4. PROBLEMAS ALETAS. [v6.0].cwk (WP)

PROBLEMAS SOBRE
PROTUBERANCIAS Y ALETAS
pfernandezdiez.es
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-79
€
IV.1.- Al realizar un estudio de calefacción se llegó a la conclusión de que era necesario utilizar aletas anulares de radio en la base rb = 30 cm y temperatura en la base Tb=120°C, para
mantener un fluido exterior a 20°C, de forma que cada aleta disipe 225,2 Kcal/hora, con un
rendimiento de aleta del 40%. El material de las aletas tiene una conductividad térmica,
k=50 Kcal/h.m°C
Determinar el radio exterior de la aleta y su espesor, sabiendo que el coeficiente de película
es hcF = 5,6 Kcal/h.m2°C
____________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Flujo de calor disipado por la aleta anular
Q = π (1 -
α 2an
)ke
Φ b β 2an
rb
2 r e2 h C ext
α
=
;
β
=
an
an
G 2 (α an β an ) =
re
ke
Φ b = T b - T F = 120 - 20 = 100ºC
= π (1 -
=
r2b
2 r2e hcF
) k e Φb
G2 (αan.β an) = π (r2e - r2b ) Φb 2 hcF G2 (αan.β an)
2
ke
re
Despejando re:
Q
225,4 Kcal/h
= 0,3 2 m 2 +
= 0,25 m 2 ⇒ re = 0,5 m
2 π Φ b h cF G 2 (α an β an )
2 π x 100ºC x 5,6 Kcal/hm 2 ºC x 0,4
2 r2e hcF
A partir de la ecuación: βan =
, se obtiene el espesor de la aleta:
ke
r e2 = rb2 +
e =
2 r2e hcF
k
2
βan
=
2
x
0,5 2
50
x
2
βan
5,6
=
0,056
2
β an
Como: µ = G2 (αan.β an), es el rendimieto de la aleta anular, mediante la gráfica de G2 se obtiene:
rb
0,3
⎫
=
= 0,6
0,056
re
0,5
= 0,00192 m
⎬ ⇒ β an = 5,4 ⇒ e =
5,4 2
G 2 (α an β an ) = 0,4
⎭
*********************************************************************************************
α an =
IV.2.- Una varilla de aluminio de sección transversal rectangular de 2 mm de espesor y 80 mm de anchura, (aleta
de la culata de un motor, extremo libre aislado), tiene en su base de contacto con la culata una temperatura de
250°C.
Determinar
a) La temperatura en su extremo libre situado a 5 cm de la base, si se
supone que la temperatura TF del medio ambiente es de 15°C.
b) La cantidad de calor disipada al exterior y la eficiencia de la aleta
Otros datos: k = 200 Kcal/mh°C ; hcF = 40 Kcal/m2h°C
_______________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo libre de la aleta situado a 5 cm de la base, si se supone que la temperatura TF del
medio ambiente es de 15°C..- Protuberancia paralelepipédica con su extremo libre térmicamente aislado ξ = 1
TL = TF +
Tb - TF
h p L2
40 (Kcal / hm2 C) {2 (80 + 2).10-3 } m x 0,05 2 m2
= Bi = cF
=
= 0,5125 =
kS
Ch Bi
200 (Kcal / hm C) (2 x 80).10-6 m
= 15 + 250 - 15 = 200ºC
Ch 0,5125
b) Calor disipado al exterior
T -T
(250 - 15)ºC
Q = k S b F Bi Th Bi = 200 Kcal (2 x 80).10 -6 m 2
L
h m ºC
0,05 m
Th 0,5125
Th Bi
Eficiencia de la aleta µ =
=
= 0,858
Bi
0,5125
pfernandezdiez.es
0,5125 Th
0,5125 = 66,14 Kcal
hora
Aletas.IV.-80
*********************************************************************************************
IV.3.- Una protuberancia de acero inoxidable k=20 W/m.K tiene una sección recta circular con un diámetro de 2
cm y una longitud de 10 cm. La protuberancia está unida a una pared que tiene una temperatura de 300°C. El
fluido que la rodea tiene una temperatura ambiente de 50°C y el coeficiente de película es de 10 W/m2.°K.
El extremo de la protuberancia está aislado térmicamente. Con estos datos determinar:
a) El calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia
b) La temperatura en el extremo de la protuberancia
c) La transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared
cubierta por la protuberancia si ésta no se utilizase
d) La transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia
con la misma geometría si el acero inoxidable de ésta se sustituye por un
material ficticio de conductividad térmica infinita
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado
π x 0,02 2
π d2
S=
=
= 10 -4 π m 2
Tb - T F
4
4
Q= kS
Bi Th Bi =
=
L
h cF p L 2
10 (π x 0,02) x 0,12
Bi =
=
=1
kS
20 x 10 -4 π
=
20 x 10 -4 π
(300 - 50)
0,1
1 Th 1 = 11,96 W
b) Temperatura en el extremo de la protuberancia, ξ = 1
Φ(ξ) =
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch
Bi
ξ=1
⎯⎯→ Φ(1) =
Ch { 1 (1 - 1)}
T -T
T - 50
= 1 = 0,648 = L F = L
1,543
Tb - T F
300 - 50
Ch 1
⇒ T L = 212ºC
c) Transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared cubierta por la protuberancia si ésta no se
utilizase.- El coeficiente de transmisión de calor en la superficie de la pared, cuando la protuberancia está en su sitio,
le podemos suponer igual al de la protuberancia, por lo que:
Q = hcF S (Tb - TF) = hcF π R2 (Tb - TF) = 10 W x (π x 10-4 m2 ) x (300 - 50)ºC = 0,785 W
m2 .ºC
La presencia de la protuberancia aumenta la disipación de calor procedente del área de la superficie cubierta por la
misma, siendo la mejora:
11,96 - 0,785 x
Mejora =
100 = 1423,5 %
0,785
d) Transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría, si el acero inoxidable de ésta se sustituye por un material ficticio de conductividad térmica infinita.- Para un material con k = ∞,
Bi = 0, por lo que la protuberancia sería isoterma a Tb.
La transferencia de calor por unidad de longitud desde la protuberancia ideal es:
Q ideal = h cF A (T b - T F ) = h cF (π d L) (T b - T F ) = 10 W
(π x 0,02 x 0,1) m 2 (300 - 50)ºC = 15,71 W
m 2 ºC
que es el calor máximo posible que se podría disipar en la unidad de tiempo por la protuberancia ideal.
15,71 - 11,96 x
La protuberancia de acero inoxidable disipa:
100 = 24%
15,71
que es la cuarta parte de lo que disipa la protuberancia ideal
q
11,96 x 100
La eficiencia de la protuberancia es: µ = q real =
= 76,13%
ideal
15,71
*********************************************************************************************
IV.4.- Se desea construir un radiador de tubo con aletas y para ello se utiliza una tubería de cobre puro de diámetro exterior 14 mm y diámetro interior 10 mm con aletas de aluminio puro de espesor 0,2 mm y radio exterior 28
mm. Las aletas están separadas entre planos medios una distancia de 5 mm. El radiador tiene que disipar una carpfernandezdiez.es
Aletas.IV.-81
ga térmica de 750 Kcal/hora cuando trabaja con agua a presión a la temperatura de 120°C, encontrándose el aire
del medio ambiente a 20°C.
El valor del coeficiente de película hce (aleta-aire) es 25 Kcal/h.m2°C, mientras que el valor del coeficiente de película hci para el fluido que circula por el interior del tubo es de 1000 Kcal/h.m2.°C.
Se sabe que la conductividad térmica del cobre es kcobre= 326 Kcal/h.m.°C
y la del aluminio kaluminio= 197 Kcal/h.m.°C.
Determinar
a) La temperatura en la base de la aleta
b) El nº de aletas y la longitud del radiador necesaria para conseguir la mencionada disipación de calor
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Q =
Ti - Tp i
Tp i - Tb
Tb - TF
Tb - TF
=
=
=
r
1
b
R
+
R
1
aletas
tubo
ln r
Ai hci
i
hce (µ Aaletas + Atubo)
2 π kCu a
a) Temperatura en la base de la aleta
Llamaremos N al nº total de aletas, y a a la longitud del tubo, de forma que: 0,005 N = a ; N = 200 a
Area de intercambio térmico (aletas + tubo ) = A aletas + A tubo = 2 π (re2 - rb2 ) N + 2 π rb (a - N e )
Calor disipado el exterior:
Q = (µ Aaletas + Atubo) hce (Tb - TF) = [µ 2 π (r2e - r2b ) N + 2 π rb (a - N e)] hce (Tb - TF)
A su vez entre el fluido interior a 120ºC y la base de la aleta se tiene:
T i - T pi
Tpi - T b
Ti - T b
Ti - Tb
Q=
=
=
=
1
r
r
rb
1
b
1
1
b
1
1
ln
+
ln
+
ln
A i h ci
2 π k Cu a
ri
A i h ci
2 π k Cu a
ri
2 π ri a h ci
2 π k Cu a
ri
Ti - Tb =
Q
rb
1
1
750
1
1
7
24
(
+
ln
)=
(
+
ln ) =
2 π a ri h ci
k Cu
ri
2 π a 0,005 x 1000
326
5
a
⇒ T b = 120 -
24
a
Qaletas = 2 π (r2e - r2b ) Φ b N hce η an = 2 π (r2e - r2b ) Φ b N hcF G2 (α an βan) =
⎧ α = r b = 7 = 0,25
⎫
⎪ an re
⎪
28
⎨
⎬ ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,74
2
2
= ⎪ β = 2 re h C ext = 2 x 0,028 x 25 = 0,9974 ⎪
=
an
ke
197 x 0,0002
⎩
⎭
T b = 120 - 24 ; Φ b = T b - TF = 120 - 24 - 20 = 100 - 24 ; 0,005 N = a ⇒ N = 200 a
a
a
a
= 2 π (0,028 2 - 0,007 2 ) (100 -
24
) x 200 a x 25 x 0,74 = 1708,1 a - 410,1
a
Q tubo sin aletas = 2 π rb (a - N e) h ce (Tb - TF ) = 2 π rb (a - 200 a e) h ce (Tb - TF ) =
= 2 π x 0,007 a {1 - (200 x 0,0002)} x 25 (100 -
Longitud a del radiador:
Kcal
24
Q = 750
= (1708,1 a - 410,1 ) + 1,0555 a (100 ) = 1834,25 a - 435,4
hora
a
T b = 120 -
24
= 82,84ºC
0,646
;
⇒
24
24
) = 1,055 a (100 )
a
a
a = 0,646 m
N = 200 x 0,646 = 129 aletas
*********************************************************************************************
IV.5.- Una aleta anular de perfil rectangular, de acero k = 44 Kcal/h.m.ºC y dimensiones e = 0,5 mm y L = 15 mm,
se coloca en un tubo de 20 mm de diámetro exterior. La temperatura en la base de la aleta es Tb = 90ºC, la temperatura del fluido es TF = 20ºC y el coeficiente de película hcF = 100 Kcal/h.m2.ºC
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Aletas.IV.-82
Determinar
a) La temperatura en el extremo de la aleta y en un radio r = 22 mm
b) La eficacia de la aleta
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie
__________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo de la aleta:
re = (10 + 15).10-3 = 25.10-3 m
Φe
K (m re ) I 0 (m re ) + K 0 (m re ) I1(m re )
2 h cF
2 x 100
= 1
= m =
=
= 95,34
Φb
K1 (m re ) I 0 (m rb ) + K 0 (m rb ) I1(m re )
ke
44 x 0,5.10-3
m rb = 95,34 x 10.10-3 = 0,9534 ; m re = 95,34 x 25.10-3 = 2,3836
=
€
K1 (2,3836) = 0,05456 π/ 2 = 0,08570
K 0 (2,3836) = 0,04569 π/2 = 0,07177
K1 (2,3836) I 0 (2,3836) + K 0 (2,3836) I1 (2,3836)
=
=
K1 (2,3836) I 0 (0,9534) + K 0 (0,9534) I1 (2,3836)
K 0 (0,9534) = 0,4545 ; I 0 (0,9534) = 1,2429
I 0 (2,3836) = 3,0148 ; I1 (2,3836) = 2,2666
(0,0857 x 3,0148) + (2,2666 x 0,07177)
Textremo - 20
=
= 0,3704 =
⇒ T extremo = 45,9ºC
(0,0857 x 1,2429) + (2,2666 x 0,4545)
90 - 20
Gráficamente
K1 (β an) I0 (βan) + K0 (β an) I1 (β an)
Φ
T - TF
G1 (γ β) =
= e = e
T
b - TF
K1 (β an) I0 (γ βan) + K0 (γ βan) I1 (βan)
Φb
βan = m re = 2,3836
r
10
Para:
α an = b =
= 0,4
re
25
⇒
G1 (η βan ) = 0,37 ; Te = 20 + (0,37 x 70) = 45,9º C
€
€
=
βan = m re = 2,3836
r
10
⇒ G1 (η βan ) = 0,40 ; Te = 20 + (0,4 x 70) = 48º C
α an = b =
= 0,4545
r
22
2
βan = 2,3836
k e β an G2 (α an βan)
= G2 (αan βan) =
= 0,51
b) Eficiencia de la aleta. µ =
2
α an = 0,4
k e βan
⎧
⎫
2 x 100
⎪ L 2 h cF = 0,015
⎪
=
1,43
⎪
⎪
he
44 x 0,5.10 -3
⎬ ⇒ µ = 0,52
De otra forma: ⎨
⎪ r e
⎪
25
⎪⎩ r = 10 = 2,5
⎪⎭
b
Para:
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
Q = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) = π (1 - 0,4 2 ) x 44 x 0,5.10 -3 (90 - 20) x 2,3836 2 x 0,52 = 12 Kcal
h
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-83
Comprobación:
Q = µ Q i = 0,52 h cF 2 A (T b - TF ) = 0,52
x
100
Kcal
h m 2 ºC
x
2 π (25 2 - 10 2 ).10 -6 (m 2 ) x 70ºC = 12 Kcal
hora
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie, es el flujo térmico, de valor:
Q
Q
12 Kcal/hora
Kcal
=
=
= 3568
2
A
2 π (25 - 10 2 ).10 -6 m 2
0,003298 m 2
h m2
*********************************************************************************************
IV.6.- Sobre un tubo de una determinada aleación, de 30 mm de diámetro exterior, se desea colocar aletas longitudinales de perfil triangular. La base de estas aletas tiene un espesor de 1,5 mm siendo el espacio vacío entre las
bases de dos aletas consecutivas de aproximadamente 4 mm. El coeficiente de película para el tubo y las aletas es
de 25 W/m2°C y la conductividad térmica del material de 75 W/m°C.
