Unidad Nº 8 Teoría de Probabilidades Esta unidad se mostrará varias reglas de probabilidad básica que pueden usarse para evaluar la posible ocurrencia de diferentes fenómenos. Se analizarán tres diferentes planteamientos para determinar probabilidades que len usarse en diferentes situaciones. Después veremos cómo calcular una variedad de diferentes tipos de probabilidades. 8.1 Teorías de Probabilidad Probabilidad objetiva y subjetiva ¿Qué queremos decir con la palabra probabilidad? La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. Se podría referir a 1) La posibilidad de sacar una carta con figura negra de una baraja. 2) La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados esté satisfecho con su trabajo. 3) La posibilidad que tenga éxito un nuevo producto en el mercado. En cada uno de estos ejemplos, la probabilidad involucrada es una proporción cuyo valor varía entre 0 y 1 exclusivamente. Observamos que un evento o tiene posibilidad de ocurrir (es decir, el evento nulo) tiene una probabilidad de cero, mientras que un evento que seguramente ocurrirá (es decir, el evento cierto) tiene una probabilidad de uno. Cada uno de los ejemplos anteriores se refiere a uno de los tres planteamientos del tema de la probabilidad. El primero a menudo se denomina como el planteamiento de la probabilidad clásica a priori. Aquí la probabilidad de éxito se basa en el conocimiento anterior al proceso involucrado. En el caso más simple, cuando cada resultado es igualmente posible, esta posibilidad de ocurrencia del evento puede definirse de la siguiente manera: Probabilidad de ocurrencia = X / T ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 1 X = número de resultados en los que ocurre el evento que buscamos T = número total de resultados posibles Por ejemplo se toma una baraja francesas estándar. Si queremos encontrar la probabilidad de sacar una carta negra (donde definimos negro como "éxito") la respuesta correcta sería 26/52 o 1/2, puesto que hay 26 cartas negras en una baraja estándar. ¿Qué nos dice esta probabilidad? Si reemplazamos cada carta después de extraerla, ¿significa esto que una de las dos siguientes cartas seleccionadas será negra? No, por el contrario, no podemos asegurar lo que sucederá en las siguientes selecciones. Sin embargo, podemos decir que a largo plazo, si este proceso de selección se repite continuamente, la proporción de cartas negras seleccionadas se acercará a 50. En este primer ejemplo, el número de éxitos y el número de resultados se conocen a partir de la composición de la baraja. Sin embargo, en el segundo planteamiento de probabilidad, llamado el enfoque de probabilidad clásica empírica, aunque la probabilidad se sigue definiendo como la proporción entre el número de resultados favorables y el número total de resultados, estos resultados se basan en datos observados, no en el conocimiento anterior a un proceso. En nuestro segundo ejemplo, de la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados, la probabilidad de que un empleado esté satisfecho con su trabajo puede encontrarse seleccionando una muestra aleatoria de empleados de la población completa. Supongamos que de la Encuesta se seleccionó la muestra de 400 empleados. De estos 400 empleados, 356 estaban satisfechos con su trabajo. Por consiguiente, la probabilidad de que un empleado seleccionado aleatoriamente esté satisfecho con su trabajo (es decir, la probabilidad de ocurrencia) es 356/400 ó 0.89. El tercer planteamiento de probabilidad se denomina el enfoque de probabilidad subjetiva. Mientras que en los dos anteriores enfoques la probabilidad de un evento favorable se calculaba objetivamente, ya fuera de un conocimiento previo o de datos reales, la probabilidad subjetiva se refiere a la posibilidad de ocurrencia asignada a un evento por un individuo particular. Esta posibilidad puede ser bastante diferente de la probabilidad subjetiva asignada por otro individuo. Por ejemplo, el inventor de un nuevo juguete puede asignar una probabilidad muy diferente a la oportunidad de éxito del ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 2 juguete que el presidente de la compañía que está considerando comercializar el