Axiomas de orden Esta basado en los siguientes axiomas: 01) Tricotomı́a: ∀ a, b ∈ R, se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones: a = b, a < b, o b < a. 02) Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c. 03) Preserva Orden bajo Adición: Si a < b entonces a + c < b + c ∀ c ∈ R. 04) Preserva Orden bajo Multiplicación (0 < c): Si 0 < c y a < b entonces ac < bc. Notación: a − b := a + (−b) a > b significa que a − b ∈ P a < b significa que b > a a ≥ b significa que a > b o a = b a ≤ b significa que a < b o a = b Teorema.- a + c < b + c ⇒ a < b Ley de Cancelación para la Adición en Desigualdades. 1 Dem: (La idea es iniciar en a+c < b+c, y llegar a a < b, mediante una cadena de implicaciones). a + c < b + c ⇒ (a + c) + (−c) < (b + c) + (−c) (Por (03) Axioma de orden) ⇒ a + (c + (−c)) < b + (c + (−c)) (Por (A3) Asociativa) ⇒ a + 0 < b + 0 (Por (A5) Inverso Aditivo) ⇒ a < b (Por (A4) Neutro Aditivo) ∴ a < b. Teorema.- Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d. Suma de Menores, es menor que Suma de Mayores Dem: (La idea es construir una cantidad z, tal que a + c < z < c + d) Por Hipótesis: a < b ⇒ a + c < b + c (Por (03) Axioma de Orden) Por Hipótesis: c < d ⇒ b + c < b + d (Por (03) Axiona de Orden) Por estas dos desigualdades y por el (02) Axioma de Orden ∴ Si a < b y c < d ⇒ a + c < b + d. Teorema.- Si a < b, entonces −b < −a. 2 ⇒ a+c<b+d Los inversos aditivos invierten la Desigualdad Dem: (La idea es sumar z, talque a + z = −b y b + z = −a) Por Hipótesis: a < b ⇒ a + ((−a) + (−b)) < b + ((−a) + (−b)) (Por (03) Axioma de Orden) ⇒ a + ((−a) + (−b)) < b + ((−b) + (−a)) (Por (A2) Conmutativa) ⇒ (a + (−a)) + (−b) < (b + (−b)) + (−a) (Por (A3) Asociativa) ⇒ 0 + (−b) < 0 + (−a) (Por (A5) Inverso Aditivo) ∴ − b < −a (Por (A4) Neutro Aditivo). Teorema.- Sea c < 0. Si a < b, entonces ac < bc. Dem: Primero pruebo que 0 = −0 0 = 0 + 0 = 0 + (0 + (−0)) = (0 + 0) + (−0) = 0 + (−0) = −0. (La idea es usar que c < 0 ⇒ Por Hipótesis: c < 0 ⇒ − c > 0. − c > 0 (Por Teo. Anterior y que 0 = −0) Por Hipótesis: a < b ⇒ a(−c) < b(−c) (Por (1) y (04) Axioma de Orden) ⇒ − (ac) < −(bc) (Por Teo. Anterior) 3 ∴ ac > bc (Por Teo. Anterior) Teorema.- Si 0 < c y ac < bc entonces a < b Dem: Primero probaremos que si 0 < c ⇒ c−1 > 0. Sup. c−1 < 0 ⇒ ∴ 0 − c−1 · c > 0 − c−1 > 0, por hipotesis, c > 0 ⇒ c−1 > 0 ⇒ f (−1)c−1 · c > 0 ........CONTRADICCION ∴ c−1 > 0 Por Hipotesis: 0 < c ⇒ 0 < c−1 Por lo tanto ac < bc ⇒ (ac)c−1 < (bc)c−1 ⇒ a(c c−1 ) < b(c c−1 ) ⇒ a · 1 < b · 1 ⇒ a < b 4 ⇒ −1·1 > 0 ⇒ −1 >