ESTADÍSTICA SOCIAL

ESTADÍSTICA SOCIAL
HUBERT M. BLALOCK
FONDO DE CULTURA ECONÓMICA
México, 1986
Este material se utiliza con fines
exclusivamente didácticos
ÍNDICE
Prefacio ................................................................................................................................................... 9
Primera Parte
INTRODUCCIÓN
1. Introducción: objetivos y límites de la estadística............................................................................. 15
1.1. Funciones de la estadística ............................................................................................................. 16
1.2. El lugar de la estadística en el proceso de la investigación ........................................................... 19
1.3. Advertencia .................................................................................................................................... 20
Bibliografía ........................................................................................................................................... 21
II. Teoría, medición y matemáticas ...................................................................................................... 22
II.l. Teoría e hipótesis: definiciones operativas .................................................................................... 22
II.2. El nivel de medición: escalas nominales, ordinales y de intervalo ............................................... 26
II.3. Medición y estadística .................................................................................................................. 32
II.4. Organización del libro .................................................................................................................. 37
Bibliografía............................................................................................................................................ 40
Segunda Parte
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIVARIADA
III. Escalas nominales: proporciones, porcentajes y razones ............................................................... 43
III.1. Proporciones ................................................................................................................................. 43
III.2. Porcentajes.................................................................................................................................... 45
111.3. Razones ...................................................................................................................................... 49
Bibliografía ........................................................................................................................................... 52
IV. Escalas de intervalo: distribuciones de frecuencia y representación gráfica .................................. 53
IV.1. Distribuciones de frecuencia: agrupamiento de los datos ........................................................... 53
IV.2. Distribuciones de frecuencia cumulativa .................................................................................... 60
IV.3. Presentación gráfica: histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas ......................................... 61
Bibliografía ........................................................................................................................................... 66
V. Escalas de intervalo: medidas de tendencia central ......................................................................... 67
V.1. La media aritmética ...................................................................................................................... 67
V.2. La mediana ................................................................................................................................... 71
V.3. Cálculo de la media y la mediana de datos agrupados ................................................................. 73
V4. Comparación de la media y la mediana ......................................................................................... 81
V.5. Otras medidas de tendencia central .............................................................................................. 85
V.6. Deciles, cuartiles y percentiles ..................................................................................................... 86
Bibliografía ........................................................................................................................................... 88
VI. Escalas de intervalo: medidas de dispersión .................................................................................. 90
VI.l. El recorrido ................................................................................................................................... 90
VI.2. La desviación cuartil ................................................................................................................... 92
VI.3. La desviación media .................................................................................................................... 92
VI.4. La desviación estándar ................................................................................................................ 93
VI.5. El coeficiente de variabilidad .................................................................................................... 101
VI.6. Otras medidas resumidas ........................................................................................................... 102
Bibliografía ......................................................................................................................................... 103
VII. La distribución normal ................................................................................................................. 104
VII.l. Distribuciones de frecuencias finitas versus infinitas ................................................................ 104
VII.2. Forma general de la curva normal............................................................................................. 107
VII.3. Áreas bajo la curva normal ....................................................................................................... 109
2
VII.4. Ilustraciones suplementarias del empleo de la tabla normal .................................................... 113
Bibliografía ......................................................................................................................................... 116
Tercera Parte
ESTADÍSTICA INDUCTIVA
VIII. Introducción a la estadística inductiva ....................................................................................... 119
VIII.l. Estadística y parámetros .......................................................................................................... 119
VIII.2. Pasos en la verificación de una hipótesis ................................................................................ 120
