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Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3
1
Trabajo Práctico Nro. 3
Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.
Funciones Armónicas.
1. Calcular las siguientes integrales de lı́nea:
Z
Re(z) dz a lo largo de las siguientes trayectorias:
a)
C
(b)
Z
(c)
ZC
(d)
C
Z
1
dz
z
C: semicircunf. superior de |z| = 1 desde z1 = −1 hasta z2 = 1.
2|z| + 3 dz
C: segmento del eje real que une z1 = −1 y z2 = 2.
π exp(πz) dz
C: contorno del cuadrado formado por z1 = 0, z2 = 1, z3 = 1+i
C
y z4 = i, recorrido en sentido positivo.
2. Sea la circunferencia C : z −a = r0 eiθ (0 6 θ 6 2π, r0 > 0) recorrida en sentido
Z
Z2π
positivo. Demostrar que f (z) dz = ir0 f (a + r0 eiθ ) eiθ dθ .
C
0
3. Probar, sin calcular la integral, que:
Z
1 √
64 2
(a) dz
C: segmento que une los puntos z1 = i y z2 = 1.
4
z
C
Z
8
2
z̄
(b) dz 6 π
C: circunferencia |z| = , recorrida en sentido positivo.
3
z̄ +1 3
C
Z
π
1
6
(c) dz
C: circunferencia |z| = 2, en el primer cuadrante.
2
z +1 3
C
Z
eiz
dz = 0 C: semicircunferencia superior de |z| = R.
(d) lı́m
R→+∞
z 2 +a2
C
2
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4.
a) Enuncie el teorema de Cauchy–Goursat.
Z
Z
b) Explique cuándo es válido f (z) dz = f (z) dz, para dos curvas
γ
λ
γ : [a, b] → C, λ : [a, b] → C tales que γ(a)=λ(a) y γ(b)=λ(b) (independencia del camino). Justificar.
c) ¿Es cierto que si D es un dominio en C,
Z y f ∈ H(D), entonces cualquiera
sea el contorno cerrado Γ ⊆ D, resulta f (z) dz = 0 ? Justificar.
Γ
d ) ¿Es cierto que si D es un dominio en C, Z
y f es continua en D, y si cualquiera
sea el contorno cerrado Γ ⊆ D, resulta
f (z) dz = 0, entonces f ∈ H(D)?
Γ
Justificar.
5. Calcular, en cada caso, la integral de lı́nea de la función f a lo largo de los
contornos C indicados:
1
(a) f (z) = 2
C = {z/ |z| = 1}.
z +2z +2
6.
(b) f (z) = z 3
(i) C = {z/ |z| = 1},
(ii) C: recta que une los puntos z = 1 y z = i,
(iii) C: arco de circunferencia de centro 0 y radio 1 que une
los puntos z = 1 y z = i.
(c) f (z) = ez
(i) C = {z/ |z| = π},
(ii) C: un contorno que une los puntos z = −iπ y z = iπ.
(d) f (z) = z sen(z 2)
C: contorno que une los puntos z = −iπ y z = iπ.
a) Si f es holomorfa en D y sobre los contornos C, C1 y C2, pruebe que el
valor de la integral de f sobre toda la frontera de D es cero.
(Obs: Esto significa que, bajo ciertas condiciones, se puede extender el teorema de
Cauchy a dominios múltiplemente conexos).
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b) A
anterior, analice bajo qué condiciones
Z partir del resultado
Z
1
, C1 y C2 como
f (z) dz = f (z) dz siendo f (z) =
(z −a)(z −b)
C1
C2
se indican en el gráfico.
7. Calcular las siguientes integrales:
Z
dz
(a)
γ: contorno que encierra al origen, recorrido una vez en sentido
z
γ
(b)
Z
antihorario.
dz
z −2+i
γ: contorno que encierra a z0 = 2−i, recorrido una vez en sentido
γ
(c)
Z
antihorario.
dz
z −c
γ: contorno que encierra a z0 = c, recorrido una vez en sentido
γ
antihorario. Analice en qué varı́a el resultado si se recorre γ n-veces, n ∈ N.
8. Aplicando la fórmula integral de Cauchy, integrar la función f (z) =
lo largo del cı́rculo de radio 1 con centro en:
1
(c) z = −i
(a) z = i
(b) z =
2
(d) z = 1 recorrido una vez en sentido antihorario.
