Realizado por Daniel Arias Maseda Enunciado: Hallar la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos: a) F (2,0), F’ (-2,0) y suma de distancias 5. b) F (0,2), F’ (0,-2) y suma de distancias 5. Teoría: • Coordenadas del punto medio de un segmento. m= • 1 [(x 1, y 1 ) + (x 2 , y 2 )] = x 1, y 1 + x 2 , y 2 2 2 2 Relaciones entre constantes: ♦ Relación entre a, b y c. BF' + BF = 2a → BF + BF = 2a ⇒ 2BF = 2a ⇒ BF = a a2 = b2 + c2 ♦ Demostrar que la constante = 2a. AF' + AF ⇒ (F' F + AF) + AF = 2a • Ecuación reducida de la elipse. Tomando los siguientes elementos: F(c,0); F’(-c,0); A(a,0); A’(-a,0); B(0,b); B’(0,-b) 1. P(x, y ) 2. d(P,F) + d(P,F' ) = 2a 3. ( x − c) 2 + ( y - 0) 2 + ( x + c) 2 + ( y - 0) 2 = 2a 4. (x - c )2 + y 2 2 = 2a (x + c )2 + y 2 x 2 y2 + =1 a 2 b2 2 Resolución gráfica: Apartado A: 1. Situar los focos. 2. Situar el centro de la elipse (que hemos hallado aplicando la definición del punto medio del segmento FF' ) en el origen de coordenadas. 3. Trazar la elipse teniendo en cuenta los semiejes mayor y menor. Apartado B: 1. Situar los focos. 2. Situar el centro de la elipse (que hemos hallado aplicando la definición del punto medio del segmento FF' ) en el origen de coordenadas. 3. Trazar la elipse que hemos hallado mediante la definición. Cálculo: Apartado A: 1. Primero hay que hallar “a” mediante la demostración de la constante 2a y luego hallamos “c” teniendo los dos focos y el centro de la elipse. 2a = 5 ⇒ a = 5 ;c = 2 2 2. Aplicamos la relación de las constantes a, b y c. a2 = b2 + c 2 2 9 5 b2 = a2 - c 2 ⇒ b2 = − 22 ⇒ b2 = 4 2 3. Aplicar la ecuación reducida de la elipse. 4x 2 4y 2 x2 y2 + =1 + =1⇒ 25 9 25 9 4 4 Apartado B: 1. P(x, y ) 2. d(P,F) + d(P,F') = 2a 3. (x - 0)2 + (y - 2)2 + (x - 0)2 + (y + 2)2 2 =5 2 2 4. x 2 + (y - 2) = 5 − x 2 + (y + 2) 2 x 2 + y 2 - 2y + 4 = 25 - 10 x 2 + (y + 2) + x 2 + y 2 + 4y + 4 2 2 10 x 2 + (y + 2)2 = (8y + 25 )2 ( ) 100 x 2 + y 2 + 4y + 4 = 64y 2 + 400y + 625 100x 2 + 100y 2 + 400y + 400 = 64y 2 + 400y + 625 100x 2 + 36y2 − 225 = 0 Solución: a) 4x 2 4y 2 + =1 25 9 b) 100x 2 + 36y2 − 225 = 0