Mecánica Cásica

Contenido
1. Ecuaciones de Hamilton
1.1 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
1.2 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación
1.3 Procedimiento de Routh
1.4 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales
1.5 Principio de Mínima Acción
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Principios fudamentales
El método Hamiltoniano no es superior ni aporta información adicional al sistema bajo estudio respecto al formalismo Lagrangiano, sin
embargo tiene sus ventajas:
Formalismo Hamiltoniano
Formalismo Lagrangiano
• 2n grados de libertad: qi ’s y
• n grados de libertad: qi ’s
• n ecuaciones de movimiento de
pi ’s
• 2n ecuaciones de movimiento
segundo
orden:
d
∂L
∂L
dt ∂ q̇i − ∂qi = 0
de primer orden
• ∴ se necesitan de 2n cond.
• ∴ se necesitan de 2n cond.
iniciales para determinar el
movimiento del sistema.
iniciales para determinar el
movimiento del sistema.
• el estado del sist. se representa
• el estado del sist. se representa
como un punto en un espacio
de configuración
n-dimensional.
como un punto en un espacio
fase 2n-dimensional.
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Transformación de Legrende
En el formalismo Hamiltoniano las 2n variables correspondientes son:
• Coordenadas generalizadas: qi ∀ i = 1, 2, . . . , n
• Momentos conjugados: pi = ∂L(qj , q̇j )/∂ q̇i ∀ i = 1, 2, . . . , n
donde el set (q, p) se le conoce como variables canónicas.
La transición del formalismo Lagrangiano (q, q̇, t) al Hamiltoniano (q, p, t)
se realiza mediante
Transformaciones de Legrende
Consideremos una función de dos variables f (x, y), tal que su diferencial total sea
∂f
∂f
df =
dx +
dy = udx + vdy,
∂x
∂y
Ahora, cambiando la base (x, y) a (u, y) tal que ahora una nueva
función dg se exprese en términos de du y dy, por tanto definimos,
g = f − ux, ⇒ dg = df − udx − xdu, ⇒ dg = vdy − xdu
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Transformación de Legrende
Comparando el resultado anterior de dg con la diferencial total,
dg = vdy − xdu =
∂g
∂g
∂g
∂g
dy +
du, ∴ v =
, x=−
∂y
∂u
∂y
∂u
Aplicando la transformación de Legrende a L(q, q̇, t) tal que nos
arroje H(q, p, t),
dL =
∂L
∂L
∂L
∂L
∂L
dqi +
dq̇i +
⇒ ṗi =
,
dt, pero pi =
∂qi
∂ q̇i
∂t
∂ q̇i
∂qi
1
∂L
dt.
∂t
Construyendo H(q, p, t) en función de L(q, q̇, t),
∴ dL = ṗi dqi + pi dq̇i +
H(q, p, t) = q̇i pi − L(q, q̇, t),
1
sust. pi en d/dt(∂L/∂ q̇i ) − ∂L/∂qi = 0.
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Ecuaciones de Hamilton
obteniendo la diferencial total de H(q, p, t),
dH = q̇i dpi + pi dq̇i − dL = q̇i dpi − ṗi dqi −
pero, dH =
∂L
dt
∂t
∂H
∂H
∂H
dpi +
dqi +
dt
∂pi
∂qi
∂t
Relacionando términos obtenemos 2n relaciones conocidas como las
ecuaciones canónicas de Hamilton,
q̇i =
∂H
∂H
, ṗi = −
∂pi
∂qi
las cuales constituyen el set de 2n ecuaciones de movimiento de primer
orden que reemplazan las n ecs. de segundo orden (provenientes del
formalismo Lagrangiano).
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Notación simpléctica
Las ecuaciones de Hamilton se pueden expresar en una forma compacta,
construyendo un vector columna η con 2n elementos de la sig. manera,
ηi = qi , ηi+n = pi , ∀ i ≤ n.
igualmente generamos el vector columna ∂H/∂η,
∂H
∂η
=
i
∂H
,
∂qi
∂H
∂η
=
i+n
∂H
, ∀ i ≤ n.
∂pi
Finalmente, definimos una matriz J de 2n × 2n,
"
#
"
0 1
0 −1
J=
, J̃ =
−1 0
1 0
#
donde 0 es la matriz n × n con todos los elementos cero, y 1 es la
matriz unidad de n × n, cumpliendo J las sig. propiedades,
J̃J = JJ̃ = 1, J̃ = −J = J−1 , J2 = −1, |J| = +1.