juguete. La asignación de probabilidades subjetivas a diversos eventos generalmente se basa en una combinación de la experiencia del individuo, la opinión personal y el análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es especialmente útil para la toma de decisiones en aquellas situaciones en que la probabilidad de diversos eventos no puede determinarse empíricamente. Conceptos de probabilidad básica Espacios de muestras y eventos: Los elementos básicos de la teoría de probabilidades son los resultados del proceso o fenómenos bajo estudio. Cada tipo posible de ocurrencia se denomina un evento. Un evento simple puede describirse mediante una característica sencilla. La compilación de todos los eventos posibles se llama el espacio muestral. Podemos lograr una mejor comprensión de estos términos refiriéndonos a dos ejemplos. Primero, examinemos la baraja estándar de 52 cartas de juego en la que hay cuatro palos (espadas, corazones, tréboles y diamantes), cada uno de los cuales tiene 13 cartas diferentes (as, rey, reina, sota, 10,9,8,7, 6,5,4,3,2). Si seleccionamos aleatoriamente una carta de la baraja 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea negra? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as negro? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea negra o un as? 5. Si supiéramos que la carta seleccionada es negra, ¿cuál es la probabilidad de que también sea un as? Como segundo ejemplo, refirámonos a los datos recolectados en la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados analizada anteriormente. Suponga que de la muestra total de 400 empleados, escogemos una sola persona aleatoriamente. 1. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado esté (muy o moderadamente) satisfecho con su trabajo? ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 3 2. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado haya "progresado" (rápido o continuamente) en la organización? 3. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado esté satisfecho y haya "progresado" en la organización? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado esté satisfecho o haya , "progresado" en la organización ? 5. Suponga que sabemos que el empleado ha "progresado" en la organización. ¿Cuál sería la probabilidad que el empleado esté satisfecho con su trabajo? En el caso de la baraja, el espacio muestral consiste en toda la baraja de 52 cartas completado con varios eventos, dependiendo de cómo se clasifiquen. Por ejemplo, si los eventos se clasifican por palo, hay cuatro eventos; espada, corazón, trébol y diamante. Si los eventos se clasifican por valor de la carta, hay trece eventos: as, rey, ...y 2. Por otra parte, de la Encuesta sobre la satisfacción de los empleados, el espacio muestral se basa en las respuestas obtenidas de los 400 empleados. Los eventos simples para las dos preguntas que aquí interesan son los siguientes: 1) Para la pregunta 4 referente a la satisfacción en el trabajo, existen cuatro eventos simples: muy satisfecho, moderadamente satisfecho, un poco insatisfecho y muy insatisfecho. Para nuestros propósitos en esta unidad, desglosaremos éstos en dos eventos simples: (1) "satisfecho", que consiste en muy satisfecho y moderadamente satisfecho, y (2) insatisfecho, que consiste en un poco insatisfecho y muy insatisfecho. 2) Para la pregunta 5 referente al progreso, también existen cuatro eventos simples: progreso rápido, progreso continuo, permanencia en el mismo nivel y pérdida de cierto terreno. Para nuestros propósitos en esta unidad, los reduciremos a dos eventos simples: (1) "progreso", que consiste en progreso rápido y progreso continuo, y (2) "no progreso" , que consiste en permanencia en el mismo nivel y pérdida de cierto terreno. La manera en que se subdivide el espacio muestral depende de los tipos de probabilidades que se han de determinar. Tomando esto en cuenta, resulta de interés definir tanto el complemento de un evento como un evento conjunto de la siguiente manera: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 4 El complemento del evento A incluye todos los eventos que no son parte del evento A. Está dado por el símbolo A'. El complemento del