Soluzioni: numeri complessi

ATTENZIONE: all’esame i test potranno proporre una
scelta tra cinque opzioni.
Se non diversamente specificato, con “argomento” di un
numero complesso si intende l’argomento principale, ossia
scelto nell’intervallo [0, 2π).
Un polinomio di grado n si dice monico quando il coefficiente di xn è uguale ad 1. Per esempio, x2 + 3x − 1 è
monico mentre 2x2 + 6x − 2 non è monico.
Soluzioni: numeri complessi
L. Pandolfi
1. Sia z = 3 − 2i. Allora vale
(a) il modulo è 13
(b) il modulo è |3| + |2i|
√
(c) il modulo è 32 − 22
√
(d) il modulo è 13
2. Sia
z=
3 + 2i
.
2i + 1
Allora vale:
√
(a) il modulo è ( 65)/5 e la parte reale è 7/5
p
(b) l’argomento è π/2 e il modulo è 13/5
(c) l’argomento è π e la parte reale è 7
(d) il modulo è 1/5 e la parte immaginaria è −4
3. Tra le seguenti affermazioni, indicare quella sbagliata
(a) la somma della parte reale e della parte immaginaria di un numero
complesso è un numero reale
(b) se la parte immaginaria è maggiore di quella reale, allora la
loro somma ha parte immaginaria non nulla
(c) l’argomento di un numero complesso è reale
1
(d) il modulo di un numero complesso è nullo se e solo se il numero
stesso è nullo
4. Sia z un numero complesso e z̄ il suo coniugato. Allora vale:
(a) qualunque sia z, i due numeri z e z̄ hanno lo stesso modulo
(b) qualunque sia z, i due numeri z e z̄ hanno lo stesso argomento
(c) qualunque sia z risulta (<e z + Im z) = (<e z̄ + Im z̄)
(d) qualunque sia z, i due numeri z e z̄ hanno argomento che differisce
di 2π
5. Sia z un numero complesso e z̄ il suo coniugato. Allora vale:
(a) per ogni z, i due numeri z e (z̄)2 hanno la stessa parte immaginaria
(b) qualunque sia z, i due numeri z e (z̄)2 hanno lo stesso argomento
(c) qualunque sia z, i due numeri z e (z̄)2 hanno lo stesso modulo
(d) esiste z non reale per cui i due numeri z e (z̄)2 hanno argomento che
differisce di 2π
6. Il numero complesso z ha modulo 4 ed argomento π/12. Allora vale:
(a) il numero z(z̄)2 ha lo stesso argomento di 1/z, ma modulo diverso
(b) i due numeri z(z̄)2 e 1/z hanno uguali sia il modulo che l’argomento
(c) il numero z(z̄)2 ha lo stesso modulo di 1/z̄, ma argomento diverso
(d) il numero z(z̄)2 è reale
7. il numero complesso z ha modulo 2 ed argomento π/36. Allora il numero
z 100 rappresenta un punto del piano cartesiano, che appartiene al
(a) primo quadrante
(b) secondo quadrante
(c) terzo quadrante
(d) quarto quadrante
8. Tra le seguenti, si indichi l’affermazione falsa.
(a) esistono infiniti polinomi a coefficienti reali e di grado minimo che
hanno per radici i numeri i, −1, 2i
2
(b) esistono infiniti polinomi di grado minimo che hanno per radici i
numeri i, −1, 2i
(c) esiste un solo polinomio di grado minimo che ha per radici
i numeri i, −1, 2i
(d) esiste un solo polinomio monico di grado minimo che ha per radici
i numeri i, −1, 2i e che inoltre verifica P (0) = −2
9. Sia P (z) il polinomio monico di grado minimo che ha per radici i numeri
1, −1, 2, −2. E’ vero che:
(a) il grado è 4 e il termine costante è divisibile per 4
(b) il grado è 2 e il termine costante è multiplo di 4
(c) il grado è 2 e il termine costante è pari
(d) il grado è 4 e il termine costante è una potenza di 3
10. Il polinomio x3 + 2x2 − 3
(a) non ha zeri reali
(b) ha almeno uno zero reale
(c) ha tre zeri reali
(d) ha due zeri reali e due non reali
11. Il polinomio x5 + 2x2 + 4
(a) è il polinomio di grado minimo che ha per radici i numeri a ed
a(1 + i), per una scelta opportuna del parametro a
(b) è il polinomio di grado minimo che ha per radici i numeri a ed
a(1 − i), per una scelta opportuna del parametro a
(c) è il polinomio di grado minimo che ha per radici i numeri a, a(1+i),
a(1 − i), per una scelta opportuna del parametro a
(d) ha almeno una radice reale
12. Un polinomio di grado minimo che ha per radici 1, i, 1 + i:
(a) ha grado 2
(b) ha grado 3
(c) ha coefficienti reali
3
(d) se monico, ha termine costante i
13. Il polinomio monico di grado minimo che ha per radici 1, i, 1 + i:
(a) ha coefficienti reali
(b) non ha coefficienti reali
(c) ha termine costante 1 + i
(d) ha termine costante i
14. Il polinomio monico di grado minimo e coefficienti reali che ha per radici
i e 1+i
(a) ha grado 2
(b) ha grado 2 e coefficiente di x uguale a 2
(c) ha grado 4 e coefficiente di x uguale a −2
(d) ha grado 4 e coefficiente di x uguale a 2
15. Tra le seguenti, individuare l’affermazione vera:
(a) un polinomio di grado pari ha almeno uno zero non reale
(b) un polinomio di grado pari e coefficienti reali ha zeri reali
(c) un polinomio di grado dispari e coefficienti reali
ha un numero dispari di zeri reali
(d) un polinomio di grado dispari e coefficienti reali ha reali tutti gli
zeri
16. Tra le seguenti, individuare l’affermazione vera:
(a) un polinomio a coefficienti reali ha radici reali
(b) un polinomio a coefficienti reali e due radici con parte immaginaria
positiva ha grado almeno 4
(c) un polinomio che ha due radici con parte reale positiva ha grado
almeno 4
(d) un polinomio di grado minimo a coefficienti reali e due radici con
parte reale positiva ha grado minore di 4
17. Sia P (z) un polinomio di grado minimo che ha coefficienti reali e radici
semplici 1 ed 1 + i; doppie −2 e −2 − 2i. Il suo grado è
4
(a) 6
(b) 9
(c) 4
(d) 8
18. Sia P (z) un polinomio di grado minimo che ha radici semplici 1 ed 1 + i;
doppie −2 e −2 − 2i. Il suo grado è
(a) 4
(b) 6
(c) 9
(d) 8
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