III. De Euclides a Gödel Los Elementos de Euclides El matemático

III. De Euclides a Gödel
Los Elementos de Euclides
El matemático griego Euclides, hacia el año 300 a.C., escribió, desde su cátedra de Alejandría, los "Elementos", un tratado de
geometría, seguida por aritmética, teoría de ecuaciones, etc.
Por primera vez la geometría fue organizada con arreglo al
método axiomático.
De acuerdo a ese método, Euclides coloca al principio de su
libro los enunciados que no demuestra: son los axiomas o postulados, que o bien son conocidos por experiencia, o son evidentes
por sí mismos. Enuncia los siguientes:
Axiomas generales:
1.
Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
2.
Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, se obtienen cosas iguales.
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3.
Si a cosas iguales se sustraen cosas iguales, se obtienen cosas iguales.
4.
Cosas que pueden llevarse a ser congruentes, son
iguales.
5.
El todo es mayor que su parte.
Axiomas particulares:
1.
Por dos puntos distintos pasa una única recta.
2.
Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.
3.
Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dados.
4.
Todos los ángulos rectos son iguales.
5.
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una
paralela a ella y sólo una (en versión moderna; Euclides dijo lo mismo en forma más complicada).
Términos primitivos y derivados
Los conceptos o términos que no se definen son enunciados
después de los axiomas.
Todo término nuevo tendrá que ser definido en función de
términos ya conocidos. Pero como la cadena de definiciones no
puede ser infinita, tiene que haber términos no definidos, que se
admita que son conocidos de antemano. Son los términos primitivos, de los cuales Euclides enuncia 23, y da una descripción
informal de ellos: el punto (aquello que no tiene partes), la línea
(longitud sin anchura), rectas paralelas (las que, estando en un
mismo plano, no se encuentran por más que se prolonguen), etc.
A partir de los términos primitivos, podrán definirse nuevos
términos, los derivados, con toda precisión (por ejemplo, se puede
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definir la circunferencia como conjunto de puntos del plano que
equidistan de un punto del mismo llamado centro).
La deducción geométrica
Con la pequeña base de los axiomas y los términos primitivos, Euclides edifica su geometría. Uno tras otro son demostrados
los llamados teoremas (o corolarios, cuando su deducción es muy
fácil), que se deducen a partir de los axiomas o de otros teoremas
ya demostrados con anterioridad.
Euclides se equivoca sólo en dos de los 465 asertos que demuestra.
Su organización es casi perfecta. Los axiomas deben reflejar
la parte conocida por evidencia inmediata, experiencia o inducción,
y los teoremas la parte deducida. Pero como el razonamiento se
hace sin perder de vista las entidades matemáticas que se manejan
(figuras geométricas), al razonar, a veces (pocas veces) introduce
datos que no están en los axiomas. O sea, introduce nuevos axiomas sin advertirlo al lector (y seguramente sin advertirlo él mismo).
El método axiomático de Euclides se llama axiomática material, precisamente porque no olvida en ningún momento el tipo de
entes cuyas propiedades está estudiando: los geométricos, de los
que tiene una representación imaginativa muy clara. Es decir, no
pierde de vista la materia objeto de su estudio.
Los dos mundos de Euclides
Euclides da por supuesto que su geometría está hecha de
entes ideales, (que coinciden con las ideas de Platón). Los cuerpos
geométricos, al contrario de los reales, son penetrables: un cuerpo
sólido puede meterse dentro de otro, para que se pueda comprobar
en la imaginación si coinciden o no. Los puntos, rectas, planos, y
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figuras ideales son el reino de la exactitud, el rigor, la belleza y la
lógica. Los entes reales los imitan en forma burda: una recta real es
gruesa y torcida...
El mundo real es el mundo de lo imperfecto, que hay que
manejar usando el golpe de vista y el "ojo de buen cubero". Por
ello, no merece, ese mundo real, el interés de la ciencia, aunque
ésta puede usarlo como modelo para no perderse, como inspiración
y comprobación... siempre en forma aproximada. Y también, como
aplicación práctica, para el diseño y la ingeniería.
