CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora de “una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. Se consideran los planos π 1 ≡ x + y + z = 0 y π 2 ≡ x − y + z = 1. Se pide : a) Hallar un plano perpendicular a ambos pasando por el punto (1, 2, − 1). (1 punto) b) Determinar una recta paralela a ambos pasando por el punto (2, 1, 1) (1 punto) c) Calcular el ángulo que forman π 1 y π 2 (1 punto) PR-2. a) Enunciar el teorema de los incre mentos finitos. (1 punto) b) Una función f(x), derivable en toda la recta, verifica: f(0) = − 2, f(2) = 6 b1) Aplicando el teorema anterior, probar que existe un punto c en el intervalo (0, 2) tal que f ´(c) = 4. (1 punto) b2) Si además f(x) tiene derivada continua y f ´(0) = 0, probar que hay un punto en el intervalo (0, 2) en el que la derivada de f toma el valor 3. (1 punto) CUESTIONES 1 1 3 1 C.1. Dadas las matrices A = y B = , hallar para qué valores de m la 2 0 2 2 matriz B + mA no tiene inversa. (1 punto) C.2. Calcular el valor de a para que el producto vectorial de los vectores (a, − a, 2) y www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO (2, a, 1) sea proporcional al vector (1, 1, 0). C.3. Calcular lím x →0 C.4. Calcular ∫ (1 punto) 1 + x − 1− x senx x 1 + 2x2 (1 punto) dx (1 punto) PRUEBA B PROBLEMAS PR-1. La circunferencia x 2 + ( y + 4) 2 = 25 corta al eje OX en los puntos F1 y F2 a) Hallar las coordenadas de los puntos F1 y F2. (1 punto) b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son F1 y F2 y cuyo eje mayor es igual al diámetro de la circunferencia anterior. (2 puntos) PR-2. La gráfica de la función y = cos x en el intervalo [0, π /2] determina con los ejes de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la función y = sen x. Determinar el área de cada una de esas partes. (3 puntos) CUESTIONES C.1. Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales, calcular el determinante de A. ¿Existe la matriz inversa de A? (1 punto) C.2. Hallar el plano que contiene a la recta x − y − z + 2 = 0 recta , y − 2z −1 = 0 x − 3 y − 2 z −1 = = y es paralelo a la 1 2 3 (1 punto) senx + sen( x + 1) en el intervalo [0, π /2], demostrar, cos x − cos( x + 1) calculando su derivada, que f(x) es constante. (1 punto). C.3. Dada la función f ( x ) = www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO C.4. Hallar a, b y c para que la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tome el valor 0 para x = 1, presente un máximo relativo en x = − 1 y un mínimo relativo en x = 0. (1 punto) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Solución PRUEBA A Problema 1: a) El plano pedido está definido por los vectores característicos de los planos π 1 y π 2 y por el punto (1, 2, −1). r vπ 1 = (1, 1, 1); r vπ 2 = (1, −1, 1) x =1+t + h Las ecuaciones paramétricas del plano son: π : y = 2 + t − h z = − 1 + t + h x −1 1 1 Siendo la ecuación implícita: y − 2 1 − 1 = 0 ⇒ x − z − 2 = 0 z +1 1 1 r b) El vector característico de π, vπ = (1, 0, −1), es el de dirección de la recta. Luego: x = 2 + λ r: y=1 z = 1− λ c) El ángulo (π 1, π 2) es el mismo que el que forman sus vectores característicos. Como r v ·v 1 −1 + 1 1 cos (vð 1 , vð 2 ) = ð 1 ð 2 = = vð 1 · vð 2 3 3 3 se tiene que ángulo (π 1, π 2) = arccos 1/3 ≈ 70,5º Problema 2: a) El teorema de los incrementos finitos (o del valor medio) dice: Si f (x) es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f (b) − f ( a) = f ´(c ) b−a www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO b1) Como f(x) es derivable en toda la recta, en particular lo es en el intervalo (0, 2), se tiene que: f ( 2) − f ( 0) 6+ 2 = f ´(c) ⇒ = 4 = f ´(c) 2−0 2 b2) Ahora se aplica el teorema de los valores intermedios: “toda función continua en un intervalo [a, b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b)”. Este resultado se aplica a f ´(x), que es la función continua en este caso: Como f ´(0) = 0 y f ´(c) = 4, siendo 0 < c < 2, entonces, por el teorema, existe otro punto x0, (0 < x0 < c < 2), tal que f ´(x0) = 3, ya que 3 está comprendido entre f ´(0) y f ´(c). Cuestión 1: 3 1 1 1 3 + m 1+ m B + mA = + m = 2 2 2 2 0 2 + 2m Esta matriz no tiene inversa cuando su determinante vale 0. B + mA = 3 + m 1+ m = −2m 2 − 2m + 4 = 0 ⇒ m = −2 o m = 1 2 + 2m 2 La matriz B + mA no tiene inversa cuando m = −2 o m = 1 Cuestión 2: r u1 r u2 r u3 (a, −a, 2)×(2, a, 1) = a 2 −a a 2 = ( −3a, 4 − a, a 2 + 2a ) 1 Para que este vector sea proporcional a (1, 1, 0) debe cumplirse que: − 3a = k (−3a, 4 − a, a + 2a = k(1, 1, 0) ⇒ 4 − a = k a 2 + 2 a = 0 2 la tercera igualdad, a2 + 2a = 0, se cumple para a = 0 y a = −2. El valor a = 0 hay que descartarlo, pues saldría: k = 0 y k = 4, sustituyendo en las dos primeras ecuaciones. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO En cambio, si a = −2, se obtiene k = 6 en ambas ecuaciones. Por tanto, el valor pedido es a = −2. Cuestión 3: Aplicando L´Hôpital: 1 + x − 1− x 0 = senx 0 lím x →0 1 1 1 1 + + 2 1 + x 2 1 − x 2 2 =1 = lím = x→0 cos x 1 Cuestión 4: Se hace ajustando constantes. ∫ x 1 + 2x2 dx = 1 2 ∫ 2 1 + 2x 4x 2 1 1 f ´( x ) dx = dx = 1 + 2x2 + c 2 2 f (x ) 2 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ∫