TRIGONOMETRÍA PLANA El origen de la palabra

TRIGONOMETRÍA PLANA
El origen de la palabra trigonometría puede encontrarse en el griego, trígono = triángulo y
metría = medida. La trigonometría justamente trata de eso, la medición y resolución de
situaciones donde se presenten triángulos. Hacemos referencia a la trigonometría plana
cuando trabajamos en dos dimensiones con triángulos planos.
Un triángulo posee los siguientes elementos:
B
β
Vértices: A – B – C
a
c
Lados: a - b - c
Ángulos: α - β - γ
A
α
γ
b
C
Para resolver situaciones que se pueden traducir al esquema de un triángulo nos
podemos valer de la medida de los lados pero no siempre alcanza, se debe recurrir a la
medida de los ángulos que posee el triángulo. Hacemos uso, en ese caso de las
funciones goniométricas (del griego gonio = ángulo) que por extensión se las denomina
funciones trigonométricas. Estas funciones son seis: seno, coseno, tangente, secante,
cosecante y cotangente y se las define en un triángulo rectángulo y para un ángulo en
particular, de la siguiente manera:
B
c
a
α
C
b
A
sen α =
a
c
cos ec α =
cos α =
b
c
sec α =
tan α =
a
b
cot g α =
c
a
c
b
b
a
De acuerdo a esta definición, las funciones cosecante, secante y cotangente son las
funciones inversas de seno, coseno y tangente respectivamente.
Definimos la circunferencia trigonométrica como aquella circunferencia de radio igual a la
unidad y así, cada segmento que se trace en búsqueda de la razones trigonométricas
definirán a cada una de ellas:
y
C
E
F
•
•
•
α
A
•
O
α
•
•
B
D
x
r=1
sen α =
cos α =
tan α =
AB
OA
OB
OA
CD
OD
⇒
⇒
⇒
sen α = AB
cos ec α =
cos α = OB
sec α =
tan α = CD
cot g α =
OF
⇒
OE
OC
OD
EF
OE
⇒
⇒
cos ec α = OF
sec α = OC
cot g α = EF
El análisis de estas funciones puede brindarnos datos y propiedades de interés. El mismo
puede realizarse gráficamente o apelando a métodos de cálculo. Así:
LA FUNCIÓN SENO
El dominio de la función seno es el conjunto de los números reales. La imagen está
comprendida en el intervalo [-1, 1]. Es una función continua en todo su dominio.
(
Si definimos el domino [0 ,2π] , es creciente en el intervalo 0 , π
(
2
) y en intervalo (3π 2 ,2π).
)
Es decreciente en π , 3π . Tiene valor máximo absoluto en x = π y mínimo absoluto
2
2
2
en x = 3π . Es una función impar.
2
De este análisis inferimos que:
•
Para ángulos comprendidos entre 0 ≤ x ≤ π la función seno es positiva.
•
Para ángulos comprendidos entre π ≤ x ≤ 2π la función seno es negativa.
LA FUNCION COSENO
El dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales. La imagen está
comprendida en el intervalo [-1, 1]. Es una función continua en todo su dominio.
Si definimos el domino [0 ,2π] , es decreciente en el intervalo (0, π ) y creciente en (π,2π ) .
Tiene valor máximo absoluto en x = 0 y mínimo absoluto en x = π . Es una función par.
De este análisis inferimos que:
•
Para ángulos comprendidos entre 0 ≤ x ≤ π
•
Para ángulos comprendidos entre π
•
Para ángulos comprendidos entre 3π ≤ x ≤ 2π la función coseno es positiva.
2
2
2
la función coseno es positiva.
≤ x ≤ 3π
2
la función coseno es negativa.
LA FUNCIÓN TANGENTE
El dominio de la función tangente es el conjunto de los números reales menos en aquellos
(
)
puntos de abscisa π + k ⋅ π con k perteneciente a los enteros. La imagen es el conjunto
2
de los números reales. No es una función continua en todo su dominio.
Si definimos el domino [0 ,2π] , es siempre creciente y no tiene valores máximos ni
mínimos. Es una función impar.
De este análisis inferimos que:
•
Para ángulos comprendidos entre 0 ≤ x ≤ π
•
Para ángulos comprendidos entre π
•
Para ángulos comprendidos entre π ≤ x ≤ 3π
•
Para ángulos comprendidos entre 3π ≤ x ≤ 2π es negativa.
2
2
2
la función tangente es positiva.
≤ x ≤ π la función tangente es negativa.
2
la función tangente es positiva.
RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En el triángulo OB̂A de la circunferencia trigonométrica tendremos:
y
Que, si el segmento OB representa el
coseno del ángulo y el segmento AB
A
el seno del mismo, por el Teorema de
α
O
r =1
Pitágoras:
B
2
x
2
OB + AB = OA
2
cos2 α + sen2α = 1
sen2α + cos2 α = 1
Luego, si la tangente fue definida por la razón entre el cateto opuesto y el adyacente del
triángulo tendremos:
tan α =
tan α =
cateto opuesto
cateto adyacente
AB
OB
tan α =
sen α
cos α
A su vez tendremos las tres relaciones que se establecen entre las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente y sus inversas:
cos ec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cot g α =
1
tg α
Las relaciones fundamentales son muy importantes a la hora de resolver identidades y
ecuaciones trigonométricas.
La primera relación da otras de uso habitual:
sen2α = 1 − cos2 α
sen α = 1 − cos2 α
sen2α + cos2 α = 1
cos2α = 1 − sen2α
cos α = 1 − sen2α
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
Cuando la situación problemática no se traduce al esquema de un triángulo rectángulo la
trigonometría ofrece dos opciones: el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno. Estos
teoremas se pueden aplicar a cualquier tipo de triángulo.
Teorema del Seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el
seno de sus respectivos ángulos opuestos α, β y γ :
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
Demostración:
B
hb
c
A
sen γ =
hb
⇒ hb = a ⋅ sen γ
a
sen α =
hb
⇒ hb = c ⋅ sen α
c
a
γ
α
C
∴ a ⋅ sen γ = c ⋅ sen α
(I)
B
β
hc
A
α
sen β =
hc
⇒ hc = a ⋅ sen β
a
sen α =
hc
⇒ hc = b ⋅ sen α
b
a
C
∴ a ⋅ sen β = b ⋅ sen α
(II)
b
En (I)
En (II)
a
c
=
sen α sen γ
a
b
=
sen α sen β
Por propiedad transitiva:
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
Teorema del Coseno
En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros
lados menos, el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo opuesto a
ellos:
B
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
β
2
2
2
b = a + c − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β
a
c
c 2 = b2 + a2 − 2 ⋅ b ⋅ a ⋅ cos γ
α
A
γ
b
C
Demostración:
(solo para la primera igualdad, las otras dos se demuestran en forma semejante)
B
c
a
hb
x
b-x
α
A
C
b
2
2
h b = (b − x ) + c 2
⇒
2
hb = b 2 − 2 ⋅ b ⋅ x + x 2 + c 2
2
hb = x 2 + a 2
⇒
b2 − 2 ⋅ b ⋅ x + x 2 + c 2 = x 2 + a2
b2 − 2 ⋅ b ⋅ x + c 2 = a2
cos α =
x
c
∴ x = c ⋅ cos α
⇒
b 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α + c 2 = a 2
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α