Determinar: a) La altura óptima de la aleta
b) El calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo
es de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta. Mejora obtenida.
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en su vértice.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Altura óptima de la aleta (Se entiende que es la altura del perfil triangular)
2
b Lópt k 1/3
Ω hcF 1/3
Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = 2 Ω = 1,196 (
)
= 1,196 ( b k )1/3 L1/3
ópt
bópt = 1,6718 (
)
h
b
2
h
2 hcF
cF
óp
cF
k
b k )1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 75 )1/3 = 0,1567 ; L
L2/3
ópt = 0,062 m
ópt = 1,196 (
2 hcF
2 x 25
b) Calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo es de
100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta:
Φ b = 100 - 25 = 75ºC
Q1aleta = - Φ b k b
βt
8 f h cF L2
G 4 (β t ) = β t =
= {f = 1} =
2L
kb
G 4 (β t ) = G 4 (2,614) = 0,77
8 x 25 x 0,062 2
= 2,614 =
75 x 0,0015
= - 75 x 75 x 0,0015 x
N º de aletas: π d b = (1,5 + 4) N
⇒
N=
30 π
= 17,3
5,5
⇒
2,614
W
x 0,77 = - 136,95
(calor cedido)
2 x 0,062
m
(17 aletas)
Q N aletas = 17 x 136,95 W = 2328,15 W
m
m
Calor disipado por el tubo limpio de aletas: Q tubo sin
aletas
= 2 π rba h cF (Tb - TF ) = 2 π
Fracción de calor disipado por el tubo, cuando lleva aletas:
€
€
Q tubo = a h cF (Tb - TF ) (π d b - N b) = 1 x 25 x 75 {0,03 π - (17 x 0,0015)} = 128,9
pfernandezdiez.es
0,03
W
x 1 x 25 x 75 = 176,71
2
m
W
m
Aletas.IV.-84
Calor total disipado al exterior: Q = 128,9 + 2328,15 = 2457 W/m ⇒ Mejora =
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta es:
I 0 (2 n
I 0 (2 n
T cdg = T F + (Tb - TF )
x)
I (2 n
= 25 + 75 0
L)
I 0 (2 n
2457 - 176,7
100 = 1290%
176,7
Φ cdg
Tcdg - TF
I (2 n
=
= 0
Φb
T b - TF
I 0 (2 n
x)
=
L)
2 x 0,062
Centro de gravedad: x = 2 L =
m = 0,0413 m
3
3
2 f h cF L
2 x 25 x 0,062
n=
= { f = 1} =
= 5,25
=
kb
75 x 0,0015
I 0 (2 n
I 0 (2 n
{2n
x) = { 2n
L)=
L = 2 x 5,25
x = 2 x 5,25
x)
L)
= 25 + 75
} = I 0 (2,6144) = 3,5968
0,0413 = 2,1338 } = I 0 (2,1338) = 2,5134
2,5134
= 77,4ºC
3,5968
0,062 = 2,6144
De otra forma
x
2
Φ ( c .d. g.)
T(c.d.g.) - 25
β t = 2,614 ; η t =
=
= 0,8185
= G 3 (β t η t ) =
= G 3 (2,1343) = 0,70 =
⇒
L
3
Φb
100 - 25
β t η t = 2,614 x 0,8165 = 2,1343
T(c.d.g.) = 25 + (75
x
0,7) = 77,5ºC
Temperatura en el vértice de la aleta
Φvértice
T
- TF
I (2 n x)
= vértice
= 0
=
T
T
I
b
F
0 (2 n L)
Φb
Vértice ⇒ x = 0 ; I0 (0) = 1
I0 (2 n L) = I0 (2,6144) = 3,5968
Tvértice = TF + 0,278 (Tb - TF) = 25 + 0,278
x
=
1
= 0,278
3,5968
75 = 45,86ºC
*********************************************************************************************
IV.7.- Un determinado fluido de propiedades: ρ = 0,75 gramos/cm3; cp = 0,35 Kcal/kgºC, se calienta desde 80ºC
hasta 120ºC, a razón de 50.000 kg/hora. Para mejorar el proceso térmico se utilizan tubos de acero de 20 mm de
diámetro exterior, de conductividad térmica k = 60 Kcal/h.m.ºC, con aletas longitudinales triangulares del mismo
material que el tubo, de base 1,5 mm, siendo la distancia entre los centros de sus bases de 4 mm. La temperatura
media de la base de las aletas se estima en 150ºC en toda la longitud del tubo. El coeficiente medio de película es:
hCF = 500 Kcal/h.m2.ºC
Determinar:
a) La longitud óptima de las aletas (Se entiende que es la altura del perfil triangular) y rendimiento
b) La temperatura en el vértice de las aletas
c) El número de tubos, si se utilizan tubos de 3 metros de longitud
d) El número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas transversales triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tubos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a)
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
ALETAS TRIANGULARES LONGITUDINALES
b Lópt k 1/3
)
= 1,196 ( b k )1/3 L1/3
a) Longitud óptima de las aletas : Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = 2 Ω = 1,196 (
ópt
hcF
bó p
2 hcF
2 hcF
b k )1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 60 )1/3 = 0,0536 ; L
L2/3
ópt = 0,0124 m = 12,4 mm
ópt = 1,196 (
2 hcF
2 x 500
Rendimiento de las aletas:
η =
2 G 4 (βt )
=
βt
n =
βt = 2 π L = 2 x 11,74 12,41.10-3 = 2,616 ⇒ G 4 (βt ) =
pfernandezdiez.es
€
2 f h cF L 2 x 1 x 500 x 12,41.10-3
= 11,74
kb
60 x 15.10-3
I1 (βt )
I (2,616)
2,799
= 1
=
= 0,775
I 0 (βt )
I 0 (2,616)
3,602
Aletas.IV.-85
=
2 x 0,775
= 0,594 = 59,4%
2,616
que es un resultado lógico puesto que está construida con dimensiones óptimas y en estas condiciones el rendimiento
óptimo sabemos es del orden del 60%
b) Temperatura en el vértice de las aletas
Vértice: x = 0 ; I 0 (0) = 1
Φ vértice
I 0 (2 n x )
1
=
=
=
= 0,2776
Φb
3,6
I 0 (2 n L )
I 0 (2 n L ) = I 0 (2,616) = 3,6
=
€
TF = 80 + 120 = 100ºC
2
Tvértice = TF + 0,2776 (Tb - TF) = 100 + 0,2776
x
(150 - 100) = 113,88ºC
c) Número de tubos, si tienen 3 metros de longitud
Calor evacuado por una aleta longitudinal por 1 m de longitud de tubería:
q 1aleta = µ h cF A (Tb - T F ) = A = 2
x
0,0124 m x 1 m = 0,0248 m 2
= 0,594
x
500
x
0,0248 (150 - 100) = 368,95
En 3 m de tubo el calor disipado por una aleta longitudinal es: q3m aletas = 368,95 Kcal
hm
πde
N º de aletas longitudinales:
= 15,7 ⇒ 16
(1,5 + 2.5).10 -3
x
Kcal
hm
3 m = 1107 Kcal
hora
Calor evacuado por las aletas en cada tubo de 3 m de longitud = q 3 m aletas x n = 1107 x 16 = 17712 Kcal
h
Calor evacuado por la fracción de tubo de 3 m sin aletas = 3 m x{π d e - (16 x 0,0015)} x h cF (150 - 100) = 2912,4 Kcal
h
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 2912,4 + 17712 = 20624,4 Kcal
hora
kg
Kcal x (120 - 80)ºC = 700000 Kcal
Calor total a disipar: m c p (T1 - T 2 ) = 50000
x 0,35
hora
kgºC
hora
N º de tubos de 3 m de longitud =
700000
= 33,9
20624,4
⇒
34 tubos
ALETAS TRIANGULARES TRANSVERSALES
d) Número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas transversales
triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tubos de 3
metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a)
d e = d b + 2 L ópt = 20 + (2 x 12,4) = 44,8 mm
A a = 2 π (re2 - rb2 ) = 2 π (22,4 2 - 10 2 )10 -6 m 2 = 0,00252 m 2
q1 aleta = µ hcF A (Tb - TF) = 0,6
x
500
x
0,00252
x
(150 - 100) = 37,86 Kcal
hora
Nº de aletas en cada tubo de 3 m de longitud =
3 = 300
0,01
Calor evacuado por las aletas en cada tubo: 300
x
37,86 = 11358 Kcal
hora
Calor evacuado por el tubo por la parte que no lleva aletas:
= (π d b x 0,0085 x 300) h cF (150 - 100) = d b = 0,02m ; h cF = 500 Kcal/h m 2 ºC = 4005 Kcal/h
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 4005 + 11358 = 15363 Kcal
hora
Número de tubos de 3 metros de longitud = 700.000 = 45,56 ⇒ 46 tubos
15363
*********************************************************************************************
IV.8.- Una aguja de 25 cm de longitud y 3 cm de diámetro sobresale de un objeto. La temperatura en la base
Tb=150°C, mientras que el medio exterior se encuentra a T∞=30°C. Suponiendo un coeficiente de película constante hcF = 10 Kcal/h.m2°C, calcular para los siguientes casos:
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-86
a) Varilla de Cu: k = 332 Kcal/h.m°C
b) Varilla de acero de 0,5% C: k = 46 Kcal/h.m°C
c) Vidrio: k = 0,94 Kcal/h.m°C
1) La temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre
la base y el extremo, suponiendo despreciable el flujo de calor en el extremo
2) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, con flujo de calor en el extremo,
hcF= 10 Kcal/hm2°C
2b) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, despreciando el flujo de calor en el extremo
2c) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, considerándola muy larga
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
1) Temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo, suponiendo
despreciable el flujo de calor en el extremo.- Para el supuesto de flujo de calor despreciable en el extremo, la distribución de temperaturas es:
Tξ - TF
Ch{ Bi (1 - ξ)}
x
=
, siendo: ξ =
; p = 2 π r ; S = π r2
Tb - TF
L
Ch Bi
⎧⎪ Cu ⇒ k = 332 Kcal/hmºC ; Bi = 0,25
h C p L2
