Introducción - Facultad de Ciencias Matemáticas

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción histórica.
El origen y uso de los números naturales se pierde en la noche de los tiempos. En
cuanto el Hombre desarrolla un medio de comunicación, un lenguaje, aparece la necesidad
de comunicar el tamaño de un conjunto, sea el de los componentes de la tribu, un grupo
de enemigos, un rebaño de animales o los distintos miembros de una familia.
Se atribuye a Leopold Kronecker (1823-1891)la frase de que “ Los números naturales
fueron creados por Dios; el resto es obra del Hombre“. Y es cierto que las primeras culturas
de las que nos han llegado restos escritos muestran ya un amplio conocimiento en el manejo
de estos números y distintas técnicas de cálculo. También aparecen ejemplos de técnicas de
manejo de los números racionales positivos, que responden a necesidades prácticas, como
la distribución de herencias o cálculos comerciales. Los babilonios, con un sistema de
numeración mucho más eficiente que el de los egipcios, desarrollaron incluso técnicas para
el cálculo de algunas raı́ces cuadradas y métodos para la resolución de algunas ecuaciones
de segundo grado. En todo caso, lo que nos ha llegado de estas antiguas civilizaciones
del medio oriente, son siempre una serie de recetas prácticas para resolver problemas: ”
si quiere resolver este problema concreto, haga primero esto, después esto otro, etc.”, sin
ninguna referencia a cómo se llega a la conclusión deseada.
Los griegos asimilaron los conocimientos de las culturas egipcia y mesopotámica, aportando además su gran descubrimiento: la demostración y el método axiomático. Ello les
permitió desarrollar un estudio sistemático y muy completo de l as propiedades aritméticas
de los números naturales (criterios de divisibilidad, distintos procesos de descomposición,
propiedades de los primos, etc.). Desgraciadamente, su simbolismo numérico era muy
deficiente, por lo que sus razonamientos son esencialmente geométricos, sin identificar las
magnitudes geométricas que con tanta habilidad manejaron a distintas clases de números.
Pero si, como se hizo posteriormente, se identifican los puntos de una recta con números,
tomando un segmento dado como unidad, puede afirmarse que los griegos desarrollaron
una completa teorı́a de los números racionales positivos y muchas de las propiedades de
los números reales positivos.
En cuanto a las distintas variedades de números negativos, aunque aparecen de forma
natural al considerar la sustracción de números (o la diferencia de magnitudes, etc.),
fueron siempre tratados con renuencia y suspicacia. En general, se conocı́a que al resolver
problemas que involucraban ecuaciones de grado 1, 2 y 3 podı́an aparecer soluciones
negativas o falsas, que habı́a que desechar, pues no correspondı́an a ninguna solución del
problema (generalmente, una magnitud geométrica o el importe de una transacción; en
todo caso, siempre un número no negativo). Pero, más aún, habı́a ecuaciones de segundo
grado, como la x2 + 1 = 0, que no tenı́an ninguna solución, pues era bien sabido que
1
el cuadrado de cualquier número siempre es no negativo. Estas convicciones, además,
estaban apoyadas por el uso exclusivo del lenguaje retórico en los problemas algebraicos,
que mostraba claramente la imposibilidad de encontrar, por ejemplo, un número que
cuando se incrementa en 3 unidades, da 1 o un número tal que cuando se suma 2 a su
cuadrado, da 1.
Ası́ quedó la cosa, hasta que entró en escena G. Cardano (1501-1576), hombre singular y de vida azarosa y fascinante. Para ponernos en situación, hay que decir que en la
Italia de aquellos tiempos, en pleno Renacimiento, abundaban las maravillas y los hombre
singulares. Y también el dinero y las ganas de divertirse. Por ello, era habitual que se
realizaran distintas clases de apuestas y desafı́os, remunerados económicamente. Uno de
estos desafı́os singulares consistı́a en que cada uno de los contendientes proponı́a una lista
de problemas de ingenio y habilidad al o los contrarios. Quien más y mejor resolvı́a la
lista, ganaba. La mayor parte de los problemas se podı́an traducir en la resolución de una
o varias ecuaciones algebraicas. Y las de grado 1 y 2 todo el mundo sabı́a resolverlas. Pero
cosa muy distinta era el caso de las ecuaciones de grado 3, por lo que quien conociera algún
método de resolución de estas ecuaciones, tenı́a en su poder una verdadera mina de oro.