evento negro consistiría en todas las cartas que no fueron negras (es decir, todas las cartas rojas). El complemento de espada contendría todas las cartas que no fueran espadas (es decir, diamantes, corazones y tréboles). El complemento de satisfecho con el trabajo es no satisfecho con el trabajo. Un evento conjunto es un evento que tiene dos o más características. El evento as negro es un evento conjunto, puesto que la carta debe ser negra y as para calificar como as negro. De manera similar, el evento "el empleado está satisfecho y ha progresado en la organización" es un evento conjunto, puesto que el empleado debe estar satisfecho con el trabajo y también debe haber progresado en la organización. Tablas de contingencias y diagramas deVenn Existen varias formas en las que puede verse un espacio muestral particular. El primer método implica asignar los eventos apropiados a una tabla de clasificaciones cruzadas. Tal tabla también se denomina tabla de contingencias. Si las dos variables de interés para el ejemplo de las cartas fueran "presencia as" y "color de carta", la tabla de contingencias tendría el aspecto que muestra tabla 8.1. Tabla 8.1 Tabla de contingencias para variables de color de carta. Rojo Negro Totales As 2 2 4 No As 24 24 48 Totales 26 26 52 Los valores de cada celda de la tabla se obtuvieron subdiviendo el espacio muestral de 52 cartas de acuerdo con el número de ases y el color de la carta. Puede ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 5 observarse que si se conocen los totales de fila y columna (margen), sólo se necesita una entrada de celda en esta tabla de 2 x 2 para obtener las entradas de las tres celdas restantes. La tabla de contingencias para los 400 empleados muestreados en industrias se desarrolla utilizando un paquete de computadora para hacer una clasificación cruzada de las dos variables de interés, la satisfacción en el trabajo y el progreso en la organización. Los resultados con las categorías desglosadas en satisfecho y no satisfecho y progreso y no progreso, se representa en la tabla 6.2. Tabla 8.2 Tabla de contingencias para satisfacción con el trabajo y progreso en la organización. Avance Satisfacción con el trabajo Sí No Sí 194 162 356 No 14 30 44 208 192 400 Totales Total Una tabla de contingencias proporciona una clara presentación del número de resultados posibles de las variables relevantes. La segunda forma de presentar el espacio muestral es usando un diagrama de Venn. Este diagrama representa gráficamente los diversos eventos como “uniones" e "intersecciones" de círculos. La figura 8.1 representa un diagrama de Venn típico para una situación de dos variables, en donde cada variable tiene sólo dos eventos (A y A', B y B'). El círculo de la izquierda (el más oscuro) representa todos los eventos que son parte de A. El círculo de la derecha (el más claro) representa todos los eventos que son parte de B. El área contenida dentro del círculo A y del círculo B (área central) es la intersección de A y B (y se escribe A ∩ B), puesto que esta área es parte de A y también parte de B. El área total de los dos circuitos es la unión de A y B (y se escribe A U B) ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 6 Figura 8.1 Diagrama de Venn para los eventos A y B. y contiene todos los resultados que son parte del evento A, parte del evento B o parte de ambos A y B. El área del diagrama fuera de A U B contiene aquellos resultados que no son parte de A ni son parte de B. Para desarrollar un diagrama de Venn, A y B deben estar definidos. No importa que evento se define como A o B, siempre y cuando se sea consistentes en evaluar diversos eventos. Para el ejemplo del juego de cartas, los eventos pueden definirse de la siguiente manera: A = as B = negra A' =~ no as B'= roja Al trazar el diagrama de Venn (véase la figura 8.2), el valor de la intersección A y B debe determinarse de manera que el espacio muestral pueda dividirse en sus partes. A ∩ B consiste en todos los ases negros de la baraja (es decir, los dos resultados as de espadas y as de tréboles). Puesto que hay dos ases negros, lo restante del evento A (as) consiste en los ases rojos (hay dos). Lo restante del evento B (cartas negras) consiste en todas las cartas negras que no son ases (hay 24). Las cartas restantes son aquellas que no son negras ni ases (también hay 24). ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 7 Figura 8.2 Diagrama de Venn para el ejemplo de la baraja. Probabilidad (marginal) simple Hasta aquí el desarrollo se ha concentrado en el significado de la probabilidad y en definir e ilustrar varios espacios de muestra. Ahora comenzaremos a responder algunas de las preguntas formuladas anteriormente, desarrollando reglas para obtener distintos tipos de probabilidad. La regla más evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de 0 a 1. Un evento imposible tiene una probabilidad 0 de ocurrir, y un evento cierto tiene una probabilidad 1 de ocurrir. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, P(A), como La probabilidad de seleccionar una carta negra. La probabilidad de seleccionar un as. La probabilidad que el empleado esté satisfecho con su trabajo. La probabilidad que el empleado haya progresado en la organización. Ya hemos notado que la probabilidad de seleccionar una carta negra es 26/52 lo 1/2, puesto que hay 26 cartas negras en la baraja de 52 cartas. ¿Cómo encontraríamos la probabilidad de seleccionar un as de la baraja? Hallaríamos el número de ases de la baraja sumando los ases negros y los ases rojos de la baraja: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 8 P(as) = número de ases en la baraja As número de cartas en la baraja = número de ases rojos + número de ases negros total de número de cartas = 2+2 = 4 52 52 La probabilidad simple también se denomina probabilidad marginal, puesto que el número total de éxitos (ases en este caso) puede obtenerse del margen apropiado de la tabla de contingencias (véase la tabla 8.1). La probabilidad de un as, P(A), también podría obtenerse a partir del diagrama de Venn (figura 8.2) observando el número de resultados contenidos en el círculo A. Hay cuatro: dos contenidos en A ∩ B y dos fuera de A ∩ B. Esto, claro está, nos da el mismo resultado que el análisis de la tabla de contingencias. Probabilidad Conjunta Mientras la probabilidad marginal se refiere a la ocurrencia de eventos simples, la probabilidad conjunta se refiere a fenómenos que contienen do s o más eventos, como la probabilidad de un as negro, una reina roja o un empleado que esté satisfecho con el trabajo y haya progresado dentro de la organización. Recuerde que un evento conjunto A y B significa que ambos eventos A y B deben ocurrir simultáneamente. Si se observa la tabla 8.1, esas cartas que son negras y ases consisten sólo en los resultados de la celda simple “as negro”. Como hay dos ases negros, la probabilidad de escoger una carta que sea as negro es: P (As negro) = número de ases negros . número de cartas en la baraja = 2 52 Este resultado también puede obtenerse examinando el diagrama de Venn de la figura 8.2. El evento conjunto A y B (as negro) consiste en la intersección (A ∩ B) de los ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 9 eventos A (as) y B (negro), que contiene dos resultados. En consecuencia, la probabilidad de un as negro es igual a 2/52. La probabilidad de elegir un empleado que esté satisfecho con su trabajo y haya progresado dentro de la organización se obtendría de la tabla 8.2 de la siguiente manera: P(satisfecho y ha progresado) = 194 = 0.485 400 puesto que hay 194 empleados que están satisfechos con su trabajo y han progresado dentro de la organización. Ahora que hemos analizado el concepto de probabilidad conjunta, la probabilidad marginal de un evento particular puede verse de una manera alternativa. Se ha mostrado que la probabilidad marginal de un evento consiste en un conjunto de probabilidades conjuntas. Por ejemplo, si B consiste en dos eventos, B1 y B2, entonces podemos observar que P(A), la probabilidad del evento A, consiste en la probabilidad conjunta del evento A que ocurre con el evento B1 y la probabilidad conjunta del evento A que ocurre con el evento B2. Por lo tanto, en general, P(A) = P(A y Bl )+ P(A y B2) +... + P(A y Bk ) donde B1 , B2 ..., Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Dos eventos son mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dos eventos son colectivamente exhaustivos si uno de los eventos debe ocurrir. Por ejemplo, ser hombre y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Nadie es ambos (son mutuamente excluyentes) y todos son uno u otro (son colectivamente exhaustivos). Por consiguiente, regresando a nuestro primer ejemplo, la probabilidad de un as puede expresarse de la siguiente manera: P (As) = P ( As rojo) + P (As Negro) ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 10 = 2 + 2 52 = 52 4 52 Este es, claro está, el mismo resultado que obtendríamos si sumáramos el número de resultados que constituyeron el evento simple “as”. Axiomas. Teoremas Definición: La probabilidad de un nuevo suceso A; P(A) es una función que a cada elemento del espacio muestral le hace corresponder un n° real no negativo que cumple con los siguientes axiomas: 1) P(A) 0 para todo suceso A 2) P (S) = 1 3) P (A B) = P(A) + P(B) AB=Ø si S P R {0} Aclaraciones: Las operaciones entre conjuntos son , , complemento, etc. Las operaciones entre probabilidades son +, - x, log, etc. Nunca: P (A) P(B) ; P(A) * P(B) √ P(A) Teoremas derivados de los axiomas: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 11 1) P(Ac) = 1 – P(A) P(S) = 1 P(A Ac) = 1 P(A) +P(Ac) = 1 P (Ac) = 1 – P(A) 2) A y B son sucesos cualquiera: P (A B) = P(A) + P(B) – P(A B) A B 3) P (Ø) = 0 S Ø=S P(S) + P (Ø) = P(S) 1 + P (Ø) = 1 P(Ø) = 1 – 1 = P(Ø) = 0 Reglas de Conteo Cada regla de probabilidad que se ha expuesto ha involucrado el conteo del número de resultados favorables y el número total de resultado. En muchas oportunidades debido al gran número de posibilidades existentes, no es factible ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 12 enumerar cada una de los resultados. A continuación se exponen diferentes reglas de conteo. Primero que nada, suponga que una moneda se ha lanzado al aire 10 veces, ¿Cómo determinaríamos el número de diferentes resultados posibles (las secuencias de caras y cruces)? Regla 1: Si cualquiera de K eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n intentos, el número de resultados posibles es: Kn Si una moneda (con dos lados) se arroja 10 veces, el número de resultados es 210 = 1.024 Si un dado (con seis lados) se lanza dos veces, el número de resultados es 6 2 = 36. La segunda regla de conteo es una versión más general de la primera. Para ilustrar esta regla, suponga que el número de eventos posibles es diferente en algunos de los intentos. Por ejemplo, en la Dirección Provincial de vehículos automotores se desea saber de cuántos números de placas policiales se dispondría si la placa consistiera en tres letras seguidas de tres dígitos. El hecho que tres valores sean letras (cada una con 26 resultados posibles) y tres posiciones sean dígitos (cada uno con 10 resultados) lleva a la segunda regla de conteo. Regla de conteo 2: Si hay k, eventos del primer intento, k2 eventos del segundo intento y Kn eventos del n ésimo intento, entonces el número de resultados posibles es (K1) (K2) ... (Kn) Por lo tanto, si una placa policial consistiera de tres letras seguidas de tres dígitos, el número total de resultados posibles sería entonces (26)(26)(26)(10)(10)(10) = 17,576,000. Tomando otro ejemplo, si un menú de restaurante tuviera una cena completa de precio fijo que consistiera en un aperitivo, entrada, bebida y postre y hubiera la opción de cinco aperitivos, diez entradas, tres bebidas y seis postres, el número total de cenas posibles sería (5) (10) (3) (6) = 900. ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 13 La tercera regla de conteo involucra el cálculo del número de formas en que un conjunto de objetos puede ordenarse. Si un conjunto de seis libros de texto se tiene que colocar sobre una repisa, ¿Cómo se puede determinar el número de formas en que los seis libros pueden acomodarse? Se puede comenzar dándonos cuenta que cualquiera de los seis libros podría ocupar la primera posición en la repisa. Una vez que se llena la primera posición, hay cinco libros por escoger para llenar la segunda. Este procedimiento de asignación se continúa hasta que se ocupen todas las posiciones. Esta situación puede