ALGEBRA LINEAL TAREA 9 G. SALGADO En toda la tarea U , V y W denotan espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo F. (TL ≡ transformación lineal). 1. Demuestre que T : V → W es TL si, y sólo si T (au + v) = aT (u) + T (v) para todo a ∈ F y u, v ∈ V . 2. Demuestre que si T : V → W es TL, y U ⊂ W es subespacio vectorial, entonces T −1 (U ) es subespacio vectorial de V . Dé una demostración alternativa de que Ker(T ) es subespacio usando este resultado. 3. Demuestre que si T : V → W es un monomorfismo entonces existe una transfomación lineal T −1 : W → V tal que T −1 ◦ T = IdV . 4. Enuncie y pruebe un resultado análog si la hipótesis es: T es epimorfismo. 5. Demuestre que si T : V → W es un isomorfismo entonces T −1 es TL. 6. Concluya del ejercicio anterior que: T es isomorfismo si, y sólo si T −1 es isomorfismo. 7. Sea T : Mat(n × m, F) → Mat(m × n, F) definida por T (A) = At , donde At denota a la matriz transpuesta de A. Verifique que T es una transformación lienal y demuestre que es un isomorfismo. 8. Sean S, T : V → W TL’s, demuestre que si definimos (S + T )(v) := S(v) + T (v) entonces S + T es TL. 9. Demueste que si a ∈ F y T : V → W es TL entonces aT definida por (aT )(v) := aT (v) es TL. 10. Sea HomF (V, W ) := { T : V → W | T es TL }, demuestre que con las operaciones de los ejercicios anteriores HomF (V, W ) es un espacio vectorial. 6/OCTUBRE/2009 1 2 G. SALGADO 11. Cuando W = V , escribimos EndF (V ) en lugar de HomF (V, V ), observe que ahora tenemos una nueva operación: la composición. Demuestre que si S, T ∈ EndF (V ) entonces S ◦ T y T ◦ S estan en EndF (V ). 12. Demuestre que (EndF (V ), +, ◦) es un anillo. 13. Suponga que dimF V = n y que dimF W = m. Calcule dimF (HomF (V, W )) 14. Sea T ∈ EndF (V ) tal que T 2 ≡ 0, muestre que Im(T ) ⊂ Ker(T ) Fac. de Ciencias, UASLP, Av. Salvador Nava s/n, Zona Universitaria, CP 78290, San Luis Potosı́, S.L.P., México. E-mail address: gsalgado@fciencias.uaslp.mx, gil.salgado@gmail.com