Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. Álgebra Lineal – Taller No 8 Instrucciones. Recuerde que los ejercicios marcados con * indican un mayor nivel de dificultad que el resto y es importante que el estudiante ataque una razonable cantidad de ellos por sı́ mismo. Espacios Vectoriales 1. Establezca si los siguientes son espacios vectoriales x (i) El conjunto de todos los vectores de R2 con x, y ≥ 0. y x (ii) El conjunto de todos los vectores de R2 con x y ≥ 0. Esta es la unión del primer y tercer cuadrante. y x (iii) El conjunto de todos los vectores de R2 con x ≥ y. y (iv) El conjunto de todos los números racionales con la suma y multiplicación usuales. (v) El conjunto de todas las matrices triangulares superiores. a (vi) El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 de la forma c b d , tales que ad = 0. (vii) El conjunto de todas las matrices antisimétricas de n × n. 2. Determine si W es un subespacio de V . a (a) V = R3 , W = 0 : a ∈ R a a (c) V = R3 , W = b : a, b ∈ R a+b a b 2×2 (f ) V = R , W = : a, b ∈ R b 2a (b) V (d) V (e) V (g) V = Rn×n , W = matrices diagonales de n × n (h) V a = R3 , W = −a : a ∈ R 2a a = R3 , W = b : a, b ∈ R |a| a b 2×2 = R ,W = : ad ≥ bc c d = Rn×n , W = A ∈ Rn×n : A2 = A 3. Sea B una matriz fija de n × n y considere el conjunto W = {A ∈ Rn×n : AB = BA}. ¿Es W un subespacio de Rn×n ? 4. Determine si W es subespacio de V . 5. (a) V = P2 , W = {bx + cx2 : b, c ∈ R} (b) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : a + b + c = 0} (c) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : abc = 0} (d) V = P3 , W = P2 (e) V = P, W = P3 (f ) V = Pn+k , W = Pk (g) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = f (x)} (h) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}} (i) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 1} (j) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 0} Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W (i) Demuestre que U ∩ W es un subespacio. (ii) Provea un contraejemplo con V = R2 para ilustrar que no necesariamente se cumple que U ∪W es un subespacio. (iii) ¿Bajo qué condiciones sobre U y W se tiene que U ∪ W es un subespacio? 6.* Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W , defina la suma de U y W como el conjunto U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W } (i) Suponga que V = R3 , que U es el eje x y que W es el eje Y . ¿Qué es U + W ? (ii) Si U y W son subespacios de V demuestre que U + W es un subespacio de V . Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. 7. ¿Es R2×2 generado por el siguiente conjunto? 1 1 0 1 0 1 1 0 8. ¿Es P2 generado por 1 + x, x + x2 y 1 + x2 ? 9. Sean f (x) = sin2 (x) y g(x) = cos2 (x) 1 1 0 1 −1 0 0 1 (i) Demuestre que las funciones constantes pertenecen a gen(f, g). (ii) Demuestre que la función cos(2x) pertenece a gen(f, g). Indicación. Mantenga presentes las identidades trigonométricas. Transformaciones Lineales 10. Determine si T es una transformación lineal a b a+b 0 (i) T : R2×2 → R2×2 , T = . c d 0 c+d w x w+x 1 (ii) T : R2×2 → R2×2 , T = . y z 0 y−z (iii) T : Rn×n → Rn×n , T (A) = AB, donde B ∈ Rn×n es una matriz fija. (iv) T : Rn×n → Rn×n , T (A) = AB − BA, donde B ∈ Rn×n es una matriz fija. (v) T : Rn×n → R, T (A) = tr(A). Indicación. Se recuerda que la traza de una matriz cuadrada A ∈ Rn×n viene dada por tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann ; es decir la suma de los elementos de la diagonal. Qn (vi) T : Rn×n → R, T (A) = a11 a22 . . . ann = i = 1 aii ; es decir el producto de los elementos de la diagonal. (vii) T : Rn×n → R, T (A) = rank(A) = dim(col(A)) = dim(ren(A)). 