Euclides admite que las figuras se pueden mover sin cambiar
de forma y dimensiones, y que todas pueden construirse con sólo la
regla y el compás, tanto en el mundo ideal como en el real.
Influencia de la obra de Euclides
La obra "Elementos", de Euclides, es el libro más leído (después de la Biblia) en toda la historia de la humanidad. Hasta el siglo
XIX, ha sido libro de texto y de estudio obligado.
El filósofo Kant (1724-1804) incluyó a los axiomas de la
geometría de Euclides en los juicios sintéticos a priori, igual que
hizo con los principios de la mecánica de Newton. Era el máximo
honor que les podía otorgar: reconocía en ellos un conocimiento
soberanamente cierto, invariable y universal. Nada diferente podría
hacerse en geometría, pues la de Euclides consistía, según Kant,
en verdades necesarias, que no podrían ser de otra manera, y
que llevan en sí mismas la prueba de su verdad.
El rebelde quinto postulado de Euclides
El quinto postulado (Por un punto exterior a una recta se
puede trazar una paralela a ella y sólo una) es mucho menos
evidente que los demás. El mismo Euclides lo usó lo menos posi-
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ble. Los matemáticos posteriores pensaron que tal vez se podría
deducir de los restantes postulados (y sería un teorema). Pero
todos los esfuerzos para demostrarlo terminaron en fracaso.
Lo primero que se exige a un sistema de axiomas, es que éstos sean consistentes (o no sean contradictorios, o sean compatibles; es lo mismo dicho de varias maneras). Se indagó si el quinto
postulado era compatible con los demás.
Como esa investigación no prosperaba, el eximio matemático
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) estudió la posibilidad de emplear postulados alternativos, que pudieran reemplazar al quinto
postulado de Euclides. No se atrevió a publicar sus trabajos, por
temor a "la gritería de los beocios" (o sea de los ignorantes), como
dijo en una carta a un amigo de confianza, refiriéndose a los kantianos, que se hubieran escandalizado (1).
Pero una profunda revisión estaba ya en marcha. El ruso
Nokolai Lobatchevski (1792-1856) y el húngaro Janos Boylai
(1802-1860) propusieron una alternativa:
Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas paralelas a ella (comprendidas dentro de un pequeño ángulo).
Desarrollaron así la geometría llamada "del ángulo agudo" o "hiperbólica", que resultó no contradictoria, más complicada que la euclídea pero a fin de cuentas convincente.
El alemán Bernhard Riemann (1826-1866), discípulo de
Gauss, desarrolló la geometría "riemanniana" en que el quinto postulado de Euclides se convirtió en:
Por un punto exterior a una recta no se puede trazar
ninguna paralela a ella, pues dos rectas siempre se encuentran en
un punto. La geometría que obtuvo no presentaba tampoco
problemas especiales, ni conducía a contradicciones.
(1) Dou, “Fundamentos...”, p. 34
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Los resultados de las tres geometrías eran diferentes. Por
ejemplo, en Euclides, la suma de los ángulos de un triángulo es 180
grados (dos rectos). En la geometría del ángulo agudo, esa suma
resulta menor que 180, y en la riemanniana, mayor que 180.
Gauss pensó y realizó una investigación empírica del quinto
postulado. Escogió tres montes, de cimas accesibles, separados
entre sí por decenas de kilómetros. Subió a las tres cimas, con un
anteojo, y midió desde cada una el ángulo que formaban las visuales a las otras dos. Es decir, midió los tres ángulos de un
triángulo real, de grandes dimensiones (las mayores que pudo
conseguir). Sumó los tres ángulos, obteniendo 180 grados con un
ligero error, explicable por la precisión de los instrumentos usados. El experimento no decidió, pues, cuál era la geometría más
adecuada o verdadera. Para triángulos pequeños, las tres geometrías deben coincidir. Y el triángulo usado debía ser demasiado
pequeño (2); (3).