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Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton
Notación simpléctica
Por tanto, con las definiciones anteriores podemos expresar las ecuaciones de Hamilton de una manera mas compacta,
η̇ = J
∂H
∂η
Como ejemplo, expresemos el sistema de dos variables (q1 , p1 ), (q2 , p2 ),



q̇1
0
0
 q̇   0
0
 2 
 =
ṗ1  −1 0
ṗ2
0 −1
1
0
0
0


0 ∂H/∂q1


1
  ∂H/∂q2 

,
0 ∂H/∂p1 
0 ∂H/∂p2
lo cual cumple con lo obtenido anteriormente,
q̇i =
∂H
∂H
, ṗi = −
.
∂pi
∂qi
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Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación
Coordenadas cíclicas en el Hamiltoniano
Recordemos que en el caso de la formulación Lagrangiana se consideraba a una coordenada qj cíclica si no aparecía explícitamente en L,
por tanto,
d
de
dt
∂L
∂ q̇j
⇒
!
−
∂L
=0 ⇒
∂qj
∂L
= cte.
∂ q̇j
∂H
∂L
= ṗj = −
= cte.
∂ q̇j
∂qj
∴ una coordenada cíclica también estará ausente en el Hamiltoniano
y el momento conjugado será una cantidad conservada.
Ahora, para el caso de la dependencia temporal, recordemos que del
Hamiltoniano llegabamos a lo siguente,
∂H
∂L
=− ,
∂t
∂t
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Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación
Conservación de la energía
Analizando de la diferencial total dH(p, q, t),
dH =
⇒
∴
dH
dt
dH
dt
=
=
∂H
∂H
∂H
dpi +
dqi +
dt
∂pi
∂qi
∂t
∂H
∂H dpi ∂H dqi ∂H
+
+
= q̇i p˙i − ṗi q̇i +
∂pi dt
∂qi dt
∂t
∂t
∂H
∂L
=− ,
∂t
∂t
Entonces, observamos que,
• si L 6= L(t), ⇒ H 6= H(t) ∴ H es una cte. de movimiento.
• si el potencial es conservativo (V = V (q)) ⇒ H = T + V .
IMP: las cond. anteriores no son mutuamente necesarias y suficientes!!
• Un sistema puede tener H =cte. pero H 6= T + V , o . . .
• . . . puede ser que H = T + V , pero H = H(t), ⇒ H 6= cte.
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Procedimiento de Routh
Aplicación a sistemas con coordenadas cíclicas
Cuando tenemos alguna coordenada cíclica, digamos qn , hemos visto
que el efecto en ambos formalismos,
Formalismo Lagrangiano
Formalismo Hamiltoniano
L = L(q1 , . . . , qn−1 ; q̇1 , . . . , q̇n ; t)
∴ aún tenemos un problema de n
variables (las q̇i siguen apareciendo
completas!)
H=
H(q1 , . . . , qn−1 ; p1 , . . . , pn−1 ; α; t)
al ser qn cíclica ⇒ pn = α = cte,
por lo que tenemos n − 1 coord. y
una cte. de integración α,
q̇n =
∂H
.
∂α
El procedimiento de Routh, consiste en aplicar la transformación
Hamiltoniana sólo a las coord. cíclicas, tratando las demás en el formalismo Lagrangiano.
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Procedimiento de Routh
Definición
Si tenemos que las coord. cíclicas son qs+1 , . . . , qn , definimos una
función R, conocida como Routhiano,
R(q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s ; ps+1 , . . . , pn ; t) =
X
pi q̇i − L,
i=s+1
lo cual significa básicamente,
R(q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s ; ps+1 , . . . , pn ; t) =
Hcycl (ps+1 , . . . , pn ) − Lnoncycl (q1 , . . . , qn ; q̇1 , . . . , q˙s )
en donde tenemos para las s coord. no-cíclicas las ecs. de Lagrange,
d
dt
∂R
∂ q̇i
−
∂R
= 0, ∀ i = 1, . . . , s,
∂qi
y para las n − s coord. cíclicas las ecucaciones de Hamilton,
∂R
∂R
= −ṗi = 0, &
= q̇i , ∀ i = s + 1, . . . , n.