1000 x 2 π x 0,015 x 0,25 2
83,33
Bi =
=
=
⇒ ⎨ Acero 0,5% C ⇒ k = 46 Kcal/hmºC ; Bi = 1,81
kS
k
k x π x 0,15 2
⎪ Vidrio ⇒ k = 0,94 Kcal/hmºC ; Bi = 88,65
⎩
T (ξ) = T F + (Tb - TF )
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
= T b - T F = 150 - 30 = 120ºC = 30 + 120
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 141,24ºC
1
)}
⎪
1
5 = 145,05ºC ⇒ ξ 3 = 3/ 5 ; T3 = 138,45ºC
Para el Cu: Bi = 0,25 ; ξ 1 = 5 ; T1 = 30 + 120
⎨
ξ 4 = 4/5 ; T4 = 136,95ºC
Ch 0,25
⎪
; T5 = 136,42ºC
⎩ ξ 5 = 1
⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 108,66ºC
1
Ch{ 1,81(1 - )}
⎪
5 = 125,84ºC ⇒ ξ 3 = 3/ 5 ; T3 = 96,94ºC
Para el Acero: Bi = 1,81 ; ξ1 = 1 ; T1 = 30 + 120
⎨
5
ξ 4 = 4/5 ; T4 = 90,42ºC
Ch 1,81
⎪
; T5 = 88,3ºC
⎩ ξ 5 = 1
⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 32,77ºC
1
Ch{ 88,65 (1 - )}
⎪
5 = 48,25ºC ⇒ ⎨ ξ 3 = 3/5 ; T3 = 30,42ºC
Para el Vidrio: Bi = 0,25 ; ξ1 = 1
;
T
=
30
+
120
1
5
ξ 4 = 4/ 5 ; T4 = 30,066ºC
Ch 88,65
⎪
; T5 = 30,02ºC
⎩ ξ 5 = 1
2) Flujos caloríficos por hora cedidos por las varillas:
2a) Con flujo de calor en el extremo (Coeficiente de película en el extremo 10 Kcal/hm2°C
S Bi
S = π r 2 = r = 0,015 = 0,03
Th Bi +
k S (T b - T F ) Bi
pL
2 L 2 x 0,25
Q=
= pL 2 πrL
=
L
S
S
Bi
(
T
T
)
=
0,34
1 +
Th Bi
b
F
L
pL
Th Bi + 0,03 Bi
= 0,34 k Bi
1 + 0,03 Bi Th Bi
Ch{ 0,25(1 -
Para el Cu: Q = 0,34 x 332
Para el acero: Q = 0,34
pfernandezdiez.es
x
Kcal
h m ºC
46
Kcal
h m ºC
0,25
Th 0,25 + 0,03
1 + 0,03
1,81
0,25 Th 0,25
Th 1,81 + 0,03
1 + 0,03
0,25
= 26,84
1,81
1,81 Th 1,81
Kcal
hora
= 18,56
Kcal
hora
Aletas.IV.-87
Para el vidrio: Q = 0,34
x
0,94
Kcal
h m ºC
88,65
Th 88,65 + 0,03
1 + 0,03
88,65
88,65 Th 88,65
= 3,009
Kcal
hora
Tb - T F
Bi Th Bi = 0,34 k
L
Kcal
Kcal
Para el Cu: Q = 0,34 x 332
0,25 Th 0,25 = 26,03
h mºC
hora
Kcal
Kcal
Para el acero: Q = 0,34 x 46
1,81 Th 1,81 = 18,33
h m ºC
hora
Kcal
Kcal
Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94
88,65 Th 88,65 = 3,003
h mºC
hora
Tb - T F
Bi = 0,34 k Bi
2c) Considerando aletas muy largas: Q = k S
L
Kcal
Kcal
Para el Cu: Q = 0,34 x 332
0,25 = 56,32
2
h m ºC
hora
Kcal
Kcal
Para el acero: Q = 0,34 x 46
1,81 = 21
h m ºC
hora
Kcal
Kcal
Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94
88,65 = 3,003
h mºC
hora
2b) Despreciando el flujo de calor en el extremo: Q = k S
Bi Th Bi
A la vista de los resultados, y por lo que respecta a los calores desprendidos, se observa que cuando las conductividades son bajas, el hecho de considerar aletas muy largas es perfectamente válido.
En casi todos los casos se puede considerar el flujo de calor en el extremo despreciable.
*********************************************************************************************
IV.9.- Se desea incrementar el paso de calor desde una pared plana al medio ambiente que la rodea, instalando
para ello aletas de diferentes tipos sobre dicha superficie, de tal forma que sobresalgan de la superficie de la pared
una longitud de 20 cm, siendo el material utilizado un conductor de k=40 Kcal/h.m°C y suponiendo en cualquier
caso un coeficiente de transmisión de calor sólido-fluido de 17 Kcal/h.m2.°C.
Bajo estas condiciones se desea saber:
a) La configuración que será la más eficaz de entre las siguientes:
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
a.2) Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmica, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
Bi =
p = 2 ( e + a ) = 2 (0,0125 + 1) = 2,025 m
p h cF L 2
2,025 x 17 x 0,2 2
=
=
= 2,754
kS
40 x 0,0125
S = e a = 0,0125 x 1 = 0,0125 m 2
Aleta recta, aislada térmicamente en su extremo libre:
Th 2,754
Th Bi
η=
=
= 0,56
Bi
2,754
Aleta recta, con convección en su extremo libre:
S Bi
k S (Tb - TF ) Bi Th Bi + p L
L
S Bi
1+
Th Bi
pL
η=
= A= 2 aL =
h cF A (Tb - TF )
=
S
0,0125 2,754
Bi
=
= 0,05122
pL
2,025 x 0,2
pfernandezdiez.es
=
1
Bi
Th Bi +
1+
S Bi
pL
S Bi
Th Bi
pL
=
Th 2,754 + 0,05122
1
= 0,547
2,754 1 + 0,05122 Th 2,754
Aletas.IV.-88
€
Aleta triangular
η=
1
n
=
I 1 (2 n L )
2 G 4 (β t )
=
=
βt
L I 0 (2 n L )
n
L = 3,6878
I 0 (2 n
x
f=
n=
b 2
0,0125 2
) = 1+(
) = 1,00048 (cond. unidireccional
2L
2 x 0,2
=
2 f h cF L
= 2 x 1,00048 x 17 x 0,2 = 3,6887
kb
40 x 0,0125
1+(
0,2 = 1,6492 ; 2 n
L= 2
L ) = I 0 (3,2993) = 6,258 ; I 1 (2 n
x
3,6878
x
0,2 = 3,2993
L ) = I 1 (3,2993) = 5,195
=
5,195
1
= 0,5033
1,6492 6,258
Se observa que el rendimiento de las aletas rectangulares es superior al de la aleta triangular.
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmica,
para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular.
Hay que determinar la conductividad térmica del material
I 1 (2 n L )
I ( 2 N)
La ecuación a resolver es: 0,58 = 1
= n L=N = 1 1
N I 0 (2 N )
n L I 0 (2 n L )
{
N
1
1,5
1,4
1,3
1,35
0,58 N
0,58
0,87
0,812
0,754
0,783
}
I0 (2 N)
I1 (2 N)
I1 (2 N)
I0 (2 N)
2,2796
4,8808
4,1573
3,5533
3,8553
1,5906
3,9534
3,3011
2,7554
3,0282
0,6967
0,8099
0,7941
0,7754
0,7854
0,58 < 0,6967
0,87 > 0,8099
0,812 > 0,794
0,754 < 0,7754
0,783 < 0,785
Un valor aceptable es: N = 1,35, luego:
2 hcF L = N ; N =
2 hcF L ; k = 2 hcF L2 = 2 x 17 x 0, 22 = 59,7 Kcal
n =
kb
kb
h m ªC
L
b N2
0,0125 x 1,3 52
*********************************************************************************************
IV.10.- A un tubo de 40 mm de diámetro exterior se le adosan aletas anulares de aluminio k=197 Kcal/h m°C, de
0,5 mm de espesor y 100 mm de radio exterior separadas entre si una distancia de 5 mm. Las aletas están aisladas
térmicamente en su extremo. La presencia de un fluido exterior implica la existencia de un coeficiente de película
de 60 Kcal/h.m2°C.
Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determinar:
a) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería sin aletas
b) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería con aletas
c) La temperatura en el extremo aislado de la aleta
d) El aumento en % del calor disipado, por el hecho de colocar las
aletas
________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería sin aletas
Kcal
q tubo (1 m) = (π d b1) h C ext Φb = π x 0,04 x 60 x 50 = 377
hm
b) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería con aletas.- Calor disipado por una aleta:
α an = rb /re = 0,02/ 0,1 = 0,2
q 1 aleta = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) = β an =
2 re2 h C ext
=
ke
2 x 0,12 x 60
= 3,49
197 x 0,0005
=
α an β an = 0,7 ⇒ G 2 (α an β an ) = G 2 (0,7) = 0,18
= π (1 - 0,2 2 ) x 197 x 0,0005 x 50 x 3,49 2 x 0,18 = 32,56 Kcal
h
Calor disipado por la parte de tubo correspondiente a cada aleta:
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-89
q tubo = (π d b 0,005) h C ext Φ b = π x 0,04
x
0,005
x
60
x
50 = 1,885 Kcal
h
Kcal
445
Calor disipado por una aleta más el tubo correspondiente a la misma: q tubo+ qaleta= 1,885+ 32,56= 34,
hm
b) Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determinar el
calor disipado por cada metro de longitud de tubería con aletas.
1
Nº de aletas por 1 m de longitud de tubería :
= 182
a = 0,0055
Q disipado por 1 m de tubo con aletas = 34,445 x 182 = 6270 Kcal
hm
De otra forma:
Rendimiento de la aleta anular : µ = G2 (αan βan) = 0,18
q aleta real = µ q aleta ideal = µ h c ext A (Tb - Text ) = A = 2 π (re2 - rb2 ) = 2 π (0,1 2 - 0,02 2 ) = 0,0603 m 2 =
Kcal
2
= 0,18 x 60 Kcal
x 0,0603 m x 50ºC = 32,56
2
hora
hm ºC
q tubo = (π d b x 0,005) h c ext Φ b = π x 0,04 x 0,005 x 60 x 50 = 1,8848 Kcal/hora
Q tubo + aletas = (1,8848 + 32,57) x 182 = 6270,7 Kcal/h.m lineal
c) Temperatura en el extremo aislado de la aleta
Φe
G 1 (α an β an ) =
= G 1 ( 0,7) = 0,06 ⇒ Φ e = 0,06 Φ b = 0,06 x 50 = 3 = Te - TF ⇒ Te = TF + 3
Φb
d) Aumento en % del calor disipado por el hecho de colocar las aletas
Mejora =
0,689 - 0,04147
= 15,60
0,04147
⇒
1560%
*********************************************************************************************
IV.11.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a
85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 460 Kcal/h.m para mantener la temperatura ambiente a
+24°C.
Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k=
50 Kcal/h.m°C, del calibre 60/66 y de aletas anulares
del mismo material y de radio exterior 66 mm, con un
espesor de 3 mm y considerando que los coeficientes de
película son 1000 y 8 Kcal/h.m2°C, determinar el número de aletas necesario para disipar el calor indicado.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Veamos si son necesarias las aletas:
Q
2 π (T F - Text )
2 π (85 - 24)
Kcal
Kcal
=
=
= 100,25
< 460
a (1 m)
r
1
1
33
1
h
h
1
1
b
1
+
ln
+
+ ln
+
0,06
x
1000
50
30
0,033
x
8
ri h cF
k
ri
rb h c ext
luego SÍ son necesarias, ya que el tubo limpio no puede aportar las calorías necesarias
Cálculo de Tb:
T F - TpF
T pF - T b
T F - Tb
Q=
=
=
1
rb
rb
1
1
1
ln
+
ln
2 π a ri h cF
2 πak
ri
2 π a ri h cF
2 πak
ri
Q
r
460(Kcal/h
m
)
1
1
b
1
1
33
T F - Tb =
(
+ ln
)=
(
+
ln
) = 2,58ºC
2 π a ri h cF
k
ri
2π x1
0,03 x 1000
50
30
Tb = TF - 2,58 = 85 - 2,58 = 82,42ºC
Calor disipado por una aleta: q 1 aleta = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) =
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-90
€
α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5
= β an =
2 re2 h C ext
=
ke
2
0,066 2 x 8
= 0,682
50 x 0,03
x
= π (1 - 0,5 2 ) x 50 x 0,003 x (82,42 - 24) x 0,682 2 x 0,95 = 9,11
Kcal
hora
α an β an = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95
ó también:
q1 aleta = µ hc ext A (Tb - Text) = G2 (αan βan) hc ext 2 π (d2e - d2b ) (Tb - Text) =
4
= 0,95 x 8 x 2 π (0,13 22 - 0,06 62 ) x (82,42 - 24) = 9,11 Kcal
4
hora
Para: a = 1 m habrá N aletas de espesor e que ocupan (Ne) metros, por lo que quedan (1 - N e) metros de tubo sin aletas
q
q tubo entre aletas = ( ) tubo (1 - N e )
= 460 Kcal =
Calor total disipado: Q = q aletas + q tubo entre aletas =
a
hm
q aletas = q 1 aleta N
q
= ( )tub (1 - N e) + q1 aleta N = 100,25 (1 - N x 0,003) + 9,11 N ⇒ N = 40,83 ≅ 41 aletas
a
1 - (41 x 0,03)
= 0,0219 m
Separación entre aletas:
41
*********************************************************************************************
IV.12.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a
85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 5000 Kcal/hora para mantener la temperatura ambiente
en +24°C. Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido
k= 50 Kcal/h.m°C, de diámetros 60/66 y de aletas anulares del
mismo material, de radio exterior 66 mm, con un espesor de 3
mm, separadas 20 mm, y sabiendo que los coeficientes de película son 1000 y 8 Kcal/h.mºC, determinar el número de aletas
necesario para disipar el calor indicado y la temperatura en la base de la aleta.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
T F - TpF
T pF - T b
T F - Tb
Q=
=
=
1
rb
rb
1
1
1
ln
+
ln
2 π a ri h cF
2 πka
ri
2 π a ri h cF
2 πka
ri
Q
ln ( rb /ri )
ln (33/ 30)
28,042
28,042
5000 Kcal/h
1
1
T F - Tb =
(
+
)=
(
+
)=
⇒ Tb = TF 2 π a r i h cF
k
2 πa
0,03 x 1000
50
a
a
28,042
28,042
28,042
Φb = Tb - Text = TF - Text = 85 - 24 = 61 a
a
a
Calor disipado total: Q = Q N aletas + Q tubo entre aletas
Calor disipado por una aleta:
⎧ α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5
⎪
2 r e2 h C ext
2 x 0,066 2 x 8
2
2
β
=
=
= 0,682
q 1 aleta = π (1 - α an ) k e Φ b β an G 2 (α an β an ) , con: ⎨ an
ke
50 x 0,03
⎪
⎩ α an β an = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95
Calor disipado por el tubo entre aletas:
Ne
Q tubo entre aletas = (2 π rb a - N e 2 π rb ) h C ext Φ b = 2 π r b a (1 ) h C ext Φ b
a
28,042
Ne
Q = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) N + 2 π rb a (1 ) h C ext Φ b = Φ b = 61 =
a
a
28,042
0,003 N
28,042
= {π (1 - 0,5 2 ) x 50 x 0,003 x (61 ) x 0,682 2 x 0,95 N} + {2 π x 0,033 a (1 ) x 8 ( 61 )} =
a
a
a
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-91
N (0,020 + 0,003) = a
= N = a = 43,48 a = {π (1 - 0,5 2 ) x 50
0,023
+ [2 π x 0,033 a {1 - ( 43,48
a=
5000 + 230,65
= 10,42
501,73
x
x
0,003 x (61 -
0,003)} x 8 ( 61 -
28,042
) x 0,682 2 x 0,95 N} +
a
28,042
)] = 501,73 a - 230,65 = 5000 Kcal
a
hora
⇒ n º de aletas = N = 43,48 a = 43,48 x 10,42 = 453 aletas
28,042
= 82,3ºC
10,42
*********************************************************************************************
IV.13.- Sobre un tubo de una aleación de aluminio de 20 mm de diámetro exterior se desea colocar aletas longitudinales de perfil triangular. La base de las aletas tiene un espesor de 1 mm y la distancia entre los centros de las
bases de las aletas es de 3,5 mm lo que permite mantener un coeficiente de película hcF =50 Kcal/hm2°C. La conductividad térmica del material es, k = 100 Kcal/hm°C.
Determinar
a) Las dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales
b) El calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo si la temperatura de la base es de 125°C y la
del fluido exterior de 20°C
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en el vértice
d) El calor evacuado por una aleta
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales
b Lópt k 1/3
Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = Ω = b L = 1,196 (
)
= 1,196 ( b k )1/3 L1/3
ópt
hcF
2
2 hcF
2 hcF
Temperatura en la base: Tb = 24 + 61 -
b k )1/3 = 1,196 ( 0,001 x 100 )1/3 = 0,1196 ;
L2/3
ópt = 1,196 (
2 hcF
2 x 50
Lópt = 0,04136 m = 41,36 mm ; Base = 1 mm
b) Calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo, si la temperatura de la base es de 125°C y la del
fluido exterior de 20°C
Φ b = Tb - TF 125 - 20 = 105ºC
8 f h cF L2
8 x 50 x 0,0412
= {f =1} =
= 2,616 =
kb
100 x 0,001
I (β )
I (2,616)
G 4 (β t ) = 1 t = 1
= 0,775
I
I 0 (β t )
0 (2,616)
2,616
= - 105 x 100 x 0,001
0,775 = 257,35 Kcal
2 x 0,041
m
0,842 q1 aleta
0,842 q1 aleta
; 0,00413 =
; q1 aleta = 257,5 Kcal
ó también a partir de: Lópt =
hcF Tb - TF
50
105
20 π
= 17,97 ⇒ 18 aletas
Para N aletas: N º de aletas: N = π d e = 3,5 N ⇒ N =
3,5
Q N aletas = 257,35 (Kcal/m lineal) x 18 aletas = 4632,23 Kcal/m lineal
Para 1 aleta: q 1 aleta = - Φ b k b
βt
G (β ) = β t =
2L 4 t
Calor disipado por la fracción de tubo sin aletas: q tubo = (2π re - N b) a h cF (T b - TF ) =
= {(2 π x 0,01) - (18 x 0,001)} x 1 m x 50 (Kcal/hm 2 ºC) x 105ºC = 235,4 (Kcal/m. lineal)
qTotal (1 m lineal) = 4632,23 + 235,4 = 4867,63 Kcal
m lineal
2 G4 (βt )
2 x 0,775
Rendimiento de la aleta: η =
=
= 0,5925 = 59,25% (Del orden del 60%)
2,616
β
t
c) Temperatura en el centro de gravedad de la aleta:
x
2
Φ = G (β η ) = β t = 2,616 ; η t =
=
= 0,8165 = 0,69
L
3
3
t
t
Φb
β t ηt = 2,616 x 0,8165 = 2,1388
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-92
Tc.d.g. - TF
Tb - TF = 0,69 ;
De otra forma:
I (2 n
Φ
= 0
Φb
I 0 (2 n
Tc .d.g. - 20
125 - 20 = 0,69
⇒
Tc .d.g. = 92,45ºC
L = 0,04136 m ; Centro de gravedad: x = 2 L/3 = 0,02757 m
2 f h cF L
2 x 50 x 0,04136
n=
= {f = 1} =
= 6,43
x)
kb
100 x 0,001
=
L)
I 0 (2 n L ) = 2 n L = 2 x 6,431 0,04136 = 2,6153 = I 0 (2,6153) = 3,60
I 0 (2 n
Tcdg = T F + (Tb - TF )
I 0 (2 n
I 0 (2 n
{
x)= { 2 n
}
0,02757 = 2,1356 } = I 0 (2,1356) = 2,522
x = 2 x 6,431
=
x)
2,522
= 20 + (125 - 20) 3,6 = 93,55ºC
L)
I 0 (2 n 0 )
1 = 49,16ºC
= 20 + (125 - 20) 3,6
I 0 (2 n L )
*********************************************************************************************
Temperatura en el vértice de la aleta: Tvértice = TF + (Tb - TF )
IV.14.- Un tubo de una determinada aleación k= 80 W/m°K tiene un diámetro interior de 25 mm y un diámetro
exterior de 30 mm, y sobre el mismo se han dispuesto 20 aletas rectas longitudinales, del mismo material que el tubo, uniformemente distribuidas, con su extremo libre aislado térmicamente, de espesor e=3 mm y longitud transversal L= 30 mm.El medio exterior (aire), se encuentra en reposo a la temperatura de 20°C, siendo de 100°C la
temperatura de la superficie exterior del tubo.
Suponiendo el mismo coeficiente de película en el tubo y en las aletas, determinar:
a) El aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas
b) Temperatura en el centro de gravedad de cada aleta y en su extremo libre.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Propiedades del aire exterior: Temperatura de película:
⎧ ρ = 1,025 kg/m 3 ; c pF = 1017 J/kgºK ; k = 0,0279 W/mºC
⎪
Propiedades del aire
100 + 20
T=
= 60ºC ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯→ ⎨
gβ
2
⎪ ν = 19,4.10 -6 m 2 /seg ; Pr = 0,71 ;
= 0,782.10 8
⎩
ν2
Gr =
g β ΔT L3
ν2
Gr . Pr = 168.912
=
x
ΔT = 100 - 20 = 80ºC
= 0,782
L = d = 0,03 m
0,71 = 119927,5
x
10
x
80
x
0,0 33 = 168.912
El coeficiente de película se puede calcular a partir de:
4
0,518 Ra 1/
0,518 4 119927,5
W
d
Para flujo laminar: Nu d = 0,36 +
= 0,36 +
= 7,64 ⇒ h cF = 7,1 2
0,56 9/16 4/ 9
0,56 9/16 4/ 9
m
ºC
{1 + (
)
}
{1 + (
)
}
Pr
0,71
a) Aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas.- Calor desprendido por
metro lineal de tubería sin ninguna aleta:
W
W
2
q 1m lineal = h cF A L ΔT = 7,1 2
x 0,03 π (m ) (100 - 20)ºC = 53,53
m ºC
metro de tubo
Espacio de tubo no ocupado por las aletas = 0,03 π - (20 x 0,003) = 0,03425 m
0,03425 x 53,53
W
= 19,45
Calor por metro lineal a través de la fracción de tubo no ocupado por las aletas =
0,03 π
m
Aleta con su extremo libre termicamente aislado:
T -T
q N aletas = k S b F
L
S = 0,003 x 1 = 0,003 m 2 ; p = 2 (1 + 0,003) = 2,006 m
Bi Th Bi N =
=
h cF p L2
7,1 x 2,006 x 0,032
Bi =
=
= 0,0534
kS
80 x 0,003
= 80
x
0,003
100 - 20
0,03
0,0534 Th 0,0534
x
20 = 671,6
W
m
Calor disipado total = 19,45 + 671,6 = 691 ( W/m )
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-93
Aumento en % =
691 - 53,53
100 = 1191%
53,53
T(ξ) - TF
Ch { Bi (1 - ξ)}
=
Tb - TF
Ch Bi
Tc .d .g . - 20
Ch{ 0,0571(1 - 0,5)}
Temperatura en el c.d.g. de la aleta (ξ = 0,5):
=
= 0,98 ⇒ Tc .d .g . = 98,32 ºC
100 - 20
Ch 0,0571
b) Temperatura en el c.d.g. de cada aleta y en su extremo libre: Φ(ξ) =
Tξ=1 - 20
1
⇒ T ξ=1 = T L = 97,77ºC
Ch 0,0571
*********************************************************************************************
Temperatura en el extremo libre de la aleta (ξ = 1):
100 - 20
=
IV.15.- Para realizar el control del calentamiento de un determinado reactor, que no debe sobrepasar los 250°C,
se hace uso de un tubo especial de acero k= 45 W/m°C, en cuyo interior
se ha hecho el vacío, que conecta el interior del reactor con un dispositivo electrónico exterior acoplado en su otro extremo y que no debe sobrepasar los 60°C. Si el tubo se asimila a un cilindro de 50 cm de longitud y
3 cm de diámetro, y el medio exterior se encuentra a 20°C, determinar:
a) El coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro
c) La temperatura en la mitad del cilindro
________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El tubo de acero, cuyo diámetro interior no se da, y en cuyo interior se ha hecho el vacío (no existe convección en el
interior), se puede asimilar a una protuberancia cilíndrica de 3 cm de diámetro, con uno de sus extremos a 250ºC y el
otro extremo, sobre el que va el dispositivo electrónico que no permite intercambio térmico por el extremo, que consideraremos térmicamente aislado a 60ºC.
a) Coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior
Tb - TF
= Ch Bi ; 250 - 20 = 5,75 = Ch Bi ; Bi = 5,9277
T(1) - TF
60 - 20
Bi =
h cF p L 2
h cF (p d) L2
4 h cF L2
4 h cF x 0,5 2
=
=
=
= 5,9277
kS
kd
45 x 0,03
k (p d 2 /4)
⇒
h cF = 8
W
m 2 ºC
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro
Con este valor de hcF la convección es natural y no es necesario ningún otro tipo o medio de refrigeración
T(ξ) - TF
Ch { Bi (1 - ξ)}
=
c) Temperatura en la mitad del cilindro: Φ(ξ) =
Tb - TF
Ch Bi
T(0,5) - 20 Ch{ 5,9277 x (1 - 0,5)}
Temperatura en la mitad del cilindro ( ξ = 0,5) :
⇒ T ξ=0 ,5 = 93,5ºC
250 - 20
Ch{ 5,9277
*********************************************************************************************
IV.16.- Un cazo metálico contiene agua hirviendo a 100ºC. El mango metálico del mismo, es un tubo cilíndrico, de
diámetro exterior de= 0,01 m, longitud L= 0,175 m, espesor 1 mm y
conductividad térmica k= 40 W/mºK, y lleva en su extremo libre un aislamiento térmico. La temperatura del aire del medio exterior y del hueco del tubo es de 20ºC y el coeficiente de película correspondiente hc =
10 W/m2ºC.
a) Determinar a partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento.
