Contenido 1. Transformaciones canónicas 1.1 Definición de transformaciones canónicas y función generatriz 1.2 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales 1.3 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos 1.4 Teoremas de Liouville y Noether 1 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 1/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Transformaciones puntuales El objetivo de transformar el sistema de coordenadas en que trabajamos en un problema en particular es simplificar la expresión y solución del mismo, Qi = Qi (q, t), lo anterior se conoce como una tranformación puntual en el espacio de configuración. En el formalismo Hamiltoniano, donde tenemos 2n q’s y p’s independientes, necesitamos, Qi = Qi (q, p, t), Pi = Pi (q, p, t), siendo ahora la tranformación puntual definida en el espacio fase. Además, el set (Q, P ) deben ser coordenadas canónicas ∴ Q̇i = ∂K , ∂Pi Ṗi = − ∂K . ∂Qi en donde K representa al Hamiltoniano transformado. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 2 /43 2/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Transformaciones canónicas Para que las (Q, P ) sean consideradas coordenadas canónicas, deben cumplir con el principio modificado de Hamilton, δ Z t2 Pi Q̇i − K(Q, P, t) dt = 0 t1 en donde las coordenadas originales (q, p) cumplen con el principio, Z t2 δ (pi q̇i − H(q, p, t)) dt = 0 t1 Para que el principio de Hamilton modificado se cumpla en ambos esquemas, los integrandos deben ser conectados mediante la relación, dF , ∀ F = F (q, p, t), ó F = F (Q, P, t).1 dt conocida como tranformación canónica y F la función generatriz. pi q̇i − H = Pi Q̇i − K + 1 o una mezcla de las coordenadas de los espacios fase. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 3 /43 3/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Transformaciones canónicas La función de F es actuar como un link entre los sist. (q, p) y Q, P , por tanto, analizemos cuando F = F1 (q, Q, t), aplicando a la transf. canónica con esta función generatriz, ∂F1 ∂t ∂F1 ∂F1 ∂F1 = Pi Q̇i − K + + q̇i + Q̇i ∂t ∂qi ∂Qi ∂F1 ∂F1 ∂F1 ∴ 0 = −pi + q̇i + Pi + Q̇i + H − K + ∂qi ∂Qi ∂t pi q̇i − H = Pi Q̇i − K + como las coords. qi y Qi son independientes, ⇒ pi = ∂F1 ∂F1 ∂F1 , Pi = − , K=H+ . ∂qi ∂Qi ∂t 4 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 4/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Transformaciones canónicas Se puede dar el caso de que pi no pueda ser expresada como pi (q, Q, t), si no más bien como pi (q, P, t), por tanto necesitamos una función generatriz F = F (q, P, t), F = F2 (q, P, t) − Qi Pi sustituyendo en la transformación canónica, dF pi q˙i − H = Pi Q̇i − K + dt dF2 = Pi Q̇i − K + − Q̇i Pi − Qi Ṗi dt ∂F2 ∂F2 ∂F2 = −K + + q̇i + Ṗi − Qi Ṗi ∂t ∂qi ∂Pi ∂F2 ∂F2 ∂F2 ∴ 0 = −pi + q̇i + −Qi + Ṗi + H − K + ∂qi ∂Pi ∂t ⇒ pi = Omar De la Peña-Seaman | IFUAP ∂F2 ∂F2 ∂F2 . , Qi = , K=H+ ∂qi ∂Pi ∂t Mecánica Clásica − M.C. Física 5 /43 5/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Tipos de transformaciones canónicas Las otras transformaciones básicas serán, F = F (p, Q, t) y F = F (p, P, t), las cuales vienen dadas de la siguiente