Además de otros motivos puramente intelectuales, esta era una buena razón para tratar
de encontrar la solución de una ecuación de la forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (con a, b, c, d
enteros, si se quiere). Soluciones particulares fueron obtenidas por distintos personajes,
como Tartaglia (1500-1557) y Scipione del Ferro (1465-1526), pero fue Cardano quien
en su Ars Magna (1545) publicó la solución general. Para ello, mediante un cambio de
variables, redujo el problema a la resolución de una ecuación del tipo x3 + mx = n,
obteniendo la solución general
s
s
r
r
2
3
3 n
3
n
n2 m3
m
n
x=
+
+
− − +
+
2
4
27
2
4
27
La cuestión es que hay ecuaciones, como la x3 − 15x = 4 que, teniendo todas sus
√
√
soluciones reales (en este caso son x1 = 4, x2 = −2 + 3, x3 = −2 − 3), al aplicar la
fórmula aparecen raı́ces de términos negativos. En este caso
q
q
√
√
3
3
x = 2 + −121 − −2 + −121.
Cardano no supo dar ninguna interpretación a este hecho, contentándose con decir
que en este caso la fórmula no se podı́a aplicar1
Algunos años más tarde, Rafael Bombelli, en su obra Algebra (1572), a fin de dar
validez a la fórmula de Cardano en el caso de soluciones reales, tuvo la idea loca de
1
Cardano denominó a estas raı́ces sofı́sticas, concluyendo que en este caso su fórmula era tan sutil
como inútil..
2
√
introducir formalmente las operaciones con números de la forma a + b −1, a y b reales,
√
√
√
√
mediante las reglas (± −1) · (± −1) = −1 ; ± −1 · ∓ −1 = 1 y las reglas formales
del producto de números usuales. Ası́, por ejemplo,
(2 +
√
√
√
√
√
−1)3 = 2 + 11 −1 = 2 + −121, y, análogamente (−2 + −1)3 = −2 + −121,
y ası́ la fórmula de Cardano proporciona la solución correcta:
x = (2 +
√
−1) + (2 −
√
−1) = 4.
La introducción del lenguaje simbólico, que culmina con los trabajos de F. Vieta (15401603) y R. Descartes (1596-1650), permite a los matemáticos obtener resultados generales sobre las raı́ces de una ecuación algebraica. Para conseguirlo, aparece cada vez más
conveniente la asunción de que toda ecuación de la forma P (x) = 0, donde P es un polinomio con coeficientes reales (en principio), tiene siempre solución, aunque a veces estas
soluciones son imposibles o sofı́sticas. Ası́, en el caso de la cúbica, resulta, como hemos
√
visto, muy útil la consideración de raı́ces de la forma a + b −1, con a, b números reales.
Pero eso no querı́a decir que las posibles soluciones imaginarias de las ecuaciones de grado
4 y superiores fueran del mismo tipo. De hecho, se pensaba que habı́a una infinidad de
tipos posibles de magnitudes imaginarias, soluciones de las ecuaciones algebraicas.
