7=0
7
200
2
3
528 497
0
4
5
246
344
29
1
407
0
6
7
775 181
0
104
X 2=0 ; d2=X 3=1
126 34
C 2 ( 0,1)
0
0
0
0
0
0
305
0
0
0
0
120
0
0
0
93
0
0
0
k ∈P3 P 2
rg 3,k Cv3
k ∈P3
rg 2,k
712 103 ptas.
X 2=1 ; d2=X 3=0
C 2 (1,0)
0 ptas.
LINEAS
VRP
Coste
VRP
1
300
X2=0
2
300
X3=0
3
250
X4=0
4
250
X5=1
5
250
X6=0
6
200
X7=0
7
200
2
3
528 497
0
4
6
7
8
9
246 344
775
181
169
46
291 407
0
104
126 34
0
0
0
0
0
0
305
0
0
0
0
120
0
0
0
93
0
0
0
0
5
X 2=0 ; d2=X 3=0
C 2 ( 0,0 )
rg 2,k
k ∈P 5
264 10 3 ptas.
Fig. 7.21.- Cálculo de C2(X 2,d2) a partir de la Tabla 7.10 (ahorro residual).
7.58
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.22.- Simbolización de una etapa del proceso de optimización de la Fig. 7.20.
La Figura 7.22 muestra simbolicamente una de las etapas del cálculo, sus estados
y decisiones asociadas, representadas en la Figura 7.20, con las variables implicadas en
el proceso.
Como podemos comprobar, el subconjunto de VRPs que proporciona el máximo
ahorro neto está compuesto por las válvulas VRP1, VRP3 y VRP5, siendo el ahorro total
neto de 3373·103 ptas., correspondiendo a 4173·103 ptas. de ahorro en tubería menos
800·103 ptas. de coste de las propias válvulas.
En el ejemplo queda patente el significado del sumatorio
rgi,k , si observamos
k ∈P m
lo que ocurre, por ejemplo, en la etapa 2. Para el estado X3 = 0 encontramos aguas abajo
unos estados óptimos asociados X*4 = 0, X*5 = 1, X*6 = 0 y X*7 = 0; ello significa que para
la etapa 4 y posteriores, la cadena de decisiones óptimas que nos ha llevado hasta el
estado X3=0 consiste en ubicar VRP5 y no ubicar el resto.
7.59
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Por lo tanto:
C( X2 0, d2 0 )
k ∈P5
rg2,k
(42)
donde P5 es el conjunto de tuberías situadas aguas abajo de VRP5, esto es, P5={6,7,8,9}.
La solución óptima que proporciona la formulación mediante PD coincide con la
que se ha obtenido en los apartados 7.4.2, mediante Programación Entera Binaria, y en
7.4.3, mediante un Algoritmo Genético.
Por otro lado, la formulación mediante Programación Dinámica permite salvar los
inconvenientes de las dos formulaciones anteriores en cuanto que:
Aporta una solución óptima tras un número finito de cálculos.
No necesita un despliegue de variables adicionales para la consecución de la
solución óptima.
Es por ello que vamos a profundizar aún más en el desarrollo y aplicación de este
tipo de formulación para ampliarla al caso de la presencia de válvulas reductoras de
presión en redes ramificadas.
7.60
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.5.- EXTENSION DEL METODO DE PROGRAMACION DINAMICA PARA LA
OPTIMIZACION DE VRPs EN REDES RAMIFICADAS.
7.5.1.- Introducción.
En el apartado anterior se ha analizado en profundidad la optimización de un
sistema de VRPs dispuesto en una conducción formada por una serie de tuberías. En
primer lugar se ha establecido un criterio para determinar la presión óptima de tarado
de una VRP. Seguidamente se ha estudiado el problema de ubicación óptima de las
VRPs, adoptando el criterio de la presión óptima de tarado, mediante tres procedimientos
diferentes.
Del análisis efectuado se infieren las ventajas evidentes que comporta una
formulación mediante Programación Dinámica frente a otros posibles planteamientos,
tanto por la sencillez de la formulación, como por la posibilidad de asegurar que ha sido
alcanzado dicho resultado tras un número finito de pasos.
Para plantear la optimización de las VRPs en una red ramificada, el método de PD
anteriormente expuesto sigue siendo válido y mantiene sus ventajas frente a los demás
métodos, pero presenta determinadas peculiaridades que requieren un tratamiento
adicional, como son:
a) Tratamiento de las ramificaciones en el algoritmo de cálculo: En el caso de una
red ramificada, el ahorro producido por una determinada VRP es función de las
posibles VRPs ubicadas aguas arriba, y la presencia de dicha VRP influye
asimismo en las VRPs ubicadas aguas abajo; sin embargo, la presencia de la
VRP no influye en el ahorro que puedan producir otras válvulas ubicadas en
ramificaciones diferentes.
b) Número de posibles VRPs a considerar: Hasta ahora, al considerar un sistema
de tuberías y VRPs dispuestas en serie, el criterio de ubicar las VRPs en los
nudos del sistema ha sido suficiente para definir claramente la presión de tarado
de la VRP y las tuberías afectadas por su presencia. Cuando se trata con un
sistema de tuberías ramificado, aún considerando que las posibles VRPs se
ubican en los nudos del sistema, es necesario contemplar diversas situaciones
en cuanto al conexionado de la misma, como veremos más adelante.
7.61
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.5.2.- Efecto de las ramificaciones en la resolución mediante Programación Dinámica.
El procedimiento de optimización mediante Programación Dinámica del Apartado
7.4.4 se ha desarrollado considerando que la resolución se efectúa en dirección hacia
aguas arriba, aunque cabe la posibilidad de resolverlo en la dirección contraria.
Sin embargo, cuando el sistema donde se ubican las VRPs es ramificado, la
dirección de resolución debe de ser siempre contraria al sentido del flujo y por lo tanto,
convergente. De esta forma, el valor óptimo de la función objetivo en la última etapa
del cálculo secuencial (que es la etapa de cabecera) representará el máximo ahorro neto.
La Figura 7.23 representa un nudo del que parten dos ramificaciones A y B,
estando representadas de forma simbólica las etapas del problema de PD asociado a la
derecha.
Fig. 7.23.- Tratamiento de las ramificaciones en el problema de PD.
La ecuación recursiva que debemos plantear en este caso será del tipo:
Z i( X i )
A
A
max Zi 1 ( Xi 1 )
A
di
donde: XAi+1, XBi+1 -
A
A
C i ( Xi , d i )
B
B
max Zi 1 ( Xi 1 )
B
di
B
B
C i ( Xi , d i )
(44)
Estados en la etapa i+1, en las ramificaciones A y B
respectivamente.
7.62
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
ZAi+1, ZBi+1 -
Valores de la función objetivo en la etapa i+1, para cada una de
las ramificaciones.
dAi, dBi -
Decisiones en la etapa i, que conducen a las ramificaciones A y
B de la etapa i+1, mediante las relaciones de transformación
siguientes:
A
Xi
A
1
di
;
B
Xi
B
1
di
(45)
Al presentarse dos ramificaciones A y B después de la etapa i, podemos hablar de
dos funciones de contribución de etapa CAi(Xi,dAi) y CBi(Xi,dBi), actuando cada una de ellas
sobre diferentes conjuntos de tuberías. En el caso de la Fig. 7.23, con dos
ramificaciones, se definen las funciones de contribución como:
A
A
C i ( Xi , d i )
rgA,k
A
di
k ∈P A
(1 Xi)
B
B
C i ( Xi , d i )
B
di
rgB,k
k ∈P B
B
siendo: PA, PB -
(46)
k ∈Pm,A
(1 Xi)
(1 d i ) (1 Xi)
CvA
rgi,k
A
(1 d i ) (1 Xi)
rgi,k
k ∈P A
rgi,k
k ∈P B
CvB
(47)
rgi,k
k ∈P m,B
Conjunto de tuberías situadas aguas abajo de VRPA y VRPB.
