Funciones Armónicas

Funciones Armónicas
Rodrigo Vargas
1. Si u(x, y) es armónica en un dominio simplemente conexo Ω. Demuestre
que u es la parte real de una función analı́tica en Ω.
Solución. Si u es armónica entonces f (z) = ux − iuy es analı́tica en
Ω. Como Ω es simplemente conexo entonces existe F analı́tica tal que
F ′ (z) = f (z). Escribiendo F (z) = U (x, y) + iV (x, y) obtenemos que
F ′ (z) = Ux (x, y) + iVx (x, y) = Vy (x, y) − iUy (x, y)
por lo que Ux (x, y) = ux (x, y) y Uy (x, y) = uy (x, y) entonces U (x, y) =
u(x, y) + c. Por lo tanto, u es la parte real de una función analı́tica
(F (z) − c) en Ω.
2. Sea u armónica en un dominio Ω y u ≡ 0 sobre un subconjunto abierto
no vacı́o de Ω. Demuestre que u ≡ 0 sobre Ω.
Solución. Sabemos que f (z) = ux − iuy es analı́tica en Ω. Como u ≡ 0
sobre un subconjunto abierto no vacı́o de Ω, tomamos ux = uy ≡ 0 en
aquel subconjunto. Luego, f (z) ≡ 0 sobre el subconjunto abierto de Ω
entonces f ≡ 0 en Ω lo que implica que ux = uy ≡ 0 en Ω luego u es constante sobre Ω. Como u ≡ 0 sobre el subconjunto abierto, esta constante
es cero, i.e., u ≡ 0 en Ω.
3. Sea u(z) armónica en un dominio G. Supongase que el conjunto {z ∈ G :
ux (z) = uy (z) = 0} tiene un punto lı́mite en G. Demuestre que u(z) es
una función constante.
Solución. La función f (z) = ux − iuy es analı́tica en G. Como el conjunto {z ∈ G : f (z) = 0} tiene un punto lı́mite en G implica que f (z) ≡ 0
en G por el teorema de unicidad. Luego el conjunto {z ∈ G : ux (z) =
uy (z) = 0} = G, por lo que u = g(y) y u = h(x) se deduce entonces que
u es constante sobre G.
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4. Si f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es analı́tica con u(x, y) = x3 − 3x + αxy 2 .
Hallar
(a) α
(b) v(x, y)
Solución.
(a) Como u es la parte real de una función analı́tica entonces u es
armónica, i.e., uxx + uyy = 0. uxx = 6x y uyy = 2ax entonces
6x + 2ax = 0 lo que implica que a = −3.
(b) Tenemos que ux = 3x2 − 3 − 3y 2 = vy , uy = −6xy = .vx entonces
vx = 6xy y vy = 3x2 − 3y 2 − 3. Por lo que v = 3x2 y + g(y) lo que
implica que vy = 3x2 + g′ (y) entonces g′ (y) = −3y 2 − 3 por lo que
g(y) = −y 3 − 3y + C. Por lo tanto, v(x, y) = 3x2 y − 3y − y 3 + C.
5. Suponga que u : R2 → R es armónica y acotada. Pruebe que u es constante.
Solución. R2 es simplemente conexo y u es armónica en R2 entonces
u es la parte real de una función analı́tica f sobre R2 . Luego f es entera.
Ahora, |u(z)| ≤ M para todo z ∈ C, entonces
Im f ⊂ {z ∈ C : −M < Re z < M } .
Por el Teorema de Picard, f es constante. Por lo tanto, u es constante.
6. Sea D = {z : 0 < arg z < π/2}. Hallar una función u continua en D−{0},
armónica en D y que satisface u(x, 0) = 1 para todo x > 0 y u(0, y) = 0
para y > 0.
Solución. La función log z = log |z| + i arg z es analı́tica sobre C − {x ∈
R : x ≤ 0} entonces arg z es armónica en C − {x ∈ R : x ≤ 0}. Tenemos
2 π
que arg(x, 0) = 0 y arg(0, y) = π/2, luego sea u(z) =
− arg(z) , es
π 2
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decir, u(z) = 1 − arg(z). Entonces u(z) es continua D − {0}, armónica
π
en D y u(x, 0) = 1 para x > 0 y u(0, y) = 0 para y > 0.
7. Sea u(z) una función armónica y positiva en C. Pruebe que u(z) es constante.
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Solución. u es la parte real de una función entera f (z), como C es
simplemente conexo y u es armónica en C. Ahora bien, u(z) > 0 para
todo z ∈ C entonces
Im f (z) ⊂ {z ∈ C : Re z > 0}
Por el Teorema de Picard f es constante lo que implica que u es constante.
8. Demuestre que si f = u + iv es entera y u es siempre no negativa, entonces f es constante.
Solución. Si u(z) ≥ 0 entonces Im f ⊂ {z ∈ C : Re z ≥ 0} y por el
Teorema de Picard, f es contante.
9. Suponga que f (z) = u(z) + iv(z) es analı́tica en alguna vecindad N .
Demuestre:
(a) uv es armónica en N .
(b) u2 es armónica en N si y sólo si f es constante.
Solución.
(a) Tenemos que
(uv)xx = uxx v + 2ux vx + uvxx ,
(uv)yy = uyy v + 3uy vy + uvyy .
Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann y el hecho que u y v son
armónicas obtenemos
(uv)xx + (uv)yy
= (uxx + uyy )v + 2ux vx + 2uy vy + (vxx + vyy )u
= 2ux (−uy ) + 2uy (ux ) = 0
(b) Si f es constante es claro que u2 es armónica. Recı́procamente, si u2
es armónica y usando el hecho que u es armónica por ser la parte
real de una función analı́tica obtenemos que
(u2 )xx + (u2 )yy = 0 ⇒ (2ux u)x + (2uy u)y = 0
⇒ 2[uxx u + u2x + u2y + uyy u] = 0
⇒ u2x + u2y = 0
⇒ ux = uy = 0
⇒ vy = −vx = 0
⇒ f es constante .