VIII.3. La falacia de afirmar el consecuente ...................................................................................... 123
VIII.4. La forma de las hipótesis estadísticas...................................................................................... 124
Bibliografía ......................................................................................................................................... 127
IX. Probabilidad ................................................................................................................................. 128
IX.1. Probabilidad a priori .................................................................................................................. 129
IX.2. Propiedades matemáticas de las probabilidades ........................................................................ 133
IX.3. Permutas .................................................................................................................................... 145
IX4. Valores esperados ....................................................................................................................... 151
IX.5. Independencia y muestreo aleatorio .......................................................................................... 153
Bibliografía.......................................................................................................................................... 159
X. Pruebas de hipótesis: la distribución binomial .............................................................................. 160
X1. La distribución de muestreo binomial ......................................................................................... 160
X.2. Pasos en las pruebas estadísticas ................................................................................................ 164
X.3. Aplicaciones de la binomial ....................................................................................................... 177
X.4. Extensiones del binomio ............................................................................................................. 181
X.5. Sumario ....................................................................................................................................... 183
Bibliografía ......................................................................................................................................... 186
XI. Pruebas de muestras simples que implican medias y proporciones . ............................................ 187
XI.l. Distribución en muestreo de las medias ..................................................................................... 187
XI.2. Prueba para la media de la población, conociendo. ................................................................... 194
XI.3. La distribución t de Student . ..................................................................................................... 199
XI.4. Pruebas que comportan proporciones ........................................................................................ 204
Bibliografía ......................................................................................................................................... 210
XII. Estimación de punto e intervalo .................................................................................................. 211
XII.l. Estimación del punto ................................................................................................................ 212
XII.2. Estimación del intervalo .......................................................................................................... 215
XII.3. Intervalos de confianza para otros tipos de problemas ............................................................ 221
XII.4. Determinación del tamaño de la muestra................................................................................. 224
Bibliografía ......................................................................................................................................... 227
Cuarta Parte
ESTADISTICAS BIVARIADAS Y MULTIVARIADAS
XIII. Pruebas de dos muestras: diferencia de las medias y las proporciones . .................................... 231
XIII.l. Prueba de la diferencia de las medias ...................................................................................... 231
XIII.2. Diferencia de proporciones ..................................................................................................... 240
XIII.3. Intervalos de confianza ............................................................................................................ 245
XIII.4. Muestras dependientes: pares asociados.................................................................................. 246
XIII.5. Comentarios a propósito de los esquemas experimentales y pruebas de significación .......... 248
Bibliografía ......................................................................................................................................... 255
XIV. Escalas ordinales: pruebas no paramétricas de dos muestras. ................................................... 256
XIV1. Fuerza y eficiencia de la fuerza ............................................................................................... 257
XIV.2. La prueba de las secuencias (runs) de Wald-Wolfowitz ........................................................ 263
3
XIV.3. La prueba de Mann-Whitney o de Wilcoxon ......................................................................... 269
XIVA. La prueba de Kolmogorov-Smirnov ....................................................................................... 277
XIV.5. La prueba de Wilcoxon de pares asociados y órdenes provistos de signo ............................. 280
XIV.6. Resumen ................................................................................................................................. 284
Bibliografía ......................................................................................................................................... 288
XV. Escalas nominales: problemas de contingencia .......................................................................... 289
XV.1. La prueba de la X-cuadrada ..................................................................................................... 289
XV.2. La prueba exacta de Fisher ...................................................................................................... 301
XV.3. Medidas de la fuerza de la relación ......................................................................................... 306
XV.4. Control de otras variables ........................................................................................................ 319
Bibliografía ......................................................................................................................................... 330
XVI. Análisis de la variancia .............................................................................................................. 332