El problema de la consistencia
Mientras sólo existió la geometría euclídea, no se planteó siquiera el problema de su consistencia, que parecía estar asegurada
por las entidades objeto de estudio, que por ser reales y existentes
no podían tener contradicción. Pero ¿qué sucedería con las geometrías no euclídeas, o con la misma euclídea si ella no representaba exactamente las propiedades de las formas extensas?
En 1868, Beltrami demostró que las geometrías no euclídeas
son consistentes siempre que lo sea la euclídea (4).
En 1899, el alemán Hilbert publicó "Fundamentos de la
Geometría", ampliando los axiomas de Euclides hasta el núme(2)
(3)
(4)
Dou, “Fundamentos...”, p. 46
Eves “Estudio...”, tomo I, p. 356
Dou, “Fundamentos...”, p. 47
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ro de 21. Tuvo buen cuidado de hacer las demostraciones sin apelar a la intuición, tratando los términos como unidades lógicas y
nada más: así evitaba introducir información no contenida en los
axiomas. Hilbert pudo demostrar que la geometría euclídea era
consistente... siempre que lo fuera la aritmética (que por esas fechas ya había sido axiomatizada).
Se había avanzado mucho, pero no era posible demostrar la
consistencia de los axiomas de ninguna rama de las matemáticas.
Estas seguían desarrollándose, entraban en temas cada vez más
alejados de la experiencia, en abstracciones crecientes, cuando
aparecieron nuevas paradojas o absurdos en ellas. Había que estudiar de nuevo los fundamentos de la matemática, que parecían
estar sobre arena movediza (5).
Axiomática formal y sistemas formales
Los matemáticos Peano y Hilbert y los lógicos Russell y
Whitehead, entre otros, realizaron a fines del siglo XIX y principios
del XX la formalización de las matemáticas.
Consiste en partir de los axiomas, pasarlos a una forma simbólica (substituyendo los términos por letras, los verbos por símbolos precisos; las deducciones por "reglas de inferencia" que imitan
los procesos deductivos de la mente), y obtener los teoremas de un
modo puramente mecánico, con prescindencia de los significados y
de las entidades sobre las que se está operando; conservando puras relaciones lógicas. Se realizó así un programa largamente acariciado por Leibniz doscientos años antes.
Se obtuvieron sistemas matemáticos formalizados o matemática formal, cuyos resultados podían ser retraducidos a la matemática clásica (o material).
(5)
Dou, “Fundamentos...”, p. 47
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Las ventajas de los sistemas formalizados son muchas: evitan que el matemático pueda introducir, inadvertidamente, información no contenida en los axiomas; proporcionan una visión nueva
de las ramas estudiadas; permiten que un mismo sistema pueda
ser aplicado a realidades diferentes -con tal de que cumplan los
axiomas- logrando una gran generalidad. Eluden las ambigüedades
de los idiomas hablados (latín, alemán, inglés...). Y constituyen una
mecanización del proceso deductivo, que podría ser realizada
por una máquina, cosa que ya se vislumbraba como una posibilidad próxima entonces, pues ya se intuía el desarrollo de los computadores.
Los inconvenientes de la formalización también son notables:
es un método árido y laborioso; el hombre de algún modo pierde el
control sobre lo mecánico, y no puede enmendar fácilmente los
errores que pueden acontecer si el sistema axiomático no fuera
consistente y pudiese llevar a absurdos. Pero ese peligro desaparecería si se pudieran obtener sistemas axiomáticos seguros, libres
de contradicción.