manera, junto con las ya obtenidas, Transformaciones canónicas básicas Función generatriz F = F1 (q, Q, t) F = F2 (q, P, t) − Qi Pi F = F3 (p, Q, t) + qi pi F = F4 (p, P, t) + qi pi − Qi Pi Derivativas pi = ∂F1 /∂qi Pi = −∂F1 /∂Qi pi = ∂F2 /∂qi Qi = ∂F2 /∂Pi qi = −∂F3 /∂pi Pi = −∂F3 /∂Qi qi = −∂F4 /∂pi Qi = ∂F4 /∂Pi 6 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 6/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Tipos de transformaciones canónicas Finalmente, cabe mencionar que una función generatriz no tiene por que ser una de las básicas anteriores para todos los grados de libertad del sistema, por ejemplo, F 0 (q1 , p2 , P1 , Q2 , t), en donde, F = F 0 (q1 , p2 , P1 , Q2 , t) − Q1 P1 + q2 p2 , dando como resultado las siguientes relaciones para las ecuaciones de transformación, ∂F 0 , ∂q1 ∂F 0 q2 = − , ∂p2 p1 = ∂F 0 , ∂P1 ∂F 0 P2 = − , ∂Q2 Q1 = K=H+ ∂F 0 . ∂t 7 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 7/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Ejemplo: oscilador armónico Consideremos el oscilador armónico en una dimensión, H= kq 2 1 2 k p2 + = (p + m2 ω 2 q 2 ), ∀ = ω2. 2m 2 2m m si pudieramos encontrar una transformación caónica de la siguiente forma, f (P ) p = f (P )Cos Q, q = Sen Q, mω ⇒ podríamos expresar al Hamiltoniano de la siguiente manera, K=H= f 2 (P ) f 2 (P ) Cos2 Q + Sen2 Q = , 2m 2m de tal manera que Q sea una coordenada cíclica. 8 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 8/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Proponiendo la siguiente función generatriz para obtener tal transf., mωq 2 Ctg Q, 2 donde las ecuaciones de transformación vienen dadas como, F1 = p= ∂F1 = mωqCtg Q, ∂q P =− ∂F1 mωq 2 = , ∂Q 2Sen2 Q resolviendo para q(P, Q) y p(P, Q), 2P 1/2 q= Sen Q, p = (2P mω)1/2 Cos Q, mω ∴ encontramos la expresión para f (P ), de la propuesta original f (P ) = (2P mω)1/2 lo cual nos arroja como Hamiltoniano, K = H = f 2 (P )/2m = ωP 9 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 9/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Del Hamiltoniano H = ωP en el sistema (P, Q) observamos • Q es una coordenada cíclica, • ∴ P es constante: P = E/ω. Hallando la ecuación de movimiento 2 , Q̇ = ∂H = ω, ⇒ Q = ωt + α ∂P Con la ecuación anterior podemos hallar las soluciones para q y p q = 2P mω 1/2 Sen Q = 2E mω 2 1/2 Sen (ωt + α), p = (2P mω)1/2 Cos Q = (2Em)1/2 Cos (ωt + α). 2 la segunda ecuación es Ṗ = −∂H/∂Q Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 10 /43 10/43 Def. de transformaciones canónicas y función generatriz Ejemplo: oscilador armónico (cnt.) Graficando en ambos sistemas (q, p) y (Q, P ), p = (2Em)1/2 Cos (ωt + α) q= 2E mω 2 1/2 Sen (ωt + α) q2 2E/mω 2 + p2 2mE =1 P P = E/ω Q = ωt + α P = E/ω 11 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 11/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica o matricial Otro método para estudiar las transformaciones canónicas distinto al de funciones generatrices es la formulación simpléctica o matricial. Consideremos una transformación canónica restringida, Qi = Qi (q, p), 3 Pi = Pi (q, p), ⇒ K = H. Ahora, calculando la derivada temporal de Qi de las ecs. anteriores, Q̇i = ∂Qi ∂Qi ∂H ∂Qi ∂H ∂Qi q̇j + ṗj = − . ∂qj ∂pj ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj Ahora, por otro lado, si invertimos las transformaciones puntuales, qj = qj (Q, P ), pj = pj (Q, P ), ∴ podemos considerar H(q, p) = H(Q, P ), por tanto, calculando ∂H ∂H ∂pj ∂H ∂qj = + ∂Pi ∂pj ∂Pi ∂qj ∂Pi 3 es decir, que no depende del tiempo. