SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili (fattorizzazione). Ad esempio x 4 − y 4 = ( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x + y) ⋅ ( x − y) Per eseguire la scomposizione in fattori di un polinomio si applicano i seguenti metodi. 1 - Raccoglimento a fattor comune totale Questa regola si applica quando i termini del polinomio contengono un fattore comune, cioè quando il M.C.D. dei monomi che compongono il polinomio è diverso da 1. Il polinomio è scomposto in due fattori : - il primo fattore è il M.C.D. dei termini del polinomio traccia; - il secondo fattore è un polinomio costituito dai quozienti ottenuti dividendo ciascun termine del polinomio traccia per il M.C.D. trovato. Esempio: 12a 2 x 5 + 15a 3 bx 3 − 18a 4 cx 4 = 3a 2 x 3 ⋅ (4x 2 + 5ab − 6a 2 cx ) Calcoli : 12a 2 x 5 2 3 3a x 15a 3 bx 3 = 4x 2 2 3 3a x 18a 4 cx 4 = 5ab 2 3 3a x = 6a 2 cx 2 - Raccoglimento a fattor comune parziale Questa regola può, alcune volte, essere applicata quando il polinomio presenta fattori comuni solo per gruppi di monomi. Il metodo risulta applicabile se è possibile completare le seguenti due fasi: - Ia fase: si applica il raccoglimento a fattor comune a gruppi di due (a volte tre) monomi; - IIa fase: si raccolgono a fattor comune totale i polinomi (in parentesi) ottenuti. 2a 5b Esempio: 14ax − 4a + 35bx − 10b = 2a ⋅ (7 x − 2) + 5b ⋅ (7 x − 2) = (7 x − 2) ⋅ (2a + 5b) 3 - Prodotti Notevoli Differenza di due quadrati I 2 − ΙΙ 2 = ( Ι + ΙΙ ) • ( Ι − ΙΙ ) Questa regola si applica quando il polinomio è la differenza di due monomi che hanno: - per coefficienti, numeri o frazioni quadrati perfetti: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 1 4 1 9 , , 0,01 = , 0,04 = ,... 121 , 144 , . . . 4 25 100 100 4 6 2 8 4 2 14 - per parte letterale, lettere con esponenti pari: a , b , x y , a b x , ... Esempio: 49x 4 − y 6 = (7x 2 + y 3 )⋅ (7x 2 − y 3 ) I termini nelle parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi . Es. Differenza o Somma di due cubi Matematica Ι 3 − ΙΙ 3 = ( Ι − ΙΙ ) • y6 = y3 . ( Ι 2 + Ι • ΙΙ + ΙΙ 2 ) www.mimmocorrado.it 1 Ι 3 + ΙΙ 3 = ( Ι + ΙΙ ) • ( Ι 2 − Ι • ΙΙ + ΙΙ 2 ) Queste regole si applicano quando il polinomio è la differenza (o somma) di due monomi che hanno: - per coefficienti, numeri o frazioni cubi perfetti: - 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , 216 , 343 , 512 , 729 , 1000 , . . . 8 1 27 1 , , 0,001 = , 0,08 = 8 64 1000 1000 - per parte letterale, lettere con esponenti multipli del 3: a 3 , b12 , x 9 y 6 , a 6 b 3 x15 , . . Esempio: 64 9 x − y6 27 = ⎛4 3 2 ⎞ ⎛ 16 6 4 3 2 4⎞ ⎜ x − y ⎟⋅⎜ x + x y + y ⎟ 3 ⎝3 ⎠ ⎝9 ⎠ I termini della Ia parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi . Es. 3 y 6 = y 2 . I 2 ± I ⋅ II + II 2 I termini della IIa parentesi si ottengono effettuando il falso quadrato parentesi. Quadrato di binomio della Ia Ι 2 + ΙΙ 2 ± 2 • Ι • ΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ) 2 Questa regola si applica quando il polinomio è un trinomio contenente: - due monomi quadrati perfetti, come ad esempio: 49 4 x 121 , 1 , a6 9 , 4 2 4 6 x y z ,… 25 - un terzo monomio che risulta essere il doppio prodotto delle radici dei quadrati perfetti . 