Tal vez -pensaban algunos- se podría obtener la máquina
omnisciente en matemáticas, que si bien no pensaría (en sentido
estricto), cargaría sobre sí el peso de la deducción, y ofrecería sus
resultados al matemático evitándole el trabajo más cansado. Lo que
le permitiría al hombre tener la mente más libre para la creatividad y
la interpretación. Y la máquina no necesitaría más que los axiomas
formalizados (eso sí, libres de contradicciones, es decir, asegurando previamente su consistencia), y las reglas de construcción de
fórmulas y de deducción bien especificadas (y también sin posibilidad de conducir a contradicciones).
La formalización de las matemáticas fue, pues, realizada con
la esperanza de garantizar de una vez por todas el rigor y la consistencia, y de preparar el terreno para una mecanización futura.
Vana esperanza. Las paradojas, antinomias o contradicciones salieron a flote como nunca antes lo habían hecho. Hubo momentos de gran desánimo. Quedaba claro que el matemático debía
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abandonar su "status" de Gran Sacerdote de la ciencia más verdadera y más segura; para convertirse en un modesto artesano, vendedor de procedimientos de organización del trabajo, a ratos agusanados (las paradojas serían como los gusanos de las matemáticas).
Paradojas antiguas y nuevas
Hay conceptos paradójicos: el barbero de pueblo que afeita a
todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Tal
barbero no puede existir, porque no puede afeitarse a sí mismo (no
afeita a los que hacen eso); pero si no se afeita a sí mismo, tiene
que afeitarse... a sí mismo.
Es muy fácil definir conceptos matemáticos que resulten contradictorios, tanto como el barbero de marras. La teoría de conjuntos permite construir, sin vulnerar ninguna de sus reglas, hasta infinitos conceptos paradójicos.
Cuando el lógico alemán Gottlob Frege (1848-1925) tenía en
prensa su obra "Fundamentos de la Matemática", el lógico inglés
Bertrand Russell (1872-1970) le escribió contándole que había descubierto un concepto paradójico (llamado después "la antinomia de
Russell"). Frege contestó: "La aritmética se tambalea". Y puso un
apéndice a su libro, comentando ese asunto, en que decía: "Un
científico no puede tropezarse con algo más indeseable que un
colapso de los fundamentos una vez que la obra está acabada. He
sido puesto en esa situación por una carta de Bertrand Russell" (6).
También los enunciados más simples pueden envolver contradicción. Es el caso de la paradoja de Epiménides: "Todos los
cretenses son mentirosos". Epiménides era cretense. Si mentía, no
era verdad lo que decía. Pero si decía la verdad, tampoco. La afirmación se desautoriza a sí misma, por ser contradictoria.
Puede haber contradicción en las reglas de operación o en
las especificaciones. Una típica orden contradictoria es: “Se prohíbe prohibir".
(6)
Quine, “The Foundations...”, p. 20
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Un conocido profesor, cierto día, cuando era principiante en
el manejo del automóvil, conducía su coche por las calles de Lima
acompañado por un amigo. En un momento de peligro, el amigo,
asustado, con toda razón, le gritó: "¡Derecha-izquierda-acelerafrena!". El choque fue inevitable. El amigo le había dado órdenes
contradictorias.
Estando Sancho Panza en la Ínsula Barataria, como gobernador, tuvo que arbitrar una situación paradójica. Había en la Ínsula
un puente, donde a los que lo pasaban se les preguntaba para qué
pasaban el puente. Si decían la verdad no eran molestados, pero si
mentían eran ahorcados. El caso es que cierto señor, cuando le
preguntaron para qué iba al otro lado del puente, había respondido:
"Voy a que me ahorquen". Si se le ahorcaba, habría dicho la verdad, y no merecería la horca. Pero si se le dejaba pasar, habría
mentido y debería ser ahorcado.
Sancho Panza ordenó vulnerar las reglas, dejarlo pasar y olvidar el caso (7). He ahí unas reglas que no resultaban contradictorias más que en esa situación especial, en que se necesitaba un
tratamiento de excepción que Sancho Panza resolvió con cordura y
bondad.
