Tema 3 Diagonalización de endomorfismos Métodos Matemáticos - 1C - Lic. Fı́sica Curso 2009-10 Objetivo: Dado un endomorfismo f : V −→ V , ¿cuándo existe una base B tal que λ1 0 .. M (f, B) = ? . 0 λn Definición 1 Sea f : V −→ V un endomorfismo. Se dice que λ ∈ R es un valor propio → − − − − − − de f si existe → v ∈V, → v 6= 0 tal que f (→ v ) = λ→ v . El vector → v se llama vector propio de f asociado a λ. Definición 2 Sea A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada. Se dice que λ ∈ R es un valor → − − − − − − v A = λ→ v . El vector → v se llama vector propio de A si existe → v ∈ Rn , → v 6= 0 tal que → propio de A asociado a λ. Observaciones → − 1. El número 0 es valor propio de f ⇔ ker(f ) 6= { 0 }. − − 2. Dada A ∈ Mn×n (R), definimos la aplicación lineal fA : Rn −→ Rn , f (→ x) = → x A. Tanto los valores propios como los vectores propios de fA son los mismos que los de A. 3. Sean V (R) un espacio vectorial, f : V −→ V un endomorfismo y B una base de V . → − − − − Dado → v ∈V, → v 6= 0 , sea → v B ∈ Rn el vector de Rn formado por las coordenadas − − − de → v respecto de B . Entonces, → v es vector propio de f ⇔ → v B es vector propio de M (f, B), con iguales valores propios asociados. Definición 3 Sean V (R) un espacio vectorial, f : V −→ V un endomorfismo y λ ∈ R un valor propio de f . Se define el subespacio propio de f asociado a λ como → − − − − Vλ = {→ v ∈ V : f (→ v ) = λ→ v } = {vectores propios asociados a λ} ∪ { 0 }. 1 2 Diagonalización de endomorfismos Definición 4 Dada A ∈ Mn×n (R), λ ∈ R, se define el subespacio propio de A asociado a λ como → − − − − Vλ = {→ v ∈ Rn : → v A = λ→ v } = {vectores propios asociados a λ} ∪ { 0 }. Proposición 1 Vλ es un subespacio vectorial de V (o de Rn , en el caso de una matriz). Definición 5 Dado f : V −→ V un endomorfismo, se dice que es diagonalizable si existe B una base de V tal que M (f, B) es diagonal. Dada A ∈ Mn×n (R), se dice que es diagonalizable si existe B una base de Rn tal que M (fA , B, B) es diagonal. Observación: Si Bu es la base usual de Rn y B es otra base, sea P = M (1Rn , B, Bu ). Tomamos A una matriz cuadrada. Entonces, A = M (fA , Bu , Bu ) = M (1Rn , Bu , B)M (fA , B, B)M (1Rn , B, Bu ) = P −1 M (fA , B)P. En consecuencia, A es diagonalizable ⇔ A es semejante a una matriz diagonal. Proposición 2 Sean A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada y λ ∈ R un número. Entonces, λ es un valor propio de A ⇔ det(A − λIn ) = 0. Corolario 1 Sean f : V −→ V un endomorfismo, B una base y λ ∈ R. Entonces, λ es valor propio de f ⇔ det( M (f, B, B) − λIn ) = 0. Nota: La ecuación anterior se llama ecuación caracterı́stica de f o de A. El polinomio det(A − λIn ) o det( M (f, B, B) − λIn ) se llama polinomio caracterı́stico de f o de A. Lema 1 Dados f : V −→ V un endomorfismo (o A ∈ Mn×n (R)) y λ un valor propio, dim Vλ ≤ multiplicidad de λ como raı́z de la ecuación caracterı́stica. Teorema 1 Sea f : V −→ V un endomorfismo, n = dim V (o A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada). Entonces, f (o A) es diagonalizable ⇔ se cumplen las dos siguientes premisas: 1. La ecuación caracterı́stica tiene exactamente n raı́ces contando multiplicidades. 2. Para cada valor propio λ, dim Vλ = multiplicidad de λ como raı́z de la ecuación caracterı́stica. Teorema 2 Sea f : V −→ V un endomorfismo (o A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada). Entonces, f (o A) es diagonalizable ⇔ existe B base formada por vectores propios de f (o de A). Miguel Ortega Titos Diagonalización de endomorfismos 3 Diagonalizar un endomorfismo o una matriz, cuando es posible, consiste en encontrar una tal base de vectores propios. Método para diagonalizar un endomorfismo o una matriz: (Se asume que se puede realizar hasta el final. Si algún paso falla, automáticamente, la matriz o el endomorfismo no es diagonalizable). 1. Calcular el polinomio caracterı́stico de f o de A. 2. Calcular las raı́ces de la ecuación caracterı́stica, es decir, los valores propios y contar sus multiplicidades. Si se cumple el apartado 1 del Teorema 1, se puede continuar. 3. Para cada valor propio λ, se calcula una base del subespacio propio asociado Vλ . Si se cumple el apartado 2 del Teorema 1, se puede continuar. 4. La base final B se construye uniendo todos los vectores de todas las bases construidas en el paso anterior (si fue posible). Ası́, A = P −1 DP , donde D = Diagonal(λ1 , ..., λn ) es la matriz diagonal de valores propios y P = M (1Rn , B, Bu ) es la matriz que se construye escribiendo por filas las coordenadas de los vectores de B respecto de la base usual Bu . Dep. Geometrı́a y Topologı́a, Universidad de Granada