π ψ π ψ 102 ×

Profesor Joel Saavedra
Ayud.: Franco Mangili
GUIA # 4 – FISICA MODERNA
ECUACION DE SCHRODINGER Y PROBABILIDADES
1. Un electrón tiene asociada la función de onda ψ ( x ) =
2
⎛ 2πx ⎞
sin ⎜
⎟ . Determinar la
L ⎝ L ⎠
probabilidad de encontrar el electrón entre x=0 y x=L/4.
Sol.: 25%.
2. Una partícula en un pozo de potencial infinito tiene una función de onda dada por:
2 ⎛ 2πx ⎞
sin ⎜
ψ (x ) =
⎟ para 0 ≤ x ≤ L y cero para cualquier otro caso. Se pide determinar:
L ⎝ L ⎠
a. El valor de esperanza de x. (En otras palabras, ¿Dónde está la máxima
probabilidad?)
b. La probabilidad de encontrar la partícula cerca de L/2, calculando la probabilidad
de que la partícula se encuentre en el intervalo 0.49 L ≤ x ≤ 0.51L .
c. La probabilidad de encontrar la partícula cerca de L/4. ¿Qué puede concluir de
aquí?
Sol: a) L/2 b) 5.26x10-5 c) 3,99x10-2.
3. Emplee el modelo de la partícula en una caja unidimensional para calcular los tres
primeros niveles de energía de un neutrón M n = 1.6749 × 10 −27 kg atrapado en un núcleo
de L= 2 × 10−5 nm.
Sol: 0.513 MeV; 2,05 MeV; 4,62 MeV
4. Considere una partícula alfa modelada como una partícula que se mueve en una caja de
10-14 m de ancho (lo cual corresponde aproximadamente al diámetro nuclear). Aplicando
este modelo, estime la energía y el momentum lineal de la partícula alfa en su estado de
energía mas bajo. La masa de la partícula alfa es 6.64x10-27 kg.
Sol: 0.516MeV ; 3.31x10-20kg m/s .
5. Un electrón está contenido en una caja unidimensional de 0,1nm de ancho:
a. Calcule la energía de los cuatro primeros niveles y dibújelas en un diagrama.
b. Determine la longitud de onda de todos los fotones que se pueden emitir cuando
el electrón efectúe las transiciones desde el nivel n = 4 hasta n = 1.
Sol: a. 37,7 eV ; 151 eV ; 339 eV ; 603 eV .
b. 2,20 nm ; 2,75 nm ; 4,71 nm ; 4,12 nm ; 6,59 nm ; 11,0 nm
6. Un láser de rubí emite luz de 694.3nm. Si esta luz se debe a transiciones experimentadas
por un electrón en una caja desde el estado n=2 a n=1, encuentre el ancho de la caja.
Sol: 7.93 A.
7. Un electrón se encuentra confinado en un pozo de potencial infinito, cuyo L = 2 A.
Calcular:
a. La más pequeña energía posible E 1 que puede tener , en eV.
b. La diferencia ΔE de energía entre E1 y la siguiente energía E2.
c. La longitud de onda de un fotón con energía ΔE.
d. Si en el pozo, en vez del electrón hubiese un grano de arena, cuya masa es 10 – 7
Kg, siendo el ancho del pozo 1 mm ¿cuáles serán los nuevos valores de E1 y de
ΔE?
Sol: a. 9,34 eV, b. 28,0 eV, c. 440 A, d. 3,4x10-36eV; 10,2x10-36 eV.
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8. Una partícula de masa m se mueve en un pozo de potencial de ancho 2 L,− L ≤ x ≤ L , y en
este pozo el potencial está dado por V ( x ) =
− h2 x2
. Además, la partícula está en
m L2 ( L2 − x 2 )
un estado estacionario descrito por la función de onda ψ ( x ) = A(1 − x 2 / L2 ) para
− L < x < L y ψ ( x ) = 0 en cualquier otro punto.
a. Determine la energía de la partícula en términos de h ,L,m.
b. Calcule la constante A.
c. Determine la probabilidad de encontrar la partícula entre –L/3 y L/3.
Sol: a. E=ћ/mL2 b. A=(15/16L)1/2 c. 0.580.
9. Un electrón de 5eV incide sobre una barrera de 0,20 nm de espesor y 10eV de altura.
¿Cuál será la probabilidad de que el electrón?:
a. Efectúe tunneling a través de la barrera.
b. Se refleje.
Sol: a. 4% b. 96%
10. Una partícula que tiene 5eV de energía cinética en una región donde la energía potencial
es nula, se dirige hacia una región donde hay un escalón de potencial de 4 eV. Según la
mecánica cuántica: ¿Cuáles son los coeficientes de reflexión y de transmisión en la
posición donde comienza el escalón?
Sol: 0.14 ; 0.86.