2z 2 −4
z2 + 1
a
9. Calcular la integral de lı́nea de las siguientes funciones:
z 3 −z
ez
(ii)
f
(z)
=
(z + 1)2
zn
sobre el cı́rculo de radio 2 y centro en:
(i) f (z) =
(a) z = 0
(b) z = 2 + i
10. Calcular las siguientes integrales:
Z
z 2 +4
a)
dz
z
|z|=1
para n > 0
(iii) f (z) =
z4
(z −1)2(z −3)
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b)
Z
2
1
+
dz
z + 1 z −3
|z|=4
c)
Z
1
(z 2 +1)(z 2 +4)
dz
|z|= 32
11. Calcular todos los posibles valores de la integral
Z
dz
z (z 2 −1)
para diferentes
Γ
contornos cerrados Γ que no pasen por:
(a) z = 0
(b) z = 1
(c) z = −1
12. Indicar, justificando en cada caso, si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas:
Z
Z
f (z)
f 0 (z)
a) Si f (z) es holomorfa en Γ∪int(Γ), entonces
dz
dz
=
(z −a)2
(z −a)
Γ
Γ
∀a ∈
/ Γ, donde Γ es un contorno cerrado en C.
b) Si f (z) es holomorfa en un dominio D del plano complejo, entonces la
integral sobre un contorno con extremo inicial z0 y extremo final z1, es
independiente del camino.
13. Probar que si f (z) es holomorfa en un dominio D y si la circunferencia |z−a| = R
Z2π
1
está en D, entonces: f (a) =
f (a + Reit ) dt.
2π
0
Este resultado puede interpretarse como un teorema del valor medio que expresa
el valor de f en el centro de la circunferencia como un “promedio”de los valores
sobre la misma.
14. Sea f (z) una función holomorfa en |z − a| < R. Si 0 < r < R, demostrar que
Z2π
1
f 0 (a) =
f (a + reit) e−it dt.
2πr
0
15. ¿Es cierto que ninguna función holomorfa en C, que no sea idénticamente nula,
puede tener lı́mite 0 en ∞?
Funciones Armónicas
16. Determinar las condiciones que deben cumplir a, b y c ∈ R para que
u(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 sea armónica en C.
17. Determinar si las siguientes funciones son armónicas indicando el dominio en que
lo son. En caso afirmativo, hallar la conjugada armónica y la función holomorfa
u + i v que las tiene como parte real u o imaginaria v.
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(a) u(x, y) = x2 −y 2
(b) u(x, y) = e−x cos y
(d) u(x, y) = ln(x2 +y 2)
(e) u(x, y) = ex (x cos y −y sen y) (f) v(x, y) = 2y (1−x)
(c) v(x, y) = 2x (1−y)
y
(g) v(x, y) = arctan
x
18.
a) ¿Es cierto que si las funciones u(x, y) y v(x, y) son armónicas en un dominio
D del plano entonces f (z) = u(x, y) + i v(x, y) es holomorfa en D?
b) ¿Es la suma de funciones armónicas en un dominio D una función armónica
en D? ¿Y el producto? Justificar.
19.
a) Sea g ∈ C 2 (R). Analice en cada caso, si existe una función armónica no
constante u(x, y) del tipo indicado y, si existe, calcúlela:
(i) u(x, y) = g(ax + by)
(ii) u(x, y) = g(x2 +y 2)
b) Analice en cada uno de los casos anteriores y halle, si existe, la conjugada
armónica, indicando el dominio de validez.
20.
a) Probar que la ecuación de Laplace en coordenadas polares es:
r2 urr + rur + uϕϕ = 0.
b) Para cada n ∈ N sea un (r, ϕ) = (an cos nϕ + bn sen nϕ) rn . Probar que
un (r, ϕ) es armónica.
c) Hallar la conjugada armónica ũn (r, ϕ).
21. Aplicaciones sobre armónicas conjugadas:
a) Hallar la ecuación de las lı́neas de fuerza en una región en que la distribución de potencial es:
y
(ii) V (x, y) = 2x3 −6xy 2
(i) V (x, y) = arctg
x+1
b) Encontrar el potencial complejo para un fluido moviéndose con velocidad
constante v0, en una dirección que forma un ángulo ϕ con el semieje real
positivo.
c) Determinar la ecuación de las lı́neas de corriente y de las lı́neas equipotenciales del problema anterior.
d ) Encontrar el potencial complejo debido a una lı́nea cargada con una carga
q por unidad de longitud, ubicada perpendicularmente al plano z por z = 0.