PRÁCTICA 4. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. EXTREMOS CONDICIONADOS. EJERCICIO 14. HOJA 5. restart:with(plots): f:=(x,y)->15+y^4-x^4+x^2*y^2+4*x^2; (1) RECINTO: g0:=plot3d(0,x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=-sqrt(2-x^2)..sqrt(2-x^2), color="DarkOrchid"): g00:=plot3d(0,x=-sqrt(2-y^2)..sqrt(2-y^2),y=-sqrt(2)..sqrt (2),color="DarkOrchid"): g1:=plot3d([sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=0..f (sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t)),color=red): g11:=plot3d([sqrt(2-y^2),y,z],y=-sqrt(2)..sqrt(2),z=0..f(sqrt (2-y^2),y),color=red): g22:=plot3d([-sqrt(2-y^2),y,z],y=-sqrt(2)..sqrt(2),z=0..f(x, sqrt(2-y^2),y),color=red): g3:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=-sqrt(2-x^2).. sqrt(2-x^2),color=yellow): g33:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-sqrt(2-y^2)..sqrt(2-y^2),y=-sqrt (2)..sqrt(2),color=yellow): display(g0,g00,g1,g11,g22,g3,g33); PUNTOS CRÍTICOS: diff(f(x,y),x); (2) fx:=(x,y)->-4*x^3+2*x*y^2+8*x; (3) diff(f(x,y),y); (4) fy:=(x,y)->4*y^3+2*x^2*y; (5) solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y}); (6) allvalues({x = RootOf(_Z^2-2), y = 0}); (7) allvalues({x = 2*RootOf(5*_Z^2-2), y = 2*RootOf(5*_Z^2+1)}); (8) (8) Puntos críticos: (0,0),( diff(f(x,y),x,x); (9) fxx:=(x,y)->-12*x^2+2*y^2+8; (10) diff(f(x,y),y,y); (11) fyy:=(x,y)->12*y^2+2*x^2; (12) diff(f(x,y),x,y); (13) fxy:=(x,y)->4*x*y; (14) Hf:=(x,y)->matrix(2,2,[fxx(x,y),fxy(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)]); (15) Hf(x,y); (16) Hf(0,0); (17) Hf(sqrt(2),0); (18) Hf(-sqrt(2),0); (19) En ( EXTREMOS ABSOLUTOS INTERIOR: (0,0) FRONTERA g:=(x,y)->x^2+y^2-2; (20) L:=(x,y,l)->f(x,y)-l*g(x,y); (21) L(x,y,l); (22) diff(L(x,y,l),x); (23) Lx:=(x,y,l)->-4*x^3+2*x*y^2+8*x-2*l*x; (24) diff(L(x,y,l),y); (25) Ly:=(x,y,l)->4*y^3+2*x^2*y-2*l*y; (26) solve({Lx(x,y,l)=0,Ly(x,y,l)=0,g(x,y)=0},{x,y,l}); (27) allvalues({l = 4, x = 0, y = RootOf(_Z^2-2)}); (28) allvalues({l = 0, x = RootOf(_Z^2-2), y = 0}); (29) La solución del sistema viene dada por el siguiente conjunto de puntos: ( Evaluamos la función en estos puntos y en el que tenemos en el interior, (0,0). f(0,0); 15 (30) 19 (31) 19 (32) 19 (33) 19 (34) 20 (35) 20 (36) f(0,sqrt(2)); f(0,-sqrt(2)); f(sqrt(2),0); f(-sqrt(2),0); f(1,1); f(1,-1); f(-1,1); (37) 20 (37) 20 (38) f(-1,-1); Mínimo=15 que se alcanza en el punto (0,0); Máximo=20 que se alcanza en los puntos