CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso d e memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. a) Discutir en función de los valores de m: 2x − 3y = 0 x− y + z =0 (2 puntos) x + 2 y + mz = m b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior. (1 punto) PR-2. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f ( x ) = ( x − 2) 2 ( x + 2) , el eje OX y las rectas x = −3, x = 2. (3 puntos) CUESTIONES C.1. Se consideran las matrices: 1 3 B = m 0 0 2 donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible. (1 punto) 1 2 m A = ; 1 − 1 − 1 C.2. Hallar un vector de módulo uno que sea ortogonal a los vectores (2, 2, 1) y (2, 0, −1). (1 punto) C.3. Calcular lím x(ln( x + 1) − ln x) . x→ ∞ (1 punto). C.4. Hallar los puntos de la gráfica de f ( x ) = x 3 − 3x 2 + x en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y = x. (1 punto) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO PRUEBA B PROBLEMAS PR-1. Dadas las rectas r y s: x − 2 z = 0 x+ y =5 r ≡ ; s≡ y− z = 2 x + 2z = a a) Hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.(1,75 puntos) b) Hallar la ecuación de dicho plano. (1,25 puntos) PR-2. a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cos x siendo 0 ≤ x ≤ π /2 con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es máxima. (1,5 puntos) b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cos x, y la recta y = 1 en el intervalo [−π /2, π /2]. (1,5 puntos) CUESTIONES C.1. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar que A = B? (1 punto) C.2. ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX? (1 punto) C.3. Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f ( x ) = x x − 1 en x = 1. (1 punto) C.4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y que es tangente a la recta 4x + 3y − 2 = 0. (1 punto) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO SOLUCIÓN A LA PRUEBA A Problema 1 a) Para discutir el sistema hay que estudiar los rangos de la matriz de coeficientes, A, y de la matriz ampliada, M: 2 −3 0 A = 1 −1 1 1 2 m 0 0= M m 2 −3 0 El determinante de A, A = 1 − 1 1 = m − 7 1 2 m Luego: • si m ≠ 7 ⇒ r(A) = 3 = r(M). El sistema será compatible determinado. 2 −3 0 • si m = 7, las matrices quedan: A = 1 − 1 1 1 2 7 0 0 = M . 7 −3 0 0 2 −3 Siendo r(A) = 2 y r(M) = 3, pues: A1 = ≠ 0 y M 1 = − 1 1 0 = −21 ≠ 0 1 −1 2 7 7 Por tanto si m = 7 el sistema es incompatible. b) Si m ≠ 7, la solución del sistema es: 0 0 x= m −3 0 −1 1 2 A m 2 1 = 0 0 0 1 2 −3 1 −1 1 m m − 2m 1 − 3m ; y= = ; z= m− 7 A m−7 2 A 0 0 m = m m−7 Problema 2 Para calcular el área pedida es necesario conocer, al menos, el signo de la función en el intervalo [−3, 2]. Nosotros haremos un esbozo de su gráfica. La función f ( x ) = ( x − 2) 2 ( x + 2) = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 corta al eje OX en los puntos x = −2 y x = 2. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Si x < −2, el signo de la función es negativo. Luego entre x = −3 y x = −2 la gráfica está por debajo del eje OX. Si x > −2, el signo de la función es positivo (o cero en x = 2). Luego a partir de x = −2, la gráfica está por encima del eje. También podemos estudiar sus máximos y mínimos. f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 ⇒ f ´( x) = 3 x 2 − 4 x − 4 ⇒ f ´´( x) = 6 x − 4 La derivada primera se anula en x = −2/3 y en x = 2. Como f ´´(−2 / 3) < 0 y f ´´(2) > 0 , en x = −2/3 se da un máximo y en x = 2 se da un mínimo. La gráfica de la función es aproximadamente como sigue: El área es la del recinto sombreado, que viene dada por: A= − −2 ∫ −3 ( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) dx + ∫ (x 2 −2 −2 3 − 2 x 2 − 4 x + 8)dx = 2 x4 2 3 x4 2 = − − x − 2 x 2 + 8 x + − x 3 − 2 x 2 + 8 x = 4 3 −3 4 3 −2 44 15 20 44 129 = − + + = 3 4 3 3 4 Cuestión 1 1 3 1 + 2m 3 + 2m 1 2 m · m 0 = A·B = 1 1 − 1 − 1 0 2 1 − m www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO La matriz AB es inversible si su determinante es distinto de cero: A·B = 1 + 2m 3 + 2 m = 2m 2 + 3m − 2 1− m 1 Como 2 m2 + 3m − 2 = 0 si m = −2 o m = 1/2, para cualquier valor de m ≠ −2 y 1/2, la matriz AB será inversible. Cuestión 2 r r r r Si v = (2, 2, 1) y w = (2, 0, −1) un vector ortogonal común a ambos es v × w ; mientras que r r v×w el correspondiente vector unitario será: r r . v×w r r u1 u 2 r r Como v × w = 2 2 r u3 2 1 = ( −2, 4, − 4) , 0 −1 r r v×w (−2,4,−4) −1 2 − 2 el vector pedido es r r = = , , v×w 4 + 16 + 16 3 3 3 Cuestión 3 x +1 lím x(ln( x + 1) − ln x) = [∞ · (∞ − ∞)] = lím x ln = [∞ · ln 1] = [∞ · 0] = x→ ∞ x→ ∞ x ln = lím x→ ∞ x+1 x = 0 = (Por la regla de L´Hôpital) = 1 0 x 1 1 − x2 = lím x + 1 x = lím 2 =1 x→ ∞ 1 x→ ∞ x + x − 2 x Cuestión 4 Para ser paralela a la recta y = x, la pendiente de la tangente pedida debe valer 1. Como la pendiente de la tangente viene dada por el valor de la derivada en el punto de tangencia, debe cumplirse que: www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO f ´( x ) = 3x 2 − 6 x + 1 = 1 ⇒ x = 0 o x = 2. Los puntos de la gráfica serán (0, 0) y (2, −2) NOTA: Las rectas tangentes son y = x, que coincide con la dada, e y = x − 4. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM