Introducción a los sistemas dinámicos Actividad 6 Juan Pablo

Introducción a los sistemas dinámicos
Actividad 6
Juan Pablo Navarrete Carrillo
CONJUGACIÓN TOPOLÓGICA
Definición. 1. Sean f : A → A y g : B → B dos funciones. Se dice que f y
g son conjugadas topológicas si existe un homeomorfismo h : A → B tal que
h ◦ f = g ◦ h. El homeomorfismo h se llama una conjugación topológica.
Ejercicio. Sean f y g conjugadas topológicas por h.
1. Si p es un punto fijo para f entonces h(p) es un punto fijo para g.
2. h induce una correspondencia uno a uno entre P ern (f ) y P ern (g).
3. Si P er(f ) es denso en el dominio de f entonces P er(g) es denso en el
dominio de g.
4. Si f tiene una órbita densa entonces g también tiene una órbita densa.
√
Teorema. 0.1. Sea Fµ (x) = µx(1 − x) con µ > 2 + 5, entonces
1. La cardinalidad de P ern (Fµ ) es 2n .
2. P er(Fµ ) es denso en Λ.
3. Fµ tiene una órbita densa en Λ.
Definición. 2. El itinerario de x ∈ Λ ⊂ I0 ∪ I1 es una sucesión S(x) =
(s0 s1 s2 . . .), donde sj = 0 si Fµj (x) ∈ I0 y sj = 1 si Fµj (x) ∈ I1 .
√
Teorema. 0.2. Si µ > 2 + 5, entonces S : Λ → Σ2 es un homeomorfismo.
[Para ver que S es 1-1, suponga que x < y pero S(x) = S(y), entonces
[x, y] ⊂ Is0 . Aún más, para cada n ∈ N Fµn (x) y Fµn (y) pertenecen al mismo
intervalo Isn . Verifica por inducción que Fµn [x, y] ⊂ [0, 1] para cada n ∈ N !!
FACT: Si J ⊂ I es un intervalo cerrado entonces Fµ−1 (J) = x ∈ I : Fµ (x) ∈ J
consta de dos intervalos cerrados.
Para ver que es sobre, sea s = s0 s1 s2 . . .. Define
Is0 s1 ...sn
= {x ∈ I : x ∈ Is0 , Fµ (x) ∈ Is1 , . . . Fµn (x) ∈ Isn }
= Is0 ∩ Fµ−1 (Is1 ) ∩ . . . ∩ Fµ−n (Isn ).
Usa la identidad
Is0 s1 ...sn = Is0 ∩ Fµ−1 (Is1 ...sn )
para demostrar por inducción que los conjuntos Is0 , Is0 s1 , Is0 s1 s2 son intervalos
no vacı́os, cerrados y encajados.
∩
La inyectividad de S implica que la intersección n≥0 Is0 s1 ...sn consta de un
solo punto y por tanto, lı́mn→∞ diam(Is0 s1 ...sn ) = 0
Dado ϵ > 0, toma n tal que 1/2n < ϵ. Sea x ∈ Λ con S(x) = s0 s1 s2 . . ..
Usa que la unión de los 2n+1 intervalos ajenos, cerrados y no vacı́os It0 t1 ...tn
contienen a Λ para argumentar la existencia de una δ > 0 tal que y ∈ Λ y
|x − y| < δ implican que y ∈ Is0 s1 ...sn . Concluye que d(S(x), S(y)) ≤ 1/2n < ϵ.
La continuidad de S −1 se sigue de un teorema de topologı́a. ]
Teorema. 0.3. Se satisface que S ◦ Fµ = σ ◦ S.
[Observa que si x ∈ Λ, entonces {x} = ∩n≥0 Is0 s1 ...sn , donde S(x) = s0 s1 . . . sn . . .,
entonces
S(F ({x})) = S(F (∩∞
n=0 Is0 ...sn ))
= S(∩∞
n=1 Is1 ...sn )
= {(s1 s2 . . .)}
= σ(S({x}))
]
Ejercicios
1. Sea Qc (x) = x2 + c. Pruebe que si c < 1/4, existe una única µ > 1 tal
que Qc es conjugada topológica de Fµ (x) = µx(1 − x) vı́a una función
h(x) = αx + β.
2. Un punto p es no-errante para f , si para cada intervalo abierto J que
contiene a p, existe x ∈ J y n > 0 tal que f n (x) ∈ J. Observe que no
pedimos que p regrese a J. Sea Ω(f ) el conjunto de puntos no errantes
para f .
a) Pruebe que Ω(f ) es un conjunto cerrado.
b) Si Fµ es la función cuadrática con µ > 2 +
Λ.
√
5, muestre que Ω(Fµ ) =
c) Identifique a Ω(Fµ ) para cada µ que satisfaga 0 < µ ≤ 3.
3. Un punto p es recurrente para f si, para cualquier intervalo abierto J
alrededor de p, existe n > 0 tal que f n (p) ∈ J. Claramente, todos los
puntos periódicos son recurrentes.
a) Dé un ejemplo
de un punto no-periódico recurrente para Fµ cuando
√
µ > 2 + 5.
b) Dé un ejemplo de un punto no-errante para Fµ que no es recurrente.
4. Orden de los puntos periódicos. Sea Γn el conjunto de sucesiones en Σ2
que consta de sucesiones que repiten bloques de longitud n. Identifique
una sucesión de dicho estilo con una cadena finita s1 , . . . , sn de 0’s y 1’s
de manera natural. Bajo la conjugación topológica, cada elemento √
de Γn
corresponde a un único punto en I para un valor dado de µ > 2 + 5.
a) Pruebe
√ que el orden de estos puntos en I es independiente de µ >
2 + 5. Sea N (s1 , . . . , sn ) denote el entero entre 0 y 2n − 1 que
corresponde a este orden, numerando de izquierda a derecha, i.e.,
N (0, . . . , 0) = 0. Denotemos mediante B(s1 , . . . , sn ) a N en binario;
esto es, B(s1 , . . . , sn ) = (a1 , . . . , an ) donde aj = 0 ó 1 y
N (s1 , . . . , sn ) = a1 · 2n−1 + a2 · 2n−2 + . . . + an · 20 .
b) Use inducción para probar que B está dado por la fórmula:
aj =
j
∑
sj
mód 2.
i=1
Por ejemplo, el punto 1, 1, 1 en Γ3 ocupa la posición 5 en la lı́nea real
ya que
a1 = s1 = 1
a2 = s1 + s2 = 0
a3 = s1 + s2 + s3 = 1
mód 2
mód 2.
c) Liste todos los puntos en Γn para n = 2, 3, 4 de acuerdo a este orden.
d ) Describa un algoritmo para ordenar los puntos en Γn sabiendo el
orden de Γn−1 .