XVI.l. Análisis simple de la variancia................................................................................................. 332
XVI.2. Comparación de medias específicas........................................................................................ 343
XVI.3. Análisis bimodal de la variancia ............................................................................................. 349
XVIA. Alternativas no paramétricas del análisis de variancia ........................................................... 365
XVI.5. Medidas de asociación: correlación intraclase ....................................................................... 370
Bibliografía ......................................................................................................................................... 376
XVII. Correlación y regresión ............................................................................................................ 377
XVII.l. Regresión lineal y mínimos cuadrados .................................................................................. 377
XVII.2. Correlación ............................................................................................................................ 393
Bibliografía ......................................................................................................................................... 413
XVIII. Correlación y regresión [conclusión] ...................................................................................... 414
XVIII.l. Prueba de significación e intervalos de confianza ................................................................ 414
XVIII.2. Correlación no lineal y regresión ......................................................................................... 425
XVIII.3. Efectos de los errores de medición ...................................................................................... 431
XVIII.4. Escalas ordinales: correlación de rangos ............................................................................. 433
Bibliografía ......................................................................................................................................... 445
XIX. Correlación múltiple y parcial .................................................................................................... 447
XIX.1. Regresión múltiple y mínimos cuadrados- .............................................................................. 447
XIX.2. Correlación parcial ................................................................................................................. 451
XIX.3. Correlación parcial e interpretaciones causales....................................................................... 461
XIX.4. Mínimos cuadrados múltiples y los coeficientes beta ............................................................ 469
XIX.5. ¡Correlación múltiple ............................................................................................................. 473
XIX.6. Regresión múltiple y no linealidad ......................................................................................... 479
XIX.7. Pruebas de significación e intervalos de confianza ................................................................ 484
Bibliografía ......................................................................................................................................... 489
XX. Análisis de covariancia y variables simuladas ............................................................................ 491
XX.1. Relación de dos escalas de intervalo, control de la escala nominal ......................................... 492
XX.2. Relación de una escala de intervalo y una escala nominal, control de la escala de intervalo... 510
XX.3. Extensiones del análisis de covariancia ................................................................................... 516
XX.4. Análisis de la variable simulada .............................................................................................. 517
XX.5. Observaciones finales .............................................................................................................. 521
Bibliografía ......................................................................................................................................... 526
Quinta Parte
MUESTREO
XXI. Muestreo .................................................................................................................................... 531
XXI.1. Muestreo aleatorio sencillo ..................................................................................................... 532
XXI.2. Muestreo sistemático .............................................................................................................. 537
4
XXI.3. Muestreo estratificado ............................................................................................................ 539
XXIA. Muestreo por conglomerados ................................................................................................. 546
XXI.S. Muestreo sin probabilidad ...................................................................................................... 552
XXI.6. Errores no de muestreo y tamaño de la muestra ..................................................................... 553
Bibliografía ......................................................................................................................................... 554
APÉNDICES
I. Resumen de operaciones algebraicas .............................................................................................. 559
Cuadros ............................................................................................................................................... 565
Índice de figuras ................................................................................................................................. 599
Índice de cuadros ................................................................................................................................ 603
5
III. ESCALAS,
RAZONES
NOMINALES:
PROPORCIONES,
PORCENTAJES
Y
Es mucho más sencillo resumir los datos que comportan escalas nominales que en el caso en que se
emplean escalas de intervalo. La operación aritmética básica es, en el primer supuesto, la de contar el
número de los casos al interior de cada categoría y de anotar sus tamaños relativos. Un grupo determinado
puede constar de 36 varones y 24 mujeres, o de 25 protestantes, 20 católicos y 15 judíos. Sin embargo, para
poder establecer comparaciones con otros grupos, hay que tener en cuenta el número de casos en cada uno de
los grupos considerados. Las medidas que se examinan en el presente capítulo permiten establecer
comparaciones entre diversos grupos, mediante normalización esencialmente en relación con el tamaño. Sin
duda alguna, dos de las medidas en cuestión, la de las proporciones y la de los porcentajes, son ya conocidas
de todos.
