ESTRATEGIAS DE PENSAMIENTO EN LA RESOLUCIÓN DE

ESTRATEGIAS DE PENSAMIENTO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS
Tiene mucho interés cuál es el sentido y el lugar que ocupan las estrategias o
modos de proceder en el mecanismo de resolución de problemas de tipo general. Son
normas que se desprenden del sentido común, pero que conviene hacer explícitas y
tenerlas vivamente presentes para que nuestra actuación sea más efectiva.
1.- ESTRATEGIAS GENERALES
Las estrategias de pensamiento eficaces para enfrentarse con un problema son
las formas de proceder, más o menos concretas, que reflejan el modo de actuar de
aquellos que tienen éxito en el tratamiento de problemas semejantes.
Estas estrategias deben tener siempre unos rasgos característicos generales:
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Una actitud inicial libre de bloqueos y barreras previas.
Una preparación adecuada para afrontar el problema que debe contemplar
múltiples aspectos: afectivos, físicos y cognitivos.
La disponibilidad de estrategias variadas para elegir la más adecuada.
Involucrar a los mecanismos subconscientes de la mente en la tarea de resolver el
problema que nos ocupa.
Una evaluación de la situación del proceso a medida que se realiza a fin de
distribuir correctamente el esfuerzo que se debe emplear en las diferentes tareas
de la resolución del problema. Todo ello incluye la adquisición de información, la
utilización de algunas de las estrategias disponibles y el enjuiciamiento de la
actuación global.
Teniendo en cuenta lo anteriormente mencionado, son útiles los siguientes
consejos para enfrentarse a la tarea intelectual a la que el alumno se enfrenta:
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Conviene estimar la magnitud de los problemas.
Ante un problema conviene ensayar herramientas propias originales, no solamente
atenerse a los caminos ya inventados o utilizados por otros.
El método es necesario para la resolución de problemas.
Conviene reducir lo complicado a lo simple.
Para progresar en la resolución de un problema conviene disponer de una visión
unitaria de todo cuanto le concierne.
Para adquirir una buena destreza en el arte de la resolución de problemas
conviene ejercitarse en recorrer con método los caminos que ya han sido
descubiertos por otros, descubriendo posteriormente caminos propios.
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-
Es necesario examinar atentamente nuestro propio proceso de resolución de un
problema a fin de entender mejor nuestras posibles deficiencias y nuestras virtudes
y hacer así más eficaz nuestros procesos de pensamiento en el futuro.
2.- EL EXAMEN DEL PROCESO DE RESOLUCIÓN
ELABORACIÓN Y ANÁLISIS DE PROTOCOLOS
DE
PROBLEMAS.
Cuando se nos propone un problema que atrae nuestro interés, sucede muy
frecuentemente que nos absorbe por completa durante un largo rato y que, una vez
resuelto o no, lo dejamos a un lado sin preocuparnos por reflexionar en ningún
momento, ni a lo largo del proceso ni después de él, sobre el modo en el que hemos
actuado.
Naturalmente, si nos enfrentamos repetidas veces con problemas semejantes
iremos eliminando de nuestros procedimientos pasos inútiles, callejones sin salida,
defectos en los que solemos caer y así, de modo espontáneo, nuestro proceso se va
depurando.
Sin embargo, quien desea progresar en la resolución de problemas, además de
resolver gran cantidad de los mismos, debe examinar sus propios procesos mentales
al mismo tiempo que los hace.
Para lograr establecer el hábito de analizar nuestros procesos mentales de
pensamiento, Guzmán propone, en primer lugar, un esquema que sirve para el
ejercicio individual.
Comienza por señalar un método para elaborar el protocolo del proceso, es
decir, el acta que dé constancia de los fenómenos interesantes que han ocurrido a lo
largo de nuestra ocupación con un problema. Se debe ir escribiendo, por tanto, paso a
paso lo que va pasando por mi cabeza.