El primero en poner claramente de manifiesto este hecho es Albert Girard (15951632), quien en su Invention nouvelle en l’algèbre (1629) enuncia un Teorema en el que
afirma que toda ecuación algebraica tiene tantas soluciones como su grado, y establece las
relaciones que hoy conocemos como de Cardano-Vieta entre los coeficientes del polinomio
y distintas funciones simétricas de las raı́ces. Esto resulta, sin más, de la identificación
formal de los coeficientes de grado r en ambos lados de la igualdad
P (x) ≡ xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ),
siendo α1 , . . . , αn las raı́ces (por ejemplo, identificando el coeficiente de xn−1 en ambas
expresiones, obtenemos α1 + · · · + αn = −an−1 , etc.). De manera general, Girard distingue
entre las soluciones que son más que nada, las que son menos que nada y las ”complejas”
√
[“ enveloppées”], que contienen −a2 u otros números semejantes. La utilidad de la
introducción de estas soluciones imposibles reside en que ello permite asegurar la validez
de la regla general. Por supuesto, Girard no aborda la cuestión de si todas las soluciones
√
imposibles son de la forma a + b −1. Más aún, parece claro que pensaba que no era ası́.2
2
Este Teorema enunciado por Girard es la formulación explı́cita del llamado Teorema de Factorización
Lineal (TFL). En términos modernos, afirmarı́a que si P (x) es un polinomio de grado n con coeficientes en
un cuerpo conmutativo K, existe un cuerpo L (cuerpo de descomposición) que contiene a los coeficientes
3
Continuando con la historia de las soluciones imposibles, diremos que la denominación
de imaginarias para designar estas cantidades, aparece por primera vez en la Géométrie
de R. Descartes (1637), cuando en el libro III afirma que
Ni las raı́ces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces, son sólo
imaginarias; es decir, que se pueden siempre imaginar como soluciones de la
ecuación, pero que a veces no corresponden a ninguna cantidad definida.
Descartes cita el ejemplo de la ecuación x3 − 6x2 + 13x − 10 = 0, para la que se pueden
imaginar tres raı́ces, aunque sólo una, 2, es real, mientras que las otras dos son imaginarias. Para Descartes resulta evidente que, puesto que se puede formar una ecuación
de grado n formando el producto de n ecuaciones de primer grado, recı́procamente, toda
ecuación de grado n se puede descomponer en n factores lineales, aunque para ello hay
que introducir raı́ces imaginarias. Estas aparecen, pues, como adjunciones formales, sin
precisar su naturaleza, aunque se supone que verifican las reglas usuales del cálculo para
operar con ellas.
Un primer intento para clarificar la naturaleza de las raı́ces imaginarias aparece en la
obra Nouveaux éléments des mathématiques (1689), de J. Prestet, en la que se describe
una escala de absurdidades, comenzando por las lineales, que corresponden a las raı́ces
negativas; después aparecen las absurdidades de segundo grado, raı́ces no reales de los
√
polinomios de segundo grado, es decir, de la forma a + b −1. Las de tercer grado se
reducı́an a los dos primeros tipos (puesto que la cúbica siempre admite una solución real).
Pero -dice Prestet- las de cuarto grado pueden tener contradicciones aún más
complicadas que las planas, ya que pueden aparecer raı́ces cuadradas de raı́ces
4
4
de
p√magnitudes negativas, como en la igualdad z + a = 0, es decir z =
−a4 ...
Como hemos dicho, el Teorema Fundamental del Álgebra se formula en el siglo XVIII,
al abordar los matemáticos el problema de descomposición de funciones racionales para
su integración. G. W.Leibnitz (1646-1716) enuncia el teorema como conjetura en una
memoria de 1702, y afirma que es falso, poniendo como contraejemplo el polinomio x4 +a4 .
Poco después (en 1719), el mismo Jean Bernouilli da la descomposición
√
√
x4 + a4 = (x2 + a 2x + a2 )(x2 − a 2x + a2 ),
mostrando que Leibniz se equivocaba en su afirmación.
de P y en el que P admite una descomposición en producto de n factores de primer grado. Hay que
distinguir esta afirmación (por lo demás, implı́citamente aceptada por los matemáticos a partir del siglo
XVII) de lo que hoy llamamos el Teorema Fundamental del Álgebra (TFA), que establece que todo
√
polinomio con coeficientes reales, admite al menos una raı́z compleja, es decir, de la forma a + b −1 ,
√
con a, b ∈ R (la notación −1 = i se debe a L. Euler). Esta formulación es muy posterior (a partir de
1700) y está esencialmente motivada por problemas derivados de la integración de funciones racionales.
4
Las primeras demostraciones del TFA se deben a L. Euler (1707-1783) y J.