III.l. Proporciones
Con objeto de poder servirnos de las proporciones, hemos de presumir que el método de
clasificación ha sido tal que las categorías son mutuamente exclusivas y exhaustivas. En otros términos: cada
individuo ha sido puesto en una categoría y en una sola. Con fines de simplificación, tomemos una escala
nominal que conste de cuatro categorías, con N1, N2, N3 y N4 casos respectivamente. Supongamos que el
número total de los casos sea N. La proporción de casos en cualquier categoría dada está definida como el
número en la categoría dividido entre el número total de casos. Por lo tanto, la proporción de individuos de la
primera categoría se halla dada por la cantidad N1/N, y las proporciones de las demás categorías son
respectivamente de N2/N, N3/N, N4/N . Es obvio que el valor de una proporción no puede ser mayor que la
unidad. En efecto, como quiera que
N1 + N2 + N3 + N4 = N
Tenemos que
N1 N 2 N 3 N 4 N
+
+
+
=
=1
N
N
N
N
N
Así pues, si adicionamos las proporciones de los casos en todas las categorías (mutuamente
exclusivas), el resultado es la unidad.
Es ésta una propiedad importante de las proporciones que se deja extender fácilmente a cualquier
número de categorías.
Ilustremos el empleo de las proporciones con los datos dados en el cuadro III.l.
CUADRO III.1 Número de delincuentes y de no delincuentes en dos localidades hipotéticas
Sujetos
Delincuentes
Primer delito
Reincidentes
No delincuentes
Total
Localidad 1
Localidad 2
58
43
481
68
137
1081
582
1286
Resulta más bien difícil decir cuál de las dos localidades cuenta con mayor número de delincuentes,
porque son diversamente grandes. En cambio, si expresamos los datos en términos de proporciones, podemos
establecer una comparación directa. En efecto, la proporción de primeros delitos es, en la comunidad 1, de
58/582, o .100; la de la localidad 2, en cambio, es de 68/1286 o sea .053. Las demás proporciones pueden
calcularse en forma análoga, resumiendo los resultados en forma de cuadro (cuadro III.2). El cuadro en
cuestión nos permite apreciar que los números relativos de delincuentes son muy parecidos en las dos
localidades, pero que la segunda de ellas contiene un número considerablemente más bajo de primeros
delitos y una proporción más alta de reincidentes.
6
CUADRO III.2. Proporciones de delincuentes y de no delincuentes en dos localidades hipotéticas
Sujetos
Delincuentes
Primer delito
Reincidentes
No delincuentes
Total
Localidad 1
Localidad 2
.100
.074
.826
.053
.107
.841
1.000
1.000
La suma de las proporciones de la localidad 2 no exactamente la unidad, debido a los errores de
redondeo. En ocasiones es conveniente presentar los datos de tal modo que las sumas sean exactamente igual
a 1.000. Esto puede acaso exigir el ajuste de algunas proporciones de las categorías que comprenden el
mayor número de casos. 1 El argumento a favor de este procedimiento está en que un cambio en la última
cifra decimal de una proporción mayor es relativamente menos importante que el mismo cambio en una cifra
menor. Así, por ejemplo, podría cambiarse la proporción de los no delincuentes de la localidad 2 en .840, de
modo que la suma resultante sea igual a la unidad.
El cuadro 111.2 comprende proporciones del número total de casos en cada una de las comunidades.
Supóngase, sin embargo, que el interés se centraba sobre todo en los delincuentes, y que deseábamos conocer
la proporción de los reincidentes entre los delincuentes. El número total de delincuentes en las dos
localidades es respectivamente de 101 y 205. Por lo tanto, entre los delincuentes, las proporciones de los
reincidentes son respectivamente de 43/101, o .426 y 137/205, o .668. A primera vista estas cifras pueden
proporcionar una impresión ligeramente diferente de la del primer conjunto de proporciones. Habríamos de
guardarnos especialmente de concluir que el segundo espécimen es “más delictivo” que el primero. Por
supuesto, este último conjunto de proporciones nada nos dice en absoluto acerca de las cifras relativas de no
delincuentes en los dos especímenes considerados. Es obvio que no existe sustitutivo alguno de la lectura
atenta de los cuadros. Constituye un buen principio acostumbrarse a determinar siempre las categorías que se
hallan comprendidas en el número total de casos que sirve de denominador de la proporción. El lector
debiera siempre preguntar: “¿de qué es esto la proporción?” Y la respuesta resultará clara del conjunto.