49 4 14 2 3 x − x y + y6 Esempio: 121 11 = ⎛7 2 3⎞ ⎜ x −y ⎟ ⎝ 11 ⎠ 2 I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti. 7 14 Occorre però fare la verifica del doppio prodotto: 2 ⋅ I ⋅ II = 2 ⋅ x 2 ⋅ (− y 3 ) = − x 2 y 3 11 11 Cubo di binomio Ι 3 ± 3 • Ι 2 • ΙΙ + 3 • Ι • ΙΙ 2 ± ΙΙ 3 = ( Ι ± ΙΙ ) 3 Questa regola si applica quando il polinomio è un quadrinomio contenente: 1 3 8 9 6 a 6 b 3 x15 - due monomi cubi perfetti, come ad esempio: a , 1 , − x y , − ,... 64 8 27 - due monomi che risultano essere i tripli prodotti 3 • Ι 2 • ΙΙ e 3 • Ι • ΙΙ 2 delle radici dei cubi perfetti . Esempio: 8x 9 − 12x 6 + 6x 3 y 4 − y 6 = (2x 3 − y 2 )3 I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi. Es. Occorre però fare la verifica dei due tripli prodotti: 3 8x 9 = 2 x 3 . 3 ⋅ I 2 ⋅ II = 3 ⋅ (2 x 3 ) 2 ⋅ (− y 2 ) = − 12x 6 y 2 3 ⋅ I ⋅ II 2 = 3 ⋅ 2 x 3 ⋅ (− y 2 ) 2 = + 6 x 3 y 4 . Quadrato di trinomio Ι 2 + ΙΙ 2 + ΙΙΙ 2 ± 2•Ι•ΙΙ ± 2•Ι•ΙΙΙ ± 2•ΙΙ•ΙΙΙ = ( Ι ± ΙΙ ± ΙΙΙ ) 2 Questa regola si applica quando il polinomio ha sei termini, di cui: Matematica www.mimmocorrado.it 2 49 4 4 2 4 6 a6 x , y6 , 1 , , x y z 9 121 25 tre sono monomi che risultano essere i doppi prodotti 2 • Ι • ΙΙ , 2 • Ι • ΙΙΙ , 2 • ΙΙ • ΙΙΙ delle radici dei quadrati perfetti. tre sono monomi quadrati perfetti, come : Esempio: 9a 2 − 6ab − 6ac + b 2 + c 2 + 2bc = (3a − b − c)2 I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti. Occorre però fare la verifica dei tre doppi prodotti: 2 ⋅ I ⋅ II = 2 ⋅ 3a ⋅ (−b) = − 6ab 2 ⋅ I ⋅ III = 2 ⋅ 3a ⋅ (−c) = − 6ac 2 ⋅ II ⋅ III = 2 ⋅ (−b) ⋅ (−c) = + 2bc 4 - Trinomio di II° grado Questa regola si applica, in generale, in presenza di un trinomio di II° grado in una data lettera. I Caso - Il coefficiente della x 2 è uguale a 1. Il polinomio si spezza nel prodotto dei due binomi: x 2 + s x + p = (x + a) • (x + b) dove s = a + b p = a •b Esempio: Dato il trinomio x 2 − 4x − 12 occorre trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al termine noto p = −12 e la cui somma sia uguale al coefficiente della x s = −4. Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco. Dalla tabella si individuano i numeri cercati: +2 e –6 . Pertanto il polinomio di scompone in ( x + 2) ⋅ ( x − 6) . p = -12 s = -4 -1 +12 +11 +1 -12 -11 -2 +6 +4 +2 -6 -4 -3 +4 +1 +3 -4 -1 II Caso - Il coefficiente della x 2 è diverso da 1. Per scomporre il polinomio a x 2 + b x + c occorre: - Occorre trovare due numeri h e k tali che h + k = b e h • k = a • c - Riscrivere il polinomio come a x 2 + h x + k x + c - Effettuare il raccoglimento a fattor comune parziale. 2 Esempio: Dato il trinomio 2x − 7 x + 5 occorre trovare due numeri h e k tali che h + k = −7 e h • k = 2 • 5 = 10 cui somma sia uguale al coefficiente della x s = −4. Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco. Dalla tabella si individuano i numeri cercati: –2 e –5. Pertanto il polinomio si riscrive come 2x 2 − 2x − 5x + 5 Effettuando il raccoglimento parziale si ha 2 x ⋅ ( x − 1) − 5 ⋅ ( x − 1) Raccogliendo di nuovo si ottiene ( x − 1) ⋅ (2x − 5) Matematica www.mimmocorrado.it p = 10 s = -7 +1 +10 +11 -1 -10 -11 +2 +5 +7 -5 -7 -2 3 5 - Regola di Ruffini Questa regola va considerata in ultima analisi, dopo aver applicato, con successo o non, i precedenti metodi. Essa si utilizza, in generale, in presenza di un polinomio in una data lettera, come ad esempio: a 0 x n + a 1x n −1 + . . . + a n −1x + a n . Per scomporre un tale polinomio occorre: - Ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera x - Determinare i divisori del termine noto a n e del I° coefficiente a 0 . ⎧ p ⎫ D = ⎨± con p divisore di a n e q divisore di a 0 ⎬ ⎩ q ⎭ - Attraverso la griglia di Ruffini, determinare uno zero α del polinomio - Determinare i possibili zeri del polinomio Il procedimento si conclude scrivendo il polinomio come: (x − α) ⋅ (polinomio di grado n - 1) , dove i coefficienti del polinomio della IIa parentesi si ottengono dalla griglia di Ruffini. Esempio: Dato il polinomio ordinato x 3 − 7x 2 + 16x − 12 - I divisori del termine noto 12 sono: ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12 I divisori del I° coefficiente 1 sono: ±1 I possibili zeri del polinomio sono D = {±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12} Con la griglia di Ruffini si cerca uno zero del polinomio 1 -7 16 -12 1 1 -6 10 1 -6 10 -2 No 1 -7 16 -12 -1 -1 8 -24 1 -8 24 -36 No Il polinomio x 3 − 7x 2 + 16x − 12 viene scomposto in ( x − 2 ) Matematica 1 -7 16 -12 www.mimmocorrado.it 2 • 2 -10 12 1 -5 6 0 Si ( 1 x 2 −5 x + 6 ) . 4 In Sintesi Binomio La scomposizione in fattori di un binomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : a x − a y = a • (x − y) b - Differenza di due quadrati : Ι 2 − ΙΙ 2 = (Ι + ΙΙ) • (Ι − ΙΙ) c - Differenza di due cubi : Ι 3 − ΙΙ 3 = (Ι − ΙΙ) • (Ι 2 + Ι • ΙΙ + ΙΙ 2) d - Somma di due cubi : Ι 3 + ΙΙ 3 = (Ι + ΙΙ) • (Ι 2 − Ι • ΙΙ + ΙΙ 2) e- Regola di Ruffini f - L’uso misto del procedimento ”a” con uno dei procedimenti “b” , “c” , “d” , “e”. Trinomio La scomposizione in fattori di un trinomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : 6a3x − 4a2y + 8a4z = 2a2•(3ax − 2y + 4a2z) b - Quadrato di binomio : Ι 2 + ΙΙ 2 ± 2 • Ι • ΙΙ = (Ι ± ΙΙ) 2 c - Trinomio di II° grado : x 2 + s x + p = (x + a) • (x + b) con s = a+b e p = a•b d - Regola di Ruffini e - L’uso misto del procedimento ”a” con uno dei procedimenti “b” , “c” , “d”. Quadrinomio La scomposizione in fattori di un quadrinomio può avvenire con : a - Raccoglimento a fattor comune totale : ax − ay + az − ak = a•(x − y + z − k) b - Raccoglimento parziale : c - Cubo di un binomio : ax + ay + bx + by = a • (x + y) + b • (x + y) = (x + y) • (a + b) Ι 3 ± 3 • Ι 2 • ΙΙ + 3 • Ι • ΙΙ 2 ± ΙΙ 3 = (Ι ± ΙΙ) 3 d - Regola di Ruffini e - L’uso misto del procedimento ”a” b” con uno dei procedimenti ”b”, “c”, “d”. Matematica www.mimmocorrado.it 5