generalizarse como la regla de conteo 3. Regla de conteo 3: El número de formas en que los n objetos pueden ordenarse n! = n ( n – 1) ... (1) donde n! se denomina n factorial y 0! se define como 1. El número de formas en que los seis libros pueden ordenarse es n! = 6! = (6) (5) (4) (3) (2) (1) = 720 En muchos casos necesitamos saber el número de formas en que un subconjunto del grupo completo puede ordenarse. Cada arreglo posible se llama una permutación. Por ejemplo, modificando el problema anterior, si se tienen seis libros de texto, pero sólo hay espacio para cuatro libros en el estante, ¿ de cuántas formas se pueden acomodar estos libros en el estante? Regla de conteo 4: Permutaciones: El número de modos de ordenar X objetos seleccionados de n objetos es n! (n! – X!) Por lo tanto, el número de arreglos ordenados de cuatro libros seleccionados de seis libros es igual a: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 14 n! = (n -X)! 6! = 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 360 (6- 4)! 2! (2)(1) Finalmente, en muchas situaciones no estamos interesados en el orden de los resultados, sino sólo en el número de formas en que X objetos pueden seleccionarse de n objetos, sin tomar en cuenta el orden. Esta regla se llama de combinaciones. Regla de conteo 5: Combinaciones: El número de modos de seleccionar X objetos de n objetos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a n! X! (n – X)! Esta expresión puede denotarse mediante el símbolo n X Comparando esta regla con la anterior, vemos que difiere sólo en la inclusión de un término X! en el denominador. Esto se debe a que cuando contamos permutaciones, todos los arreglos de X objetos eran distinguibles; con 1as combinaciones, los X! arreglos posibles de objetos no son importantes. Así, el número de combinaciones de cuatro libros seleccionados de seis libros se expresa mediante : n! = 6! X! (n -X)! 4! (6- 4)! = 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 4!2! 15 (4)(3)(2)(1)(2)(1) Probabilidad condicional Cada ejemplo que se ha estudiado hasta aquí en esta unidad ha involucrado probabilidad de un evento particular al tomar una muestra del espacio muestral ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 15 completo. Sin embargo, ¿cómo hallaríamos diversas probabilidades si ya conociera cierta información respecto a los eventos involucrados? Por ejemplo, se nos hubiera dicho que una carta era negra, ¿cuál sería la probabilidad que la carta fuera un as? O si se nos hubiera dicho que un empleado ha progresado en la organización, ¿cuál sería la probabilidad que estuviera satisfecho con el trabajo? Cuando se está calculando la probabilidad de un evento particular A, dada información sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se denomina probabilidad condicional, P(A\B) La probabilidad condicional P(A\B) puede definirse de la siguiente manera: P (A\B) = P ( A y B ) P (B) donde P(A y B) = probabilidad conjunta de A y B P(B) = probabilidad marginal de B En vez de usar la ecuación anterior para encontrar la probabilidad condicional, podemos usar la tabla de contingencias o el diagrama de Venn. En el primer ejemplo, deseamos encontrar P(as negro). Aquí se da la información que la carta es negra. Por lo tanto, el espacio de muestras no consiste en las 52 cartas de la baraja; consiste sólo en las cartas negras. De las 26 cartas, dos son ases. Por consiguiente, la probabilidad de un as, dado que sabemos que la carta es negra, es P (as negro) = número de ases negros = 2 número de cartas negras 26 Este resultado (2/26) también puede obtenerse usando la ecuación antes mecionada de la siguiente manera: Si P (A B) = P ( A y B ) P(B) evento A = as evento B = negro Entonces ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 16 P(as negro)= 2 /52 26/52 = 2 26 A continuación el segundo ejemplo mencionado, determinar P(está satisfecho con el trabajo ha progresado en la organización). Puesto que la información dada es que el empleado ha progresado en la organización, el espacio muestral se reduce a esos 208 individuos. De esos 208 empleados, de la tabla 8.2 podemos observar que 194 están satisfechos con el trabajo. Por lo tanto, la