Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y C.C. Asignatura: Cálculo I, Módulo Básico Ingenieria Primer Semestre 2012 CONTROL IV (versión B) Problema 1. (20 pts.) Un alambre de b [m] de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un circulo. Si la suma de las areas encerradas por cada parte es mı́nima, ¿Cuales son las dimensiones de cada parte? Problema 2. (20 pts.) Grafique una función dos veces derivable y = f (x) con las siguientes propiedades. x x<2 2 2<x<4 4 4<x<6 6 x>6 y Derivadas y′ 1 4 7 y′ y′ y′ y′ y′ y′ <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 , , , , , , , y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0 Problema 3. (20 pts.) Usted hace una video grabación de una carrera de automóviles desde m una tribuna ubicada a 40 [m] de la pista; sigue un automóvil que se desplaza a 80 [ seg ], como se ilustra en la figura ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo θ de su cámara cuando el automóvil esté justo enfrente de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después? PAUTA CONTROL IV (versión B) Problema 1. (20 pts.) Un alambre de b [m] de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un circulo. Si la suma de las areas encerradas por cada parte es mı́nima, ¿Cuales son las dimensiones de cada parte? Consideramos los cortes del alambre con longitudes de 3x (para el triángulo equilátero) y b − 3x (para el circulo), como se muestra en la figura. b b-3x 3x Con esto obtenemos un triángulo equilátero de lados igual a x, y una circunferencia de perı́metro p = 2πr = (b − 3x) ⇒ r = b−3x 2π . El area que se desea minimizar esta dada por √ ( ) 3 2 b − 3x 2 A(x) = +π x 2π | 4{z } | {z } Area triangulo A(x) = = = = Area circulo √ ( ) 3 2 b − 3x 2 x +π 4 2π √ 2 3 2 b − 6bx + 9x2 x + 4π √4 3πx2 + b2 − 6bx + 9x2 4π √ 2 b − 6bx + (9 + 3π)x2 4π Derivamos e igualamos a cero para obtener valores crı́ticos. √ −6b + 2(9 + 3π)x ′ A (x) = 4π √ −3b + (9 + 3π)x = 2π A′ (x) = 0 ⇔ x= 3b √ 9 + 3π √ Por otro lado, la segunda derivada es A′′ (x) = 9+2π3π > 0, por el criterio de la segunda derivada tenemos que, el valor obtenido minimiza el área del problema. Finalmente, las dimensiones son: 9b √ 3x = 9 + 3π ; √ 3πb √ b − 3x = 9 + 3π Problema 2. (20 pts.) Grafique una función dos veces derivable y = f (x) con las siguientes propiedades. x x<2 2 2<x<4 4 4<x<6 6 x>6 y Derivadas y′ 1 4 7 y′ y′ y′ y′ y′ y′ Con las respectivas justificaciones, el gráfico es <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 , , , , , , , y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ y ′′ >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0 Problema 3. (20 pts.) Usted hace una video grabación de una carrera de automóviles desde m una tribuna ubicada a 40 [m] de la pista; sigue un automóvil que se desplaza a 80 [ seg ], como se ilustra en la figura ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo θ de su cámara cuando el automóvil esté justo enfrente de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después? Consideremos la figura (a). q q 40 40 El ángulo en este instante es q = p = 45° 4 x 40 (a) (b) x La relación entre el ángulo, θ, y la variable x es: tan θ = 40 . Derivando con respecto al tiempo se obtiene: dθ 1 dx dθ cos2 θ dx sec2 θ · = ⇔ = dt 40 dt dt 40 dt m Donde dx dt = 80 [ seg ]. Cuando el automóvil esté justo enfrente, se tendrá θ = 0, entonces [ ] dθ rad cos2 0 · 80 = 2 = dt θ=0 40 seg m Medio segundo después, el automóvil habrá avanzado una distancia x = 80 [ seg ] · 12 [seg] = 40[m]. Entonces tendremos la geometrı́a descrita en la figura (b). Por lo tanto [ ] 1 cos2 π4 dθ rad 2 = · 80 = · 80 = 1 dt θ= π4 40 40 seg