CvA, CvB -
Coste de la válvulas VRPA y VRPB.
Pm,A, Pm,B -
Conjunto de tuberías k situadas aguas abajo de VRPA y VRPB
cuyo ahorro residual rgi,k producido por VRPi está asociado a las
situaciones (Xi=0;dAi=XAi+1=0) y (Xi=0;dBi=XBi+1=0) y que debe de
ser contabilizado en la etapa i.
La resolución del proceso en dirección convergente permite que el valor de la
función objetivo en la etapa i reciba los retornos máximos de cada una de las
ramificaciones a través de la ecuación recursiva (7.44).
7.63
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.5.3.- Posibles VRPs a considerar en una ramificación.
El hecho de que el sistema posea ramificaciones incrementa el número de posibles
VRP a considerar en la optimización, porque en cada uno de los nudos donde existe una
ramificación puede definirse más de una posible VRP.
En el desarrollo del método se ha considerado que las VRPs se ubican en los
nudos de la red, que pueden ser clasificados en función del grado de conectividad (G),
que representa el número de tuberías salientes del mismo (conectadas directamente aguas
abajo). Siguiendo esta clasificación se presentarán en la red los siguientes tipos de
nudos:
Nudos terminales (G = 0). La ubicación de una VRP en un nudo terminal no
produce, en principio, ahorro alguno, puesto que suponemos que no posee
tuberías aguas abajo, o simplemente, no es posible actuar sobre la selección de
las mismas.
Nudos de conexión simple (G = 1). Son aquellos de los que parte una única
tubería. Si se ubica una VRP en este tipo de nudo, es posible conseguir ahorros
en cualquiera de las tuberías situadas aguas abajo (en el ejemplo de la
conducción en serie todos los nudos considerados son de este tipo).
Un caso particular lo constituye el nudo de cabecera para el cual, la presión
dinámica es igual a la estática (las diferencias pueden surgir cuando se alimenta
con estación de bombeo); la ubicación de una VRP en dicho nudo sólo tiene
sentido si la presión mínima de servicio se supera en todos los nudos de la red.
En tal caso, rebajar la presión de alimentación resultaría económicamente más
eficiente que instalar una VRP. Por esta razón no se considera el nudo de
cabecera como posible ubicación de una VRP.
Nudos de conexión múltiple (G ≥ 2): Se trata de aquellos nudos que alimentan
dos o más tuberías. Al igual que el caso anterior, la ubicación de una VRP en
este tipo de nudo puede producir ahorro en cualquier tubería aguas abajo. El
nudo de conexión múltiple no aparece en el ejemplo de la conducción en serie
y su presencia es característica de los sistemas ramificados. Como se analiza a
continuación, este tipo de nudo admite más de una VRP.
7.64
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Para el estudio del número de posibles VRPs a considerar en los nudos de
conexión múltiple, consideremos un nudo con tres ramificaciones como el mostrado por
la siguiente figura.
Fig. 7.24.- Nudo con grado de conectividad G = 3.
En el caso (a) se supone la instalación de una única válvula VRPi que actúa sobre
las tres ramificaciones, mientras que en el caso (b) se ha considerado la presencia de tres
válvulas diferentes VRPi,1, VRPi,2 y VRPi,3, actuando cada una de ellas sobre una
ramificación diferente.
La presión óptima de tarado de VRPi en el caso (a) se obtiene a partir de la presión
dinámica en el nudo i en la situación de diseño Pdi y restando la mínima holgura de
presión que se presenta aguas abajo del nudo i:
Pti ( óptimo )
Pdi
∆ Pdi
(48)
El ahorro neto que se puede obtener en la situación (b) empleando tres válvulas
será diferente al obtenido en el caso (a) debido a las siguientes consideraciones:
1) El coste total de la instalación de las tres válvulas VRPi,1, VRPi,2 y VRPi,3 en
el caso (b) será generalmente superior al de la instalación de VRPi en el caso
(a) debido a los costes fijos (factor mayorante).
2) El ahorro en tuberías producido por las tres válvulas en el caso (b) es
potencialmente mayor o igual que el producido por VRPi, porque el tarado de
7.65
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
esta válvula (Pti) debe ser igual al máximo de los tarados Pti,1, Pti,2 y Pti,3 (factor
minorante), como resultado de que la holgura de presión ∆Pdi es el mínimo
valor de las holguras ∆Pdi,1, ∆Pdi,2 y ∆Pdi,3.
En consecuencia, no es posible afirmar en general que una de las situaciones (a)
o (b) sea netamente más beneficiosa que la otra.
Los casos (a) y (b) de la Figura 7.24 constituyen dos situaciones particulares de
acomodación de las VRPs en un nudo, aunque cabe también la posibilidad de ubicar
VRPs que afecten solamente a algunas de las ramificaciones del nudo.
En general, en un nudo con grado de conectividad G, podemos plantear la
ubicación de tantas VRP como agrupaciones de 1, 2, ... ,G ramificaciones sean posibles,
esto es:
G
i 1
G
i
G
i 1
G!
i! (G i )!
2G
1
(49)
En un caso con tres ramificaciones como el que presenta la Figura 7.24 cabe la
posibilidad de instalar hasta 7 posibles VRPs diferenciadas. En realidad, el número de
alternativas realmente distintas que pueden tener interés resulta menor, lo que podemos
comprobar si analizamos el sistema físico y su funcionamiento.
Supongamos que las presiones de tarado de las tres VRPs del caso (b) cumplen la
condición Pti,1 > Pti,2 > Pti,3.
Cabe la posibilidad de instalar una VRP con presión de tarado Pti,1 aguas arriba de
cualquiera de las tres ramificaciones, sin que tenga efecto alguno sobre las presiones
mínimas de los nudos situados aguas abajo; sin embargo, una VRP con tarado Pti,2 sólo
podría ser ubicada encabezando las ramificaciones 2 y 3, puesto que si encabezara
tambien la ramificación 1, la presión en algunos nudos alimentados por esta ramificación
resultaría ser inferior a la mínima exigida.
Puede presentarse el caso particular de que las presiones de tarado asociadas a dos
ramificaciones diferentes sean iguales; en tal circunstancia, se analizará el efecto de
ambas ramificaciones como si de una sola se tratase.
7.66
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Al objeto de reducir el número de posibles VRPs que deben de ser consideradas
en el proceso de optimización, se efectúa una descomposición del nudo de conexión
múltiple en tantos nudos ficticios como su grado de conectividad menos 1 (G - 1), de
modo que los nudos ficticios resultantes posean todos un grado de conectividad G=2.
La Figura 7.25 muestra la descomposición del nudo i (G=3) en dos nudos ficticios con
grado de conectividad G=2, así como las posibles VRPs que pueden presentarse.
Fig. 7.25.- Descomposición de un nudo con G = 3 y posibles VRPs a considerar.
El número de posibles VRP que pueden aparecer en un nudo como consecuencia
de este criterio será igual a 2·G-1. Para el caso presentado en la Figura 7.25 obtenemos
las siguientes VRPs posibles.