III.2 Porcentajes
Los porcentajes pueden obtenerse de las proporciones multiplicando simplemente por 100. La
palabra porcentaje significa por ciento. Por lo tanto, al servirnos de los porcentajes normalizamos en relación
con el volumen, calculando el número de individuos que habría en una categoría determinada si el total de
los casos fuera 100, permaneciendo inalterada la proporción en cada categoría. Y como quiera que las
proporciones sumadas dan la unidad, es obvio que los porcentajes sumarán 100, a menos que las categorías
no sean mutuamente exclusivas o exhaustivas.
Al reproducir resultados, los porcentajes se emplean con mucha mayor frecuencia que las
proporciones. Las cifras del cuadro III. 2 habrían podido expresarse lo mismo en términos de porcentajes.
Mejor que servirnos de los mismos datos, tomemos otro cuadro que puede servir para ilustrar otros diversos
aspectos. Supongamos que tenemos tres agencias de servicios domésticos con una distribución de casos
como la que se indica en el cuadro III.3.
Como es usual, los porcentajes se han dado hasta el primer decimal y se han operado los ajustes de
los últimos dígitos, de modo que los totales den exactamente 100. Aquí el número de casos de cada agencia
es lo suficientemente grande corno para justificar el empleo de porcentajes. Sin embargo, si el número de
casos hubiera sido menor, el empleo de aquéllos habría resultado equívoco. En efecto, supóngase que la
agencia C había tratado sólo 25 casos en total. Si hubiera habido cuatro madres solteras y siete parejas de
novios, los porcentajes en dichas categorías habrían sido respectivamente del 16 y del 28 por ciento. Y como
quiera que muchas personas acostumbran mirar sólo los porcentajes y no el número efectivo de casos
comprendidos, podría fácilmente obtenerse la impresión de que había muchas más parejas de novios que de
madres solteras. Como se verá cuando lleguemos a la estadística inductiva, la diferencia entre cuatro y siete
casos puede deberse perfectamente a factores puramente casuales. El empleo de los porcentajes y las
proporciones comporta por lo regular una estabilidad mucho mayor de las cifras. Por lo tanto, he aquí dos
1
Puede utilizarse exactamente el mismo procedimiento en el caso de porcentaje.
7
reglas generales importantes: 1)indíquese siempre el número de casos juntamente con los porcentajes o las
proporciones, y 2) no se calcule nunca un porcentaje, a menos que el número de casos en que está basado se
halle a proximidad de los 50 o más. Si el número de casos es muy pequeño, será preferible indicar el número
efectivo de ellos en cada categoría, sin recurrir a los porcentajes. En el caso anterior, por ejemplo,
indicaríamos simplemente que la agencia C había tratado cuatro madres solteras y siete parejas de novios.
CUADRO III.3. Distribución de los números y porcentajes de casos tratados
hipotéticas de servicios domésticos
Clase de casos
Agencia A
Agencia B
Agencia C
Nº
%
Nº
%
Nº
%
Matrimonios
63
47.3
88
45.5
41
36.6
Divorciados
19
14.3
37
19.2
26
23.2
Novios
27
20.3
20
10.4
15
13.4
Madres solteras
13
9.8
32
16.6
21
18.8
Otros
11
8.3
16
8.3
9
8.0
Total
133
100.0
193
100.0
112
100.0
por tres agencias
Total
Nº
192
82
62
66
36
%
43.8
18.7
14.2
15.1
8.2
438
100.0
Véase ahora la columna del total que indica la distribución en porcentajes de las tres agencias juntas.
Esas cifras se han obtenido sumando el número de casos de cada tipo y el número total de casos tratados por
las tres agencias juntas. Para el cálculo de los porcentajes totales se utilizó, pues, como base un N de 438.
Supóngase, sin embargo, que el número de casos no nos hubiera sido dado en el cuerpo del cuadro, sino que
se hubiera presentado como en el cuadro III.4. En tal caso podría darse la tentación de obtener los
porcentajes totales tomando directamente la media aritmética de los tres porcentajes de cada hilera.
