1. estabilidad de los indicadores topológicos de pobreza

Estabilidad de los indicadores topológicos de pobreza
ESTABILIDAD DE LOS INDICADORES TOPOLÓGICOS
DE POBREZA
Fedriani Martel, Eugenio M.
Martín Caraballo, Ana M.
Mínguez Lopera, M. Noemí
Universidad Pablo de Olavide (Sevilla)
RESUMEN
La estabilidad de los indicadores topológicos de pobreza es estudiada en este trabajo
desde dos puntos de vista diferentes: desde la óptica matemática de funciones reales
estables y desde la óptica estadística de variables aleatorias estables.
Se consideran recientes familias de indicadores de pobreza definidos en base a la
teoría matemática de grafos, denominados indicadores topológicos. Tanto en el caso del
Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza como en el del Indicador Topológico
de Desigualdad, se demuestra que no son variables aleatorias estables en el sentido
estricto del término. Sin embargo, se demuestra que el Indicador Topológico de
Intensidad de la Pobreza siempre es una función real estable, mientras que el Indicador
Topológico de Desigualdad lo será solo bajo determinadas circunstancias.
Palabras clave: Indicadores de pobreza, indicadores multidimensionales de pobreza,
indicadores topológicos de pobreza, estabilidad, variables aleatorias estables.
XIII Jornadas de ASEPUMA
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Fedriani Martel, E.M; Martín Caraballo, A.M; Mínguez Lopera, M.N.
1. INTRODUCCIÓN
El concepto de pobreza, su naturaleza y cuantificación, ha sido desarrollado por
numerosos investigadores en los últimos años. Al igual que ocurre con conceptos como
la calidad o condiciones de vida, el concepto de pobreza es tan subjetivo que aún no se
ha llegado a una definición universal del mismo.
El Informe sobre Desarrollo Humano 2000 [5] cita: “la pobreza es más amplia
que la falta de ingresos [. . .] es una privación en muchas dimensiones. Si el ingreso no
es la suma total de la vida humana, la falta de ingreso no puede ser la suma total de la
privación humana”. Por ello, se intenta cuantificar la pobreza desde un punto de vista
multidimensional y no solo medirla con la mera observación de la renta de las unidades
de ésta. La pobreza es un círculo vicioso que engloba el hambre, la enfermedad, la falta
de atención sanitaria, una alta tasa de mortalidad entre la gente joven, una esperanza de
vida muy baja, la falta de cultura, etc. Además, la misma variable medida en
poblaciones diferentes o circunstancias diferentes produce distintas interpretaciones
sobre pobreza.
Teniendo en cuenta ambos aspectos, multidimensionalidad y heterogeneidad
geográfica, Martín (2004) [4] define dos nuevas familias de indicadores de pobreza,
denominados indicadores topológicos. Surgen como alternativa a los indicadores
tradicionales de pobreza que no tienen en cuenta la multidimensionalidad. Sin embargo,
aunque estos nuevos indicadores fueron probados con datos reales y sus resultados
fueron aceptados, aún no se ha llegado a comprobar su estabilidad, lo que consolidaría
la fiabilidad de los mismos en la medición de la pobreza.
En este trabajo se comprueba la estabilidad de los indicadores topológicos desde
dos puntos de vista diferentes: desde la óptica matemática de funciones reales estables y
desde la estadística de variables aleatorias estables.
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Estabilidad de los indicadores topológicos de pobreza
2. PRELIMINARES
A continuación se realiza una breve presentación de las dos nuevas familias de
indicadores topológicos de pobreza definidos por Martín [4]. Dado que solo se
enumeran los resultados a los que se hace referencia en epígrafes sucesivos, para
acceder a una exposición más detalla de los mismos puede acudirse a la obra referida.
2.1. El Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza
El Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza, denotado como C * , proporciona
una ordenación jerárquica sobre un conjunto de unidades de análisis que forman parte
de un conjunto global, en función del nivel de desarrollo o intensidad de pobreza.
Entiéndase por conjunto global aquella unidad mayor que está formada exclusivamente
por todas las unidades a estudiar.