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 12 /43 12/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica o matricial Comparando los resultados de Q̇i y ∂H/∂Pi , tenemos que si se cumple ∂Qi ∂qj ! = q,p ∂pj ∂Pi ∂Qi ∂pj , Q,P ! ∂qj ∂Pi =− q,p ⇒ Q̇i = Q,P ∂H . ∂Pi es decir, la transformación es canónica. Realizando un procedimiento similar en Pi , Ṗi = ∂H ∂Qi = ∂H ⇒ Ṗi = − ⇔ ∂Qi ∂Pi ∂Pi ∂Pi ∂H ∂Pi ∂H q̇j + ṗj = − , ∂qj ∂pj ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj ∂H ∂pj ∂H ∂qj + ∂pj ∂Qi ∂qj ∂Qi ∂Pi ∂qj ! q,p ∂pj =− ∂Qi , Q,P ∂Pi ∂qj ! = q,p ∂qj ∂Qi Q,P 13 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 13/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica o matricial Para expresar lo anterior en forma matricial, recordemos que η contiene los 2n elementos qj , pj y las ecs. de Hamilton vienen dadas como " # ∂H 0 1 , ∀ J= . η̇ = J −1 0 ∂η De manera similar podemos expresar un vector de 2n entradas Qi , Pi para una transformación cańonica, ζ = ζ(η), Usando de igual manera las derivadas temporales para hallar las ecs. de movimiento para Qi y Pi , ∂ζi ζ̇i = η̇j , ∀ i, j = 1, 2, . . . , 2n. ∂ηj expresando de forma matricial lo anterior, ∂H ∂ζi ζ̇ = Mη̇ = MJ , ∀ Mij = . ∂η ∂ηj 14 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 14/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica o matricial Ahora, siguiendo con el procedimiento, podemos considerar H(η) = H(ζ) gracias a la transformación inversa, por tanto ∂H ∂H ∂H ∂H ∂ζj = M̃ , = , ⇒ ∂η ∂ζ ∂ηi ∂ζj δηi relacionando el resultado anterior con el de ζ̇, ∂H ∂H ζ̇ = MJ = MJM̃ . ∂η ∂ζ Por otro lado, como ya se ha demostrado con el enfoque de funciones generatrices, la transformación canónica dada por ζ = ζ(η) mantiene H, por tanto ∂H ∂H η̇ = J , ⇒ ζ̇ = J ∂η ∂ζ lo cual comparado con el resultado anterior nos arroja MJM̃ = J tal que la transformación ζ = ζ(η) sea canónica. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 15 /43 15/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica: propiedades y ejemplo Algunas de las propiedades de la condición simpléctica para una transformación canónica son, MJM̃ = J ⇒ MJ = JM̃−1 ⇒ JM = M̃−1 J 4 ⇒ M̃JM = J, en donde M es conocida como la matriz simpléctica. Como ejemplo analicemos el caso de la función generatriz F = F2 (q1 , P1 )− Q1 P1 + F1 (q2 , Q2 ), donde F2 (q1 , P1 ) = q1 P1 y F1 (q2 , Q2 ) = q2 Q2 , dF dt d ∂F ∂F ∂F ∂F pi q̇i − H + K + Pi Q̇i = (Q1 P1 ) + ṗi + q̇i + Ṗi + Q̇i dt ∂pi ∂qi ∂Pi ∂Qi p1 q̇1 + p2 q̇2 − H = −P1 Q̇1 − P2 Q̇2 − K + P1 Q̇1 + Q1 Ṗ1 + . . . ∂F2 ∂F1 ∂F2 ∂F1 ... + Ṗ1 + Q̇2 q̇1 + q̇2 + ∂q1 ∂q2 ∂P1 ∂Q2 pi q̇i − H = −Pi Q̇i − K + 4 2 J = −J. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP 16 Mecánica Clásica − M.C. Física /43 16/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica: propiedades y ejemplo Relacionando término a término tenemos, p1 q̇1 + p2 q̇2 − H = −P1 Q̇1 − P2 Q̇2 − K + P1 Q̇1 + Q1 Ṗ1 + . . . ∂F2 ∂F1 ∂F2 ∂F1 ... + q̇1 + q̇2 + Ṗ1 + Q̇2 ∂q1 ∂q2 ∂P1 ∂Q2 ∂F2 ∂F1 = P1 , = Q2 , p1 = p2 = ∂q1 ∂q2 ∂F1 ∂F2 P2 = − = −q2 , Q1 = = q1 , ∂Q2 ∂P1 en donde F2 (q1 , P1 ) = q1 P1 y F1 (q2 , Q2 ) = q2 Q2 . Ahora, expresando lo obtenido anteriormente en términos de la formulación simpléctica tenemos, q1 q η = 2 , p1 p2 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Q1 Q ζ = 2 , P1 P2 Mecánica Clásica − M.C. Física 17 /43 17/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Formulación simpléctica: propiedades y ejemplo Por tanto, la transformación ζ̇ = Mη̇ queda como Q̇1 1 0 Q̇ 0 0 2 = Ṗ1 0 0 0 −1 Ṗ2 0 0 1 0 0 q̇1 q̇1 1 q̇2 ṗ2 = 0 ṗ1 ṗ1 0 ṗ2 −q̇2 dando como resultado la transf. original deseada. 5 Ahora, obteniendo las ecs. de Hamilton para las variables transformadas, ζ̇ = J∂H/∂ζ (independiente de la transformación F ) Q̇1 0 0 Q̇ 0 0 2 = Ṗ1 −1 0 0 −1 Ṗ2 1 0 0 0 0 −Ṗ1 1 −Ṗ2 0 Q̇1 0 Q̇2 donde −Ṗi = ∂H/∂ζi para i = 1, 2 y Q̇i = ∂H/∂ζi para i = 3, 4. 5 el par 1 sin cambios y en el 2 intercambiados con signo opuesto. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 18 /43 18/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Transformaciones infinitesimales Para el caso de transformaciones canónicas ζ = ζ(η, t) se sigue manteniendo que MJM̃ = J, 6 aunque el procedimiento anterior para demostrarlo no. Por ello, podemos implicar if η → ζ(t), then η → ζ(t0 ) ∴ ζ(t0 ) → ζ(t) es también una transformación canónica, siendo t0 una constante fija. Por tanto, si podemos demostrar que ζ(t0 ) → ζ(t) es una transf. canónica, entonces llegaremos a que η → ζ(t) también lo es. Para ello introducimos el concepto de transformación canónica infinitesimal, en donde solamente términos de primer órden de los infinitesimales son retenidos en el cálculo, Qi = qi + δqi , Pi = pi + δpi , ⇒ ζ = η + δη. 6 conocida como condición simpléctica. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 19 /43 19/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Transformaciones infinitesimales En el formalismo de las funciones generatrices, una transf. canónica infinitesimal podria ser expresada como F2 = qi Pi + G(q, P, t), obteniendo las funciones de transformación para F2 , ∂F2 ∂G = Pj + ∂qj ∂qj ∂F2 ∂G Qj = = qj + ∂Pj ∂Pj pj = ∂G ∂qj ∂G ⇒ δqj = Qj − qj = ∂Pj ⇒ δpj = Pj − pj = − En la ec. para δqj tenemos que es lineal en , además de que P y p difieren por un infinitesimal, ⇒ a primer orden podemos hacer Pj → p j , ∂G ∂G δqj = , ∴ δη = J . ∂pj ∂η en donde G(q, p) es la función generatriz de la transformación canónica infinitesimal. 