En general, no es posible
conocer a priori si resultará
económicamente más eficiente
VRP1
1,2,3
Q1+Q2+Q3
Pti,1
ubicar VRP 1 o ubicar
VRP*1
1
Q1
Pti,1
(VRP2+VRP*1). Si ubicamos
VRP2
2,3
Q2+Q3
Pti,2
VRP1, resulta innecesario
VRP*2
2
Q2
Pti,2
ubicar VRP*1, puesto que
VRP3
3
Q3
Pti,3
cuentan con la misma presión
de tarado. Si decidimos no
Tabla 7.11.Parámetros de funcionamiento de
ubicar VRP1, la ubicación de
las VRPs de la Figura 7.25.
V R P *1 p o d r í a r e s u l t a r
económicamente eficiente, dependiendo de la diferencia de coste entre VRP1 y VRP*1.
Válvula Ramificaciones Caudal en la Presión
alimentadas
VRP
de tarado
7.67
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Sin embargo, obsérvese lo que ocurre si el coste de las válvulas VRP1 y VRP*1 es
similar: si se instala VRP1, VRP*1 resultará innecesaria y redundante como ya se ha
comentado, mientras que si resultase que VRP1 no es eficiente, tampoco lo será VRP*1
puesto que su coste es similar a la anterior y el ahorro potencial que puede aportar es
menor o igual que en el caso de VRP1. En definitiva, cuando el coste de ambas válvulas
es similar, no será necesario considerar en ningún caso VRP*1 en el proceso de
optimización.
El razonamiento precedente significa que si Cv(VRP1) Cv(VRP*1) y
Cv(VRP2) Cv(VRP*2), el número de posibles VRPs a considerar en el proceso de
optimización queda reducido a G, tal y como muestra la Fig. 7.26.
Fig. 7.26.- Simplificación del nudo con G = 3 de la Figura 7.25.
Como resumen, podemos concluir que el máximo número de VRPs que será
necesario considerar en el proceso de optimización estará comprendido entre los valores
siguientes:
N
N
2 Gi
1
i 1
;
Gi
(50)
i 1
donde N es el número total de nudos estudiados en la red (excluyendo el nudo de
cabecera). La situación más apropiada en un nudo concreto se identificará a partir de la
comparación entre los costes de las posibles VRPs que en él pueden instalarse.
7.68
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.5.4.- Ejemplo: Optimización de la ubicación de VRPs en una red ramificada.
Como aplicación del método de Programación Dinámica, procederemos a optimizar
la ubicación de VRPs en la red ramificada representada en la figura siguiente.
Fig. 7.27.- Red ramificada del ejemplo.
La red se alimenta con una altura piezométrica fija de 157 m. en el nudo 0, y el
dimensionado del diámetro de las tuberías ha sido realizado mediante un modelo de
Programación Lineal (programa DIOPRAM), considerando una velocidad máxima
admisible de 2 m/s, y presiones mínimas en los nudos de consumo de 25 m. Para el
cálculo se han considerado los mismos costes unitarios de las tuberías del ejemplo
anterior, que se encuentran en la Tabla 7.5.
La Tabla 7.12 resume los datos de la empleados para el dimensionado, tales como
el conexionado de las líneas, longitudes de las mismas, caudales de diseño, cota de los
nudos y presiones estáticas, indicando asimismo los resultados obtenidos, como son el
diámetro y presión de trabajo de las tuberías, pérdida de carga que producen para el
caudal de diseño, presiones dinámicas resultantes en los nudos y coste de inversión en
tubería para cada línea. Tomando estos resultados como referencia, la Figura 7.28
representa los niveles de presión en la red para la situación de diseño y los diámetros
obtenidos en el dimensionado. En el gráfico se observa que la presión supera los niveles
mínimos exigidos en todos los nudos, debido a la limitación de la velocidad máxima.
7.69
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Línea
Presión de
Máx. presión
Longitud Caudal Diám.
Pérdida
(Nudos
trabajo (m.)
estática
(m.)
(l/s) (mm.)
carga (m.)
extremos)
(Clase)
(m.)
Nudo aguas
abajo
Cota
(m.)
Coste
Presión (·103 ptas.)
dinámica
(m.)
1 (0-1)
650
252
450
50
2'53
37
120
34'5
5612'1
2 (1-2)
420
252
450
75
1'64
74
83
69'8
4118'1
3 (2-3)
312
35
150
125
6'88
101
56
89'9
796'5
4 (3-4)
401
25
150
125
4'72
124
33
108'0
1023'7
5 (2-5)
563
202
400
100
2'59
89
68
82'2
5076'0
6 (5-6)
427
76
250
125
3'22
112
45
102'0
2200'8
7 (6-7)
363
42
175
125
5'25
120
37
105'0
1265'8
8 (7-8)
400
30
150
125
6'61
129
28
107'0
1021'2
9 (5-9)
920
70
250
100
5'94
95
62
82'3
4310'2
10 (9-10)
530
30
150
100
8'76
97
60
75'5
1079'6
11 (1011)
412
10
80
100
19'7
97
62
53'9
330'4
Total
26834'4
Tabla 7.12.- Parámetros de funcionamiento de la red
Fig. 7.28.- A lturas piezométricas en la red ramificada del ejemplo.
7.70
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Los nudos 2 y 5 son el origen de sendas ramificaciones, y en consecuencia, el
máximo número de VRPs candidatas que debemos considerar en dichos nudos es igual
a 2·Gi-1, según se explicó en el apartado anterior.
Como G2=G5=2, consideraremos 3 posibles VRPs en cada uno de estos nudos. La
nomenclatura que hemos seguido es:
(VRPi)- Válvula que afecta a las dos
ramificaciones del nudo i.
Fig. 7.29.- VRPs en los nudos con G=2.
(VRPia)-
Válvula que encabeza la
ramificación con menor
holgura de presión (mayor
presión de tarado).
(VRPib)-
Válvula que encabeza la
ramificación con mayor
holgura de presión (menor
presión de tarado).
La Tabla 7.13 indica los ahorros absolutos y residuales que produce cada una de
las posibles VRPs sobre todas las tuberías de la red. Al igual que en el caso de una
conducción en serie, el ahorro residual en la tubería k se obtiene como rgj,k = gj,k - gi,k,
siendo VRPi la válvula situada inmediatamente aguas arriba de VRPj.
De los datos que muestra la Tabla 7.13 se concluye que podemos eliminar del
proceso de optimización las siguientes VRP (cuyos datos asociados han sido sombreados
en la tabla):
VRP10 no se considera puesto que su coste es mayor que el máximo ahorro que
puede proporcionar (nunca aparecería en la solución final).
VRP2a se elimina porque su coste es igual al de VRP2 y poseen la misma
presión de tarado óptima, y según se ha analizado en el apartado anterior, ello
significa que en ningún caso aparecerá en la solución final.