Semejante procedimiento no tendría en cuenta el hecho de que las tres agencias habían tratado números
diferentes de casos; sólo se justificaría si los números de éstos fueran efectivamente iguales. El
procedimiento correcto consistiría en ponderar cada porcentaje por el número correspondiente de casos. Uno
de los medios para hacerlo consistiría en calcular hacia atrás para obtener el número efectivo de casos de
cada casilla. Lo que podría efectuarse multiplicando el número total de casos tratados por la agencia por la
proporción de una categoría determinada. Por ejemplo, (133) (.473) =63.
Cuadro III. 4. Distribución en porcentajes de los casos tratados por tres agencias hipotéticas de
servicios domésticos, con los porcentajes dispuestos verticalmente
Clase de casos
Matrimonios
Divorciados
Novios
Madres solteras
Otros
Total
Agencia A
(N=133)
%
47.3
14.3
20.3
9.8
8.3
Agencia B
(N=193)
%
45.5
19.2
10.4
16.6
8.3
Agencia C
(N=112)
%
36.6
23.2
13.4
18.8
8.0
100.0
100.0
100.0
Obsérvese que los porcentajes dados en los cuadros III.3 y III.4 tienen por objeto contestar a ciertas
preguntas y no otras. Nos permiten examinar cada agencia por separado y ver la distribución de los casos
tratados. Permiten además la comparación de las agencias entre sí en relación con los casos tratados. Así, por
ejemplo, la agencia B y C trataron relativamente más madres solteras y personas divorciadas de las que trató
la agencia A. Supóngase, sin embargo, que nos interesaban ante todo los casos de cierto tipo y el número
relativo de ellos tratados por cada agencia. Así, por ejemplo, podría eventualmente interesarnos saber el
porcentaje de todos los matrimonios que pasaron por la agencia B. En estas condicione resultaría más
conveniente calcular los porcentajes a través del cuadro. En efecto, podríamos tomar el número total de
matrimonios y ver cuáles porcentajes de dicha categoría fueron tratados respectivamente por las agencias A,
B y C. Los porcentajes sumarían entonces 100 en el sentido horizontal de cuadro, y no en el vertical, y los
resultados se resumirían como el cuadro III. 5.
8
CUADRO III.5. Distribución en porcentajes de los casos. Tratados por tres agencias hipotéticas de
servicios domésticos, con los porcentajes calculados horizontalmente
Agencia A
Agencia B
Agencia C
Total
Clase de casos
(N=133)
(N=193)
(N=112)
(N=438)
%
%
%
%
Matrimonios(N=: 192)
32.8
45.8
21.4
100.0
Divorciados(N = 82)
23.2
45.1
31.7
100.0
Novios(N= 62)
43.5
32.3
24.2
100.0
Madres solteras(N = 66)
19.7
48.5
31.8
100.0
Otros(N= 36)
–*
–*
–*
–*
* Los porcentajes no se calculan cuando la base es inferior a 50.
De modo que los porcentajes pueden calcularse tanto en sentido vertical como en sentido horizontal.
Por lo tanto, los cuadros han de examinarse siempre cuidadosamente para ver exactamente cómo se han
calculado aquéllos. Para los casos en que la propia teoría nos dicta cuál es la variable que debe ser
considerada causalmente primaria o independiente, podrá bastarnos una simple regla empírica. Si tenemos la
costumbre de situar la variable independiente en la parte alta del cuadro, y la variable dependiente al lado
izquierdo, los porcentajes sumarán 100 hacia abajo, y las comparaciones se harán de izquierda a derecha. En
el ejemplo relativo a la comparación de niveles de delincuencias en dos localidades, cabría normalmente
suponer que ciertas características locales pueden tener influencia sobre la delincuencia, más bien que a la
inversa.
