91 CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACION • EDIFICIOS CON RIGIDEZ DE CORTE DE Raul Husid L.·· RESUMEN Se examinan diversos metodos para el calcu/o del do fundamental de edificios estructurados de rigideces de los elementos Se propone formula de focil uno resultados suficientemente a de 10 practica, tos se pueden que los asimilar de corte. rigideces a resistentes manera perlO­ con un que conduce aplicacion aproximados los para propos i­ mlnimo de co/cu/os numericos. INTRODUCCION En ra e l de tal lar a e c a l pre s e nte traba j o deformac ion corte que las rigideces re de la riva fue rigideces corte; desarrollado ·Este trabajo algunos e xarn ma n pre s pisos ambos entre e n tado en las a edificios estructurados de los elementos resistentes d e c ir ,' edificios cuya es entre de los merod os propuestos pa­ ap l ic and o lo s periodo fundamental, lc ulc del manera s e consecutivos pis os es se e s truc turac ion puedan es func ion solo del e as im i­ tal que la sfuerz o de . Primeras Jornadas Cb i le na s de Ingenieria Antisismica, Santiago, julio 1963. ··Profesor nica de Complementos de !'datemBticas, Profesor AUlliliar de Analisis Vectorial Escuela de Ingenieria de Raclonal en del Ins rlturo de Investigaciones y Ensayes la Universidad de de !'dateriales Chile. (lDIEM). y !'dec.­ Ingeniero Investigador DEL REVISTA yo1 2, a. 2, .,o.to 1963 IDIEM 1.- FORMULA PROPUESTA EN LA ORDENANZA GENERAL DE CONSTRUCCIONES. Chile' dice La Ordenanza General de Cons eruc e lcue s de en Art_ 25311 su • • "1.- EI .ibratorio de obras de periodo actua so una a misma altura, iDgeDieria como en que los puenre s en gran parte del pe- una , se calcular. por la relacion: T sieDdo 8 e desplazamiento del l fuerza horizoatal de uaa ..fi 0,2 = (1 ) tablero (0 dinre l superior) producido por al peso P de la supereateuc eure , magnitud igual y que actua al nivel del tablero". "2.- EI periodo propio ode dr. e l de edificios hasta de 40 estructuras avaluado por la misma formula T ser total del desplazamiento piso superior 0,2 - fB, e periodo propio de de sperhne ata lree nte La e cuae , si asi 10 e l periodo de m es la masa, k = iguales e semipilares adyacentes en al la autoridad pone g = 980 #11: 2" es la a la la ace ie mpre que 8 mida se La formula no e s se determinara competente". (salvo e aac ea un redondeo 2" = (2 ) g elastica ion de � una 0 del rigidez oscilador; 8, fuerza horizontal igual Ia al peso; gravedad. cm/seg2 en Jii kg 2" constante bajo es m simple: (2), en T s 8 de libertad. Pr ov ie ae de la conocida for­ grado un k y g, la aceleracion debida se exigiese oscilador un deformacion del oscilador Si piso de altura mayor de 40 idn (l) propuesta por la Ordenaoza T que caso de la estructura, solicitada esta l peso de los estructuras cHras) para sistemas de mula para en e es ee considerado". piso "3.- EI piso mas al peso del de altura po­ s ie adc en por fuerzas horizontales que actuen al Di.el de cada magnitud m cenrlme tros = resulta: 0,2006..