Luego hay que estudiar cómo se analiza el protocolo a fin de conocer a fondo
nuestras formas de proceder, nuestras tendencias, nuestras virtudes y nuestros
errores.
Seguidamente deberemos realizar la evaluación del proceso, comparando
nuestra realización con otras formas posibles de proceder, estudiando cómo y por qué
hemos llegado a la solución o bien cómo y por qué no lo hemos conseguido, dónde
han estado nuestros aciertos y nuestros despistes.
Y finalmente hay que establecer el tratamiento, determinando los puntos en los
que debemos insistir para proceder mejor en lo sucesivo.
2.1.- La realización del protocolo del proceso
Mientras estamos ocupados con un problema ocurren muchas cosas
interesantes. Si se nos pide que anotemos algo de ello, posiblemente anotemos los
cálculos, los esquemas, las figuras y los diagramas que realizamos o que se nos
oculten, para resolverlo. Pero hay otros fenómenos que, a no ser que hagamos un
gran esfuerzo, nos pasarán desapercibidos.
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El mero borrador de nuestros intentos sucesivos de acercamiento a la solución
no es un protocolo del proceso, y mucho menos lo es la solución en limpio que
elaboramos al final de nuestro trabajo.
El protocolo real de mi proceso debería ser capaz de reproducir, para su
estudio, cuanto ha pasado por mi mente a lo largo de él en lo que se refiere a lo que
he ido realizando, a lo que he ido pensando y a los sentimientos y situaciones por las
que he ido pasando.
El protocolo ideal del proceso debería poder incluir los movimientos
subconscientes que me han ayudado en mi camino y los que me han desviado de él.
Está claro que aun no se ha encontrado el modo de registrar todo este mundo
mental tan complejo y tan profundo. A falta de él nos tenemos que contentar con
registrar nosotros con brevedad y con la mayor fidelidad posible sus rasgos más
destacados para después someterlos a un análisis conveniente.
Una técnica concreta que nos puede ayudar en la realización del protocolo
consiste en ir trabajando en borrador con orden, sin corregir nada de él, ocupándonos
en resolver nuestro problema. Se puede acudir a la ayuda de un reloj que cada cierto
intervalo de tiempo, por ejemplo, cada diez minutos, nos recuerde que debemos echar
una mirada a los otros aspectos del proceso, tales como nuestro estado de ánimo, las
vueltas y revueltas de nuestro pensamiento, la fase del proceso en que nos
encontramos…
2.2.- El análisis del protocolo
Cuando tenemos hecho el protocolo, la fase siguiente es analizarlo, es decir,
distinguir a través de él las diversas etapas por las que el proceso ha transcurrido, de
ir señalando las motivaciones que explican el paso de cada una a la siguiente.
Si el protocolo se ha hecho bien, encontraremos en él dos tipos de anotaciones
fáciles de distinguir. Por un lado las que correspondan al contenido del proceso, es
decir, las cábalas, las figuras y por otra parte las notas que resultan de las
observaciones que, a intervalos determinados, ha hecho el propio autor del protocolo.
Los dos tipos de anotaciones son muy interesantes y se trata, ahora en esta fase de
análisis, de enmarcar el sentido de cada una de ellas dentro del propio proceso antes
de pasar a la evaluación. Es decir, hemos de procurar, a través de lo que leemos,
obtener una idea clara de la marcha del proceso en sí mismo, preguntándonos a
propósito de cada una de las porciones en que hemos dividido el protocolo:
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¿A qué etapa del proceso corresponde? ¿Se trata de la fase inicial, de
familiarización con el problema?
¿Qué grado de importancia tiene el proceso?
¿Se pueden señalar los momentos más decisivos en el éxito o fracaso de la
resolución del problema?
