PROBLEMA 1, GRUPO 9 Demuestra que (X, T ) es un espacio topológico discreto si y solo si todos sus puntos son abiertos. Demuestra que en la topología usual de R no hay conjuntos propios (o sea, ni el vacío ni R) que sean a la vez abiertos y cerrados. Demuestra que en la recta de Sorgenfrey el intervalo [0, 1) es a la vez abierto y cerrado. Utiliza lo anterior para concluir que (R, Tu ) 6≈ (R, S). Demostración. (1) La implicación ⇒ es inmediata, ya que si (X, T ) es un espacio topológico discreto, en tal caso todo subconjunto suyo es abierto, y por tanto los unipuntuales también. Veamos ahora que si X es un espacio topológico en el cual todos sus puntos son abiertos, entonces debe ser el espacio topológico discreto. Para ello basta ver que todo conjunto es abierto. Sea A ⊂ X , como A = ∪x∈A {x} y {x} es abierto, entonces A es abierto por ser unión de abiertos. (2) Supongamos que A ∈ Tu . Por el ejercicio 1 del grupo 5, A = ∪n∈N (an , bn ) donde an < bn < an+1 donde N es o bien nito o bien N. En todo caso an < bn < an+1 para ciertos n ∈ N , bn , an+1 ∈ R por ser A propio. Obsérvese que bn ∈ C = R \ A, pero en cambio C no es entorno de bn ya que (bn − ε, bn ] 6⊂ C . (3) Dado x ∈ [0, 1) basta tomar y = 1 > x para comprobar que [x, y) ⊂ [0, 1). Análogamente ocurre con su complementario C := (−∞, 0) ∪ [1, +∞). Sea x ∈ (−∞, 0), entonces tomando y = 0 > x se tiene de nuevo que [x, y) ⊂ (−∞, 0) ⊂ C . Sea x ∈ [1, +∞), basta tomar y = x + 1 > x para que se cumpla que [x, y) ⊂ [1, +∞) ⊂ C . por lo tanto ambos son abiertos de Sorgenfrey y así C es abierto de Sorgenfrey, con lo que A es cerrado. (4) Si hubiera un homeomorsmo f : (R, Tu ) → (R, S), entonces f −1 (A) debería ser abierto, cerrado y propio de (R, Tu ), lo que contradice (2). 1