[8 , sin modHicacion aplicable (3 ) a e s truc ruras de varios grados de libertad. Sin embargo, miento total de I Tal de como estructuras la idea de utilizar piso superior, se la propene de .arios es en grados una formula similar, s ie ndo 8 e l de s p laza­ intere sante. la de Ordenanza, la formula conduce, libertad, a periodos mas largos eo e l caso que los que da ia te or una Como e xac ta lante, permite lograr En e l se vera formula que da resultados una de la Ord e na nza Apendice T en que Y apare c e definido En e llos e s ta Jk \i 271yjl = (4) g .. sigue: como Ie nre s exce propone la formula: se 271 Y = coeficiente que de pend e de la distti- formula, k es la rigidez se por P1SO, que supone se la Ordenanza y en una pr opone se es la d i s tr ib uc ion de de avaluar y, manera tab le c e que, para todo fin parimetro prictico, que yes Lagrange cuerda vibrante La en su con formula iguales y tivamente Esta casos iguales, formula en que se a a las masas p l ic arji pare c e ta (5) 2 riodo en e l en e l en e de las l no masas Apendice y de sean re s pe c­ rigideces. la Ordenanza SALVADORI M.G. mod if icac ion de la formula de WHITE. Esta la forma pisos 7, inciso 3. articulo DE de los promedio mb ie n propuesta ' s rigideces y con 3.- FORMULA una (5 ) l orden del modo considerado. General de Cons truc c ione Es una • 2N +1 e J� k 71 sen En los oluc Ion da­ es ; 2n -I e s s equidistantes. 71 que "n" indepen­ para las oscilaciones de uMecanique Analytique'" masas esti WHITE M.P. DE Esta formula ha sido deducida por M.P. WHITE2 adaptando la da por no del edificio. masas 2.- FORMULA formula4 expresa e l pe­ siguiente: Tn J5 = -fi I Kj hj 2n-l en para todos igual , d iente de en mas ade­ masa Mas adelante dado " justificada It la bucion de le ve mod ificac icn. una 93 EDIFICIOS DE PERIODO DEL CALCULO que: M. H' K· I h· I - - - - masa altura del piso j tora rigidez 1 altura de 1 l piso j piso j en e (6) REVISTA Eo la deduc;cioo de que la haceo ecuaci6n esta hao iotroducido se pricdeameote inapUcable yol 2 ••• 2. _,0.'0 1�3 IDIEM DEL alguoa. apro:r.imaciooe. la obtencioo de 10. eo de periodos la • • armonieas superiore s Todas , las formulas vista del analisis mencionadas antes por 10 taoto, dimeosional, sistema raciooal de unidades ha utilizado se en aparece mis Esta que en e onc (4) e l ni de masas es con e l lus idn tao parametro la de interpretando � periodo )' un FORMULA segun pero, , e l seotido del Art. e eo iutere sante es solo e l c oe l pe.­ 2�3Q, veremos, para fic ie 0,2 que nte c oe fic Ie nte para d is tr ibuc i one s de ma­ ulta uo taoto s orpre nde nte y Heva practicamente a afirmar la d Is tr ibuc Ion de las de , ha de duc id o de modo que, se grande, e l fundamental de se re s de pe nde no oefic ie nte infinitamente periodo un simple rigidece s c Iibre arriba y que El ut1l1za de muy distintas. El valor del sos se l punto (1) para obteuer buena aproximac ion. rigideces y NUEVA resulta oecesario modifiear pisos Hemos encontrado que basta sas validas cuando e frecuencia la formula (1) para calcular coo iociso 2, de la Ordeoaoza. Esta idea 0 son UNA DE dodo de edificios de varios pisos, edificios de dos raeiooales de sde • 4.