PRÁCTICA 5. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. Ejercicio 13

PRÁCTICA 5. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.
Ejercicio 13.
Dada la función
se pide:
(a) calcular y clasificar todos los puntos críticos de
(b) calcular sus extremos absolutos en el compacto
restart:with(plots):
f:=(x,y)->x^4+y^3-2*x^2+3*y^2;
(1)
gf:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-3..1):
display(gf);
(a) Extremos relativos
CÁLCULO DE LOS EXTREMOS
diff(f(x,y),x);
(2.1.1)
dfx:=(x,y)->4*x^3-4*x;
(2.1.2)
diff(f(x,y),y);
(2.1.3)
dfy:=(x,y)->3*y^2+6*y;
(2.1.4)
solve({dfx(x,y)=0,dfy(x,y)=0},{x,y});
(2.1.5)
diff(f(x,y),x,x);
(2.1.6)
dfxx:=(x,y)->12*x^2-4;
(2.1.7)
diff(f(x,y),x,y);
0
(2.1.8)
diff(f(x,y),y,y);
(2.1.9)
dfyy:=(x,y)->6*y+6;
(2.1.10)
Hf:=(x,y)->matrix(2,2,[dfxx(x,y),0,0,dfyy(x,y)]);
(2.1.11)
Hf(x,y);
(2.1.12)
Hf(0,0);
(2.1.13)
Hf(0,-2);
(2.1.14)
Hf(1,0);
(2.1.15)
Hf(-1,0);
(2.1.16)
Hf(1,-2);
(2.1.17)
Hf(-1,-2);
(2.1.18)
Por tanto, (0,-2) es un maximo relativo; (1,0), (-1,0) son minimos relativos; (0,0), (1,-2) y (-1,-2)
son puntos de silla.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS EXTREMOS RELATIVOS
gp1:=PLOT3D(POINTS([0,-2,4],SYMBOL(_SOLIDCIRCLE,20)),COLOR
(RGB, 0, 0, 0)):
gp2:=PLOT3D(POINTS([1,0,-1],[-1,0,-1],SYMBOL(_SOLIDCIRCLE,
20)),COLOR(RGB, 1, 0, 0)):
gp3:=PLOT3D(POINTS([0,0,0],[1,-2,3],[-1,-2,3],SYMBOL
(_SOLIDCIRCLE,20)),COLOR(RGB, 1, 1, 0)):
display(gf,gp1,gp2,gp3);
(b) Extremos condicionados
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RESTRICCIÓN
implicitplot(4*x^2+3*y^2-9=0,x=-2..2,y=-2..2);
1
y
0
1
x
solve({4*x^2+3*y^2-9=0},{x});
(3.1.1)
g1:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
g2:=spacecurve([x,sqrt((9-4*x^2)/3),0,x=-3/2..3/2],
thickness=5,color=red):
g3:=spacecurve([x,-sqrt((9-4*x^2)/3),0,x=-3/2..3/2],
thickness=5,color=red):
g4:=spacecurve([x,sqrt((9-4*x^2)/3),f(x,sqrt((9-4*x^2)/3)),
x=-3/2..3/2],thickness=5,color=blue):
g5:=spacecurve([x,-sqrt((9-4*x^2)/3),f(x,-sqrt((9-4*x^2)/3)
),x=-3/2..3/2],thickness=5,color=blue):
display(g1,g2,g3,g4,g5);
CÁLCULO DE LOS EXTREMOS
g:=(x,y)->4*x^2+3*y^2-9;
(3.2.1)
F:=(x,y,lambda)->f(x,y)-lambda*g(x,y);
(3.2.2)
F(x,y,lambda);
(3.2.3)
diff(F(x,y,lambda),x);
(3.2.4)
dFx:=(x,y,lambda)->4*x^3-4*x-8*lambda*x;
(3.2.5)
diff(F(x,y,lambda),y);
(3.2.6)
dFy:=(x,y,lambda)->3*y^2+6*y-6*lambda*y;
(3.2.7)
solve({dFx(x,y,lambda)=0,dFy(x,y,lambda)=0,g(x,y)=0},{x,y,
(3.2.8)
lambda});
(3.2.8)
allvalues({y = RootOf(-3+_Z^2,label = _L17), x = 0, lambda
= 1/2*RootOf(-3+_Z^2,label = _L17)+1});
(3.2.9)
allvalues(x = RootOf(-RootOf(-14*_Z+18+3*_Z^2,label = _L18)
+_Z^2,label = _L19));
(3.2.10)
Puntos criticos en la frontera: (
), (
), (
)y(
)
evalf(f(0,sqrt(3)));
14.19615242
(3.2.11)
3.803847576
(3.2.12)
0.5625000000
(3.2.13)
0.5625000000
(3.2.14)
evalf(f(0,-sqrt(3)));
evalf(f(3/2,0));
evalf(f(-3/2,0));
Extremos relativos:
evalf(f(1,0));
(3.2.15)
evalf(f(-1,0));
(3.2.16)
evalf(f(0,-2));
4.
La función alcanza un máximo absoluto en
(3.2.17)
cuyo valor es
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS EXTREMOS ABSOLUTOS.
g1:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
g2:=spacecurve([x,sqrt((9-4*x^2)/3),0,x=-3/2..3/2],
thickness=5,color=red):
g3:=spacecurve([x,-sqrt((9-4*x^2)/3),0,x=-3/2..3/2],
thickness=5,color=red):
g4:=spacecurve([x,sqrt((9-4*x^2)/3),f(x,sqrt((9-4*x^2)/3)),
x=-3/2..3/2],thickness=5,color=blue):
g5:=spacecurve([x,-sqrt((9-4*x^2)/3),f(x,-sqrt((9-4*x^2)/3)
),x=-3/2..3/2],thickness=5,color=blue):
gp1:=PLOT3D(POINTS([0,-2,4],SYMBOL(_SOLIDCIRCLE,20)),COLOR
(RGB, 0, 0, 0)):
gp2:=PLOT3D(POINTS([1,0,-1],[-1,0,-1],SYMBOL(_SOLIDCIRCLE,
20)),COLOR(RGB, 1, 0, 0)):
gp4:=PLOT3D(POINTS([1.5,0,0.56],[-1.5,0,0.56],[0,1.73,
14.19],[0,-1.73,3.8],SYMBOL(_SOLIDCIRCLE,20)),COLOR(RGB, 1,
1, 0)):
display(g1,g2,g3,g4,g5,gp1,gp2,gp4);