7.71
--
1
2
2
2b
2a
5
5
5b
6
5a
9
1
2
2a
2b
3
5
5a
5b
6
7
9
10
VRP
VRP aguas
arriba
10
30
30
42
76
70
146
25
35
202
237
252
125
140
180
245
280
190
260
180
210
300
300
360
Cauda
Coste VRP
l
(·103 ptas)
(l/s)
3
4
5
6
7
8
9
10
491'8 253'7 206'9 485'3 200'3 269'7 206'4 558'4 157'4
(491'8) (253'7) (206'9) (485'3) (200'3) (269'7) (206'4) (558'4) (157'4)
253'7 206'9 485'3 200'3 269'7 206'4 558'4 157'4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
485'3 200'3 269'7 206'4 558'4 157'4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
360'7 326'0
(107'0) (119'1)
463'6
(137'6)
200'3 269'7 206'4 558'4 157'4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
558'4 157'4
(0)
(0)
806'6 602'9 462'4
(606'3) (333'2) (256'0)
602'9 462'4
(0)
(0)
462'4
(0)
157'4
(0)
2
LINEAS
Tabla 7.13.- A horro residual (entre paréntesis) obtenidos por la ubicación de VRPs en la red.
46.6
53.4
22.6
22.3
5.2
53.4
53.4
6.7
4.9
40.9
40.9
5.6
Presión
tarado
(m.)
0
(0)
0
(0)
0
(0)
0
(0)
0
(0)
0
(0)
0
(0)
11
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.30.- Proceso de optimización de las VRPs en la red del ejemplo.
7.73
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Finalmente, al concluir el proceso de optimización del sistema de VRPs,
representado en la Figura 7.30, podemos comprobar que la solución óptima consiste en
la ubicación de las válvulas VRP1, VRP3 y VRP5b , y produce un ahorro neto de
3462'1·103 ptas. (4282'1·103 ptas de ahorro en tuberías menos 820'0·103 ptas. de coste
de las propias VRPs).
Fig. 7.31.- Ubicación de las VRPs de la solución óptima.
Fig. 7.32.- A lturas piezométricas en la red al instalar las VRPs de la solución óptima.
7.74
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.6.- CONSIDERACIONES ADICIONALES EN LA OPTIMIZACIÓN DE VRPs EN
REDES RAMIFICADAS.
7.6.1.- Introducción.
En el Apartado 7.5 se ha desarrollado el método de optimización de las VRPs en
una red ramificada como una aplicación de los principios de la Programación Dinámica.
Las razones que nos han conducido a la utilización de dicho método son básicamente
la sencillez del planteamiento y la posibilidad de obtener una solución óptima tras un
número finito de cálculos.
Nos proponemos ahora efectuar una recapitulación sobre las hipótesis y líneas de
razonamiento mediante las cuales se ha establecido el método propuesto, con el objeto
de establecer sus límites de validez y las circunstancias que harían necesarias
determinadas modificaciones sobre el mismo.
El primer punto de importancia fundamental lo constituye el establecimiento de
una presión óptima de tarado, que ha sido el denominador común en los tres métodos
propuestos inicialmente (Prog. Entera, Algoritmo Genético y Programación Dinámica).
Al establecer un valor de la presión óptima de tarado, es posible simplificar el proceso
posterior para decidir la ubicación óptima de las VRPs.
El principal argumento para la selección de la presión óptima de tarado de una
VRP reside en respetar o conservar las presiones mínimas de servicio en los nudos de
consumo y para ello, es necesario un conocimiento previo de las presiones que se
presentan en la red en la situación o estado operativo de diseño, que debería representar
la situación más desfavorable en cuanto a las presiones mínimas.
Así pues existirá una situación que requiere la modificación del criterio de
establecimiento de la presión óptima de tarado, a saber, cuando en el dimensionado de
los diámetros de la red se han considerado varios estados de carga, de modo que en un
determinado nudo de la misma aparecen varios valores significativos de la presión
dinámica, cada uno de ellos asociado a un estado de carga.
Otro factor que no ha sido tenido en cuenta es el comportamiento como elemento
resistente de la VRP, que provoca unas pérdidas de carga localizadas no nulas, y cuya
7.75
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
importancia ha sido despreciada por entender que en términos relativos no representan
una magnitud importante, pero puede resultar conveniente analizar la influencia que
tiene su presencia.
El criterio principal que se ha manejado para decidir la ubicación óptima de las
válvulas ha sido el económico, esto es, la presencia de una determinada VRP está
finalmente determinada por el ahorro en tuberías que es capaz de proporcionar, debido
a que permite emplear menores presiones de trabajo. El método propuesto no impide,
como tendremos oportunidad de comprobar, un cierto grado de libertad en la toma de
decisiones, lo que se traduce en que la presencia de determinadas VRPs pueda ser
"forzada" sin afectar por ello al proceso de optimización, o incluso en la intervención
de válvulas reductoras de servicio, cuyo único cometido sea asegurar que la presión no
sobrepasará un valor máximo en los nudos de servicio, como se ha planteado en el
método de Robinson y Austin en 7.2.
7.6.2.- Presión óptima de tarado de una VRP a partir de varios estados de carga.
Vamos a analizar qué es lo que sucede cuando el dimensionado de los diámetros
de la red ha sido realizado considerando varios estados de carga, en lugar de uno único
como hasta el momento. Esta circunstancia no tiene implicación directa alguna sobre la
ubicación de las VRPs, puesto que esta decisión es fruto únicamente de la economía que
supone el cambio hacia menores presiones de trabajo en las tuberías.
Sí existe en cambio una influencia sobre la presión de tarado óptima que debemos
considerar en una VRP concreta, puesto que al trabajar con varios estados de carga, cada
uno de ellos proporciona una presión dinámica generalmente diferente en el mismo nudo
de la red.
Concretamente, si el nudo i es candidato a ubicar una VRP, y denominamos Pd(ik)
a la presión dinámica en el mismo para el estado de cargas k, y ∆Pd(ik) a la mínima
holgura de presión que se presenta aguas abajo del nudo i en el estado de cargas k, y
q(ik) al caudal que llega al nudo i en el estado de carga k, la presión óptima de tarado de
la VRP será, como ya se adelantó en 7.3:
Pt ( óptima )
(k)
max Pdi
(k)
k / qi > 0
7.76
∆ Pdi
(k)
k
1 . . . EC
(7.51)
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
siendo EC el número total de estados de carga considerados.
La razón de tomar el valor máximo reside en que si la presión de tarado fuese
inferior a alguno de los valores { Pd(ik) - ∆Pd(ik) }, se violarían las restricciones de presión
mínima para el estado de carga correspondiente.
Por otra parte, es innecesario considerar los estados de carga para los cuales el
caudal que llega al nudo i es nulo, porque en tal caso, no tiene sentido hablar de una
presión mínima de servicio en los nudos existentes aguas abajo.
7.6.3.- Influencia del comportamiento de la VRP como elemento resistente.
En el desarrollo propuesto se ha considerado que la VRP, actuando como un
elemento resistente (esto es, estando completamente abierta) no produce pérdida de carga
alguna. En general, y dada la pequeña entidad de esta pérdida de carga, no se trata de
una hipótesis aventurada. Puede suceder sin embargo que la acumulación de pérdidas
de carga provocadas por VRPs en una serie de tuberías alcance una magnitud
importante.
La VRP funciona como elemento resistente (completamente abierta) cuando la
presión dinámica a la entrada de la misma se reduce hasta aproximarse al valor de la
presión de tarado, concretamente, si recordamos el Capítulo 6, cuando ocurre:
H1 ≤ Ht
hv
(7.52)
siendo H1 la altura piezométrica a la entrada de la VRP, Ht la altura piezométrica de
tarado y hv la pérdida de carga cuando la válvula está completamente abierta, cuya
expresión es:
hv
k
v2
2g
8k
q2
2
4
π gD
(7.53)
en la cual k es el coeficiente adimensional de pérdidas, D es el diámetro de la válvula
y q es el caudal que la atraviesa.