∂qi
∂pi
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Procedimiento de Routh
Ejemplo: problema de Kepler
En el problema de Kepler tenemos una partícula que se mueve en un
plano bajo la influencia de una fuerza f (r) ∝ 1/r2 proveniente de un
potencial central general V (r) = −k/rn
⇒ el Lagrangiano es,
L=
m 2
k
(ṙ + r2 θ̇2 ) + n ,
2
r
Observamos que la coord. cíclica es θ, siendo el momento conjugado
pθ , por tanto el Routhiano será,
k
m 2
(ṙ + r2 θ̇2 ) − n ,
2
r
∂L
pθ
= mr2 θ̇ → θ̇ =
mr2
∂ θ̇
2
pθ
1
k
− mṙ2 − n .
2
2mr
2
r
R(r, ṙ, pθ ) = pθ θ̇ − L = pθ θ̇ −
∀ pθ =
⇒ R(r, ṙ, pθ ) =
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Procedimiento de Routh
Ejemplo: problema de Kepler (cont.)
Ahora, para hallar las ecs. de movimento, aplicamos el formalismo
Lagrangiano para las coord. no-cíclica r,
d
dt
∂R
∂ ṙ
−
∂R
p3
nk
= 0, ⇒ r̈ − θ 3 + n+1 = 0.
∂r
mr
r
aplicando ahora las ecsuaciones de Hamilton a la coord. cíclica θ,
∂R
= −ṗθ = 0,
∂θ
∂R
pθ
= θ̇ =
,
∂pθ
mr2
⇒ pθ = mr2 θ̇ = l = cte.
resultado que se había obtenido previamente, pero mediante un procedimiento mas largo!!!
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Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales
Principio de Hamilton modificado
En cálculo de variaciones estudiamos el principio de Hamilton en el
espacio de configuraciones,
δI ≡ δ
Z t2
L(q, q̇, t)dt = 0 ∀ δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0
t1
Ahora, deseamos expresar lo anterior en términos del Hamiltoniano,
H = pi q̇i − L(q, q̇, t), ⇒ L(q, q̇, t) = pi q̇i − H(p, q, t)
entonces obtenemos el principio de Hamilton modificado en el
espacio fase,
δI ≡ δ
Z t2
[pi q̇i − H(p, q, t)] dt = 0.
t1
Ahora imponemos que la acción I sea estacionaria bajo variaciones
independientes de q y p y fijo en los extremos,
pi → pi + 1 ηi (t), 3 δpi (t1 ) = δpi (t2 ) = 0
qi → qi + 2 ξi (t), 3 δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0
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Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales
Principio de Hamilton modificado
calculando la variación en el principio de Hamilton modificado,
Z t2 ∂H
∂H
pi δ q̇i + q̇i δpi −
δpi −
δqi dt = 0
∂pi
∂qi
t1
analizando el primer término,
d
d
pi δ q̇i = pi (δqi ) = (pi δqi ) − ṗi δqi ,
dt
dt
sustituyendo,
Z t2 d
∂H
∂H
(pi δqi ) − ṗi δqi + q̇i δpi −
δpi −
δqi dt = 0
dt
∂pi
∂qi
t1
Z t2
Z t2 ∂H
∂H
⇒
d [pi δqi ] +
−ṗi δqi + q̇i δpi −
δpi −
δqi dt = 0
∂pi
∂qi
t1
t1
integrando el primer término,
⇒
Z t2
t1
d [pi δqi ] = pi δqi |tt21 = pi (t2 )δqi (t2 ) − pi (t1 )δqi (t1 ) = 0
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Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales
Principio de Hamilton modificado
Entonces sólo nos queda el segundo término,
Z t2 t1
∂H
∂H
−ṗi δqi + q̇i δpi −
δpi −
δqi dt = 0
∂pi
∂qi
agrupando,
Z t2 t1
∂H
q̇i −
∂pi
∂H
δpi − ṗi +
∂qi
δqi dt = 0
como tenemos que las qi ’a y pi ’s son coordenadas independientes,
entonces δqi ’a y δpi ’s también lo son, por tanto,
q̇i −
∂H
∂H
= 0, & ṗi +
= 0.
