Grado en Ingeniería Física I DEPARTAMENTO DE FÍSICA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR ————— UNIVERSIDAD DE JAÉN Tema 1: Álgebra Vectorial 1.- Demostrar las propiedades conmutativa y asociativa de la suma gráfica de vectores. 2.- Demostrar la propiedad asociativa del producto de dos escalares por un vector, la propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores, y la propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector respecto de la suma de escalares. 3.- Demostrar que la definición gráfica de suma vectorial es equivalente a la definición de suma vectorial en función de las componentes. 4.- Demostrar que la definición gráfica de suma vectorial es equivalente a la definición de suma vectorial en función de las componentes. 5.- Dados los vectores: = a 1, 2, 3) b (= 2,1, 0 ) c (1, = 0, 0 ) d ( 0,1,1) (= Realizar las siguientes operaciones: a) e = a+b b) h = b+c c) k = 2b − c d ) n =+ b 4c e) f = a+c f) i = b+d g) l = b − 2d −4b − 2 d h) o = i) g = a+d j) j = c+d k) m = 2c + 3d l ) p = c − d + 6a 6.- Dados los vectores del anterior ejercicio, calcular los siguientes productos escalares: a) a ⋅ b b) b ⋅ c c) a ⋅ c d) b ⋅d e) a ⋅ d f ) c ⋅d 7.- Calcular el ángulo que forman los anteriores vectores entre sí. 8.- Demostrar las siguientes propiedades del producto escalar de dos vectores: a).- Conmutativa. b).- Distributiva respecto a la suma de vectores. c).- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar. 9.- Calcular la fuerza total que actúa sobre el móvil de la figura 1 sabiendo que el valor de los módulos de dichos vectores= son: P 10 N, N 5· 2= N, Fr 6· 2 N. = Fr N P b 60º a 45 Figura 1 Figura 2 10.- Calcular el producto vectorial de los vectores a × b de la figura 2 sabiendo que sus módulos son respectivamente a=10 N, y b=5 N. 11.- Demostrar que el producto vectorial de dos vectores es: a).- No conmutativo. b).- Asociativo respecto al producto por un escalar. c).- No asociativo para el producto vectorial sucesivo. d).- Distributivo respecto a la suma vectorial. 12.- Dadas las funciones y f ( x, y , z ) = x 2 y + zy; g ( x, y , z ) = xy 3 + ; h ( x, y , z ) = x y + z 2 y; z calcule el gradiente de f, la divergencia del gradiente de f, el rotacional del gradiente de f, el rotacional del vector (f,g,h), y la divergencia del rotacional de dicho vector. 13.- Dado el campo vectorial A= ˆj + kˆ y los puntos a (0,0,0); b(1,0,0); c(1, 4,0); d(0, 4,0). Calcule el flujo de dicho vector a través de la superficie determinada por esos cuatro puntos. 14.- Dado el campo escalar U = x 3 + y 3 + z 3 , calcule la circulación de su gradiente cuando se pasa de, por un camino cualquiera, del punto más alto al punto más bajo de la intersección del eje Z con la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. 15.-El vector A de módulo 4 y cosenos directores proporcionales a 2,-1,3, pasa por un punto de coordenadas (2,3,-2). Hallar su momento respecto al punto P (-1,2, -1). 16.-Calcular el momento del vector respecto al eje determinado por: 17.-Determinar el área del triángulo definido por los puntos: A(3,0,0); B (0,2,0) y C(0,0,4). 18.-La fuerza f tiene de módulo 5 y su dirección forma 60° con el eje X y 45° con el eje Y. Su punto de aplicación es P (4,3,2). Calcule: a) el momento de f respecto del punto Q (1,5,-3); b) el vector unitario perpendicular a f y a Mf. 19.- Los vectores a y b están en el mismo plano y forman un ángulo de 60°. Su producto escalar es 15 y . a) Determine sus módulos; b) Obtenga un vector unitario en la dirección del vector su suma vale suma.