2.3.- Evaluación del proceso
Después del examen de lo que el proceso ha sido en cada una de sus partes
hay que compararlo con las que consideramos formas eficaces de proceder, a fin de
determinar si se ajusta a ellas convenientemente o, por el contrario, se ha actuado de
forma inadecuada en alguna ocasión. Esta comparación en lo que se refiere a los
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rasgos globales del proceso, es decir, al modo de familiarización inicial, selección de
estrategias, trabajo a fondo con algunas de ellas, revisión…, se puede hacer muy
provechosamente si se dispone de uno o más protocolos relativos al mismo problema
realizados por expertos. Así tendremos la oportunidad de observar la conveniencia de
nuestras formas de proceder.
En lo relativo a la evaluación de los detalles de nuestro propio protocolo en sí
mismo, el protocolo de un experto no nos puede ayudar mismo, porque difícilmente
habrá pasado por las mismas circunstancias concretas a lo largo de su trabajo con el
mismo problema.
2.4.- Diagnóstico y tratamiento
Con la evaluación podemos obtener lecciones valiosas. Al hacernos
conscientes de nuestros aciertos, reforzamos los hábitos que nos han conducido a
ellos y además vamos adquiriendo un mejor conocimiento de nuestras capacidades
específicas y de los campos concretos a los que nos podemos aplicar con más éxito.
De nuestros desaciertos también podemos obtener un valioso conocimiento de
nosotros mismos que nos conducirá a poner particular atención para corregir nuestros
hábitos perjudiciales e improductivos, reemplazándolos por otros más eficaces.
3.- MODELO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para algunos puede resultar extraña la proximidad entre el pensamiento
matemático y el lúdico, pero es un hecho profundo que una gran parte de la
matemática más seria ha sido desarrollada bajo una motivación inicial lúdica y que los
puzzles y juegos mentales comparten con la matemática muchos procesos de
pensamiento eficaces en uno y otro campo. Es más, muchas veces resulta
extraordinariamente difícil decidir dónde termina el juego y dónde comienza la
actividad científica “seria”. Para muchos de los matemáticos, la matemática nunca
cesa del todo de ser un gran juego.
Guiado por esta idea, el gran matemático Polya ha condensado un modelo
clásico de esquema de los pasos que es conveniente dar para resolver un problema
que es la base de los esquemas más recientes, no difiriendo sustancialmente de
estos.
Hemos de tener en cuenta que avanzar en la búsqueda de un buen esquema
de pensamiento que nos venga bien, requiere mucho esfuerzo y constancia, pero sus
beneficios son mucho mayores. Es también cierto que, de cara a nuestros alumnos,
cuanto más pronto comencemos a hacer ejercicios acomodados a cada nivel o edad,
sus procesos de pensamiento irá mejorando de forma más suave y segura a la vez.
Insisto en que lo que pretendemos es tener una forma de examinar nuestro
proceso y nuestra práctica, pues frecuentemente sucede que nuestra atención en la
ocupación con un problema se centra en el resultado que obtenemos alrededor del
problema, pero no con el proceso.
En esquema, el modelo utilizado es el siguiente:
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Familiarízate con el problema, compréndelo.
o Trata de entenderlo a fondo: conoce los datos, conoce la incógnita, las
relaciones entre datos e incógnitas, ¿faltan o sobran datos?
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o
Hazlo a tu ritmo, con tranquilidad.
Juega con la situación, piérdele el miedo.
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Busca estrategias, haz un plan para resolver el problema.
o Piensa en algún problema semejante.
o Recuerda alguna propiedad o teorema que pueda ser útil.
o Empieza por lo fácil. Resolver algún problema parecido pero más sencillo.
o Experimenta.
o Resuelve una parte del problema.
o Hazte un esquema, una figura, un diagrama.
o Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
o Empezar por el final del problema.
o Supón que el problema está resuelto y observa cómo se puede llegar a la
solución.
o Supón que no está resuelto.
o Vuelve a leer el enunciado, quizás haya elementos que no has tenido en
cuenta.
