S10 - UAM

1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
1.4.
Planteamiento de ecuaciones diferenciales
Determine la ecuación de movimiento, fecuencias y periodo del sistema resorte-masa mostrado
en la fig. 1.27.
Figura 1.27: Resorte con desplazamiento impuesto.
Para las oscilaciones verticales, las fuerzas actuando son la fuerza en el resorte, (  + ), y el
peso  de la masa. Aplicando la ley de Newton de movimiento, Σ = :
̈ = −(  + ) + 
(1.310)
donde ̈ = 2 2 y   es el desplazamiento estático debido al peso de la masa actuando en el
resorte. Puesto que   = , la ecuación de movimiento en (1.310) es:
̈ +  = 0
(1.311)
La frecuencia natural angular, el periodo y la frecuencia natural son, respectivamente:
 =
p
 rad s  = 2  s  = 1  s
Determine la ecuación de movimiento, frecuencias y periodo del sistema resortes-masa mostrado
en la fig. 1.28.
Para las oscilaciones verticales, las fuerzas actuando son la fuerza en el resorte, (1 + 2 ) (  + ),
y el peso  de la masa. Aplicando la ley de Newton de movimiento, Σ = :
̈ = − (1 + 2 ) (  + ) + 
(1.312)
donde ̈ = 2 2 y   es el desplazamiento estático debido al peso de la masa actuando en el
resorte. Puesto que (1 + 2 )   = , la ecuación de movimiento en (1.312) es:
̈ + (1 + 2 )  = 0
c
°Gelacio
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(1.313)
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1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
Figura 1.28: Resortes con peso al centro.
La frecuencia natural angular, el periodo y la frecuencia natural son, respectivamente:
 =
p
(1 + 2 )  rad s  = 2 s  = 1  s
Determine la ecuación de movimiento, frecuencias y periodo del sistema viga-masa mostrado en
la fig. 1.29.
Figura 1.29: Viga con peso al centro.
Para las oscilaciones verticales, las fuerzas actuando son la fuerza en la viga, (  + ), y el peso
 de la masa. Aplicando la ley de Newton de movimiento, Σ = :
̈ = (  + ) + 
(1.314)
donde ̈ = 2 2 y   es el desplazamiento estático debido al peso de la masa actuando en el
resorte. Puesto que (1 + 2 )   = , la ecuación de movimiento en (1.314) es:
̈ +  = 0
(1.315)
El desplazamiento en el centro de la viga es:
c
°Gelacio
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64
1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
=
 3
48
(1.316)
Despejando  del ec. (1.316) y derivando respecto a , se obtiene la rigidez de la viga:
=

48
=

3
(1.317)
sustituyendo la ec. (1.317) en la ec. (1.315), se tiene
̈ +
48
=0
3
(1.318)
La frecuencia natural angular, el periodo y la frecuencia natural son, respectivamente:
 =
p
48 rad s  = 2  s  = 1  s
Determine la ecuación de movimiento, frecuencias y periodo de la cuerda mostrado en la fig.
1.30.
Figura 1.30: Cuerda con una masa.
Para las oscilaciones verticales, las fuerzas actuando son la fuerza de las tensiones proyectadas
en dirección vertical,  , y el peso  de la masa. Aplicando la ley de Newton de movimiento,
Σ = :
̈ =  + 
(1.319)
donde ̈ = 2 2 y   es el desplazamiento estático debido al peso de la masa actuando en el
resorte. Por lo que la ecuación de movimiento en (1.319) es:
̈ +   −  = 0
c
°Gelacio
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(1.320)
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1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
La proyección de las tensiones en dirección vertical son:
 =  cos 1 +  cos 2 = 
(  + )
(  + )
+
1
2
Considerando que 1 ≈  y 1 ≈  −  en la ec. (1.321), se tiene :
 = 
µ
(  + ) (  + )
+

−
¶
=  
µ
1
1
+
 −
¶
+ 
µ
1
1
+
 −
(1.321)
¶
(1.322)
sustituyendo la ec. (1.322) en la ec. (1.320), se tiene
̈ + 
µ
1
1
+
 −
¶
 + 
µ
1
1
+
 −
¶
 −  = 0
(1.323)
reduciendo la ec. (1.323)
̈ + 
µ
1
1
+
 −
¶
=0
(1.324)
La frecuencia natural angular, el periodo y la frecuencia natural son, respectivamente:
s µ
¶
1
1
 = 
+
 rad s  = 2  s  = 1  s
 −
Determine la ecuación de movimiento, frecuencias y periodo del sistema viga-masa mostrado en
la fig. 1.31.
Figura 1.31: Viga en cantilever .
Para las oscilaciones verticales, las fuerzas actuando son la fuerza en la viga, (  + ), y el peso
 de la masa. Aplicando la ley de Newton de movimiento, Σ = :
̈ = (  + ) + 
(1.325)
donde ̈ = 2 2 y   es el desplazamiento estático debido al peso de la masa actuando en el
resorte. Puesto que   = , la ecuación de movimiento en (1.325) es:
̈ +  = 0
c
°Gelacio
Juárez, UAM
(1.326)
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1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales
El desplazamiento en el extremo izquierdo de la viga es:
=
 3
3
(1.327)
Despejando  del ec. (1.327) y derivando respecto a , se obtiene la rigidez de la viga:
=
3

= 3


(1.328)
sustituyendo la ec. (1.328) en la ec. (1.326), se tiene
̈ +
3
=0
3
(1.329)
La frecuencia natural angular, el periodo y la frecuencia natural son, respectivamente:
 =
p
33  rad s  = 2  s  = 1  s
Tarea Determine la ecuación de movimiento, frecuencias y periodo de los siguientes sistemas.
Figura 1.32: Sistemas con masas.
c
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