11. Un electrón se representa por medio de la siguiente función de onda, independiente del
−α x
tiempo: ψ (x ) = Ae
para todo x.
a. Dibuje la función de onda como función de x.
b. Determine la probabilidad de que el electrón se encuentre entre x y x+dx y
represente ψ *ψ versus x.
c. ¿Por qué supondría usted que esta función de onda es físicamente razonable?
d. Normalice la función de onda.
e. Encuentre la probabilidad de encontrar al electrón en entre x1 = −
Sol: b) P=A2e-2ax para x>0 y A2e-2ax
d) A= α1/2 e) 0.632.
α
y x2 =
α
.
2
2
para x<0. c) Ψ es continua, ΨÆ0 cuando xÆ infinito.
12. Una partícula se mueve desde los valores negativos del
eje x hacia una barrera de potencial, el cual está dado por
la siguiente función dependiente de x.
⎧V 0 ≤ x ≤ a
V (x ) = ⎨ 0
⎩0 en otro caso.
Para el caso en que E < V0 , determine los coeficientes de
las soluciones de la ecuación de Schrödinger, en función
del coeficiente de la solución que representa la onda
incidente.
Sol: B=(-A(α2-k2) senh αa)/R ; C=A(k2-ikα)e-αa/R; D=-A(k2+ikα)eαa/R; F=-2Aikα e-ikα/R
R=(α2-k2)senh(αa) – 2iαk cosh(αa)
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13. Considerando las funciones de potencial mostradas en la figura, escriba las expresiones
que representan las funciones de onda en cada una de las regiones establecidas en el eje x
, suponiendo que la partícula incide desde el lado positivo del eje x, para el caso en que
V0 < E < V0 ' .
Sol: Ψ1=Ge-ikx Ψ2=Eeik’x + Fe-ik’x Ψ3=Ceα’x + De-α’x Ψ4=Ae-ikx + Beikx
14. Dada la función potencial mostrada en la figura y suponiendo que la partícula procede
desde el lado negativo del eje x, escriba la función de onda en cada una de las regiones
para el caso en que E > V0 .
Sol: ψ 1 = A e ikx + B e –ikx ; ψ 2 = C e ik’x + D e –ik’x ;
ψ 3 = E e –ikx + F e ikx ; ψ 4 = G e –k’x + H e ik’x ;
ψ 5 = I e ikx .
Problemas sin respuesta:
15. Una partícula se encuentra en el interior de un pozo infinito de potencial, siendo V=0 si
0<x<L y V es infinito para otro valor de x. La partícula está en un estado estacionario
descrito por la función:
2
5πx
ψ (x ) =
sin
.
L
L
a. Haga un diagrama que muestre ψ ( x ) y ψ ( x ) en función de x.
2
b. Calcule la probabilidad de hallar esta partícula en el intervalo entre 0,5L y 0,6L.
c. Determine el valor esperado de p.
d. Determine el valor medio del operador momentum. pˆ = ∫ ψ * ( x ) pˆ ψ (x )dx .
∞
−∞
e. ¿Cuál es la energía cinética de la partícula?
f. Si la partícula experimenta una transición al nivel fundamental de este pozo,
¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido?
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16. Una partícula está dada por la función de onda
iE
⎧ 2
πx −
cos e t
si − L2 < x < L2
⎪
ψ ( x, t ) = ⎨ L
L
⎪0
en otro caso
⎩
a. Determine si la función dada está normalizada.
b. Calcule la probabilidad de hallar la partícula en el intervalo − L4 ≤ x ≤ L4 .
c. Calcule la probabilidad de encontrar la partícula cerca de x = − L4 .
d. Determine el valor esperado de p 2 para esta partícula.
17. Un electrón de masa m se encuentra en un cubo metálico de lado a. Aplicando el modelo
del electrón libre, suponiendo que fuera del metal la energía potencial es infinita:
a. Escriba y resuelva la ecuación de Schrödinger para la función de onda que
representa al electrón.
b. Determine la expresión general de la energía del electrón.
c. Escriba todas las funciones de onda que representan al electrón, cuando este se
encuentra en los tres niveles de energía más baja e indique qué niveles son
degenerados, y en el caso afirmativo, su orden de degeneración.
d. Si el lado a es grande, calcule la densidad de estados.
e. Si la energía del electrón en su estado fundamental fuese 1eV, calcule el valor del
lado a.
f. ¿Cuál es el valor de la energía en el nivel más próximo al fundamental?.
18. Considere una partícula de masa m descrita por la siguiente función de onda:
⎧⎪2 a 3 xe−αx , x > 0
ψ (x ) = ⎨
⎪⎩0, x < 0
a. Determine la posición más probable de la partícula.
b. Calcule el valor medio del operador momentum.
c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula entre x=0 y x=1/a?
¡¡Las reglas de la mecánica cuántica también son aplicables aquí!!
¿Por qué? Es tarea suya…
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