probabilidad de que un empleado esté satisfecho trabajo, dado que ha progresado en la organización, puede calcularse de te manera: número de empleados que están satisfechos con su P ( están satisfechos Han progresado ) = trabajo y han progresado número de empleados que ha progresado con la organización = 194 208 Nuevamente, la ecuación proporcionaría la misma respuesta, de la siguiente manera: P(A yB) = P(A y B) P(B) evento A = está satisfecho con el trabajo evento B = ha progresado en la organización P (está satisfecho ha progresado) = P (está satisfecho y ha progresado) P (ha progresado) ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 17 = 194/400 208/400 = 194 / 208 Árboles de decisión En la tabla 8.2, los empleados se clasificaron según su satisfacción con el trabajo y también de acuerdo a si progresaron o no en la organización. Una forma alternativa de ver la descomposición de las posibilidades en cuatro celdas es a través del uso de un árbol de .La figura 8.3 consiste en un árbol de decisión para estos datos. Figura 8.3 Arbol de decisión para los datos de la tabla 8.2. En la figura 8.3 comenzando a la izquierda con todo el conjunto de empleados, hay dos "ramas" relativas a si un empleado está satisfecho o no con el trabajo. Cada una de estas ramas tiene tiene dos subramas, correspondientes a si un empleado ha progresado o no en la organización. Las probabilidades colocadas al final de las ramas iniciales representan las probabilidades marginales de A [es decir, P (A)] y A` [es decir, , P(A` )]y las probabilidades al final de cada una de las cuatro subramas representan la probabilidad conjunta para una combinación de los eventos A y B. La probabilidad condicional puede obtenerse dividiendo la probabilidad conjunta de interés entre la probabilidad marginal apropiada. ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 18 Por ejemplo, para obtener P (está satisfecho con el trabajo ha progresado en la organización) se tomaría P (está satisfecho con el trabajo y ha progresado en la organización) y la dividiríamos entre P(ha progresado en la organización) De la figura 8.3 tendríamos P ( A B ) = P ( A y B ) P (B) P (están satisfechos han progresado) = 194/400 208/400 = 194 / 208 Observe que el denominador, P(B), es la suma de las probabilidades de los dos eventos conjuntos apropiados, P(A y B) + P(A' y B), la probabilidad de satisfecho con el trabajo y haber progresado en la organización más la probabilidad de no estar satisfecho con el trabajo y haber progresado en la organización. Independencia estadística : En el primer ejemplo, se observa que la probabilidad que la carta elegida sea un as, dado que sabemos que es negra, es 2/26. Tal vez recordemos que la probabilidad de sacar un as de la baraja, P (as), era 4/52, lo que reduce a 2/26. Este resultado revela alguna información importante. El conocimiento previo de que la carta era negra no afectó la probabilidad de que la carta fuera un as. Esta característica se denomina independencia estadística y puede definirse de la siguiente manera> P(A B) = P(A) donde P(A B) = Probabilidad condicional de A dado B P (A) = probabilidad marginal de A Así se puede observar que dos eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P (A B) = P (A). En una tabla de contingencias de 2 x 2, una vez que esto se ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 19 cumple para una combinación de A y B, será cierto para todas las demás. Aquí el "color de la carta" y "ser un as" son eventos estadísticamente independientes. El conocimiento de un evento no afecta de ninguna manera la probabilidad del segundo evento. También se podría determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización. La proporción de estos empleados que están satisfechos con el trabajo, dado que han progresado en la organización es 194/208=0.933 y la proporción de todos los empleados que están satisfechos con el trabajo es 356/400=0.89. Este resultado revela cierta información importante: el conocimiento del progreso en la organización afectó ligeramente la predicción de la satisfacción con el trabajo. Por lo tanto, desde una perspectiva estadística podemos establecer que estos dos eventos pueden