∂pi
∂qi
las cuales representan a las ecuaciones de Hamilton,
q̇i =
∂H
∂H
, & ṗi = −
.
∂pi
∂qi
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Principio de Mínima Acción
Variación ∆
El principio de mínima acción involucra la variación ∆ que
tiene menos restricciones que la
variación δ,
• la variación de la trayectoria
puede tener limites diferentes
en t que la trayectoria original,
• puede haber variación en las
coordenadas q de los límites.
⇒ qi (t, α) = qi (t, 0) + αηi (t),
∀ ηi (t1 ), ηi (t2 ) 6= 0.
Evaluando la variación ∆ de la integral de acción,
Z t2
∆
t1
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Ldt ≡
Z t2 +∆t2
t1 +∆t1
L(α)dt −
Z t2
L(0)dt
t1
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Principio de Mínima Acción
Variación ∆
La variación se compone de dos partes,
• Cambio en el integrando en la trayectoria alterna pero con los
límites en t de la original.
• Cambio en los límites de la integral de la trayectoria original,
por tanto, podemos expresar la variación ∆ también de la sig. manera,
Z t2
Z t2
Ldt =
∆
t1
t1
Z t2
=
δLdt −
Z ∆t1
Z ∆t2
L(0)dt +
t1
L(0)dt
t2
δLdt − L(t1 )∆t1 + L(t2 )∆t2
t1
la variación de la primera integral se realiza como en el caso del
principio de Hamilton, excepto que δqi (t1 ), δqi (t2 ) 6= 0,
Z t2
δLdt =
t1
Z t2 ∂L
t1
d
−
∂qi dt
∂L
∂ q̇i
∂L t2
δqi dt +
δqi = pi δqi |tt21 .
∂ q̇i
t1
en donde el primer término corresponde a la ecuación de Lagrange.
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Principio de Mínima Acción
Variación ∆
Por tanto, la variación queda como,
Z t2
∆
t1
Ldt = L(t2 )∆t2 − L(t1 )∆t1 + pi δqi |tt21 = (L∆t + pi δqi )|21
Expresando ahora la variación ∆ en
términos de ∆qi , ∴
∆qi (2) = qi (t2 + ∆t2 , α) − qi (t2 , 0)
= qi (t2 + ∆t2 , 0) − qi (t2 , 0) + . . .
. . . + αηi (t2 + ∆t2 )
= qi (t2 , 0) + q̇i (t2 , 0)∆t2 + . . .
. . . − qi (t2 , 0) + αηi (t2 ) + . . .
. . . + αη̇i (t2 )∆t2
∆qi (2) = q̇i (2, 0)∆t2 + δqi (2).
en donde se ha usado, δqi (2) = qi (t2 , α) − qi (t2 , 0) = αηi (t2 ).
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Principio de Mínima Acción
Variación ∆
reescribiendo la variación de la integral de acción,
Z t2
Ldt =
∆
t1
(L∆t + pi δqi )|21 = (L∆t − pi q̇i ∆t + pi ∆qi )|21
=
([L − pi q̇i ] ∆t + pi ∆qi )|21
=
(pi ∆qi − H∆t)|21
Lo anterior debe cumplir con las siguientes restricciones,
• se consideran sistemas donde L 6= L(t), H 6= H(t), ⇒ H es una
cantidad conservada.
• la variación ∆ es tal que H se conserva en todas las trayectorias.
• las trayectorias alternas deben cumplir que ∆qi (t1 ), ∆qi (t2 ) = 0,
aún manteniéndose ∆t 6= 0.
⇒ ∆
Z t2
Ldt = −H(∆t2 − ∆t1 ).
t1
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Principio de Mínima Acción
Variación ∆
Bajo las mismas condiciones anteriores, vemos que la integral de acción
también se expresa como,
Z t2
Z t2
Ldt =
t1
t1
Z t2
=
(pi q̇i − H) dt
pi q̇i dt − H(t2 − t1 )
t1
aplicando la variación ∆ al resultado anterior,
Z t2
Z t2
Ldt = ∆
∆
t1
Z t2
pero, ∆
⇒
pi q̇i dt − H(∆t2 − ∆t1 )
t1
Ldt = −H(∆t2 − ∆t1 ),
t1
Z t2
pi q̇i dt = 0.
∆
t1
lo cual representa al principio de mínima acción
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