Cuando computamos los porcentajes para que sumen 100 hacia abajo, lo que en realidad hacemos es
normalizar los tamaños de las localidades, ya que reconocemos que los factores que se refieren a sus tamaños
relativos, o los muestreos realizado dentro de cada localidad, no dependen causalmente de sus niveles de
delincuencia. Al computar hacia abajo los porcentajes controlando aquellos factores que afectan al tamaño de
los dos muestreos. Este punto quedará más en claro una vez que hayamos considerado el concepto de
inclinación de una línea recta en la que una de las variables figura como dependiente de la otra (ver capítulo
XVII).
Resultará que los porcentajes computados en la dirección sugerida pueden ser considerados como
casos especiales de dichos declives.
III.3. Razones
La razón de un número A con respecto a otro número B se define como A dividido entre B. La
cantidad que precede se pone en el numerador, en tanto que la que sigue forma el denominador. Supóngase
que en una elección local se hallan inscriptos 365 republicanos, 420 demócratas y 130 independientes en
calidad de votantes. En este caso la razón de los republicanos a los demócratas es de 365/420, y la de los
republicanos y los demócratas a los independientes es de (365+420)/130. Obsérvese que, a diferencia de la
proporción, la razón puede tomar un valor superior a la unidad. Vemos asimismo que la expresión que
precede o que sigue pueden constar, uno y otra, de cantidades distintas (v.gr. republicanos y demócratas).
Generalmente la razón se reduce a su expresión más simple eliminando en el numerador y el denominador
los factores comunes. Así, pues, la razón de los demócratas a los independientes se escribirá como 42/13 o
bien, en forma equivalente, como 42:13. En ocasiones es conveniente expresar la razón en términos de un
denominador formado por la unidad. Por ejemplo, la razón de los demócratas a los independientes puede
escribirse como 3.23 a 1.
Es obvio que las proporciones representan un tipo especial de razón en la que el denominador es el
número total de los casos y el numerador una cierta fracción del aquél. Sin embargo, el término de razón se
emplea por lo regular para referirse a casos en los que A y B representan categorías separadas y distintas.
Podríamos, por ejemplo, establecer la razón de los delincuentes a los no delincuentes, o de los matrimonios a
los novios. Es evidente que con cuatro o cinco categorías el número de razones posibles susceptible de
calcularse es muy grande. En consecuencia, a menos que el interés se centre ante todo en uno o varios pares
de categorías, será en general más económico y menos sujeto a confusión por parte del lector servirse de los
porcentajes y las proporciones. Obsérvese que, si las categorías sólo son dos, será posible calcular la
proporción directamente a partir de la razón y viceversa. Así, por ejemplo, si sabemos que la razón de los
varones a las mujeres es de 3:2, entonces en cada cinco personas ha de darse un promedio de tres varones y
dos mujeres. La proporción de los varones es, pues, de 3/5, o 6.
9
Las razones pueden expresarse en términos de cualquier base que resulte conveniente. La base de la
razón está indicada por la magnitud del denominador. Así, por ejemplo, las razones relativas al sexo se
indican convencionalmente en términos del número de varones por 100 mujeres. Por lo tanto, una razón de
94 en materia de sexo indicará que el número de los varones es ligeramente inferior al de las mujeres, en
tanto que una razón de sexos de 108 significaría una ligera preponderancia de los primeros. Las bases que
comportan números grandes, tales como 1000 o 100000, se emplean a menudo al calcular cuotas, otro tipo
de razón, cuando el empleo de las proporciones o los porcentajes conduciría a valores decimales pequeños.
Las cuotas de natalidad, por ejemplo, suelen darse en términos del número de nacimientos vivos por 1000
mujeres en edad de procrear. Las cuotas de asesinatos pueden darse en términos del número de asesinos por
100000 habitantes.