20 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 20/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Transformaciones infinitesimales Para demostrar que la transf. infinitesimal ζ = η + δη es canónica, calculemos el Jacobiano, M= ∂(δη) ∂2G ∂ζ =1+ = 1 + J ∂η ∂η ∂η∂η ∀ δη = J ∂G ∂η en donde la segunda derivada representa una matriz cuadrada simétrica, ∂2G ∂η∂η ! = i,j ∂2G . ∂ηi ∂ηj Debido a J̃ = −J, M̃ viene dada como M̃ = 1 − ∂2G J. ∂η∂η 21 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 21/43 Enfoque simpléctico y transformaciones infinitesimales Transformaciones infinitesimales Calculando la condición simpléctica, ! MJM̃ = ∂2G 1 + J ∂η∂η ∂2G J 1− J ∂η∂η ! = ∂2G 1 + J ∂η∂η ∂2G J − J J ∂η∂η = J − J ! ! ∂2G ∂2G J + J J + O(2) ∂η∂η ∂η∂η MJM̃ = 1. Por tanto, la condición simpléctica se mantiene para cualquier transformación canónica, ya sea que involucre al tiempo o no. 22 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 22/43 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos Definición y fundamentos Consideremos a f = f (p, q, t), ⇒ su derivada total viene dada como df = dt df = dt en donde hemos ∂f ∂f ∂f + q̇k + ṗk , ∂t ∂qk ∂pk ∂f ∂H ∂f ∂H ∂f ∂f + − + [f, H] = ∂t ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ∂t definido al corchete de Poisson de f y H como ∂f ∂H ∂f ∂H [f, H] = − ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk para el caso de que f sea una integral de movimiento, ∂f + [f, H] = 0 ∂t Si además la integral de movimiento f 6= f (t), 7 tenemos [f, H] = 0. 7 df /dt = 0 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP 23 Mecánica Clásica − M.C. Física /43 23/43 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos Propiedades En general, para cualquiera dos cantidades f y g, el corchete de Poisson se define como ∂f ∂g ∂f ∂g [f, g] = − . ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk Algunas propiedades de los corchetes de Poisson son las siguientes, [f, g] = − [g, f ] , [f, c] = 0, ∀ c = cte. [f1 + f2 , g] = [f1 , g] + [f2 , g] , [f1 f2 , g] = f1 [f2 , g] + f2 [f1 , g] , ∂ ∂f ∂g [f, g] = , g + f, . ∂t ∂t ∂t Si f o g corresponde a pk o qk , entonces, [f, qk ] = − ∂f , ∂pk [f, pk ] = ∂f . ∂qk 24 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 24/43 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos Propiedades De la propiedad anterior se sigue que, [qj , qk ] = 0, [pj , pk ] = 0, [qj , pk ] = δjk . Además, si consideramos que f sea una variable canónica y g = H, [qk , H] = q̇k , [pk , H] = ṗk . De igual manera describimos las relaciones de L = r × p, [Li , Lj ] = ijk Lk , 8 & [pi , Lj ] = ijk pk . Otra propiedad importante es el teorema de Poisson, df dg [f, g] = cte. ⇔ = = 0. (f y g ctes. de movimiento) dt dt También tenemos a la conocida como identidad de Jacobi, [f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0, 8 en donde ijk es +1 si tenemos una permutación cíclica, −1 si es no-cíclica y 0 si se tienen indices repetidos. 25 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 25/43 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos Transfomaciones canónicas Si tenemos una transformación entre las coordenadas (q, p) y (Q, P ) tal que se mantenga [f, g]q,p = [f, g]Q,P ∂f ∂g ∂f ∂g ∀ [f, g]q,p = − ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ∂f ∂g ∂f ∂g y [f, g]Q,P = − ∂Qk ∂Pk ∂Pk ∂Qk entonces se tiene que la transformación es canónica. En otras palabras, el corchete de Poisson es invariante antes transf. canónicas. Entonces, tenemos que para transformaciones canónicas se cumple, [Qj , Qk ]q,p = 0, [Pj , Pk ]q,p = 0, [Qj , Pk ]q,p = δjk . 