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir
de qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento.
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-94
a) A partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC.
T(ξ) - TF
Ch { Bi (1 - ξ)}
Distribución de temperaturas: Φ(ξ) =
=
Tb - TF
Ch Bi
Bi =
p = π (d e + d i ) = π (0,01 + 0,008) = 0,05655 m
h cF p L 2
=
π
π
kS
S = (d 2e - d 2i ) = (0,012 - 0,008 2 ) = 2,827.10 -5 m 2
4
4
=
10
0,05655 x 0,175 2
= 15,31
40 x 2,827.10 -5
x
La temperatura en la base de la protuberancia, entronque con el cazo, es de 100ºC, ya que el coeficiente de película
del agua en ebullición es muy elevado, por lo que la temperatura del agua y la del cazo será prácticamente la misma.
Si llamamos x a la distancia a partir de la cual la temperatura del mango es inferior a 50ºC, se tiene:
Ch { 25,31 (1 - x )}
0,175
50 - 20 = 0,375 =
⇒ x = 0,0439 m
100 - 20
Ch 25,31
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
T b - TL
80
q =kS
Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5
15,31 Th 15,31 = 2,02 W
L
0,175
Th 15,31
Bi
=
= 0,2523 = 25,23%
Bi
15,31
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir de
qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC.
p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m
h cF p L 2
10 x 0,0314 x 0,175 2
Bi =
=
= 8,5
π
π
2
2
2
2
-5
2 =
kS
S = (d e - d i ) = (0,01 - 0,008 ) = 2,827.10 m
40 x 2,827.10 -5
4
4
η=
Th
50 - 20 = 0,375 =
100 - 20
Ch { 8,5 (1 Ch 8,5
x )}
0,175
⇒ x = 0,06 m
Calor evacuado a través del mango y rendimiento:
T -T
80
q = k S b L L Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5 0,175 8,5 Th 8,5 = 1,4985 W
Th 8,5
Th Bi
η=
=
= 0,3409 = 34,09%
Bi
8,5
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC.
p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m
h cF p L 2
10 x 0,0314 x 0,175 2
=
=
= 3,06
2
2
-5
2
kS
S = π d e /4 = π x 0,01 /4 = 7,85.10 m
40 x 7,85.10 -5
Ch { 3,06 (1 - x )}
0,175
50 - 20 = 0,375 =
⇒ x = 0,128 m
100 - 20
Ch 3,06
Bi =
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
T b - TL
80
q =kS
Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5
L
0,175
Th 3,06
Th Bi
µ=
=
= 0,538 = 53,8%
Bi
3,06
3,06 Th
3,06 = 2,366 W
*********************************************************************************************
IV.17.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme k = 10 Kcal/h.m.ºC, de 120 mm de longitud y 20 mm de diámetro,
entre dos paredes, que se encuentra a 300ºC y 100ºC respectivamente. Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 10ºC, y que el coeficiente de película es hC = 15 Kcal/h.m2.ºC.
Determinar
a) El calor evacuado al exterior
b) La temperatura en la mitad de la aguja
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-95
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Aleta con sus extremos a temperaturas Tb y TL
a) El calor evacuado al exterior es la diferencia de los calores que pasan por las bases.
(1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1}
q = q ξ = 0 - q ξ = 1 = - k S (T b - T F ) Bi
=
L
Sh Bi
h cF p L2
⎧ p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m
⎫ 15 x 0,0628 x 0,12 2
Bi =
= ⎨
= 4,32
2
2
-4
2 ⎬ =
kS
⎩ S = π d /4 = π x 0,02 /4 = 3,14.10 m ⎭
10 x 3,14.10 -4
=
=
100 - 10
Φ(1) =
= 0,31
300 - 10
10 x 3,14.10 -4
(1 - Ch 4,32 ) {0,31 + 1}
=(300 - 10) 4,32
= 16 Kcal
0,12
h
Sh 4,32
b) Temperatura en la mitad de la aguja
Sh{ Bi (1 - ξ)} + Φ(1) Sh ( Bi ξ)
Sh{ 4,32 (1 - 0,5)} + 0,31 Sh ( 4,32
Φ(ξ = 0,5) =
=
Sh Bi
Sh 4,32
Tξ =
0,5 =
x
0,5)
= 0,4119
10 + (300 - 10) x 0,4119 = 129,45ºC
*********************************************************************************************
V.18.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme, de 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro, que sobresale de una superficie plana A que se encuentra a 400ºC. El cilindro está conformado por dos tipos de material, de forma que los
5 primeros cm más cercanos a la pared tienen una conductividad térmica k1 = 2 Kcal/h.m.ºC, y el resto una conductividad térmica, k2 = 5
Kcal/h.m.ºC. Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 20ºC, y que el coeficiente de película lateral y en el extremo
libre B es hC = 10 Kcal/h.m2.ºC.
Determinar
a) La temperatura TC de unión de los materiales que conforman el cilindro
b) El calor evacuado al exterior
c) La temperatura en el extremo libre B
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El cilindro se puede considerar, con conducción unidimensional, conformado por una aleta (AC) entre 2 temperaturas
y una aleta (CB) con convección por el extremo libre.
Aleta con convección en el extremo libre y base a TC.- El calor disipado q2 es el que entra por la base C
S Bi 2
k 2 S (TC - TF ) Bi 2 Th Bi 2 + p L 2
q2 =
=
L2
S Bi 2
1+
Th Bi 2
p L2
h cF p L22
⎧ p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m ; L 2 = 0,25 ⎫ 10 x 0,0628 x 0,252
Bi 2 =
= ⎨
= 25
⎬ =
=
k2 S
=
5 x 3,14.10 -4
⎩ S = π d 2 /4 = π x 0,02 2 /4 = 3,14.10 -4 m 2
⎭
Φ C = TC - TF
Kcal
2
Th 5 + 0,000314 x 5
5
x 0,000314 m x Φ C ºC x 5
0,06283 x 0,25
hmºC
=
= 0,0314 Φ C
0,25m
0,000314 x 5
1+
Th 5
0,06283 x 0,25
Aleta con sus extremos a temperaturas TA y TC .- El calor que atraviesa la base C es:
Q=-
k1 S
(T A - TF )
L1
pfernandezdiez.es
Bi 1
- Ch{ Bi 1 (1 - ξ )} + Φ(1) Ch ( Bi 1 ξ)
Sh Bi 1
=
Aletas.IV.-96
TC - TF
Φ
=
= Φ
TA - TF
400 - 20
380
= L 1 = 0,05 m ; ξ = 1
=
2
p L21 h C
Bi 1 =
= 0,06283 x 0,05 x 10 = 2,5 ⇒
Bi 1 = 1,581
k1 S
2 x 0,000314
2 Kcal x 0,000314 m2
- 1 + Φ Ch 1,581
h.m.ºC
380
= (400 - 20)ºC x 1,581 x
= 3,2445 - 0,02162 Φ
0,05 m
Sh 1,581
Φ(1) =
Igualando los dos calores: 0,0314 Φ = 3,2445 - 0,02162 Φ ⇒ Φ = 61,2 ºC = TC - 20 ⇒ T C = 81,2ºC
b) Calor evacuado al exterior.- El calor evacuado al exterior por el cilindro, es el mismo que penetra por la base A;
por lo tanto:
T -T
- Ch{ Bi1 (1 - ξ)} + Φ(1) Ch ( Bi 1 ξ)
k S
Φ(1) = C F = 61,2 = 0,161
TA - TF
400 - 20
q A = - L1 (TA - TF ) Bi 1
=
=
1
Sh Bi1
x= 0 ; ξ = 0
2 Kcal x 0,000314 m2
h.m.ºC
- Ch 1,581 + 0,161
= (400 - 20)ºC x 1,581 x
= 7,69 Kcal
0,05 m
Sh 1,581
hora
c) Temperatura en el extremo libre B ⇒ ξ = 1 (Aleta con convección en el extremo libre)
T - 20
Ch 0 + 0
1
Φ(1) =
=
= 0,00674 = b
⇒ Tb = 20,4ºC
0,000314
x
5
81,2
- 20
S Bi 2
Ch
5+
Sh
5
Ch Bi 2 +
Sh Bi 2
0,06283 x 0,25
p L2
*********************************************************************************************
IV.19.- Un soldador consiste, (a efectos térmicos), en una varilla cilíndrica metálica que se calienta eléctricamente
por un extremo B alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) una cierta temperatura. La temperatura
del medio exterior es de 20ºC. Datos del soldador: k = 80 W/mºK ; hC = 20 W/m2ºK ; α = 1,93 x 10-4 m2/seg
Las dimensiones del soldador son: Longitud L= 80 mm; Diámetro d= 5 mm
Determinar, considerando sólo efectos convectivos:
a) La temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacionario), y la potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el
calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatura de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. ¿Qué temperatura máxima se podría conseguir en estas circunstancias?
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacionario) Se
trata de una aguja cilíndrica (protuberancia) que intercambia calor con el medio exterior, con convección por el extremo libre: Se conoce: TA = 277ºC ; ξ = 1
h L
Bi Ch[(1 - ξ) Bi] + C Sh[(1 - ξ) Bi]
T(x) - TF
Bi Ch(0) + 0
k
=
; 400 - 20 =
TB - TF
h L
TB - 20
h L
Bi Ch Bi + C Sh Bi
Bi Ch Bi + C Sh Bi
k
k
2
2
h pL
20 x 0,0157 x 0,082
πd
Bi = cF
= p = π d = 0,005 π = 0,0157 m ; S =
= 1,96.10 -5 m 2 =
= 1,2816
kS
4
80 x 1,96.10-5
1,28
400 - 20 =
= 0,576 ⇒ TB =679,6ºC
TB - 20
20 x 0,08
1,28 Ch 1,28 +
Sh 1,28
80
Potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones.- Hay que determinar una cantidad de calor igual a la que se
desprende a través de toda la varilla
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-97
q conv =
k S (TC - TF )
L
Bi
Th Bi +
S Bi
pL
S Bi
1+
Th Bi
pL
=
80
-5
x 1,96.10 (679,6
0,08
1,96.10 -5 1,28
- 20) 1,28
0,0157x 0,08
= 12 W
1,96.10 -5 1,28
1+
Th 1,28
0,0157 x 0,08
Th 1,28 +
De otra forma.- A partir de la eficiencia de la aleta se tiene:
Th 1,28
q conv = h C A (TB - TA ) η aleta = η aleta = Th Bi =
= 0,7172 ; A = 1,276.10 -3 m 2 =
Bi
1,28
= 20 x 1,276.10 -3 (679,6 - 20) x 0,7172 = 12 W
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatura
de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC.