Un caso menos sutil es el de una empresa, dominada por
avaros, de la que se decía que había buscado contratar un empleado de menos de 25 años de edad (para pagarle poco), y que
cumpliera una larga serie de condiciones, entre ellas, la de tener 30
años o más de experiencia en la labor concreta que pensaban
asignarle.
También hay razonamientos paradójicos o contradictorios. Y
no se crea que se deban siempre a personas poco perspicaces o
poco informadas. Hay ejemplos ilustres:
Se nos explica en forma convincente la causa de que el concepto de causa no sea válido (Hume).
(7)
Cervantes, “Don Quijote...”, p. 690
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Se nos bombardea de argumentos con la finalidad de demostrarnos que no existe la finalidad (los darwinistas).
Se nos aconseja "tirar la escalera después de haber subido", o sea, suponer ciertas unas cosas A, deducir de ellas otras B,
y luego negar las A y conservar las B (Wittgestein; como atenuante
diremos que lo dijo en su juventud).
Todos ellos son argumentos autodestructivos. En general, los
escépticos nos dicen que no podemos estar seguros de nada, pero
en ese caso esa afirmación no es nada segura. Los escépticos casi
siempre cavan su propia fosa.
Los teoremas de Gödel
Kurt Gödel (nacido en 1906 en Brno, Checoslovaquia; la
misma ciudad donde Gregor Mendel había fundado la Genética
medio siglo antes) publicó en 1931 un artículo ("Sobre proposiciones indecidibles de 'Principia Mathematica' y sistemas relacionados") que, a pesar de tener menos de 100 páginas, dio la vuelta al
mundo científico en muy poco tiempo.
Artículo difícil, con rigurosas demostraciones lógicomatemáticas; sus conclusiones no deben ser fáciles de vulgarizar
adecuadamente, pues los comentarios destinados a no especialistas adolecen de obscuridad y de ambigüedades.
Sin embargo, y a riesgo de ser muy incompletos, nos atrevemos a resumirlas a continuación.
Ningún sistema de axiomas de la complejidad del de los números enteros (que es el más sencillo de toda la matemática) o
mayor, admite una prueba de consistencia basada en él mismo. Es
decir, la consistencia hay que buscarla fuera del sistema axiomático
(en otro sistema; o en el mundo exterior).
Dado cualquier sistema de axiomas, siempre es posible
encontrar proposiciones que tienen que ser verdaderas o falsas, y
que sin embargo son indemostrables (o también, indecidibles) a
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sin embargo son indemostrables (o también, indecidibles) a partir
del sistema axiomático dado.
Dado un sistema matemático formalizado (constituido por
axiomas, reglas de formación de fórmulas, y reglas de deducción),
y su contraparte informal (es decir, que estudie la misma rama matemática, pero con axiomática material, y reglas de deducción informales), hay teoremas demostrables informalmente, que no son
demostrables en el sistema formalizado.
Conclusiones
Los teoremas de Gödel indican las limitaciones del método
axiomático: siempre es incompleto, siempre está expuesto a que la
contradicción aparezca (y más expuesto cuanto más se aleje la
matemática de un modelo real, es decir, cuando sea más abstracta).
La mecanización de la deducción, posible sólo en sistemas
matemáticos formalizados, no permite demostrar ciertos teoremas
que el hombre sí puede demostrar de modo informal.
"El cerebro humano puede tener limitaciones intrínsecas, y
pueden presentarse problemas matemáticos para él insolubles.
Pero aún así, engloba una estructura de reglas de inferencia mucho
más potentes que todas las máquinas que podamos imaginar" (8).
En otras palabras, la mente humana no puede ser mecanizada totalmente, ni siquiera en sus operaciones más mecánicas como
las deducciones. Porque tiene creatividad, inspiración; un poder
sutil que no es mecanizable.
(8)
Nagel, "The Foundations... ", p. 230