Para su cálculo se necesita construir un grafo bipartito donde el primer
subconjunto de nodos (V1 ) es una división exhaustiva y excluyente de las unidades en
análisis y el segundo (V2 ) las variables que se utilizan para medir la intensidad de la
pobreza en la población objeto de estudio. En lo sucesivo, a cada uno de los nodos de V1
se denominará nodo unidad y nodo característica si es de V2. Se dibuja una arista no
dirigida desde un nodo unidad a un nodo característica si el valor de la variable
observada en dicha unidad muestra una intensidad de pobreza mayor al soportado por el
conjunto global sobre esa misma característica.
Definición 2.1.1.- El Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza es el cociente
entre el tamaño del grafo (número total de aristas dibujadas) y el cardinal de V1.
Se obtienen tantos Indicadores Parciales de Intensidad de la Pobreza ( C i* ) como
características sean analizadas en la población, siendo su expresión formal la siguiente:
C i* =
d (u i )
,
# V1
donde d (u i ) es la valencia del nodo i, es decir, el número de aristas que llegan a este
nodo. Con esto se demuestra fácilmente que una descomposición de C * resulta ser:
C* = ∑ C i* .
i∈V2
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2.2. El Indicador Topológico de Desigualdad
Dado un conjunto global de unidades de análisis, el Indicador Topológico de
Desigualdad mide la desigualdad existente, referida al nivel de pobreza soportado, entre
unidades de este conjunto total.
Para su construcción, se dibuja un grafo dirigido mediante el cual se obtiene una
ordenación jerárquica de clases dentro del conjunto, agrupando en un mismo nivel
aquellas unidades para las que el nivel de pobreza se considera no significativamente
diferente. Los nodos de este grafo dirigido son las unidades a comparar. Para cada
característica contemplada, se dibujará una arista dirigida desde una unidad ( u i ) a otra
( u j ) si el valor observado en dicha característica en la unidad u i denota un valor mayor
al soportado por u j en esa misma característica, variando r en el conjunto índice de las
características contempladas.
Definición 2.2.1.- Se define el Indicador Topológico de Desigualdad (TC ) como el
cociente entre el número de ciclos y el tamaño del digrafo.
3. FUNCIONES REALES ESTABLES
Por similitud con lo que ocurre con los procesos numéricos, una función real se dice
estable cuando un pequeño error en el valor de la variable independiente no se propaga
o amplía al considerar el resultado de aplicar la función, sino que tiende a amortiguarse.
Cuando se trabaja con funciones cuyo dominio posee puntos de acumulación, el
concepto de estabilidad es más débil que el de continuidad uniforme o, incluso, que el
de continuidad (por tal motivo, la estabilidad está garantizada en las funciones reales
continuas).
3.1. Estabilidad de la función Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza
Las modificaciones que pueden afectar a los datos de partida pueden producir diversos
cambios sobre el grafo bipartito dibujado a partir de los datos originales; puede
aumentar o disminuir el número de aristas dibujadas y consiguientemente el valor final
de Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza. Por tanto, debe comprobarse cuál
es el alcance de estas variaciones tras pequeñas modificaciones, con el fin de
argumentar conclusiones sobre la estabilidad de este indicador.
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Sea G = (V , X ) el grafo bipartito de un análisis de pobreza. En general ocurre que
si k i ∈ ℜ es la variación, positiva (creciente) o negativa (decreciente), en tantos por uno
sufrida en la valencia del nodo representante de la característica i-ésima, el nuevo valor
para el Indicador Topológico Parcial de Intensidad de la Pobreza es C i*' = (1 + k i ) ⋅ C i* .
Teniendo en cuenta esta relación y la descomposición del Indicador Topológico
de Intensidad de la Pobreza como la suma de todos los Indicadores Topológicos
parciales de Intensidad de la pobreza, se demuestra el siguiente resultado:
Proposición 3.1.1.- Si wi es el peso del total de las aristas incidentes en el nodo
representante de la característica i -ésima con respecto al tamaño del grafo (calculado
sobre el grafo anterior a las variaciones) y k i representa la variación sufrida por el
número de aristas incidentes en el nodo característica i-ésima, entonces:
C *' = C * ⋅ (1 + ∑ k i ⋅ wi ) .
i∈V2
Demostración. Tenemos que:
C *' = ∑ (1 + k i ) ⋅ C i* = ∑ C i* + ∑ k i ⋅ C i* = C * + ∑ k i ⋅ C i* .
i∈V2
i∈V2
i∈V2
i∈V2
Multiplicando y dividiendo el segundo sumando por wi =
d (u i )
, donde #X es el
#X
número total de aristas, la igualdad no varía:
C *' = C * + ∑ k i ⋅
.
i∈V2
wi
⋅ C i*
wi
(1)
Ahora bien,
C i* d (u i ) # X
#X
=
⋅
=
= C* .
