Prueba de Evaluación Continua Grupo C 11-05-11 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN. - 1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces: R u 0 que verifica f u u . Si es un valor propio de f existe un vector - Los vectores del núcleo son aquellos que verifican f u A u 0 . - El polinomio característico de A es | A - ·In |. - Una aplicación f: V→ W entre dos espacios vectoriales es lineal si verifica: 1) f u v f u f v u , v V 2) f u f u u V y R , , ( 0.5 puntos ) 2- Sea f : V V una transformación lineal. - Un vector x V es INVARIANTE si f x x . Un subespacio vectorial F V es un subespacio invariante por f cuando decir, para todo vector v F .se verifica f F F , es f v F . - Dos matrices cuadradas A y A’ M n son semejantes cuando existe una matriz regular P 0, -1 tal que A´=P AP . ( 0.5 puntos ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3 1 0 3- Sea A 1 5 1 la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica 2 1 0 de R3, y sea g(x, y, z) = (x+z, y, x+y). Entonces: - La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z) = 3x y, x 5 y z , 2 x y . - 1 M 0 1 5 N 1 4 La matriz asociada a la aplicación g es: La matriz asociada a la aplicación lineal g f es 0 1 1 0 1 0 2 0 5 1 6 1 (1 punto) 2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f x, y, z x z, 7 x 4 y 13z, x 3z Se pide a) Hallar una base del subespacio Im(f). b) Hallar la dimensión del núcleo de f. c) Clasificar f. d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f), 0 ? ¿Cuáles? e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes. f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué? (0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos) En primer lugar calculamos la matriz del endomorfismo f x, y, z x z, 7 x 4 y 13z, x 3z para ello hallamos las imágenes de los vectores de la base canónica f 1,0, 0 1, 7,1 , f 0,1, 0 0, 4, 0 , f 0, 0,1 1,13, 3 , por tanto, 1 0 1 A 7 4 13 es la matriz de f respecto de la base canónica. 1 0 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A. 1 0 1 Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r 7 4 13 3 por tanto los tres 1 0 3 vectores columna forman una base de R3, así pues, el subespacio imagen de f es R3. b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f)=0. c) Si dimN(f)=0 f es biyectiva. d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de A, así pues, calculamos dichos subespacios. Pλ(A) = | A - λ·I3| = (4 - λ)·(λ + 2)2, por tantos, λ = 4 simple y λ = -2 doble son los valores propios de A luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = 4 y Vλ = - 2. e) Por no existir el valor propio λ = 1 podemos afirmar que el subespacio de vectores invariantes es 0 . f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios. La multiplicidad algebraica de λ = - 2 es dos. Hallamos ¿Vλ = -2? x 0 La solución del sistema de ecuaciones A (2)I3 y 0 es z 0 x = t, y = -t, z=t, y Vλ = -2= < 1, -1, 1 )> dim (Vλ = -2) = 1 2, por tanto el endomorfismo NO es diagonalizable. 3 2 0 3.- Dada la matriz A 2 3 0 correspondiente a un endomorfismo f, se pide: 0 0 5 a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal y semejante con A. 2 puntos. b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A. 3 c) Hallar la base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D. 1 punto. 1 punto. (4 puntos) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3 2 0 0 (1 )( 5)2 a) El polinomio característico de A es PA 2 3 0 0 5 Los valores propios son λ = 1 simple y λ = 5 doble. 2 2 0 x 0 Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son solución del sistema 2 2 0 y 0 x = t, 0 0 0 z 0 y = - t y, z = s, por tanto, dim Vλ=5 = 2 y una base de Vλ=5 es {(1, -1, 0), (0, 0, 1)>. Por coincidir el orden de multiplicidad algebraica y geométrica de ambos valores propios la matriz A es diagonalizable. 5 0 0 Una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D 0 5 0 . 0 0 1 b) La matriz P de paso está formada por una base de vectores propios de A. 2 2 0 x 0 Hallamos Vλ=1. Los vectores de Vλ=1 son solución del sistema 2 2 0 y 0 x = t, 0 0 4 z 0 y = t y, z = 0 y una base de Vλ=1 es <(1, 1, 0))>. La matriz de paso correspondiente es 1 0 1 P 1 0 1 0 1 0 c) Una base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es {(1, -1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0)}. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Prueba de Evaluación Continua Grupo A 10-05-11 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN. 1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces: - Las soluciones de | A – λ·I | = 0 son los valores propios de A. - u 0 asociados a λ, son aquellos que verifican f u u . Si R es un valor propio de A existe un vector u 0 que verifica Au u - Si u1 , u2 ,..., un forman un sistema generador de Vn, entonces f (u1 ), f (u2 ),..., f (un ) - Los vectores propios forman un sistema generador de Im(f) . ( 0.5 puntos ) 2- Si f: V → W es una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales u V tales que f u =0W . - Se llama N( f ) al conjunto - Se llama Im(f) al conjunto v W tales que existe u V verificando f u =v . ( 0.5 puntos ) 2 0 3 3- Sea A 1 2 1 la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica de 0 1 0 R3, y sea g(x, y, z) = (x, z, x+y). Entonces: - - - La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z) = La matriz asociada a la aplicación lineal g es: La matriz asociada a la aplicación lineal g f es: 2 x 3z, x 2 y z, y 1 0 0 M 0 0 1 1 1 0 2 0 3 N 0 1 0 3 2 4 ( 1 punto ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f x, y, z z, 2 x 4 y 5 z, x 2 z Se pide a) Hallar una base del subespacio Im(f). b) Hallar la dimensión del núcleo de f. c) Clasificar f. d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f), 0 ? ¿Cuáles? e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes. f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué? (0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos) SOLUCIÓN. En primer lugar calculamos la matriz del endomorfismo f x, y, z z, 2 x 4 y 5 z, x 2 z para ello hallamos las imágenes de los vectores de la base canónica f 1, 0, 0 0, 2, 1 , f 0,1, 0 0, 4, 0 , f 0, 0,1 1,5, 2 , por tanto, 0 0 1 A 2 4 5 es la matriz de f respecto de la base canónica. 1 0 2 a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A. 0 0 1 Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r 2 4 5 3 por tanto los tres 1 0 2 3 vectores columna forman una base de R , y por tanto, el subespacio imagen es R3. b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f) = 0. c) Si dimN(f) = 0 f es biyectiva. d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de A. Pλ(A) = | A - λ·I3| = (4 - λ)·(λ - 1)2, por tanto, λ = 4 simple y λ = 1 doble son los valores propios de A, luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = 4 y Vλ = 1. e) Por existir el valor propio λ = 1 podemos afirmar que el subespacio de vectores invariantes es x 0 Vλ = 1, siendo la solución del sistema de ecuaciones A 1·I3 y 0 z 0 x = t, y = -t, z = t, y Vλ = 1= < 1, -1, 1 )> f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios. La multiplicidad algebraica de λ = 1 es dos y Vλ = 1= < 1, -1, 1 )> dim (Vλ = 1) = 1 2, por tanto el endomorfismo NO es diagonalizable. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3 0 0 3.- Dada la matriz A 0 2 3 correspondiente a un endomorfismo f, se pide: 0 3 2 a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal y semejante con A. 2 puntos. b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A. 1 punto c) Hallar la base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D. 1 punto SOLUCIÓN 3 0 0 2 3 (3 )( 1)( 5) a) El polinomio característico de A es PA 0 0 3 2 Los valores propios son λ= 5, λ = 3 y λ = -1 valores reales y distintos entre sí, así pues la matriz A 5 0 0 es diagonalizable y una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D 0 3 0 . 0 0 1 b) Calculamos la matriz P de paso que está formada por una base de vectores propios de A. 2 0 0 x 0 Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son la solución del sistema 0 3 3 y 0 0 3 3 z 0 x = 0, y = t, z = t, por tanto, una base de Vλ=5 es {(0, 1, 1)}. 0 0 0 x 0 Hallamos Vλ=3. Los vectores de Vλ=3 son la solución del sistema 0 1 3 y 0 0 3 1 z 0 x = t, y = 0 y, z = 0 y una base de Vλ=3 es {(1, 1, 0)}. 4 0 0 x 0 Los vectores de Vλ= - 1 son la solución del sistema 0 3 3 y 0 x = 0, y = t, z = - t 0 3 3 z 0 luego una base de Vλ= - 1 es {(0, 1, - 1)}. Una matriz de paso es 0 1 0 P 1 1 1 1 0 1 3 c) Una base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, -1)}. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Prueba de Evaluación Continua Grupo B 11-05-11 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN. 1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces: - es un valor propio de A si y solo si existe u 0 tal que Au u . Los vectores del núcleo de f son aquellos que verifican Au 0 . Los vectores propios u 0 asociados al valor propio λ, son aquellos que verifican Au u . - ¿Qué relación existe entre Im(f) y el rango de A? rango de A igual que dimensión de Im(f). 2- ( 0.5 puntos ) W es una aplicación lineal, entonces se verifican las siguientes propiedades: Si f: V - Si H es un subespacio vectorial de V, entonces f(H) es subespacio vectorial de W. - Si G es un sistema generador de V, entonces f(G) es un sistema generador de Im(f). - Si B es una base de V, entonces f(B) es un sistema generador de Im(f). - ( 0.5 puntos ) 2 1 0 3- Sea A 0 5 1 la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica de 3 1 0 R3, y sea g(x, y, z) = (x+z, y, x+y). Entonces: - - - La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z)=(2x+y, 5y+z, 3x+y). La matriz asociada a la aplicación lineal g es: La matriz asociada a la aplicación lineal g f es ( 1punto ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1 0 1 M 0 1 0 1 1 0 5 2 0 N 0 5 1 2 6 1 Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f x, y, z 3x z, 2 x y 5 z, x z Se pide a) Hallar una base del subespacio Im(f). b) Hallar la dimensión del núcleo de f. c) Clasificar f. d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f), 0 ? ¿Cuáles? e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes. f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué? (0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos) 2.- En primer lugar calculamos la matriz del endomorfismo f x, y, z 3x z, 2 x y 5 z, x z para ello hallamos las imágenes de los vectores de la base canónica f 1, 0, 0 3, 2, 1 , f 0,1, 0 0,1, 0 , f 0, 0,1 1,5, 1 , por tanto, 3 0 1 A 2 1 5 es la matriz de f respecto de la base canónica. 1 0 1 a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A. 3 0 1 Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r 2 1 5 3 por tanto los tres 1 0 1 3 vectores columna forman una base de R , y por tanto, el subespacio imagen es R3. b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f)=0. c) Si dimN(f)=0 f es biyectiva. d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de A. Pλ(A) = | A - λ·I3| = (1 - λ)·(λ + 2)2, por tanto, λ = 1 simple y λ = -2 doble son los valores propios de A luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = -2 y Vλ = 1. e) Por existir el valor propio λ=1 podemos afirmar que el subespacio de vectores invariantes es x 0 Vλ=1. La solución del sistema de ecuaciones A 1·I3 y 0 es x=0, y=t, z=0, y Vλ = 1= <(0,1,0)> z 0 f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios. La multiplicidad algebraica de λ = -2 es dos. x 0 Hallamos ¿Vλ = -2? La solución del sistema de ecuaciones A (2)I3 y 0 es x=t, y=-t, z=t, z 0 y Vλ = -2= < ( 1, -1, 1 ) > dim (Vλ = -2) = 1 2, por tanto el endomorfismo NO es diagonalizable. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3 2 0 3.- Dada la matriz A 2 3 0 correspondiente a un endomorfismo f, se pide: 0 0 5 a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal y semejante con A. 2 puntos. b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A. 1 punto. c) Hallar la base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D. 1 punto (4 puntos) a) La matriz A es diagonalizable por ser simétrica. 3 2 El polinomio característico de A es PA 2 0 3 0 0 0 5 (1 )( 5)2 Los valores propios son λ = 1 simple y λ = 5 doble. 2 2 0 x 0 Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son solución del sistema 2 2 0 y 0 x = t, 0 0 0 z 0 y = - t y, z = s, por tanto, dim Vλ=5 = 2 y una base de Vλ=5 es {(1, -1, 0), (0, 0, 1)>. Por coincidir el orden de multiplicidad algebraica y geométrica de ambos valores propios la matriz A es diagonalizable. 5 0 0 Una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D 0 5 0 . 0 0 1 b) La matriz P de paso está formada por una base de vectores propios de A. 2 2 0 x 0 Hallamos Vλ=1. Los vectores de Vλ=1 son solución del sistema 2 2 0 y 0 x = t, 0 0 4 z 0 y = t y, z = 0 y una base de Vλ=1 es <(1, 1, 0))>. La matriz de paso correspondiente es 1 0 1 P 1 0 1 0 1 0 3 c) Una base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es {(1, -1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0)}. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA