Tema 4 Inecuaciones con valor absoluto Matemáticas El valor absoluto de expresiones reales lo hallamos con frecuencia en ecuaciones con polinomios reales de la forma |ax + b| = c, en donde a ≠ 0. En este caso encontramos el conjunto solución aplicando la definición de valor absoluto de un número real. Si la ecuación es |2x − 3| = 1, entonces basta considerar que, de acuerdo con la definición de valor absoluto, |2x − 3| puede ser 2x − 3 ó − (2x − 3). En el primer caso la ecuación a resolver es 2x − 3 = 1 y por tanto x = 2; en el segundo caso, − (2x − 3) = 3 − 2x = 1 y entonces x = 1. Luego, el conjunto solución de la ecuación |2x − 3| = 1 es {2, 1}. Observemos que si c < 0, entonces la ecuación no tiene solución por cuanto el valor absoluto de una expresión real nunca es negativo. También encontramos desigualdades con valor absoluto y en tal caso usamos un método parecido al empleado para resolver ecuaciones, y las propiedades de las desigualdades de números reales. Consideraremos dos casos. a. Si la desigualdad es de la forma |x| < a, como el valor absoluto es no negativo, entonces asumimos que a es positivo y la desigualdad se puede interpretar como una expresión en donde la distancia de cada x del conjunto solución al origen es menor que a. Por consiguiente, x se encuentra ubicado entre los puntos con abscisa a y −a, es decir, −a < x < a o gráficamente x es un punto del segmento con extremos −a y a sin ser ni a ni −a, como se ilustra en la figura. 0 9 Cuando la desigualdad estudiada sea de la forma |x| ≤ a, x podrá ser extremo del segmento con extremos −a y a. b. S i la desigualdad es de la forma |x| > a, y a es un número negativo o 0, la inecuación será verdadera para todo valor de x porque el valor absoluto de todo número real es no negativo. Cuando a es positivo la desigualdad se puede interpretar como que la distancia de cada punto x del conjunto solución al origen es mayor que a y así el punto x está por fuera del intervalo con extremos −a y a, es decir x < −a o x > a. Gráficamente el conjunto solución es la recta excepto el segmento con extremos −a y a. Veamos la figura. 0 −a a r Si la desigualdad es de la forma |x| ≥ a, en el conjunto solución se incluyen los extremos del segmento. Ejemplo Para cada desigualdad o inecuación encontremos el conjunto solución y representémoslo gráficamente. a. |3x − 5| < 2. Para esta desigualdad el conjunto solución está formado por los puntos cuyas abscisas x cumplen − 2 < 3x − 5 < 2, esto es, 3 < 3x < 7, y por tanto, 1 < x < 7 . 3 La representación se ilustra en la siguiente figura. 0 1 27 3 r 9 Matemáticas b. |4 − 3x| ≥ 1. Esta desigualdad se satisface para los puntos cuya distancia a 0 es mayor o igual que 1. Esto es, aquellos que cumplen 4 − 3x ≥ 1 o 4 − 3x ≤ − 1. Por tanto son los que cumplen que − 3x ≥ − 3 o − 3x ≤ − 5 . Como (−3) < 0 serán aquellos que cumplen x ≤ 1 o x ≥ 5 y que se encuen3 tran en el conjunto representado en la figura. 0 1 2 1 5 3 2 4 Encuentra el conjunto solución. a. |x − 3| = 5 __________________ b. |2x − 1| = 3 __________________ c. |3 − 2x| = − 1 __________________ 1 = 1 __________________ d. – x 2 3 Trasforma cada expresión en ecuaciones sin valor absoluto. a. |a − 1| = 3____________ 2 b. – b == 11____________ 3 Trasforma cada desigualdad con valor absoluto en una sin valor absoluto. a. |x − 3| < 1____________ b. 2x – 1 < 1 ____________ 2 x – 5 ʺ 2 ____________ 3 Halla el conjunto solución de las desigualdades. a. |5 − x| > 2 ____________ x – 1 ≥ 3 ____________ 2 c. x – 2 < 3 ____________ 3 b. r c. |10,3 − 2x| = 0,3____________ d. |3z − 1| = 1____________ 3 c. 5 Completa el procedimiento para hallar el conjunto solución de cada ecuación. a. |3x − 2| = 5 1. S i 3x − 2 ≥ ______ , entonces, |3x − 2| = ______. Luego 3x − 2 = 5 y por tanto x = ___. 2. Si _______ < 0, entonces, _______ = − (3x − 2). Luego − (3x − 2) = _______ y por tanto x = ___. b. – 3– x 2 =1 1. Como – 3 – x 2 = _____________ la ecuación dada es __________ = 1 ; Matemáticas 2. Si 3 – x ≥ _____ , entonces, 3 – x = 2 2 _________. Luego 3 – x = _________ 2 y por tanto x = _______. 3. Si 3 – x < _____ , entonces, 3 – x = 2 2 _________. Luego x − 3 = 1 y por tanto 2 x = ________________. 6 Verifica si dos números del conjunto dado son solución de la inecuación. a. |2x − 8| ≤ 4 2 ≤ x ≤ 6 b. x – 1 > 2 x < − 5 o x > 15 5 7 Escribe como inecuación el conjunto de los puntos (números) reales, cuya distancia al punto de abscisa −3 es menor que 1. Soluciona la inecuación y representa el conjunto solución. __________________________________________________ 8 La distancia de un punto X (x) al punto Y (−3) más la distancia de Y al origen, es 5. ¿Cuál es la abscisa de x? ______ __________________________________________________ 9