# V1 d (u i ) # V1
wi
Sustituyendo en (1), tenemos que:
C *' = C * + ∑ k i ⋅ wi ⋅ C * = C * ⋅ (1 + ∑ k i ⋅ wi )
i∈V2
‫ڤ‬
i∈V2
Corolario 3.1.2.- C * es continuo en k i y wi .
Demostración. La variación en C * es C *' − C * = C * ∑ k i ⋅ wi .
‫ڤ‬
i∈V2
Así, considerando C * una función real en las variables k i y wi , pequeñas
variaciones en los datos suponen también pequeñas variaciones en los resultados. Por
tanto, el Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza es una función estable.
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3.2. Estabilidad de la función Indicador Topológico de Desigualdad
Las posibles modificaciones que pudieran surgir en los datos del conjunto de unidades
objeto de estudio en un análisis de la desigualdad se mostrarían en un incremento o
decremento sobre los valores observados en algunas características de algunas unidades
(o en todas). Observando los diferentes efectos de estas modificaciones, nos
encontramos ante las siguientes situaciones:
1. Aumentan o disminuyen en la misma proporción todos los valores de una
variable. En este caso, el valor de TC no varía debido a que la relación de
orden utilizada (menor que) es estable por traslaciones. En consecuencia, el
Indicador Topológico de Desigualdad es invariante ante cambios de medida
en una o más características del estudio.
2. La modificación se produce solo sobre determinados valores de las variables.
Tras estas modificaciones puede ocurrir:
(a) El número de aristas no se ve incrementado y, por tanto, tampoco el
número de ciclos del grafo; aquí, TC no varía.
(b) Los cambios producen nuevas aristas o eliminan algunas, generando
o eliminando nuevos ciclos, por lo que TC puede variar.
Evidentemente, solo pueden causar problemas de estabilidad aquellos cambios
selectivos sobre algunos valores de las variables de manera que el número de ciclos o el
tamaño del digrafo varíen. Sean k c y k t ∈ Z , las diferencias entre nuevos y antiguos
números de ciclos y de aristas, respectivamente. El nuevo valor para el Indicador
Topológico de Desigualdad sería:
TC ' =
Núm. de ciclos + k c
,
Tamaño + k t
estando referidos tanto el número de ciclos como el tamaño al digrafo original (previo a
los cambios).
Proposición 3.2.1.- Sean D = (V , X ) el digrafo que representa las desigualdades entre
varias zonas de un conjunto y D ' = (V ' , X ' ) el que se obtiene de D tras incluir k c
nuevos ciclos y k t aristas en D, con k c y k t ∈ Z . Entonces:
TC ' − TC =
6
k c − TC ⋅ k t
# X + kt
(2)
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Demostración. Sea ρ el número de ciclos de D.
TC ' − TC =
ρ + kc
# X + kt
−
ρ
#X
=
( ρ + k c )⋅# X − ρ (# X + k t ) # X ⋅ k c − ρ ⋅ k t
=
;
(# X + k t )⋅# X
(# X + k t )·# X
dividiendo numerador y denominador por el tamaño original del dígrafo, tenemos que:
TC ' − TC =
k c − TC ⋅ k t
# X + kt
‫ڤ‬
Dado un digrafo cualquiera, la variación entre TC ' y TC depende de k c y k t .
Una nueva arista en el digrafo ( k t = 1) puede dar lugar a un aumento considerable de
ciclos. Así pues, dado que k c se encuentra en el numerador de (2), ante un mismo
incremento
sobre
el
tamaño
del
dígrafo,
esta
diferencia
puede
aumentar
sustancialmente, por lo que no se tiene segura la estabilidad de la función Indicador
Topológico de Desigualdad cualesquiera que sean k c y k t .