D’Alembert (1717-1783) alrededor de 1750. En su Tesis, K. F. Gauss (1777-1855)
da lo que se admite como primera demostración rigurosa del TFA. Comienza haciendo
una crı́tica de las demostraciones previas, en las que, según él, se asume tácitamente la
existencia de alguna solución de l a ecuación P (x) = 0, para después pasar a demostrar la
forma de esa solución. Esencialmente, el TFA afirma que las únicas cantidades imaginarias
√
son las de la forma a + −1b, a, b ∈ R.
En el curso de su demostración, Gauss llama a los números complejos a + ib (sombras
de una sombra), lo que muestra la idea de los matemáticos de la época sobre la realidad
de estos entes, cuya importancia como cantidades simbólicas se iba poniendo de manifiesto a marchas forzadas. Por ejemplo, A. L. Cauchy (1789-1857) publica en 1814 una
Memoria sobre el cálculo de integrales definidas, donde muestra la gran utilidad del uso de
cantidades imaginarias para la computación de integrales reales sobre intervalos infinitos.
No fue hasta mucho más tarde cuando los números complejos pierden ese carácter
misterioso, en gran parte gracias a la autoridad de Gauss, quien en un trabajo de 1831
interpreta el número a + ib como el punto del plano de coordenadas (a, b) y muestra
como parte de la geometrı́a del plano se puede traducir a operaciones aritméticas con los
números complejos.
De todas formas, Gauss no fue el primero en dar esta interpretación. El cartógrafo
danés Gaspard Wessel (1745-1818) tuvo la misma idea y en 1797 habı́a presentado un
trabajo en la Academia de Ciencias Danesa dando cuenta de su idea, que pasó completamente inadvertido. Más difusión tuvo un panfleto, publicado en 1806 por el matemático
aficionado suizo R. Argand (1768-1822), en el que se exponı́a la interpretación geométrica
de los complejos, pero sus resultados fueron rápidamente olvidados (hasta el punto de que
el mismo Cauchy, que parece sı́ conoció el trabajo de Argand, siguió defendiendo la interpretación de los números complejos como entes meramente simbólicos que verificaban las
reglas formales del cálculo, hasta 1849.)
La Teorı́a de funciones de variable compleja, se inicia y desarrolla en sus contenidos
básicos (la casi totalidad de los resultados que veremos a lo largo de este curso) a lo largo
del siglo XIX. En un principio, como ya se ha dicho, surgió como herramienta para resolver
problemas del cálculo de integrales definidas, aunque pronto se fueron descubriendo sus
enormes posibilidades y aplicaciones. Su origen se puede fijar en los trabajos de Cauchy,
quien descubrió la clase de funciones de variable compleja razonables) a partir de sus
trabajos sobre integración e invariancia de la integral curvilı́nea. Estas funciones aparecen
como pares de funciones reales de clase C1 sobre el plano, que cumplen las llamadas
condiciones de Cauchy-Riemann (funciones holomorfas). Dentro de su inmensa obra,
Cauchy dedicó una gran parte de la misma al estudio de las propiedades de esas funciones,
5
y, como veremos, muchos de los teoremas que estudiaremos en el curso, llevan su nombre.
Una aproximación completamente nueva se debe a B. Riemann (1826-1866), quien
adoptó un punto de vista geométrico, tratando de aislar la clase de funciones entre dominios complejos que fueran conformes, esto es, conservaran los ángulos. Las funciones ası́
obtenidas son las mismas que las estudiadas por Cauchy, pero con una visión diferente.
Su teorı́a minimiza los cálculos y pone su acento en las ideas geométricas. En palabras
de H. Poincaré “el método de Riemann es sobre todo un método de investigación y
descubrimiento...
Finalmente, la aritmetización de la teorı́a de debe a K. Weierstrass (1815-1897),
que identifica las funciones razonables como aquellas que son desarrollables localmente en
serie de potencias (funciones analı́ticas). En la misma obra citada, Poincaré opina que
“el método de Weierstrasss es, sobre todo, un método de demostración...”
Hay que decir que la teorı́a de Cauchy contiene el germen a la vez la concepción
geométrica de Riemann y la aritmética de Weierstrass. El mismo Cauchy se encargó de
probar que sus funciones holomorfas eran a su vez conformes y analı́ticas.
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