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Lleva adelante tu estrategia, es decir, sigue el plan que te has trazado.
o Selecciona y sigue adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la
fase anterior.
o Actúa con flexibilidad, no te empeñes en una sola idea. Si las cosas se
complican posiblemente hay otras vías.
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Revisa la solución obtenida.
o ¿Salió? Mira a fondo la solución. Hay que ver si la solución tiene sentido (tanto
en la cantidad como en la calidad).
o Mira si se puede llegar a la solución por otros caminos diferentes, en particular,
por algún camino más corto y más sencillo.
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Revisa el proceso y saca consecuencias de él.
o Examina a fondo el camino que has seguido.
o Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.
o Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencia para
el futuro.
4.- ESQUEMAS MENTALES EFICACES. SU DETECCIÓN Y TRANSMISIÓN EN LA
ENSEÑANZA
Cuando nos proponen un problema de cualquier tipo, comenzamos a
acercarnos a él mediante una representación inicial de los elementos que intervienen
en la situación. Esta representación inicial, que es decisiva en el éxito de la tarea, está
fuertemente condicionada por los conocimientos que el individuo posee de esos
elementos.
La resolución de problemas, en general, requiere un conocimiento estructurado
que lo haga manejable, lo que llamamos esquemas mentales eficaces. La tarea del
profesor consiste principalmente en la enseñanza de estos esquemas mentales
eficaces. El conocimiento bien estructurado ayuda extraordinariamente en muchos
aspectos:
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Facilita su asimilación, memorización e integración en nuestro mecanismo mental.
Nuestra memoria es bastante frágil, pero nuestra fuerte capacidad de relacionar
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datos puede venir en su ayuda cuando el conocimiento que se pretende integrar
tiene ganchos con los que puede incorporarse a otras estructuras mentales ya
existentes.
El acceso a un conocimiento con estructura rica es mucho más fácil que la
recuperación de una información aislada. Cuando intentamos acceder a un
conocimiento que se nos evade momentáneamente nos apoyamos en las
conexiones que éste pueda tener dentro de nuestra mente. Si este conocimiento
entró aisladamente será más difícil su recuperación.
La utilización de un conocimiento será mucho más ágil y fructífera cuanto mejor
integrado esté en nuestra red global de operaciones mentales de todo tipo.
Un esquema es una constelación de conocimientos que se va agrupando a
través de repetidas experiencias por razón de sus relaciones y su efectividad conjunta
para aclarar diversas situaciones problema con un aire común. El esquema contiene
mucha más información que la mera yuxtaposición de las partes, puesto que
probablemente va aglutinada en él muchas experiencias previas.
Cuando alguien comienza a familiarizarse con un problema y se hace una
representación inicial pone en movimiento diversos esquemas operativos entre los que
debe distinguir el más adecuado para la resolución de un problema.
Polya decía que “lo que el profesor dice en clase no carece de importancia,
pero lo que los alumnos piensan es mil veces más importante. Las ideas deben nacer
en la mente de los alumnos y el profesor debe actuar tan sólo como una comadrona”.
Whitehead, a su vez, insistía en “la necesidad de expulsar de nuestra educación el
lastre de las ideas inertes, aquellas que carecen de la capacidad de reaccionar con
otras para constituir sistemas activos, aquellas que permanecen ahí sin ser
combinadas con otras”.
5.- BIBLIOGRAFÍA
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Bisquerra, R. (1989). Métodos de Investigación Educativa. Barcelona: Ceac.
De Guzmán, M. (1991). Para pensar mejor. Barcelona: Labor.
Ferrero, L. (1982). Plantear y resolver problemas. Papeles de Acción Educativa.
Madrid: Alameda.
Polya, G. (1976). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
Sarduy, A. F. (1987). Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de
problemas matemáticos en la escuela primaria. La Habana: Editorial Pueblo y
Educación.
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