Las cuotas de crecimiento constituyen otro tipo corriente de razón. Al calcular una de estas cuotas,
tomamos el crecimiento efectivo durante el período considerado, dividido entre el volumen al principio del
período. Así, por ejemplo, si la población de una ciudad aumenta de 50000 a 65000 entre 1940 y 1950, la
cuota de crecimiento durante el decenio en cuestión será de
65000 – 50000
=.30
50000
o 30 por ciento. En el caso de cuotas de crecimiento, es obvio, que los porcentajes se prestan bien
más allá del 100 por ciento, en tanto que serán negativos si la ciudad ha experimentado un descenso de
población.
GLOSARIO
Porcentaje
Proporción
Tasa
Razón
EJERCICIOS
1. Supóngase que se da el siguiente cuadro que muestra la relación entre la asistencia a la iglesia y el
año de clase en una determinada universidad:
Asistencia
Año de clase
Total
A la Iglesia
1er. Año
2º. Año
Inferior
Superior
Asistencia regular
83
71
82
59
295
Asistencia irregular
31
44
61
78
214
Total
114
115
143
137
509
a) ¿Cuál es el porcentaje de asistencia regular en el conjunto? Respuesta, 57.96 %.
b) ¿Cuál es la razón de los estudiantes de primer año a los del año superior?
c) Entre los asistentes regulares, ¿cuál es la razón de los años inferiores a los superiores (de los 1º y
2º años a los años inferior y superior)? Respuesta, 1.09 a 1.
d) ¿Cuál es la proporción de los asistentes irregulares entre los estudiantes del año superior? ¿La
proporción de estudiantes de año superior entre los asistentes irregulares? Respuesta .364; .569:
e) ¿Hay relativamente más asistentes irregulares entre los estudiantes de lº y 2º años que entre los de
las clases inferior y superior? Exprésense los resultados en porcentajes.,
f) Resúmanse los datos en varías proposiciones.
2. Al estudiar la relación entre la productividad industrial y el tipo de líder de los grupos, un
psicólogo social obtiene los siguientes datos, que muestran los niveles de productividad agrupados en tres
tipos distintos de dirección:
Productividad
Grupo de tipo de líder del grupo
Total
Democrático
Liberal
Autoritario
Alta
37
36
13
86
Mediana
26
12
71
109
Baja
24
20
29
73
Total
87
68
113
268
10
a) ¿En qué dirección preferiría el lector calcular los porcentajes? ¿Por qué?
b) Calcúlense los porcentajes y resúmanse los datos en forma breve.
c) ¿Cuál es la razón de los productores de nivel alto a los de nivel bajo en cada uno de los grupos?
En relación con estos datos particulares, ¿resumen las tres razones la situación de modo
adecuado? Explíquese.
3. Si la razón de los blancos a los no blancos es de. 8/5 en una determinada localidad, ¿cuál es la
proporción de los no blancos? Supóngase que la razón de los blancos a los negros fuera de 8/5, ¿podría
obtenerse la proporción de negros en la misma forma? ¿Por qué, o por qué no?
4. Si una ciudad tenía una población de 153468 habitantes en 1940 y de 176118 en 1950, ¿Cuál fue
la tasa de crecimiento (expresada en porcentaje) entre 1940 y 1950? Respuesta, 14.76%.
5. Si en un determinado condado hay 12160 varones y 11913 mujeres, ¿cuál es la razón entre los
sexos (expresada en términos del número de varones por 100 mujeres)?
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BIBLIOGRAFÍA
Anderson, T.R. y M. Zelditch: A Basic Course in Statistics, 2ª ed, Holt, Rinehart and Winston, Inc. Nueva
York, 1968, pp. 24 a31
Freeman, L.C. : Elementary Applied Statistics, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1965, cap. 4
Hagood, M. J y D.O. Price: Statistics for Sociologists, Henry Holt and Company, Inc., Nueva York, 1952,
cap. 7.
Weiss, R.S. : Statistics in Social Research, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1968, cap. 4.
Zeisel, Hans: Say It with Figures, 5ª edición, Harper and Row, Publishers, Incorporated,
Nueva York, 1968 caps. 1 y 2.
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