Sistema masa-resorte El la figura se muestra un resorte sujeto a la pared por un extremo y a un cuerpo de masa m por el otro. La constante del resorte es k y en el sistema no actúan fuerzas de rozamiento. Al separar el cuerpo de la posición de equilibrio (hasta la posición inicial x(0) = x 0 ), se le sujeta un instante y se le libera (con lo que la velocidad inicial es v(0) = 0 ). x=0 x(0) = x0 Inmediatamente, comienza a actuar sobre la masa la fuerza elástica del resorte, que según la ley de Hooke, ésta responde a la expresión: F = − kx . En donde el signo de menos indica que el sentido de la fuerza elástica es contrario a la posición de la masa, es decir: si la masa está a la derecha de la posición de equilibrio, el sentido de la fuerza es hacia la izquierda y al revés. Como F es la fuerza neta que actúa sobre la masa, tendremos que: m a = − kx en donde a es la aceleración del cuerpo. Tal vez no parezca una ecuación diferencial, sin embargo lo es. No olvide que la aceleración es la primera derivada de la velocidad respecto del tiempo y que la velocidad, a su vez, es la primera derivada de la posición. •• d 2x Por lo que 2 = a . Usando la notación de Newton, esto se escribe x = a , y la ecuación anterior dt queda escrita: •• m x = −kx . • Resolvamos entonces la ecuación con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x(0 ) = 0 . •• Escribiéndola así: m x + kx = 0 y usando el teorema correspondiente, llegamos a que la solución general es: ⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞ t ⎟⎟ . x = k1 cos⎜⎜ t ⎟⎟ + k 2 sin ⎜⎜ m m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Usando las condiciones iniciales, obtenemos que k1 = x0 y k 2 = 0 por lo que la solución particular es ⎛ k ⎞ x = x 0 cos⎜⎜ t ⎟⎟ . ⎝ m ⎠ Se trata de la ecuación de un movimiento armónico simple, de período T = 2π m y amplitud k máxima x0 . Fíjese que ésta podría ser una forma alternativa para determinar la constante del resorte, ya que T es fácilmente medible y la masa es un dato.