26 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 26/43 Corchetes de Poisson y de Lagrange e invariantes canónicos Corchetes de Lagrange Otro invariante canónico es el llamado corchete de Lagrange, definido como, ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk {f, g}q,p = − , ∂u ∂v ∂u ∂v en donde si f y g corresponden a dos miembros del set (q, p), ⇒ {qj , qk }q,p = 0, {pj , pk }q,p = 0, {qj , pk }q,p = δjk . IMP: Muchas de las propiedades de los corchetes de Poisson se cumplen también en los corchetes de Lagrange, excepto la identidad de Jacobi. 9 9 [f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 27 /43 27/43 Teoremas de Liouville y Noether Fundamentos: espacio fase En el formalismo Hamiltoniano el estado del movimiento de un sistema mecánico con n grados de libertad está caracterizado por • n coordenadas q1 , q2 , . . . , qn , y • n momentos p1 , p2 , . . . , pn generalizados, en donde las 2n coord. y momentos son independientes. Las coord. y momentos generalizados forman espacios particulares, • (qi , pi ): espacio 2n-dimensional cartesiano llamado espacio fase. • qi : subespacio n-dimensional llamado espacio de configuración. • pi : subespacio n-dimensional llamado espacio de momentos. Para el caso del espacio fase, el curso del movimiento de un punto (qi , pi ) es conocido como la trayectoria de fase dada por la representación paramétrica qk (t), pk (t). 28 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 28/43 Teoremas de Liouville y Noether Espacio fase del péndulo planar Consideremos al péndulo planar V =0 y ϕ Construyendo el Hamiltoniano, H = T + V = ml2 ϕ̇2 − mglCos ϕ = p2ϕ /2ml2 − mglCos ϕ = E l Por tanto, la trayectoria de fase pϕ = pϕ (ϕ) es m (x, y) q pϕ = ± 2ml2 (E + mglCos ϕ) x Si tomamos a ϕ como la coordenada generalizada, ⇒ L = ml2 ϕ̇2 + mglCos ϕ ∴ pϕ = ∂L/∂ ϕ̇ = ml2 ϕ̇ 29 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 29/43 Teoremas de Liouville y Noether Espacio fase del péndulo planar Al ser E un parámetro en la trayectoria de fase tendremos dos casos: • E < mgl: las trayectorias son curvas cerradas (tipo elipse) ⇒ el péndulo oscila ∴ el movimiento es de vibración. • E > mgl: las trayectorias son curvas abiertas ⇒ el péndulo continúa su mov. ∴ el movimiento es de rotación. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 30 /43 30/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Liouville Consideremos un gran número N de puntos independientes idénticos entre sí, ⇒ son descritos por el mismo H, ∴ si todos los puntos a un tiempo t1 son distribuidos en un espacio fase 2n-dimensional G1 con volumen, ∆V = ∆q1 ∆q2 . . . ∆qn · ∆p1 ∆p2 . . . ∆pn , entonces podemos definir la densidad como ρ = ∆N/∆V y donde con el curso del movimiento G1 → G2 deacuerdo a las ecs. de Hamilton, 31 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 31/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Liouville Teorema de Liouville • El volumen de una región arbitraria del espacio fase se conserva si los puntos de la frontera se mueven de acuerdo a las ecuaciones canónicas. • La densidad de puntos en el espacio fase en la vecindad de un punto que se mueve con el fluido es constante. 