Al realizarse el calentamiento uniformemente, se trata de un caso con condición de contorno con RESISTENCIA TÉRMICA INTERNA DESPRECIABLE, por lo que:
ρ L cp
q
q
t=
ln
= V k ln
=
h CF
q - h cF A (T - TF )
A h CF α
q - h cF A (T - TF )
(π d 2 / 4) L
0,005 x 0,08
V
dL
=
=
=
= 0,00123 m
A
4L+d
(4 x 0,08) + 0,005
π d L + (π d 2 /4)
= A = π d L + (π d 2 / 4) = (π x 0,005 x 0,08) + (π x 0,005 2 /4) = 0,001276 m 2 =
h (V/A) 20 x 0,00123
Bi = C
=
= 0,000307
k
80
=
0,00123 m x 80 (W/mºC)
12 W
ln
= 23,07 seg
20 (W/m 2 ºC) x 1,93.10 -4 (m 2 /seg)
12 W - 20 (W/m 2 ºC) x 20 m 2 (300 - 20)ºC
Temperatura máxima que se podrá conseguir en estas circunstancias
q
12
Para: t → ∞ ; q = h C A (Tmáx - TF ) ⇒ Tmáx = TF +
= 20 +
= 490,2ºC
hCA
1,276.10-3 x 20
*********************************************************************************************
IV.20.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de
un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un
tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas longitudinales
triangulares, de altura 4 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,785 cm, colocadas a una distancia entre centros de 15,7 mm, del mismo material que el tubo
La velocidad del agua caliente es de 1,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas es de 300 metros. El tubo se encuentra en posición horizontal y la nave tiene 100 m de longitud.
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la misma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo de la aleta, y en su centro de gravedad, en el punto medio de la tubería.
Datos del agua caliente: ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ;
Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 (1/ºK.m3)
Datos del aire:
ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 x 10-6 m2/seg ; Pr = 0,7; α = 0,3 x 10-4 m2/seg
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
d π
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = b
= 50 mm x π = 10
l
15,7
Cálculo de hc ext (aire en reposo), En primera aproximación se puede suponer una temperatura de pared de 99,5ºC,
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-98
que habrá que comprobar a posteriori.
ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m
g β ΔT d 3base
m
1
Gr =
= g β 9,8 seg2 273 + 20 (1/ºK )
= 7,76.10 7 x 79,5 x 0,053 = 771150
2
1
ν
7
=
=
7,76.10
ν2
(20,76.10 -6 ) 2 (m 2 /seg)
m 3 ºK
Gr.Pr = 771.150 x 0,7 = 539.805 < 1 07 (laminar)
79,5
ΔT
W
= 1,18 4
= 7,45 2
db
0,05
m ºC
a) Calor disipado por una aleta triangular.- No se conoce la temperatura en la base Tb, pero podemos suponer vale
99,5ºC, que es un poco inferior a la temperatura media del agua caliente, por ser k = 42 W/mºC.
q 1 aleta long = η h c (ext ) A lateral aleta (T b - Text )
h c ext = 1,18
4
Alateral aleta = 2 (L*
x
300 m) = 2 (0,04
x
300) = 24 m2
Φb = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5º
8 f h cF L2
8 x 1 x 7,45 x 0,04 2
=
= 0,5378 ⇒
kb
42 x 0,785.10 -2
2 G 4 (β t )
2 x 0,24
η=
=
= 0,8925
0,5378
βt
q 1 aleta long. = 0,8925 x 7,45 x 24,1 x (99,5 - 20) = 12750 W
βt =
G 4 (β t ) = 0,241
Calor disipado por todas las aletas triangulares: qN aletas long. = 12.750
x
10 = 127.503 W
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
q tubo = h c (ext ) A tubo (Tb - Text ) = A tubo = (π d b - 10 x 0,00783) a tubo = (0,05 π - 10 x 0,00783) x 300 = 23,57 m 2 =
= 7,45 x 23,57 x (99,5 - 20) = 13.962 W
Q total = q tubo + q aletas = 13962 + 127503 = 141465 W = (A tubo + η Aaletas ) h c( ext ) (Tb - Text )
De otra forma:
Q=
η = 0,8925
TF - Text
=
=
r
Aaletas = 24 x 10 = 240 m 2 ; A tubo = 23,57 m 2
1
1
1
+
ln b +
A i h Ci
2πka
ri
(η Aaletas + A tubo ) h c (ext )
uF d i
1,5 x 0,04
Re d i =
=
= 204080
ν agua
=
0,294.10 -6
=
0,8
0,3
0,8
0,3
2
Nu = 0,023 Re Pr
= 0,023 x 204080 x 1,75 = 481,4 ⇒ h ci = 8207 W/m ºC
=
1
π x 0,04 x 300
x
1
+
8207 2 π x 42
x
100 - 20
0,5
ln
+
300
0,4 {( 0,8925
x
1
240) + 23,57} x 7,45
= 140.608 W
De aquí se puede obtener la temperatura de la pared exterior Tb del tubo:
Q total =
1
A i h Ci
TF - T b
=
r
1
1
+
ln b
2
π
x
0,04
x
300
2 πka
ri
100 - Tb
x
1
+
8207
2 π x 42
x
0,5
ln
300
0,4
=
100 - T b
1,616.10 −6 + 2,819.10 -6
=
= 140.608 W ⇒ T b = 99,39ºC
que es una aproximación más que suficiente el haber considerado la temperatura de 99,5ºC.
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
*
Qtotal = 141.465 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = (Ωi uF ρi ) cp agua ΔT =
π d 2i
π x 0,04 2
= Ωi =
=
= 0,001257 m 2
4
4
= 0,001257 m 2 x 1,5
kg
m
x 958,4
seg
m3
x
4211
J
kgºC
x
ΔT*ºC = 7607,3 ΔT*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo:
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-99
⎧ Tent = 100 + (18,6/2) = 109,3ºC
141465
= 18,6ºC ⇒ ⎨
7607,3
⎩ Tsal = 100 - (18,6/2) = 90,7ºC
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
ΔT* =
NTU =
U A (T F - Text ) = 141.465 W = U A (100 - 20) ⇒ U A = 1768,3 W/m ºC
1768,3
UA
=
=
= 0,2324
C mín
C mín = G agua c p agua = 7607,3 W/ºC
7607,3
ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e-
0,2324
= 0,2074 = 20,74%
Comprobación:
Q total = ε C mín (TC1 - TF1 ) = ε C mín (Tentrada agua - Text ) = 0,2474 x 7607,3 (109,3 - 20) = 140900 W
e) Temperatura en el vértice de la aleta situada en el centro de la tubería
I 0 (βt ηt )
I 0 (0)
1
= (99,5 - 20)
= 79,5º C
= 0,93
I 0 (βt )
I 0 (0,5378)
1,076
= 20 + (0,93 x 79,5) = 93,9ºC
Φ vértice = Φ b
Tvértice
Temperatura en el centro de gravedad
de la aleta:
€
x
2
I (β η )
I (0,4367)
1,0499
Φ cdg = Φ b 0 t t = β t = 0,5378 ; ηt = L = 3 = 0,812 = (99,5 - 20) I 0 (0,5378) = 79,5ºC 1,076 = 77,56ºC
I 0 (β t )
0
β t ηt = 0,5378 x 0,812 = 0,4367
T cdg = T F + 77,56ºC = 20ºC + 77,56ºC = 97,56ºC
*********************************************************************************************
IV.21.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de
un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un
tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas anulares del mismo material que el tubo, de diámetro exterior de = 15 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,3 cm, colocadas a
una distancia entre centros de 4 cm.
La velocidad del agua caliente es de 0,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas, horizontal, es de 50 metros.
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo libre.
Se puede suponer una temperatura en la base de 99,5ºC
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la misma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo aislado de las aletas
Datos del agua caliente:ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ;
Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 1/ºK.m3
Datos del aire: ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 .10-6 m2/seg ; Pr = 0,7
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas en el tubo: N = 50 m = 1250 aletas
0,04 m
Cálculo de hc ext (aire en reposo)
ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m
g β ΔT d 3base
m
1
1
Gr =
= g β 9,8 seg2 273 + 20 ºK
= 7,76.10 7 x 79,5 x 0,053 = 771150
2
1
ν
7
=
= 7,76.10
ν2
(20,76.10 -6 ) 2 m 2 /seg
m 3 ºK
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-100
Gr.Pr = 394830
x
0,7 = 539805 < 1 07 (laminar)
79,5
ΔT
W
= 1,18 4
= 7,45 2
db
0,05
m ºC
De otra forma: El coeficiente de convección se puede calcular con la fórmula:
h c ext = 1,18
4
4
0,518 Ra 1/
⎧ 10 −6 < Ra d < 10 9
d
Para flujo laminar: Nu d = 0,36 +
, con: ⎨
0,56 9/16 4/ 9
⎩ Pr > 0,5
{1 + (
)
}
Pr
0,518 (539805)1/4
0,03 x 10,96
k Nu
W
Nu d = 0,36 +
= 10,96 ⇒ h c ext =
=
= 6,58 2
0,56 9 / 16 4 / 9
d
0,05
m
C
{1 + (
)
}
0,7
a) Calor disipado por una aleta con su extremo libre térmicamente aislado: q 1 aleta = η h c ext A lateral aleta (Tb - Text )
re = 7,5 cm
Alateral aleta = 2 π (r2e - r2b ) =
= 2 π (0,075 2 - 0,025 2 ) = 0,031416 m2
rb = 2,5 cm
Φ b = T b - T F = 99,5 - 20 = 79,5ºC
α an =
Rendimiento de la aleta: η = G 2 (α an β an ) =
rb
0,025
=
= 0,333
re
0,075
2 h c ext re2
2 x 6,58 x 0,0752 = 0,766
=
ke
42 x 0,03
2
2
6,58 (W/m C)
º x 0,031416 m x (99,5 - 20)º C = 15,63 W
= 0,84
β an =
q 1aleta = η h c ext A (TpF - TF ) = 0,84 x
Calor disipado por todas las aletas: q N aletas = 15,63 W x 1250 = 18756 W
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción:
q tubo = h c ext A tubo (T b - Text ) = A tubo = π d b (0,04 - 0,003) = 5,812.10 -3 m 2 =
= 5,812.10 -3 m 2 x 6,58 (W/m 2 ºC) (99,5 - 20) ºC = 3,04 W
q tubo total = 1250 x 3,04 W = 3648,4 W
Q total = q tubo + q aletas = 20000 + 3648,4 = 23648,4 W
De otra forma:
Q total =
=
TF - Text
r
1
1
1
+
ln b +
A i h ci
2 πka
ri
N (η A aletas + A tubo ) h c ext
u d
0,5 x 0,04
Re d i = F i =
= 68027
ν agua
0,294.10 −6
Nu= 0,023 Re 0 ,8 Pr 0,3 = 0,023
=
1
π x 0,04 x 50
x
x
=
η = 0,84
=
A aletas = 0,031416 m 2 ; A tubo = 0,005812 m 2
68027 0,8 x 1,75 0 ,3 = 200 ⇒ h ci =
100 - 20
0,5
1
+
ln
+
3410
2 π x 42 x 50
0,4 1250 {( 0,84
x
200
0,682
W
= 3410
0,04
m ºC
x
1
0,031416) + 0,005812} x 6,58
=
= 20964 W
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
Q total = 20964 W = Gagua c p agua (Tentrada - Tsalida ) = (Ω i u F ρ i ) c p agua ΔT* =
= Ωi =
π x 0,04 2
= 0,001257 m 2
4
= 0,001257 x 0,5 x 958,4 x 4211 x ΔT* = 2525,8 ΔT*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo
9,32
⎧ T
= 104,66C
º
⎪ entrada = 100 +
23648
2
ΔT* =
= 9,32C
º ⇒ ⎨
9,32
2535,8
= 95,34C
º
⎪⎩ Tsalida = 100 2
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-101
€
⎧ 23648 = U A (100 - 20) ⇒ U A = 295,6 W
⎪
mC
º
ε = 1 - e -( NTU) = NTU = U A = ⎨
C mín
W
⎪ C mín = G agua c p agua = 2535,8 C
º
⎩
⎫
⎪
295,6
⎬ = 2535,8 = 0,1166 =
⎪
⎭
= 1 - e- 0,1166 = 0,11
Comprobación:
Q total = ε C mín (TC 1 - TF1 ) = ε C mín (Tentrada agua - Text ) = 0,11 x 2535,8 (104,66 - 20) = 23614 W
€
e) Temperatura en el extremo aislado de la aleta central
Φe = Φb G1 (α an βan ) = α an = 0,33 ; βan = 0,809 ⇒ G1 (α an βan ) = 0,83 = 0,83 Φb
⎧ Te primera aleta = 20 + 0,83 {(104,66 - 0,5) - 20} = 89,85C
T e = 20 + (0,83 x 79,5) = 86C (aleta central) ⎨
⎩ Te última aleta = 20 + 0,83 {( 95,34 - 0,5) - 20} = 82,1C
*********************************************************************************************
IV.22.- En una habitación se dispone de un sistema de calefacción por agua caliente que consiste en un tubo de