4. VARIABLES ALEATORIAS ESTABLES
Sería Paul Lévy en 1925 quien desarrollara la Teoría General de las Distribuciones
Estables [2], determinando las condiciones necesarias para que una familia de
distribuciones fuera estable. Por esto, estas distribuciones son a menudo llamadas
distribuciones estables de Lévy.
Definición 4.0.1.- Una variable aleatoria X se dice que es estable, o que tiene una
distribución F estable si, para todo entero positivo n, existen constantes a n > 0 y
bn ∈ ℜ de forma que dadas n variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas a X, X 1 , X 2 ,..., X n , se tiene que:
n
S n = ∑ X i ≈ Fan X +bn .
i =1
Además, X tendrá una distribución estable en sentido estricto si bn = 0 .
Así, X es estable si la suma de n variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas a ella tienen la misma distribución que X, salvo por los
parámetros de escala ( a n ) y localización ( bn ).
Para un análisis más exhaustivo de las variables aleatorias estables se pueden
consultar [1], [2] y [3], por ejemplo. Se apunta a continuación un teorema enunciado por
Feller [1]:
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Teorema 4.0.2.- Toda distribución estable es continua.
‫ڤ‬
Luego un primer paso que resulta lógico dar es estudiar si las variables Indicador
Topológico de Intensidad de la Pobreza e Indicador Topológico de Desigualdad son
variables aleatorias discretas o continuas.
Según se vio antes, el Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza es
definido como el cociente entre el número de aristas dibujadas en el grafo bipartito y el
cardinal del subconjunto de nodos V1 . El número de aristas que se pueden dibujar en un
grafo bipartito es una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto
U = {0,1,2,..., n} , siendo n el máximo número de aristas que puede dibujarse en un
grafo con r nodos en V1 y s nodos en V2 , luego n = r ⋅ s . Por tanto, el Indicador
Topológico de Intensidad de la Pobreza en un análisis con r unidades y s características
1 2
r ⋅ s −1
es una variable aleatoria discreta que toma valores en W = {0, , ,...,
, s} .
r r
r
El Indicador Topológico de Desigualdad, definido como el cociente entre el
número de ciclos formados en el digrafo y el tamaño del propio digrafo, toma valores
con probabilidad positiva en un conjunto finito de valores. Por tanto, fijados los objetos
de estudio, el indicador TC es también una variable aleatoria discreta [1].
Teniendo en cuenta el Teorema 4.0.1, ninguna de las dos variables aleatorias
puede ser estable, dado que no son continuas. Sin embargo, tal vez esto no sea un
problema importante, pues algunas distribuciones discretas pueden ser aproximadas a
una distribución Normal, que es una distribución estable y que además, según el
Teorema Central del Límite, es la única variable estable con varianza finita.
4.1. Aproximación de C * a una ley Normal
Para comprobar si el Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza puede ser
aproximado a una ley Normal, dado un número suficientemente grande de mediciones
sobre este indicador, se procedió a calcular 51 valores del Indicador Topológico de
Intensidad de la Pobreza. Estos forman parte de un estudio sobre la intensidad de la
pobreza en las comunidades autónomas españolas1 para los años 2000, 2001 y 2002, en
base a la proporción de población parada sobre el total de la población activa en el
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Se excluyeron del estudio las ciudades autónomas de Ceuta y Melilla.
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último cuatrimestre del año de referencia, la tasa de analfabetismo en la población
mayor de 16 años y el Producto Interior Bruto generado en dicho año.2
Con la ayuda del programa informático SPSS3, se realizó el siguiente contraste de
hipótesis:



H 0 : C * ≡ Normal
H 1 : C * ≡ no Normal
(3)
Observando el p-valor obtenido en el contraste de normalidad de KolmogorovSmirnov (tamaño muestral mayor que 50), p < 0.0005 , incluso para un nivel de
significación del 0.01% (nivel de confianza del 99%) se rechaza a hipótesis nula
planteada en (3).