11. Determine si T es una transformación lineal. (i) T : P2 → P2 , T (a + bx + cx2 ) = a + 1 + (b + 1)x + (c + 1) x2 . (ii) T : P2 → P2 , T (a + bx + cx2 ) = a + b(x + 1) + b(x + 1)2 . 12. Determine si T es una transformación lineal. Se recuerda que F es el espacio de las funciones f : R → R (i) T : F → F, T (f )(x) = f (x2 ). (ii) T : F → F, T (f )(x) = (f (x))2 . (iii) T : F → R, T (f )(x) = (f (c)), donde c ∈ R es un número real fijo. (iv) T : F → R, T (f )(x) = f (c))x2 , donde c ∈ R es un número real fijo. 13. Sea T : R2 → R3 una transformación lineal para la cual se cumple que 1 −1 1 0 T = 2 T = 1 0 1 3 0 5 a Encuentre T yT . 2 b 14. Sea T : P2 → P1 una transformación lineal que cumple que T (1) = 1 + x, T (x) = 3 − 2x y T (x2 ) = 4 + 3x. Encuentre T (4 − x + 3x2 ) y T (a + bx + cx2 ). 15. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal que cumple que T (1 + x) = 1 + x2 , T (x + x2 ) = x − x2 y T (1 + x2 ) = 1 + x + x2 . Encuentre T (4 − x + 3x2 ) y T (a + bx + cx2 ). 16. Sea T : R2×2 → R una transformación lineal para la cual 1 0 1 1 T =1 T =2 0 0 0 0 1 2 a b Encuentre T yT . 3 4 c d T 1 1 1 0 =3 T 1 1 1 1 =4 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. 17.* Demuestre que no existe una transformación lineal T : R3 → P2 tal que 2 3 T 1 =1+x T 0 = 2 − x + x2 0 2 0 T 6 = −2 + 2x2 −8 18. Sea T : V → V una transformación lineal y v1 , v2 , . . . , vn una base de V . Demuestre que si T vi = vi para todo 1 ≤ i ≤ n entonces T es la transformación identidad en V . 19. Defina las transformaciones lineales S : R2 → R2×2 y T : R2 → R2 mediante a a+b 0 c 2c + d S = T = b 0 a−b d −d Calcule S ◦ T 2 1 y S◦T x y . ¿Se puede calcular T ◦ S? De ser asi, hágalo. 20. Defina las transformaciones lineales S : P1 → P2 y T : P2 → P1 mediante S(a + bx) = a + (a + b)x + 2bx2 y T (a + bx + cx2 ) = b + 2cx. Calcule (S ◦ T )(3 + 2x − x2 ) y (S ◦ T )(a + bx + cx2 ). ¿Se puede calcular T ◦ S? De ser asi, hágalo. 21. Verifique que S y T son transformaciones inversas x 4x + y 2 2 (a) S : R → R S = y 3x + y (b) S : P1 → P1 2 T :R →R 2 T : P1 → P1 S(a + bx) = (−4a + b) + 2ax x−y T = −3x + 4y b T (a + bx) = + (a + 2b)x 2 x y Nucleo e Imagen 22. Sea T : R 2×2 →R 2×2 definida por T 1 −1 2 3 a c b d = a 0 . Considere las siguientes matrices 0 d 0 4 3 0 −2 0 0 −3 (1) (i) ¿Cuáles de las matrices (1) están en ker(T )? (ii) ¿Cuáles de las matrices (1), de haber alguna, están en el rango de T ? (iii) Describa el rango de T y ker(T ). 23. Sea T : R2×2 → R definida por T (A) = tr(A). Considere las siguientes matrices 0 1 3 −2 1 0 2 1 −1 0 2 1 (i) ¿Cuáles de las matrices (2) están en ker(T )? (ii) ¿Cuáles de los siguientes escalares están en el rango de T ? 0 − 5 √ 2 (iii) Describa el rango de T y ker(T ). 24. Sea T : P2 → R2 la transformación lineal definida por 2 T (a + bx + cx ) = (i) ¿Cuáles de los siguientes vectores están en el rango de T ? 0 1 0 0 a−b b+c 0 1 (2) Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. (ii) ¿Cuáles de los siguientes polinomios están en ker(T )? x − x2 1+x 1 + x − x2 . (iii) Describa el rango de T y el ker(T )? 