acero de diámetro interior di = 4 cm y exterior db = 4,4 cm, y aletas anulares de diámetro exterior de = 10 cm y espesor 0,1 cm, colocadas a una distancia entre centros de 5 cm. El coeficiente k = 42 Kcal/hm°C
La longitud del tubo es de 12 metros. El coeficiente de película al exterior es, hc ext = 5 Kcal/hm2°C
El coeficiente de película por el interior del tubo correspondiente al {agua caliente-pared interior del tubo} es hci =
1000 Kcal/hm2°C
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo. Se puede suponer que la temperatura exterior del tubo es
igual a la temperatura en la base de la aleta Tb; Temperatura del aire, Text = 20°C
Determinar
a) El valor U A
b) La temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo y el calor cedido a la habitación, si circulan 10 litros/minuto de agua, que entra en la tubería a 60°C
c) La temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Datos del agua, ρ = 1000 kg/m3 ; cp = 1 Kcal/kg°C
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = 12 m = 240
0,05
Calor disipado por una aleta.- No se conoce la temperatura en la base Tb
q 1 aleta anular = η h c ext A lateral aleta (Tb - Text )
r e = 5 cm
A lateral aleta = 2 π (re2 - rb2 ) =
= 2 π (0,05 2 - 0,022 2 ) = 0,0127 m 2
r b = 2,2 cm
η = G2 (α an .β an ) = α an =
q1 aleta = 0,92
x
5
2 re2 h C ext
=
ke
rb
0,022
=
= 0,44 ; β an =
re
0,05
Kcal
h.m2 .ºC
x
0,01276 m2
x
2 x 0,05 2 x 5
= 0,77 = 0,92
42 x 0,001
(Tb - 20)ºC = 0,05842 ( Tb - 20) Kcal
hora
qtubo (para 1 aleta) = hc ext Atubo (Tb - Text) = Atubo = π
=5
Kcal
h.m2 .ºC
x
x
0,044
x
0,049 = 0,0068 m2 =
0,0068 m2
x
(Tb - 20)ºC = 0,034 ( Tb - 20) Kcal
hora
a) Valor de (U A)
Qtotal = N (qtubo + qaletas) = 240
pfernandezdiez.es
x
{0,05842 ( Tb - 20) + 0,034
x
(Tb - 20)} =
Tb - 20 Kcal
0,04508 hora
Aletas.IV.-102
Q total =
=
TF - Ti
1
2 π a r i h ci
=
Ti - Tb
rb
1
ln
2 πka
ri
=
T b - 20
=
0,04508
1
2 π a r i h ci
TF - 20
=
rb
1
+
ln
+ 0,04508
2 πka
ri
TF - 20
T - 20
Kcal
= F
= U A (TF - 20) ⇒ U A = 21,847
1
22
0,045773
hora
+
ln
+ 0,04508
2 π x 0,02 x12 x 1000
2 π x 42 x 12
20
1
b) Temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo (que entra en la tubería a 60°C
si circulan 10 litros/minuto de agua
kg
kg
G agua = V ρ = 10 x 60 litros
hora x 1000 m 3 = 600 hora
kg
Kcal x (60 - T )ºC
Q total = G agua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600
x 1
sal
h
kgºC
ΔT2 = Tent - T ext = 60 - 20 = 40
ΔT 2 - ΔT1
60 - T sal
=
= 21,847
ΔT 2
40
ΔT1 = Tsal - T ext = Tsal - 20
ln
ln
T
ΔT1
sal - 20
Igualando las ecuaciones anteriores de Qtotal se obtiene:
60 - Tsal
500 Kcal x (60 - Tsal )ºC = 21,847 Kcal
⇒ Tsal = 58,56ºC
h
h ln
40
Tsal - 20
Calor cedido a la habitación
kg
Kcal x (60 - 58,56)ºC = 858,2 Kcal
Q total = G agua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600
x 1
h
kgºC
hora
Q total = U A
De otra forma:
kg
ε = 1 - e - NTU = NTU = U A = ⎧⎨ C mín = Gagua c p agua = 600
C mín
h
⎩
x
21,847
1 Kcal = 600 Kcal ⎫⎬ =
= 0,03641 =
kg ºC
h ºC ⎭
600
= 1 - eQ total = ε Cmín (TC1 - TF1) = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,035756
x
600
x
0,03641
= 0,035756 = 3,57%
(60 - 20) = 858,16 Kcal
hora
c) Temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Φ e = Φ b G1 (α an β an ) = G1 (α an β an ) = G 1 (0,44 x 0,77) = 0,90 = 0,90 Φ b ⇒ T e - T ext = 0,90 (T b - T ext )
Tb - 20
T - 20
1ª Aleta (TF = 60ºC) ;
= F
= 60 - 20 = 873,877 ; Tb = 59,4ºC
0,04508
0,045773
0,045773
Te = Text + 0,90 x (Tb - Text) = 20 + 0,90
x
(59,4 - 20) = 55,45ºC
*********************************************************************************************
IV.23.- En un tubo de acero que tiene una conductividad térmica de 40 Kcal/hm°C y diámetro exterior de=30 mm,
se han dispuesto 20 aletas longitudinales de sección transversal constante, de 2 mm de espesor y altura 20 mm
Las aletas se considerarán con su extremo libre aislado térmicamente.
Se supondrá que el fluido que envuelve al conjunto se encuentra a una temperatura de
20°C, que la superficie exterior del tubo está a 90°C y que el coeficiente de película es
hc=30 Kcal/h.m2.°C.
Si las aletas se encuentran uniformemente distribuidas sobre la superficie exterior del tubo, determinar:
a) El calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas.
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para
que dejase de ser interesante el uso de superficies adicionales.
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas
anulares por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35
mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. Las condiciones térmicas son las del enunciado.
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-103
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas.
Para el caso de no existir aletas, el calor desprendido por el tubo limpio, por metro lineal es:
Kcal
2
q = h cF A ΔT = 30 Kcal
x 0,03 π m (90 -20)ºC = 197,92
hm
h m 2 ºC
Calor disipado a través del espacio de tubo no ocupado por las aletas:
197,92 Kcal x Fracción tubo
h m tub
197,92 x 0,054
Kcal
q 1=
= Fracción tubo = 0,03 π - (20 x 0,002) = 0,054 =
= 113,9 h.m.lineal
0,03 π
0,03 π
Las aletas son longitudinales con el extremo térmicamente aislado; el calor disipado por las mismas es:
Kcal
; S = 0,002 x 1 = 0,002 m 2 ; L = 0,2 m
h m ºC
Bi n = Tb - T F = 90 - 20 = 70 ºC ; p = 2 (1 + 0,002) = 2,004 m
=
2
2
h pL
30 x 2,004 x 0,02
n = 20 aletas ; Bi = c
=
= 0,3006
kS
40 x 0,002
70
= 40 x 0,002
0,3006 Th 0,3006 x 20 = 1533 Kcal/h m
0,02
k = 40
q2= k S
T b - TF
L
Bi Th
q disipado = q 1 + q 2 = 113,92 + 1533 = 1646,92 Kcal/h m
Aumento en % =
1646,92 - 197,92
197,92
x
100 = 732,1%
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase de ser interesante el uso de superficies adicionales.
h cF e
2k
2 x 40
Kcal
; h cF < 0,002 ; h cF < 40000
2 k < 1 ; h cF < e
h m 2 ºC
luego se justifica el uso de aletas cuando hcF sea menor de 40000 Kcal/hm2ºC
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas anulares por metro
lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo es de 30 mm.
Las condiciones térmicas son las del enunciado.
q 1 = calor disipado a través del tubo = {1 - (100 x 0,002)} q = 0,8 x 197,92 = 158,3 Kcal/h m
q 2 = Calor disipado a través de 100 aletas por metro = = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an βan ) n =
r
⎫
α an = b = 15 = 0,4286
⎪
re
35
=
⎬ ⇒ G2 (0,4286 x 0,9585) = 0,87 =
2 h cF re2
2 x 30 x 0,035 2 = 0,9585
β an =
=
⎪
ke
40 x 0,002
⎭
2
= π (1 - 0,4286 ) x 40 x 0,002 x 70 x 0,9585 2 x 0,87 x 100 = 1147,86 Kcal/h m
q disipado = q 1 + q 2 = 158,3 + 1147,86 = 1306,2 Kcal/h m
*********************************************************************************************
IV.24.- Un pequeño dispositivo electrónico que genera calor por efecto Joule, lo disipa durante su funcionamiento
al exterior. Este dispositivo se puede considerar como un cilindro de dimensiones, radio Ri = 0,002 m y altura, a= 0,006 m.
Para que su funcionamiento sea lo más correcto posible se le inserta
una camisa aleteada de aluminio k = 200 W/mºK con 12 aletas longitudinales en su superficie exterior, que tienen su extremo libre térmicamente aislado. Los datos de la camisa aleteada son, diámetro exterior
De = 0,006 m, espesor de las aletas, e = 0,0007 m, y longitud de las aletas, L = 0,01 m.
La resistencia de contacto (dispositivo electrónico-camisa aleteada) es
muy importante, y vale, 10-3 m2.ºK/W
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-104
El coeficiente de película al exterior es, hcF = 25 W/m2ºK. La temperatura exterior es Te = 20ºC
La camisa aleteada se ha diseñado para que la superficie del dispositivo electrónico no supere los 80ºC.
Determinar:
a) El calor disipado al exterior
b) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo electrónico si no se utilizase la camisa aleteada.
c) La temperatura de los diámetros interior y exterior de la camisa aleteada y en el extremo de la aleta
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El circuito térmico se puede poner en la forma:
Ts - Text
El calor evacuado es: Q = R
contacto (dispositivo-camisa) + R camisa + R aletas + tubo
a) Calor disipado al exterior
Calor disipado por la (aleta + tubo) = hcF (Atubo + µ Aaletas) (Tb - Text) =
hcF
Tb - Text
1
(Atubo + µ Aaletas)
p = 2 (a + e) = 2 (0,006 + 0,0007) = 0,0134 m
h cF p L2
25 x 0,0134 x 0,012
=
=
= 0,03988
kS
S = a e = 0,006 x 0,0007 = 4,2.10 -6 m 2
200 x 4,2.10 -6
Th 0,03988
µaleta = Th Bi =
= 0,9869
Bi
0,03988
Bi =
Atubo = (De π - 12 e) x 0,006 = [0,006 π - (12 x 0,0007)]
x
0,006 = 6,27
x
10-5 m2
12 = 1,44 x 10-3 m2
1
ºK
Resistencia asociada a las aletas =
= 26,96
W
25 {6,27.10 -5 + 0,9869 (1,44.10 -3 )}
-3
2
-3
10 (m ºK/W )
10
ºK
ºK
Resistencia contacto dispositivo-camisa:
=
= 13,26
2
2
π
x
0,002
x
0,006
W
W
2 π R a (m )
Re
0,003
1
1
ºK
Resistencia conductiva de la camisa:
ln
=
ln
= 0,05377
2 πka
Ri
2 π x 200 x 0,006
0,002
W
80 - 20
Q=
= 1,49 W
13,26 + 0,05377 + 26,96
Aaletas = 2 (L x a) x 12 = 2 (0,01
x
0,006)
x
b) Temperatura que adquiere la superficie del dispositivo electrónico si no se utiliza la camisa aleteada.- En estas
circunstancias el dispositivo tiene que eliminar la misma energía (1,49 W) generada por efecto Joule, por lo que:
Ts - T ext
Ts - 20
Q=
=
= 1,49 ⇒ Ts = 810,5ºC
1
1
2 π R i h cF a
2 π x 0,002 x 25 x 0,006
De otra forma:
E Ri
R i h cF r 2 h cF
Q
1,49 W
W
T s - TF =
(1 +
)r = Ri = E =
=
= 1,976.10 7
=
2 h cF
2 k
2 k Ri
A
π x 0,002 2 x 0,006
m3
E Ri
1,976.10 7 x 0,002
=
=
= 790,4 ºC ⇒ Ts = 20 + 790,4 = 810,4ºC
2 h cF
2 x 25
c) Temperatura de los diámetros interior Ti y exterior Te de la camisa aleteada
Ts - T i
ºC
Q=
⇒ Ti = Ts - Q R contacto = 80 - (1,49 W x 13,26
) = 60,24ºC
R contacto
W
Q=
Ti - Tb
R camisa
⇒
Tb = Ti - Q R camisa = 60,24 - (1,49 W x 0,05377
ºC
) = 60,16ºC
W
Temperatura en el extremo de la aleta
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-105
€
T( ξ) - TF
Ch{ Bi (1 - ξ)}
1
=
= ξ=1 =
Tb - T F
Ch Bi
Ch Bi
⇒ T(1) = T F +
Tb - TF
60,16 - 20
= 20 +
= 59,37ºC
Ch Bi
Ch 0,03988
*********************************************************************************************
IV.25.- Un dispositivo electrónico cilíndrico (k = 150 W/mºC) de dimensiones, R = 0,003 m y longitud a = 0,008 m,
disipa al exterior el calor generado a través de una camisa que se inserta con 12 aletas triangulares longitudinales
de aluminio (kaluminio= 200 W/mºC), siendo su radio exterior rb = 0,004 m.