considerarse como asociados de alguna manera, es decir, no independientes. La proporción de empleados satisfechos con su trabajo no es precisamente la misma cuando éstos avanzan en la organización. Regla de multiplicación La fórmula para la probabilidad condicional puede manipularse algebraicamente de forma tal que la probabilidad conjunta P(A yB) pueda determinarse a partir de la probabilidad condicional de un evento. Usando la ecuación P(A B)= P (A y B) P(B) y resolviendo para la probabilidad conjunta P(A yB), tenemos la regla general de la multiplicación: P ( A y B ) = P (A B) P (B) Para demostrar el uso de esta regla de la multiplicación se verá un ejemplo. Suponga que 20 marcadores se exhiben en una papelería. Seis son rojos y 14 son azules. Debemos seleccionar dos marcadores aleatoriamente del conjunto de 20. ¿Cuál es la probabilidad que los dos marcadores seleccionados sean rojos? Aquí la regla de la multiplicación puede usarse de la siguiente manera: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 20 P (A y B) = P(A I B) P(E) Por lo tanto, si AR = segundo marcador elegido es rojo BR = primer marcador elegido es rojo tenemos P (AR y BR) = P (AR y BR) P (BR) La probabilidad que el primer marcador sea rojo es 6/20, puesto que 6 de los 20 marcadores son rojos. Sin embargo, la probabilidad que el segundo marcador sea también rojo depende del resultado de la primera selección. Si el primer marcador no se regresa al aparador después de determinar su color (muestreando sin reemplazo), entonces el número de marcadores restantes serán 19. Si el primer marcador es rojo, la probabilidad que el segundo también sea rojo 5/19, puesto que 5 marcadores rojos continúan en el aparador. Por lo tanto, al usar la ecuación última, tenemos lo siguiente: P (AR y BR) = 5 6 19 20 = 30 = 0.079 380 Sin embargo, ¿qué sucede si el primer marcador seleccionado se regresa al ..r después de determinar su color? Entonces la probabilidad de elegir un marcador rojo en la segunda selección es la misma que en la primera selección (muestrear con reemplazo), puesto que hay 6 marcadores rojos de 20 en el aparador. Por lo tanto, tenemos lo siguiente: P (AR y BR) = P (AR BR) P (BR) = 6 20 = 36 6 20 = 0 .09 400 Este ejemplo de muestreo con reemplazo ilustra que la segunda selección es independiente de la primera, puesto que la segunda probabilidad no estuvo influida por ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 21 la primera selección. Así pues, la regla de la multiplicación para eventos independientes puede expresarse de la siguiente manera [sustituyendo P(A) por P(A I B)]: P(A y B) =P(A) P(B) Si esta regla se cumple para dos eventos, A y B, entonces A y B son estadísticamente independientes. Por lo tanto, hay dos formas de determinar la independencia estadística. 1. Los eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P(A I B) =P (A).. 2. Los eventos A y B son estadísticamente independientes si y sólo si P(AyB)=P(A) P(B). Debe observarse que para una tabla de contingencias de 2 x 2, si esto se cumple para un evento conjunto, se cumplirá para todos los eventos conjuntos. Por ejemplo, si la probabilidad que una carta sea un as es independiente de que sea negra, entonces la probabilidad que sea un as es independiente de que sea roja, la probabilidad que no sea un as es independiente de que sea negra y la probabilidad que no sea un as es independiente de que sea roja. Ahora que hemos analizado la regla de la multiplicación, podemos escribir la fórmula para la probabilidad marginal de la siguiente manera. Si P(A) = P (A y B1) + P (A y B2)+ ...+ P (A yBk) entonces, usando la regla de la multiplicación, tenemos P(A) = P (A B1) P (B1) + P (A B2) P (B2)+ ...+ P (A Bk) P(Bk) donde B1, B2 ... Bk son k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Se puede ejemplificar esta fórmula refiriéndonos a la tabla 8.1 usando la ecuación anterior podemos calcular la probabilidad de un as de la siguiente manera: ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 22 P(A) = P (A B1) P (B1) + P (A B2) P (B2) = 2 26 = 2 52 + 26 + 2 26 52 26 52 2 52 = 4 52 ____________________________________________________________________ Teoría de Probabilidades 23