25. Sea T : P2 → P2 , definida por T (p(x)) = xp0 (x) y considere los polinomios x2 2 1 − x. (3) (i) ¿Cuales de los polinomios (3) pertenecen a ker(T )? (ii) ¿Cuales de los polinomios (3) pertenecen al rango de T ? (iii) Describa el rango de T y el ker(T ). 26.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) = AM , donde A = 1 3 2 5 . Demuestre que T (R2×2 ) = R2×2 y que ker(A) = {0}, es decir: (i) AM = B tiene solución para todo B ∈ R2×2 . (ii) AM = 0 si y solo si M es la matriz nula en todas sus entradas. 1 2 27.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) = AM , donde A = . 3 6 (i) Demuestre que la matriz identidad I no pertenece al rango de T . Es decir, no existe solución a la ecuación matricial AM = I. (ii) Encuentre una matriz M no nula tal que AM = 0, es decir M ∈ ker(T ). 28.* Suponga que la transformación T : R2×2 → R2×2 es lineal. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas? (i) T 2 es la transformación identidad. (ii) ker(T ) = 0. (iii) T (R2×2 ) = R2×2 . (iv) T (M ) = −M no es posible. 29.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) = 1 0 0 0 M 0 0 0 1 . (i) Describa todas las matrices tales que T (M ) = 0, es decir M ∈ ker(T ). (ii) Describa todas las matrices de la forma T (M ), es decir, describa el rango de T . 30.* Sea θ ∈ (0, 2π) un ángulo cualquiera y defina las matrices A= cos θ sin θ − sin θ cos θ cos θ B = sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 Considere las transformaciones lineales S : R2 → R2 y T : R3 → R3 definidas por Su = Au y T v = Bv. (i) Utilice conceptos para describir el efecto que las transformaciones S y T tienen sobre un vector cualquiera u ∈ R2 y v ∈ R3 repectivamente. (ii) Demuestre que no existe u ∈ R2 no nulo, tal que Su = u. (iii) Demuestre que existe v ∈ R3 tal que T v = v. 31. En los siguientes ejercicios determine si la transformación lineal T es inyectiva y si es sobreyectiva. Indicación. Mantenga presente el teorema de la dimensión o “Teorema del Rank”. x 2x − y (i) T : R2 → R2 , definida mediante T = . y x + 2y Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n. (ii) T : P2 → R2×2 definida mediante 2 T (a + bx = cx ) = (iii) T : P2 → R3 definida mediante a+b 2a + c a + 2c b−c 2a − b T (a + bx = cx2 ) = a + b − 3c c−a p(0) (iv) T : P2 → R2 , definida mediante T (p(x)) = . p(1) (v) T : R3 → R2×2 definida mediante a a−b b−c b = T a+b b+c c (vi) T : R3 → W definida mediante a a+b+c T b = b − 2c c b − 2c a−c Donde W es el subespacio de todas las matrices simétricas de R2×2 . 32. Determine si los siguientes espacios V y W son isomorfos. Indicación. Mantenga presente el teorema de la dimensión o “Teorema del Rank”. (i) V es el espacio de las matrices diagonales de R3×3 , W = R3 . (ii) V es el espacio de las matrices simétricas de R3×3 y W es el espacio de las matrices triangulares superiores de R3×3 . (iii) V = P2 y W = {p(x) ∈ P3 : p(0) = 0}. (iv) V = {A ∈ R2×2 : tr(A) = 0}, W = R2 . (v) V = {A ∈ R2×2 : tr(A) = 0}, W = R3 . 33.* Demuestre que las siguientes transformaciones lineales T : Pn → Pn son isomorfismos. (i) T (p(x)) = p(x) + p0 (x). (ii) T (p(x)) = p(x − 2). 1 (iii) T (P (x)) = xn p x 34.* Sean S : V → W y T : U → V transformaciones lineales (i) Demuestre que si S y T son inyectivas, también lo es S ◦ T . (ii) Demuestre que si S y T son sobreyectivas, también lo es S ◦ T .