32 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 32/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Liouville El segundo enunciado del teorema de Liouville establece una ecuación de continuidad, 0 = ∇(ρṙ) + ∂ρ ∂t ∂ ∂ ∂ρ (ρq̇k ) + (ρṗk ) + ∂qk ∂pk ∂t ∂ρ ∂ρ ∂ q̇k = + q̇k + ρ + ... ∂t ∂qk ∂qk ∂ρ ∂ ṗk ... + ṗk + ρ ∂pk ∂pk de las ecuaciones de Hamilton tenemos, = ∂ q̇k ∂2H ∂ ṗk ∂2H = & =− ∂qk ∂pk ∂qk ∂pk ∂qk ∂pk ⇒ Omar De la Peña-Seaman | IFUAP ∂ q̇k ∂ ṗk + =0 ∂qk ∂pk Mecánica Clásica − M.C. Física 33 /43 33/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Liouville Sustituyendo en la ec. de continuidad, tenemos ∂ρ ∂ρ ∂ q̇k ∂ρ ∂ ṗk + q̇k + ρ + ṗk + ρ ∂t ∂qk ∂qk ∂pk ∂pk ∂ρ ∂ρ ∂ρ ⇒ + q̇k + ṗk ∂t ∂qk ∂pk ∂ρ ∂ρ ∂H ∂ρ ∂H + − ∂t ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ∂ρ + [ρ, H] ∂t dρ dt = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 por tanto, ρ = cte. lo que demuestra el teorema de Liouville. 34 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 34/43 Teoremas de Liouville y Noether Ejemplo: densidad en el espacio fase para partículas en el campo gravitatorio El sistema consiste de partículas de masa m en un campo gravitacional constante, por tanto el Hamiltoniano viene dado como H=E= p2 mq̇ 2 − mgq, donde: T = , V = mgq. 2m 2 donde por tener H 6= H(t) el sistema se conservativo: E = cte. Construyendo las trayectorias de fase p(q) de la ec. anterior, p= q 2m(E + mgq), Consideramos que las partículas en t = 0 tienen de límites p1 ≤ p ≤ p2 , E1 ≤ E ≤ E2 , en un área F del espacio fase. Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física 35 /43 35/43 Teoremas de Liouville y Noether Ejemplo: densidad en el espacio fase para partículas en el campo gravitatorio Para un t > 0 el momento será p0 = p + mgt, con un área F 0 limitada por, p1 + mgt ≤ p0 ≤ p2 + mgt, (p2 /2m) − E con q = . mg Calculando el área F , Z p2 F p1 = Z q1 dp = q2 E2 − E1 mg Z [(p2 /2m)−E1 ]/mg Z p2 dq = dp p1 Z p2 dp = p1 dq [(p2 /2m)−E2 ]/mg E2 − E1 (p2 − p1 ). mg 36 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 36/43 Teoremas de Liouville y Noether Ejemplo: densidad en el espacio fase para partículas en el campo gravitatorio De manera análoga para el área F 0 , F 0 = Z p0 2 p01 dp 0 Z q0 1 q20 dq 0 E2 − E1 0 (p2 − p01 ) mg pero p0 = p + mgt. E2 − E1 ⇒ F0 = (p2 − p1 ). mg El resultado anterior no es otra cosa que el teorema de Liuoville: = F = F 0, lo cual significa que la densidad del sistema de puntos en el espacio fase permanece constante si (q, p) obedecen las ecuaciones canónicas. 37 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 37/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether y transformaciones puntuales La conexión entre invariancia y conservación en sistemas coordenados puede ocurrir en casos en donde no existan coordenadas cíclicas o ignorables. Teorema de Noether Si el Lagrangiano es invariante ante una familia de transformaciones, entonces su sistema dinámico posee una constante de movimiento, la cual puede ser hallada conociendo el Lagrangiano y la transformación. Las transformaciones