4.2. Aproximación de TC a una ley Normal
Análogamente al caso anterior, se propone el siguiente contraste de hipótesis:



H 0 : TC ≡ Normal
H 1 : TC ≡ no Normal
(4)
Para obtener un número suficientemente grande de valores del Indicador
Topológico de Desigualdad, se analizó la desigualdad entre los países asiáticos de
China, Japón y República de Corea para los años 1990, 1991, 1995, 1998, 1999, 2000,
2001 y 2002, con la observación de las siguientes características:4
•
Fuerza laboral infantil. Porcentaje sobre el total de la fuerza laboral de niños
trabajadores de edades comprendidas entre los 10 y 14 años.
•
Ratio de mortalidad infantil. Porcentaje de niños muertos antes de cumplir un
año de edad exacta por cada 1.000 nacidos vivos.
•
Fuerza eléctrica consumida. Mide la producción de potencia de plantas, sin las
pérdidas de distribución.
2
Fuente de información INEBASE.
3
SPSS 12.0. Copyright 2004, SPSS Inc.
4
Fuente de información World Bank Group (2004) [6].
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•
Inmunización. Porcentaje de niños que recibieron una dosis de vacuna antes del
primer año de edad sobre el total de niños de entre 12 y 23 meses de edad
cumplida.
•
Esperanza de vida al nacer.
•
Ordenadores personales por cada 1.000 habitantes.
•
Matriculados superiores. Porcentaje de personas matriculadas en un tercer nivel
sobre el total de la población de riesgo. Son estudios de tercer nivel aquellos que
requieren haber terminado un primer y segundo nivel y pasar satisfactoriamente
un examen de evaluación.
Restringiendo la combinación de pares de variables a aquellos pares en los que las
variables no tengan una correlación lineal fuerte, y dado la posibilidad de datos
disponibles, se calculan un total de 49 valores del Indicador Topológico de
Desigualdad. Estos 49 valores se analizaron con el programa informático
SPSS,
aplicándoseles un contraste de normalidad de Shapiro-Wilk (tamaño muestral menor
que 50) resultando un p-valor menor que 0.0005, con lo que con un 99% de nivel de
confianza puede afirmarse que no sería acertada una aproximación a la ley Normal para
el Indicador Topológico de Desigualdad.
5. CONCLUSIONES
Vistas las actuaciones y resultados alcanzados en epígrafes anteriores, puede afirmarse
que el Indicador Topológico de Intensidad de la Pobreza es un indicador
suficientemente estable, al menos matemáticamente hablando, pues se comporta como
una función estable. Para el caso de la medición de la intensidad de la pobreza mediante
el indicador formulado por Martín [4], se ha demostrado que es continuo para todo valor
k i y wi (la variación sufrida por el número de aristas incidentes en el nodo
característica i-ésima y el peso del total de aristas incidentes en este nodo con respecto
al tamaño del grafo, calculados sobre el grafo anterior a las variaciones,
respectivamente).
Por el contrario, se tiene que el Indicador Topológico de Desigualdad no es una
función estable en todo momento, dado que pequeñas modificaciones selectivas sobre
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los datos de origen pueden dar lugar a una variación considerable sobre el valor final de
este indicador y, por tanto, sobre las conclusiones alcanzadas.
En cuanto a lo que respecta a la visión de estos indicadores como variables
aleatorias de un espacio muestral específico, se comprueba en este artículo que ambas
variables aleatorias poseen una distribución que no es estable en el sentido estricto de la
definición dado por Lévy [2], dado que ambas variables son discretas.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
[1] FELLER, W. (1971). “An Introduction to Probability Theory and Its
Applications”. Vol. 2, 2ª ed., Wiley Series in Probability and Mathematical Statistic.
•
[2] LEVY, P. (1925). “Calcul des Probabilités”. Gauthier-villars.
•
[3] LEVY, P. (1937). “Théorie de l’Addition des Variables Aléatoires”. Gauthiervillars.
•
[4] MARTÍN, A. M. (2005). “Valoración de la pobreza mediante técnicas de
agregación de datos de diferentes naturaleza”. Tesis doctoral. Departamento de
Economía y empresa. Universidad Pablo de Olavide de Sevilla.
•
[5] PROGRAMA DE DESARROLLO DE LAS NACIONES UNIDAS (2000).
“Informe sobre Desarrollo Humano 2000”. Oxford University Press.
•
[6] WORLD BANK GROUP. (2004). “2004|World Development Indicators”.
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