Ello supone que en los casos en que la altura a la entrada de la válvula H1 sea
menor que Ht+hv, la altura a la salida será H2=H1-hv<Ht. Ante esta situación pueden
presentarse dos casos diferentes:
7.77
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
1)
Que la holgura de presión con la que se ha calculado la presión de tarado de la
VRP sea inferior a la pérdida en la válvula hv para el caudal de diseño, en cuyo
caso existirán nudos situados aguas abajo cuya presión será inferior al valor
mínimo, para la situación de diseño, que se supone en principio como la más
crítica.
2)
Que dicha holgura de presión sea superior a hv, en cuyo caso, incluso en la
situación de diseño, la altura a la salida de la válvula será Ht, respetando las
presiones mínimas en los nudos situados aguas abajo.
Como una posible solución ante esta situación, podemos mayorar las pérdidas de
carga en las tuberías de la red para incluir una estimación de las pérdidas localizadas
que producen las VRPs, antes de acometer el dimensionado de los diámetros de la red.
De esta forma se obtiene una configuración en la cual, las presiones en los nudos de
consumo en ausencia de VRPs son más elevadas que el valor mínimo.
Este último criterio, aún siendo válido cuando se prevé la presencia de otras
pérdidas de carga localizadas debidas a elementos auxiliares, resulta poco selectivo en
el caso de VRPs, puesto que en la etapa de dimensionado de los diámetros todavía no
conocemos cuántas VRPs deben ser instaladas y ni tan siquiera su ubicación.
Al objeto de establecer un criterio más selectivo, recordemos que las holguras de
presión en los nudos de consumo aparecen como consecuencia del límite de velocidad
de circulación máxima o bien por la imposibilidad de reducir los diámetros por debajo
de un valor mínimo. Así, los nudos de consumo que no presentan holgura de presión se
identifican como aquellos que por razón de su cota o por la distancia hasta el nudo de
alimentación resultan críticos para poder mantener una presión mínima. Por otro lado,
estos mismos nudos críticos son los que presentan menores diferencias entre la presión
estática y dinámica, por lo cual favorecen menos que otros la presencia de VRPs aguas
arriba de sí mismos. De hecho, podemos constatar que en los dos ejemplos que se han
presentado en 7.4 (serie de tuberías) y en 7.5 (red ramificada), en el tarado de las VRPs
que componen la solución final, siempre aparecen holguras de presión.
El cómputo de holguras de presión queda invalidado no obstante en el momento
en que se introducen VRPs en el sistema, puesto que se modifica la distribución de
presiones, tanto estática como dinámica.
7.78
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Por ello podemos establecer finalmente tres conclusiones:
a)
La pérdida de carga que provoca la VRP cuando se encuentra completamente
abierta es despreciable en general, debido a su pequeña magnitud.
b)
Cuando se considera la pérdida en la VRP, el comportamiento como elemento
resistente de la misma no interviene generalmente en el balance final de pérdidas
en la red, debido a la propia naturaleza del proceso de selección de este tipo de
válvulas, puesto que son proclives a aparecer aguas arriba de aquellos nudos o
zonas en las que se presentan excesos innecesarios de presión dinámica.
c)
La estimación a priori del efecto final que puede provocar el comportamiento
como elemento resistente de las VRPs resulta difícil, por el desconocimiento de
las VRPs que formarán parte de la solución final. En el caso de que aparezcan
problemas con la presión mínima en los nudos, solamente será posible establecer
soluciones adecuadas a posteriori, mediante la modificación de algunos diámetros.
7.6.4.- Restricción de número de posibles VRPs. Ahorro residual por zonas.
Es evidente que cuanto mayor sea el grado de libertad para ubicar VRPs en el
sistema, mejores soluciones será posible encontrar en el proceso de optimización. Por
ello, al formular el método de optimización en los apartados anteriores, se ha supuesto
implícitamente que todos los nudos del sistema eran candidatos a albergar una o incluso
varias VRPs.
Pero la formulación del método de Programación Dinámica admite asimismo la
posibilidad de limitar el proceso de selección a un pequeño número de VRPs candidatas,
y la única variación sobre el tratamiento expuesto consistiría en este caso en agrupar los
ahorros en tubería por zonas en lugar de considerar tuberías individuales. Cada una de
las zonas estaría limitada por dos ubicaciones consecutivas de posibles VRPs, no
conteniendo ninguna ubicación posible en su interior.
Para ilustrar la forma de proceder en este caso, la siguiente figura muestra el
esquema de una red ramificada en el cual se contemplan hasta seis posibles VRPs en
la parte superior (figura (a)) con las correspondientes zonas de tuberías afectadas.
7.79
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.33.- Definición de un número limitado de posibles VRPs.
7.80
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
La Figura 7.33.b muestra el aspecto de la tabla de ahorros correspondiente, cuyas
componentes serían:
Ahorro en zona j ( Tj ) debido a VRPk
Ahorro residual en zona j ( Tj ) debido a VRPk
i ∈T j
i ∈T j
gi , k
(7.54)
rgi , k
en la cual Tj representa el conjunto de tuberías que componen la zona j.
Finalmente la Figura 7.33.c muestra el esquema equivalente en tubería de las zonas
consideradas.
El establecimiento de un número reducido de VRPs candidatas tiene sentido
cuando, por ejemplo, existen determinadas zonas en la red cuya topografía es plana y
en las cuales la línea de alturas piezométricas posee muy poca pendiente. Aunque en
zonas con estas características puede definirse un gran número de posibles VRPs, lo
cierto es que en la solución final solamente aparecerá (en caso de aparecer alguna VRP
en estas zonas) una VRP encabezando la zona, puesto que es la que mayor ahorro
potencial puede producir.
7.6.5.- Selección de determinadas VRPs fuera del proceso de optimización.
El conjunto óptimo y la ubicación de las VRPs que proporciona el método de PD
responde a un criterio totalmente económico; sin embargo, pueden entrar en juego otros
criterios de tipo funcional que, ocasionalmente, fuerzan al proyectista a disponer
determinadas VRPs independientemente del criterio puramente económico.
El método de PD no es en absoluto incompatible con esta situación, pero requiere
ciertas modificaciones en su planteamiento. Para ello haremos uso de un sencillo
ejemplo mediante un sistema de tuberías en serie sin ramificaciones, como el mostrado
en la Figura 7.34, en el cual definimos cuatro VRPs posibles, que denominaremos VRPa,
VRPb, VRPc y VRPd. Imaginemos que el proyectista decide la ubicación de VRPb antes
de optimizar el resto de VRPs. En adelante denominaremos VRP*b a dicha válvula y H*t,b
a su altura piezométrica de tarado.
7.81
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.34.- Disposición de cuatro VRPs en serie.
En primer lugar, es necesario hacer unas consideraciones sobre la presión de tarado de
VRP*b; a este respecto caben dos situaciones extremas:
a) Si la altura de tarado H*t,b es superior a la altura de tarado óptima de VRPa
(H*t,b>Ht,a), en el caso de aparecer VRPa en la solución final, la válvula VRP*b
permanecerá inactiva, y por tanto, su presencia será inútil para el cometido de
reducir la presión.
b) Si H*t,b es inferior al valor óptimo que proporciona el criterio desarrollado en
7.3, no se respetarán las presiones mínimas en los nudos situados aguas abajo
de VRP*b.
