Integración compleja ● Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real. Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t: ● Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del cálculo. Integración compleja De modo que Integración compleja ● Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad: Integración compleja (contornos) ● Contornos o caminos Imaginemos que trazamos una curva en el plano complejo, en un intervalo de “tiempo”: De modo que en un instante “t” dibujamos el punto De esta manera podemos considerar que el rango de la función Se dice que es una parametrización de es Integración compleja (contornos) ● Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano complejo se les llama arco o camino, si e son funciones continuas del parámetro t Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.: ● Arcos simples (suave): Arcos simples cerrados: ● Arcos no simples: 8 ● No suave suave Integración compleja (contornos) También el orden de los puntos del arco es importante, usualmente esto se indica con una flecha Así, el punto precede a si Integración compleja (contornos) ● Contorno Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita de curvas , tal que el punto final de la curva coincide con el punto inicial de la curva . Se puede decir que ● ● Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el contorno es cerrado Un contorno cerrado simple es aquel que divide al plano en dos dominios: el interior que es acotado y el exterior que no es acotado Integración compleja (contornos) Comentarios: ● ● ● La parametrización de un arco no es única Un mismo conjunto de puntos pueden formar distintos arcos La longitud de un arco no depende de la parametrización y está dada por (como en Cálculo): Integración compleja (contornos) ● Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco diferenciable si las derivadas son continuas en el intervalo Además la función es integrable en el intervalo ● Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es continua y no nula en el mismo intervalo Integración compleja (contornos) ● Integrales de contorno (o de camino) Las integrales de camino dependen, en general, de la curva (suave) que va de un punto a al punto b y de la misma función f(z), por supuesto. Se denota la integral como Si la curva está descrita por una parametrización z=z(t) con Integración compleja (contornos) Entonces Nótese que al considerar una curva suave, la derivada z'(t) existe. Además la integral es independiente de la parametrización utilizada. Integración compleja (contornos) Si es la curva/camino sobre la que se integra f(z(t)), la curva , recorre los mismos puntos, pero en sentido inverso y ● Si un contorno está formado por curvas suaves y f es continua en ,entonces Integración Primitivas Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales las integrales de camino no dependen del contorno utilizado. ● Esto nos lleva a introducir el concepto de función primitiva F (continua en un dominio D) tal que: F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D Integración Pero antes veamos el siguiente resultado sobre cotas superiores para el módulo de una integral de camino: donde M es una constante tal que y L la longitud del contorno/camino ● Se dice que F(z) es una función primitiva de f(z), donde f(z) es continua en un dominio D, si F´(z) = f(z) para toda z en D Teorema: Sea f(z) una función continua en un dominio D. Las siguientes proposiciones son equivalentes: i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D ii) las integrales de f(z) sobre contornos contenidos en D, con punto inicial z1 y punto final z2 , tienen todas el mismo valor iii) Las integrales de f(z) sobre contornos cerrados contenidos en D tiene valor cero