Las dimensiones de las aletas son: base = 0,8 mm; altura = 10 mm
El coeficiente de convección es de 40 W/m2ºC
La resistencia de contacto entre el dispositivo electrónico y la camisa es de 0,002 m2ºC/W
El medio ambiente se encuentra a 15ºC
Sabiendo que el centro del dispositivo electrónico no puede superar los 80ºC, determinar:
a) El rendimiento de las aletas
b) La temperatura de la superficie exterior del dispositivo electrónico y el calor disipado al exterior
c) La temperatura en la base de las aletas y en su extremo
d) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo si no llevase aletas
__________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Rendimiento de las aletas.- Gráficamente se tiene:
η=
2 G4 (β t )
= βt =
βt
8 f h cF L2
=
kb
8 x 1 x 40 x 0,012
= 0,4472 ⇒ G4 (β t ) = 0,22 = 0,984 = 98,4%
200 x 0,0008
que prácticamente es del 100%, ya que en este caso lo que interesa es disipar calor y no el efecto económico
Analíticamente:
I1 (2 n L ) 1
⎛
β
I (β )
⎧ I 0 = 1,053
= n L = t ⎞ = 1 t 2 = β t = 0,447 ⇒ ⎨
= 0,977 = 97,7%
2 ⎠
⎝
I 0 (β t ) β t
I 0 (2 n L ) n L
⎩ I1 = 0,23
2
2
T centro - Tsup
= ER
{1 - ( 0 )} = E R
c) Temperatura de la superficie del dispositivo:
Tsup
4 k Tsup
R
4 k Tsup
Q
R2
Q
Q
Q
E R2
W
π R 2a
T sup = Tcentro = E=
=
= T centro = Tcentro =
2
3
4k
V
4
k
4
π
ak
πR a m
80 - Tsup
Q
= 80 = 80 - 0,0663 Q ⇒ Q =
4 π x 0,008 x 150
0,0663
η=
que es una ecuación que relaciona Tsup con el calor Q
Calor disipado al exterior:
Calor disipado por 1 (aleta + tubo) = h cF (Atubo + µ Aaleta ) (Tb - Text )
0,002 ºK
0,002
m 2 ºK
ºK
W = 2 π R a W = 2 π x 0,003 x 0,008 = 13,26 W
r
0,004
ln b
ln
Ri
0,003
ºK
R camisa =
=
= 0,0286
2 π k al a
2 π x 200 x 0,008
W
R contacto = 0,002
S tubo = (2 π R b - 12 b) 0,008 = (2 π x 0,004 - 12 x 0,8.10 -3 ) 0,008 = 1,24.10 -4 m 2
1
R aletas = h (S
=
=
cF tubo + µ S aleta )
Saletas = 12 (2 x 0,01) 0,008 = 1,92.10 -3 m 2
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-106
=
Q=
1
ºK
= 12,5
-3
W
40 {1,2426.10 + (0,977 x 1,92.10 )}
-4
T sup - Text
Tsup - 15
Tsup - 15
=
=
R contacto + R camisa + R aleta + tubo
13,26 + 0,0286 + 12,5
25,785
que es otra ecuación que relaciona Tsup con el calor Q.
En consecuencia, se tiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, Tsup y Q:
⎧ Tsup = 79,83ºC (prácticamente la temperatura en el centro)
⎨
⎩ Q = 2,51 W
c) Temperatura en la base de las aletas
Tsup - T b
79,83 - T b
Q=
=
= 2,51 W ⇒ T b = 46,47ºC
R contacto + R camisa
13,26 + 0,0286
Q=
80 - Tsup
Tsup - 15
=
0,0663
25,785
⇒
Temperatura en el extremo libre de las aletas
I 0 (0)
TL - 15
Φ =
1
=
= 0,95 =
Φb
46,47 - 15
I 0 (2 n L ) 1,05258
⇒
TL = 44,85ºC
d) Temperatura que adquiriría el dispositivo electrónico de no llevar aletas:.- Entre el exterior del tubo y el medio
ambiente se tiene
Te - 15ºC
2,51 =
⇒ Te = 431,7ºC
1
40 x 2 π x 0,003 x 0,008
lo que motiva la colocación de estos elementos disipativos
*********************************************************************************************
IV.26.- El par de conductores de un termopar tiene ambos hilos de cobre de (k = 385 W/mºK) de 0,25 mm de diámetro, embutidos en una capa aislante de polivinilo de k = 0,1 W/mºK de perímetro exterior 1,5 mm y sección 10-7 m2; la configuración de este tipo de hilo viene dada en la figura. La temperatura de los gases calientes es de 350ºK y la temperatura de la pared es
de 300ºK.
Determinar la longitud que deberá tener el hilo inmerso en la corriente de gases calientes para que el error de lectura en el termopar sea de 0,1ºK, sabiendo que el coeficiente de transferencia de calor
hilos-gases calientes es de 30 W/m2ºK
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Se puede suponer que la variación de temperatura en cada sección transversal a los hilos es pequeña comparada con
la variación de temperatura a lo largo de los mismos, 50ºK. Por lo tanto este problema se puede equiparar al de una
protuberancia de sección transversal uniforme.
Para la distribución de temperaturas podemos tomar la correspondiente a una protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado, de forma que, considerando toda la longitud del hilo L se tenga:
h p L2
TL - TF = - 0,1ºK = 1
; Bi = 47,7 = c
Tb - TF 300 - 350 Ch Bi
kS
El valor de kS hay que evaluarlo para las resistencias térmicas de ambos hilos y del aislante, en paralelo.
π (0,25 x 10 -3 ) 2
π d2
W
Wm
-8
Para el hilo: S hilo =
=
= 4,91.10 -8 m 2 ; k S hilo = 385
x 4,91.10
m 2 = 1,9.10 -5
4
4
mºK
ºK
W
-7
2
-8 Wm
-7
2
Para el aislante: Saisl = 10 m ; k Saisl = 0,1
x 10
m = 10
mºK
ºK
Se observa que la contribución del aislante kS es insignificante, por lo que su forma precisa o su composición son
irrelevantes.
h C p L2
30 (W/m 2 ºK ) x 0,0125 m x L2
Bi = 47,7 =
=
⇒ L = 0,155 m
kS
1,9.10 -5 ( Wm/ºK )
*********************************************************************************************
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-107
IV.27.- Una aleta recta de duraluminio (k = 187 W/mºK; ρ = 2770 kg/m3), tiene un perfil parabólico dado por la
expresión:
b x
3 x 2
z = ( ) 2 = b = 3 mm ; L = 20 mm = (
)
2 L
2 20
Hallar
a) El calor disipado por la aleta, y la eficiencia, cuando la temperatura en la base sea de 500ºK y la del medio exterior de 300ºK, sabiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de 2800 W/m2ºK
b) Masa de la aleta
________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado:
4 hC Φb L
2 hC
4 x 2800 x 200 x 0,02
2 x 2800 = 99,91 =
q=
= m=
=
= 8750 W
k
b
187
x 0,003
m
2
2
2
2
1 + 1 + 4m L
1 + 1 + 4 (99,91 x 0,02 )
2
=
1 + 4 m 2 L2
1+
2
= 0,39 ⇒ 39%
1+
1 + 4 (99,912 x 0,02 2 )
b L ρ (1 m) = 0,003 x 0,02 m 2 x 2770 kg x (1 m ) = 0,0554 kg
Masa de la aleta por 1 m de longitud: M =
3
3
m3
Eficiencia: η =
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IV.28.- Los intercambiadores de calor de placas perforadas se usan en sistemas de refrigeración criogénicos y
consisten en un conjunto de placas de alta conductividad térmica, que van perforadas para que los fluidos circulen a través de ellas, y separadas por un aislante. El calor se transmite por conducción desde la corriente caliente
a la corriente fría a través de las placas perforadas.
Se puede suponer un intercambiador en contracorriente conformado por placas
rectangulares de aluminio (k = 200 W/mºK), perforadas con orificios de 0,9 mm de
diámetro dispuestos en disposición regular cuadrada, separados entre centros 1,3
mm, siendo las dimensiones de cada placa de 20 mm de ancho por 80 mm de longitud y 0,5 mm de espesor, separadas entre sí por un aislante de 0,85 mm de espesor;
los dos grupos de placas perforadas caliente y fría van separadas por una placa de
aluminio de 4 mm tal como se muestra en la figura.
Determinar el coeficiente global de transmisión de calor entre los fluidos que circulan por los orificios de las placas calientes y las placas frías, sabiendo que el coeficiente de convección para ambos fluidos es de 400 W/m2ºK
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RESOLUCIÓN
Se puede suponer que las temperaturas de los fluidos permanecen constantes (cosa que no es verdad en un intercambiador de calor). La conducción de calor entre los fluidos se produce desde las placas perforadas superiores por las
que, por ejemplo, circula el fluido caliente, hasta las placas perforadas inferiores por las que circula el fluido a calentar; dichas placas perforadas se pueden asimilar, por su pequeño espesor, a aletas, siendo el flujo de calor a lo largo
de las placas unidimensional.
El proceso de transferencia de calor de las placas calientes a las frías se puede asimilar considerando cada una de las
placas calientes como una aleta, conectada a una pared de 4 mm de espesor yendo a continuación otra aleta constituida por cada una de las placas frías, de forma que el coeficiente global de transmisión de calor se puede interpretar en
la forma:
1
1
+ k e1W + h p b1 η
= h p b2 η
+ k e1W
UA = h pbη
C
aleta
C
aleta
C
aleta
h
h
en la que p es el perímetro de la aleta y A la sección de intercambio térmico, de la forma:
2 W b π d2
Wb
π d
πde
A = {2 W b ( 4 )} + 2 π d e = W b {2 - 2 ( c )2 + 2 } =
c2
c
c
π 9
πx9x5
= (0,08 x 0,02) {2 - 2 ( 13 )2 +
} = 0,003338 m 2
13 2
h p b2
Para calcular el n º de Biot de la forma: Bi = C
, es necesario determinar p y S.
kS
A 0,003338
El perímetro p es =
=
= 0,1667 m
b
0,02
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-108
b = 20 mm
Fluido caliente
h = 4 mm
Fluido frío
W = 80 mm
0,86 mm
e = 0,5
π d 2 /4
π x 9 2 /4
=
= 0,376 = (0,08 x 0,0005) (1 - 0,376) = 2,496.10 -5 m 2
c2
13 2
hC p b 2
400 (W/m 2 ºC) x 0,167 m x 0,02 2 m 2
Bi =
=
= 5,35
kS
200 ( W/m ºC) x 2,496.10 -5 m 2
Th 5,35
Th Bi
=
= 0,424
Rendimiento de la aleta: η aleta =
Bi
5,35
0,02
1
2
h
2
ºK
=
+
=
+
= 3,537 + 0,5 = 4,037
UA
h C p b η aleta
keW
400 x 0,1667 x 0,02 x 0,424
200 x 0,0005 x 0,08
W
1
1
W
U=
=
= 74,21 2
4,037 A
4,037 x 0,003338
m ºK
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S = W e (1 - ε v ) = ε v =
pfernandezdiez.es
Aletas.IV.-109