Así pues, sólo tendrá sentido adoptar una altura de tarado comprendida entre estos
dos límites. Una vez instalada VRP*b y suponiendo que su altura de tarado es inferior a
Ht,a podemos decir que la posible presencia de VRPa ya no puede proporcionar ahorro
alguno en las tuberías que quedan aguas abajo de VRP*b, esto es, la influencia económica
de VRPa se limita a las tuberías situadas aguas arriba de VRP*b. Por otro lado, al ubicar
VRP*b, las VRPs situadas aguas abajo pierden una parte de su capacidad de ahorro
inicial.
El efecto es equivalente a separar la red en dos partes, una correspondiente a las
tuberías que no están afectadas por la presencia de VRP*b y otra correspondiente a las
tuberías que quedan abajo de VRP*b, de manera que cualquier posible VRP ubicada en
7.82
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
una de las dos partes es incapaz de producir ahorro en tuberías situadas en la otra parte.
En definitiva, ambas subredes, la de aguas arriba y la de aguas abajo pueden
dotarse ahora con nuevas VRPs siguiendo criterios económicos, teniendo en cuenta los
ahorros ya producidos por la válvula VRPb.
7.6.6.- Inclusión de VRPs de servicio.
Hasta el momento se ha admitido que las únicas variables que relacionan la red
dimensionada y todo aquellos que se encuentra aguas abajo de los nudos de consumo,
son el caudal consumido y el valor mínimo de la presión de servicio, sin considerar
directamente la intervención de restricciones de presión máxima en dichos puntos.
El método de Robinson y Austin desarrollado en el Apartado 7.2 suple esta
carencia planteando la posible existencia de válvulas reductoras de servicio, cuya única
misión es evitar que la presión en los nudos de servicio supere un valor máximo, y sin
que las mismas tengan ninguna influencia en las presiones de trabajo de las tuberías de
la red principal. Naturalmente, la presencia de VRPs de servicio supone un coste
adicional que debe de ser contabilizado.
Para la inclusión de VRPs de servicio en el método de PD consideraremos que:
a) Su presencia es necesaria para asegurar el cumplimiento de las restricciones de
presión máxima en los nudos de servicio.
b) Su coste debe ser incluido como una partida más de la red dimensionada.
c) La intervención de VRPs en la red principal permitirá no solamente reducir el
timbraje de las tuberías, sino que también puede comportar la eliminación de
una o varias VRPs de servicio, en el caso de que su función pueda ser
realizada por una VRP de la red principal, con el consiguiente ahorro.
De esta forma se evita una intervención directa de las restricciones de presión
máxima en los nudos de servicio, y los ahorros derivados de la eliminación de una VRP
de servicio actúan como si se tratase de una tubería más en el método de PD.
Para demostrar la aplicación del procedimiento en este caso, vamos a retomar el
7.83
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
ejemplo propuesto por Robinson y Austin, que ha sido desarrollado en 7.2.4 y sobre él
aplicaremos el método de PD incluyendo VRPs de servicio. El procedimiento a seguir
consta de los siguientes pasos:
1) Dimensionar los diámetros de las tuberías mediante el procedimiento de
Programación Lineal o cualquier otro, estableciendo las presiones de trabajo
adecuadas para las mismas sin considerar las restricciones de presión máxima
en los nudos de servicio.
2) Establecer las VRPs de servicio necesarias para que la presión no supere en los
nudos de servicio el valor máximo establecido.
3) Plantear las posibles VRPs principales considerando tanto el ahorro potencial
en las tuberías como el ahorro obtenido por la eliminación de VRPs de
servicio, cuya función será sustituida por las VRPs principales.
4) Realizar la optimización del sistema de VRPs mediante el procedimiento de
Programación Dinámica considerando la posible eliminación de las VRPs de
servicio.
Para realizar el dimensionado de los diámetros (paso 1) se ha formulado el
problema de PL compuesto por una función objetivo que incluye tanto los costes de las
tuberías Ct como el coste de construcción del depósito Ccd, y por unas restricciones
geométricas (7.9) y unas restricciones de presión mínima (7.10) en los nudos de
consumo.
La solución al problema de optimización ha sido obtenida mediante el programa
LP83 [13] para la optimización mediante PL, considerando el procedimiento iterativo
de Salcedo y Weiss para una aproximación lineal del coste de construcción del depósito.
La Figura 7.35 muestra un esquema de la red propuesta en el ejemplo, y la Tabla
7.14 presenta los resultados obtenidos tras el dimensionado óptimo de la red, sin
considerar la presencia de VRPs.
Recordemos que en el ejemplo se han considerado únicamente dos clases de
tubería en función de la presión de trabajo, correspondientes a 18'3 m. la Clase 1, y
21'35 m. la Clase 2. La presión mínima en los nudos de consumo debe ser 9'15 m. y la
presión máxima en los mismos debe ser 15'25 m.
7.84
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Figura 7.35.- Esquema de la red del ejemplo propuesto en 7.2.4.
Altura del depósito Hd = 7'84 m.
Coste de construcción Ccd = 4535'3 $
Línea
Clase de
tubería
2 (1-2)
4'0
C1
805'2
2112'04
10'89
9'93
3 (2-3)
4'0
C1
805'2
2112'04
16'38
14'56
4 (3-4)
3'0
C1
1207'8
2297'24
17'00
13'21
5 (4-5)
3'0
C1
939'4
1786'74
13'94
9'15
3'0
C2
238'6
508'46
2'5
C2
1371'8
2159'21
20'04
11'56
7 (6-7)
2'5
C2
805'2
1267'39
20'04
9'15
8 (6-8)
2'0
C2
402'6
527'81
20'04
9'45
6 (3-6)
Longitud
parcial (m.)
Nudo aguas abajo
Diámetro
(pulg.)
COSTE TOTAL TUBERÍAS
($)
Coste ($)
Presión
Presión
Estática (m.) Dinámica (m.)
12774'93
COSTE TOTAL INVERSIÓN (TUBERÍAS + CONSTRUCCIÓN DEPÓSITO) = 17310'23 $
Tabla 7.14.- Resultados del dimensionado del ejemplo.
Como podemos comprobar, la solución es factible por cuanto en todos los nudos
de servicio (2, 3, 4, 5, 7 y 8) la presión dinámica supera o es igual al mínimo
7.85
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
establecido de 9'15 m., y las tuberías de las líneas 6 (3-6), 7 (6-7) y 8 (6-8) son de la
clase 2 porque la presión estática supera el valor máximo para la clase 1 de 18'3 m. en
alguno de sus nudos extremos.
El siguiente paso consiste en incluir las VRPs de servicio necesarias para que la
presión máxima en los nudos de servicio no supere el valor de 15'25 m., circunstancia
que se presenta en los nudos 3, 4, 7 y 8, por lo que será necesario incluir cuatro VRPs
de servicio en dichos nudos con un coste adicional de 4·200 $ = 800 $.
De esta forma, el coste total del sistema considerando VRPs de servicio es de
18110'23 $, menor que el coste obtenido mediante el procedimiento de Robinson y
Austin.
El siguiente paso consiste en plantear la existencia de posibles VRPs en la red
principal, al objeto de reducir la presión de trabajo de las tuberías y sustituir en la
medida de lo posible la función de las VRPs de servicio, produciendo en ambos casos
un ahorro en la inversión. La Figura 7.36 muestra las VRPs que se han considerado en
la red principal.
Figura 7.36.- Distribución de las posibles VRPs principales en la red del ejemplo.
Veamos a continuación el efecto que puede tener la inclusión de cada una de las
VRPs propuestas en la figura:
7.86
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
VRP2 : Se sitúa en el nudo 2, y su presión de tarado mínima corresponde al valor
de la presión dinámica en dicho nudo, esto es Pt2=9'93 m., lo que implica una
reducción de la presión estática en todos los nudos ubicados aguas abajo de
10'89-9'93=0'96 m. Esta reducción de la presión estática es insuficiente para
reducir la presión de trabajo de las tuberías de la clase 2 y tampoco permite la
eliminación de ninguna VRP de servicio. La inclusión de esta VRP no comporta
ahorro alguno y su instalación representa un sobrecoste de 810 $, por lo cual
nunca aparecería en la solución final.
VRP3 : Se sitúa aguas arriba del nudo 3, y su presión de tarado mínima
corresponde al valor de la presión dinámica en dicho nudo, esto es Pt3=14'56 m.,
lo que implica una reducción de la presión estática en todos los nudos ubicados
aguas abajo de 16'38-14'56=1'82 m., suficiente para poder utilizar tubería de clase
1 en las líneas 6 (3-6), 7 (6-7) y 8 (6-8), con un ahorro de 339'43 $.
Adicionalmente permite eliminar las VRPs de servicio de los nudos 3 y 4, puesto
que la presión estática queda por debajo del valor máximo de servicio de 15'25 m.,
con un ahorro de 400 $. El ahorro total que aporta su instalación es de 739'43 $,
mientras que su coste es de 810 $, y por lo tanto, tampoco resulta eficiente su
instalación.
VRP3a : Se sitúa aguas abajo del nudo 3, encabezando la línea 6 y su presión de
tarado es la misma que en el caso de VRP3. En cuanto a las tuberías produce el
mismo efecto que VRP3, pero no permite eliminar las VRPs de servicio de los
nudos 3 y 4, y por tanto, tampoco resulta eficiente.
VRP3b : Se sitúa aguas abajo del nudo 3, encabezando la línea 4 y su presión de
tarado es la misma que en el caso de VRP3. Solamente permite la eliminación de
la VRP de servicio en el nudo 4, y en consecuencia, no es eficiente.
VRP4 : Se sitúa en el nudo 4, con una presión de tarado igual a la presión
dinámica en dicho nudo. Sólo permite eliminar la VRP de servicio en dicho nudo,
con un ahorro de 200 $ y con un sobrecoste de 810 $, siendo por ello ineficiente.
VRP6 : Se sitúa aguas arriba del nudo 6, siendo su presión de tarado igual al valor
de la presión dinámica en dicho nudo Pt6=11'56 m. Provoca por tanto una
reducción de la presión estática en todos los nudos ubicados aguas abajo de
7.87
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
20'04-11'56=8'48 m., y consecuentemente permite utilizar tubería de clase 1 en las
líneas 7 (6-7) y 8 (6-8), con un ahorro de 119'18 $. Además es posible eliminar
las VRPs de servicio de los nudos 7 y 8, al quedar la presión estática por debajo
del valor máximo de 15'25 m., con un ahorro de 400 $. Aporta un ahorro total de
519'18 $, con un coste de 810 $, y por ello no es eficiente.
VRP6a : Se sitúa aguas abajo del nudo 6 encabezando la línea 8 (6-8), con una
presión de tarado igual al valor de la presión dinámica en dicho nudo menos la
holgura de presión del nudo 8 (0'3 m.), esto es Pt6a=11'53 m. Permite utilizar
tubería de la clase 1 en la línea 8 y también eliminar la VRP de servicio en el
nudo 8, aportando un ahorro total de 239'46 $, mayor que su propio coste de
810 $; en consecuencia esta VRP tampoco podría aparecer en la solución final.
VRP6b : Se sitúa aguas abajo del nudo 6 encabezando la línea 7 (6-7), con una
presión de tarado igual a la de VRP6. Permite utilizar tubería de la clase 1 en la
línea 7 y eliminar además la VRP de servicio en el nudo 7, con un ahorro total
de 279'72 $ y un coste de 810 $; también resulta ineficiente.
La solución final al ejemplo planteado no contendrá ninguna VRP principal, y el
exceso de presión en los nudos de servicio se elimina mediante la acción de cuatro
VRPs de servicio. Recordemos que la solución conseguida mediante el método de
Robinson y Austin en 7.2.4 tampoco contiene ninguna VRP principal, siendo su coste
final de 19044'6 $, que representa un coste superior en un 5'2 % a la cantidad de
18110'23 $ que hemos obtenido en este apartado.
Los resultados mejores que hemos obtenido en este apartado se deben a que la
presencia de VRPs a sido contemplada a posteriori, después de dimensionar
económicamente las tuberías de la red. Sin duda, las restricciones de presión máxima
que se aplican en el modelo de Robinson y Austin resultan excesivamente exigentes en
lo concerniente al valor de la altura del depósito, circunstancia que condiciona
desfavorablemente el dimensionado económico de las tuberías de las red.
7.88
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.7.- CONCLUSIONES
En el presente capítulo se han estudiado diferentes aspectos referentes a la
utilización eficiente de las válvulas reductoras de presión como un elemento auxiliar en
el diseño económico de redes ramificadas. Históricamente se conoce el uso de estos
dispositivos desde un siglo atrás (Mateos [6]) para corregir o remediar los excesos de
presión que pueden presentarse en el funcionamiento de una red, aunque hasta hace bien
poco tiempo no han sido considerados como elementos susceptibles de intervenir en el
diseño de una red.
Una de las primeras aportaciones orientadas al empleo de VRPs en el diseño de
una red es el método de Robinson y Austin, desarrollado en el Apartado 7.2; su
característica principal consiste en el tratamiento conjunto del dimensionado económico
de los diámetros de la red y del proceso de decisión de la ubicación y tarado óptimo de
VRPs en el sistema. La aparición de VRPs en la solución final está condicionada tanto
por factores económicos, al posibilitar el empleo de tuberías más económicas mediante
una reducción de su presión de trabajo, como por restricciones funcionales de presión
máxima.
Sin embargo, el método de Robinson y Austin no resulta idóneo para determinar
las VRPs más eficientes. De hecho, el planteamiento iterativo de este método sólo
permite la aparición de VRPs en la red principal en el caso de que sustituyan en su
cometido a un número determinado de VRPs de servicio a un menor coste. Por otra
parte, la convergencia no se alcanza para la solución factible más económica.
La conclusión más significativa que se desprende de la aplicación del método de
Robinson y Austin al ejemplo de 7.2.4. es que siempre que en alguna de las iteraciones
aparecen VRPs en la red principal, su presencia no supone en ningún caso una
modificación de los diámetros de las tuberías ubicadas aguas abajo de las mismas. Ello
significa que el valor óptimo de la presión de tarado de las VRPs seleccionadas en cada
iteración es igual al valor de la presión dinámica del nudo donde se ubican, cuando por
las tuberías de la red circulan los caudales de diseño.
Esta conclusión sugiere dos cuestiones fundamentales: en primer lugar cabe
preguntarse si esto siempre sucede así o por el contrario, es debido simplemente a las
características del ejemplo planteado; en segundo lugar, y si la primera respuesta
7.89
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
confirma que el comportamiento es general, ello sugiere que es posible plantear el
dimensionado de los diámetros de la red separadamente de la ubicación y tarado de las
posibles VRPs en la misma.