que se mencionan son del tipo puntuales, ∂ψα = q̇α . ∂t en donde representa a la familia de transformaciones. Asumimos que L es invariante ante la familia de transformaciones, ψα = qα + ηα , ∀ L (q, q̇, t) = L ψ(q), ∂ ψ(q), t ∂t 38 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 38/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether Calculando la derivada respecto , ∂L ∂ = = ∂L ∂ψα ∂L ∂ ψ̇α + ∂ψα ∂ ∂ ψ̇α ∂ ∂L ∂ q̇α 10 ∂L ηα + ∂ψα ∂ ψ̇α ∂ evaluando cuando → 0, entonces ψ0 (q) = q, y ∂L ∂L ∂L = δL = δqα + δ q̇α 11 ∂ =0 ∂qα ∂ q̇α pero recordemos, d dt 10 11 ∂L δqα = ∂ q̇α d ∂L ∂L δqα + δ q̇α dt ∂ q̇α ∂ q̇α ψα = qα + ηα , ψ̇α = q̇α ηα → δqα Omar De la Peña-Seaman | IFUAP 39 Mecánica Clásica − M.C. Física /43 39/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether Sustituyendo en δL, δL = d ∂L d ∂L − δqα + ∂qα dt ∂ q̇α dt ∂L δqα ∂ q̇α el primer término son las ecs. de Lagrange, e invocando ahora la invariancia de L, tenemos δL = 0, ⇒ d dt ∂L ∂L δqα δqα = 0 ∴ Γ ≡ ∂ q̇α ∂ q̇α es una constante de movimiento, lo cual representa al teorema de Noether: a cada simetría de q descubierta en L corresponde una constante de movimiento. 40 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 40/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether: ejemplo Consideremos el caso del potencial central en coordenadas cartesianas, 1 L = m ẋ2 + ẏ 2 + V (r), ∀ r2 = x2 + y 2 . 2 ahora, el Lagrangiano anterior es invariante ante rotaciones del tipo, x0 = xCos − ySen , y 0 = xSen + yCos . Para hacer uso del teorema de Noether, calculamos las δq’s 12 ∂x0 = −xSen − yCos ⇒ δx0 = δx = −y, ∂ ∂y 0 = xCos − ySen ⇒ δy 0 = δy = x, ∂ ∂L ∂L ∂L δqα = δy + δx = m (xẏ − y ẋ) . ∂ q̇α ∂ ẏ ∂ ẋ lo cual representa el momento angular. ⇒ tenemos Γ = 12 recordemos que δ ≡ ∂/∂|=0 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP 41 Mecánica Clásica − M.C. Física /43 41/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether: generalización Podemos generalizar el teorema de Noether, en el sentido de que L no tiene por que ser estrictameente invariante ante una transformación, si no que puede cambiar como sigue, L = L + Φ̇(q, t, ). Ahora, como sabemos 13 que una transformación del tipo L→L+ d Φ(q, t) dt deja las ecuaciones de movimiento y de Lagrange invariantes, el teorema de Noether especifica que tal transformación dará una constante de movimiento, en ese caso δL = 13 d δΦ, dt demostrar!! Omar De la Peña-Seaman | IFUAP 42 Mecánica Clásica − M.C. Física /43 42/43 Teoremas de Liouville y Noether Teorema de Noether: generalización Combinando el resultado anterior con la ec. siguiente, ∂L d ∂L d − δqα + ∂qα dt ∂ q̇α dt d ∂L δqα dt ∂ q̇α d ∂L δqα − δΦ dt ∂ q̇α δL = ⇒ d δΦ = dt ∴ 0 = ∂L δqα ∂ q̇α por tanto, llegamos a que la función Γ= ∂L δqα − δΦ ∂ q̇α es una constante de movimiento. La transformación L → L + dΦ(q, t)/dt se le conoce como transformación de norma, por tanto el teorema de Noether establece que una cte. de movimiento se asocia con toda invariancia de norma del Lagrangiano bajo una familia de transformaciones dada. 43 Omar De la Peña-Seaman | IFUAP Mecánica Clásica − M.C. Física /43 43/43