En el Apartado 7.3 se demuestra que, como efectivamente parecía revelar el
ejemplo de Robinson y Austin, para cada posible VRP, la presión óptima de tarado es
igual a la presión dinámica que existe en el nudo donde ésta se ubica, para los caudales
de diseño, o de forma más general, será igual al mínimo valor posible que permita
respetar las presiones mínimas en los nudos de consumo. Al hablar de presión óptima
de tarado, se está haciendo una clara referencia a la eficiencia económica obtenida al
instalar una determinada VRP, esto es, por óptimo debe entenderse que se trata de la
presión de tarado capaz de proporcionar el máximo ahorro posible al reducir las
presiones de trabajo de las tuberías ubicadas aguas abajo de la válvula. Para materializar
este criterio es por tanto necesario haber realizado previamente el dimensionado de los
diámetros de la red y establecer las presiones de trabajo que son necesarias en las
tuberías sin la presencia de VRPs, para posteriormente, evaluar la influencia económica
de cada una de las VRPs.
Aunque se ha establecido el concepto de presión óptima de tarado para demostrar
que es posible acometer de forma separada el dimensionado de los diámetros de la red
y la determinación de las VRPs en la misma, su definición lleva automáticamente a otra
importante conclusión: puesto que la presión óptima de tarado es una propiedad
individual de cada una de las VRPs de la red, que no depende del resto de posibles
válvulas, también es posible considerar separadamente el proceso de determinación de
la presión óptima de tarado del proceso de selección de la ubicación óptima de las
válvulas.
El proceso de ubicación óptima de las VRPs en una red ramificada, que se
desarrolla en el Apartado 7.4, presenta una característica dominante referente a las
variables de decisión, que resultan ser de tipo binario del tipo Xi= 1/0, asociadas con la
instalación o no instalación de cada posible VRP, y por otra parte, existe una
interdependencia entre el ahorro en tubería que puede proporcionar una determinada
VRP y la presencia de otras VRPs en la red.
Una vez establecidos los principios generales que gobiernan el proceso de
ubicación óptima de las VRPs, se han estudiado diversos métodos de optimización, que
7.90
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
han sido aplicados sobre un sencillo ejemplo consistente en una serie de tuberías. Es
importante poner de manifiesto que siempre existirá al menos una solución óptima,
puesto que la solución de partida, en la cual no existe ninguna VRP, debe de ser
factible. Por la naturaleza de las variables de decisión, se ha optado por tres posibles
métodos, a saber, Programación Entera, Algoritmos Genéticos y Programación Dinámica.
La formulación mediante Programación Entera, desarrollada en 7.4.2, posee la gran
ventaja de que proporciona la solución óptima tras un número finito de cálculos; sin
embargo, y debido a la interdependencia entre las N variables de decisión
(correspondientes a N válvulas), exige definir N·(N-1)/2 variables auxiliares y N·(N-1)
restricciones adicionales. Si a la dificultad de la formulación del problema se añade la
complejidad interna que presenta el software de Programación Entera, concluiremos que
este método resulta impracticable, incluso para problemas con un muy pequeño número
de VRPs.
A continuación se propone en 7.4.3 la optimización mediante Algoritmos
Genéticos, consistente en un método heurístico basado en las leyes de selección natural.
Este tipo de procedimiento resulta idóneo para problemas de optimización cuyos
espacios de soluciones presentan una estructura compleja. A diferencia de otros métodos,
los Algoritmos Genéticos no trabajan con una única solución, sino con poblaciones de
soluciones, lo que permite una exploración más exhaustiva del espacio de soluciones.
Las soluciones están representadas por cadenas binarias, de modo que su expresión
formal se ajusta perfectamente a la estructura del problema de optimización de la
ubicación de VRPs en una red ramificada. Las ventajas de este método residen en la
gran flexibilidad y generalidad con que se formula, y en que proporciona un conjunto
de soluciones cuya eficiencia o "aptitud" mejora mediante la aplicación sucesiva del
procedimiento. Como inconvenientes cabe destacar que no es posible determinar si entre
las soluciones que se van obteniendo se encuentra la solución óptima global, y en
consecuencia, no es posible establecer un criterio de convergencia directamente
relacionado con la eficiencia de las soluciones.
En 7.4.4 se desarrolla el último de los métodos propuestos, y el que se manifiesta
finalmente como el más apropiado, consistente en la optimización mediante
Programación Dinámica. Este método conjuga las ventajas de los dos anteriores, por
cuanto presenta una gran flexibilidad y simplicidad de planteamiento, a la vez que
proporciona la solución óptima tras un número finito de cálculos, que corresponde al
7.91
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
número de posibles VRPs, no siendo necesario además definir otras variables auxiliares
aparte de las variables de decisión.
Cuando se estudia el problema de ubicación óptima de VRPs en redes ramificadas
en el Apartado 7.5, es necesario introducir otras consideraciones complementarias que
no han aparecido al analizar un sistema sencillo compuesto por una serie de tuberías.
Dichas consideraciones se refieren al número de VRPs significativas que será necesario
considerar en los nudos y a la influencia de las ramificaciones en el procedimiento
secuencial de la Programación Dinámica.
Finalmente, en 7.6 se analizan diversas circunstancias que pueden presentarse en
el dimensionado de la red y en la selección de las posibles VRPs, y que exigen la
modificación parcial de algunos de los criterios manejados al establecer el método de
Programación Dinámica, como son:
Establecimiento de la presión óptima de tarado cuando el dimensionado de los
diámetros de las tuberías contempla varios estados de carga.
Influencia del comportamiento resistente de la VRP completamente abierta.
Restricción del número de posibles VRPs que intervienen en el proceso de
optimización.
Selección previa de determinadas VRPs por criterios no económicos.
Inclusión en el problema de posibles VRPs ubicadas en los nudos de servicio,
fuera de la red principal.
Como conclusión final diremos que el método propuesto permite obtener
importantes ahorros en el diseño de redes ramificadas mediante el uso eficiente de
VRPs, como un elemento auxiliar para posibilitar el empleo de tuberías con menores
presiones de trabajo y en consecuencia, más económicas. El fundamento del
procedimiento es la diferenciación conceptual en el diseño entre requisitos hidráulicos
y mecánicos.
7.92
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
Del método expuesto podemos destacar las ventajas siguientes:
a) La optimización del conjunto de VRP se realiza independientemente del
dimensionado hidráulico de la red (asignación de diámetros de las tuberías).
b) El establecimiento de la presión óptima de tarado y la ubicación óptima de las
VRPs constituyen dos procesos totalmente separados; consecuentemente, el
proyectista puede seleccionar valores de las presiones de tarado superiores a
los propuestos en el Apartado 7.3, sin que sea necesaria ninguna modificación
del procedimiento.
c) El método proporciona la solución óptima a partir de cualquier situación
previa, esto es, el proyectista puede forzar la instalación de cualquier VRP en
la red y optimizar el conjunto restante, sin ninguna modificación del
planteamiento. Igualmente es posible restringir el número de posibles VRPs a
considerar en la optimización, sin que ello exija ninguna variación a la forma
de proceder.
d) La formulación del problema de PD por etapas en forma secuencial requiere
un espacio mínimo de almacenamiento de variables para su tratamiento.
El inconveniente principal del método reside en la complejidad añadida que
representaría la posibilidad de retener varias soluciones óptimas, caso de que éstas
existan.
7.93
7. Optimización de redes ramificadas contemplando ubicación y tarado de VRPs
7.8.- BIBLIOGRAFÍA.
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