- PROPOSICION En Chile son deforma fundamental de 1. periodo lame nre por efe e to del fundamental de la viga en cuestion e e l 8iimer� estructura viga uniforme, empotrada una so 51 en de Pl­ coincida la fundac ion y sfuerao de corte. es r (7) en que: M H p. Por otto rizootales lado la f lecha iguales .1 peso - - - A - G - masa total altura total coe fie ie are de forma sec e Ien transversal modulo de elasticidad transversal la punta de la en viga bajo la ac c ion de cargas bo­ es : H 8 = v f 0 Ms H (H -x) dx p.AG o sea: 8 - v (8) Reeloplazando (8) (7) en re s ulta : 'r, Para e l de caso edificio un las masas las como � iguales 2 mg 3 mg 0--+---- + k es - k de corte, cuya masa los pesos, pisos + son •••• + en en la la punta hip6tesis iguales consi­ pueda e nrre bajo de que si, vale: Nmg k k dec ir ; 8 en a los de (9) la fle c ha estatica pisos, rigideces mg _ rigidez can la accion de fuerzas borizootales fi8v V-g 4 = derarse concentrada al nive l de los taoto 9' EDIFICIOS DE PERIODO DEL CALCULO = N (N mg + 1) (10) 2 k que: Introduciendo e s te a = flee ha m = masa N = numero de pisos k = rigidez valor de a T'=2 1 Par otto la altura de lado, un la piso, r ig ide z es tatica de cada eo eo piso de cada piso la formula (4) y�(N+l) "2k k de uo la punta de 1 edific io trozo = se rie ne : 2rry/M<N +1) (11) 2k de viga de corte de altura h Ig ua l a es : k flAG = (12 ) h • Sustituyendo en (11), resulta: T'1 - y tomando en e ue nta que: Nh se 2rr'1jM(N+l)h 2 p. AG - (13 ) H obtiene: 2" Y T'1 - El limite a que rie nde esta T; jM H • p.AG N + 1 expre s icu cuando N = (14) 2 N 2"y/E p.AG ceee e iodefinidameote (15 ) 2 Comparando esta expresion coo (7) resulta: .r: '1=--2 " (16) es ; 10 cual coo rie ne fioalmente, la se Se propone, e nronc e s utilizar la , T e para =4 I ede nre s la que 5.· COMPROBACION vadori y de la formula pr opue s ea tenidos la formula con de ellas partir a (17) e autor d if ic ios antes' sin dar l carjic te r del trabajo Y se , los con periodos a nre- en s e que me nc Iono, COMPARACION Y SALVADORI DE a comparao los conocer a PROPUESTA c ont exac eo s No , White y de Sal­ inuac ion los en un ob­ periodos la hac e se dado que d ifiere de la propuesta solo (1), 8. - Iimire s de validez de las formulas de los averiguar l WHITE DE LAS 8v ,,� e e COD G FORMULA LA DE CON Para dado justificao, (9) ion ienr ec uac l calculo del per iod o fundamental de Esta formula fue propuesta por c ec uae mlsma yol 2. DD 2. agoato 1963 IDIEM DEL REVISTA omparac ion c factor de propor­ cionalidad. Para hacer la e orapr cbac iou sas distribuciones de que no se Los pre se ntan casos masas en r y ig id ec e s la prac ri c a estudiados , e s tr uc tura s incluso distribuciones con muy diver­ tan arbitrarias . dan se han considerado s e las Tablas I, II, III, IV, Y en totalizan VII,y • 97 estructuras d ifere nre s En las Tablas V y VIse dan las . dec e s y d is eribuc ione s de En la Tabla I sas y r ig idec e s masas pue d e apr se la formula de , de Salvadori da resultados para e l edificio de dos siempre EI rec por d efe c to y ie n de sc riros 3 pisos e s te , error En la Tabla a l de crec e vale un Salvadori, salvo un valor Esto cular los en leve mente nota se periodos la maximo de 3,6% al fiere exce e s truc tura cre c er e pisos, 0,4"10, a • le nee s y 17, me a ig i- e l mismo exac eos la , e resultado� d if ic io. para edificios pisos ma­ maximo de 19,7% l numero de pisos,. As! , los como para 0,14OJ.. observamos que, la que las formulas de White jore s para la c ua l la formula de White da mejor. aun mas al determioar los errores de los edificios de la Tabla II 1/6 y 1/8, respectivamente del periodo La. Tabla. I sta edificios de 2 N? error y para 10 p iso s radas. Las formulas de White y Salvadori conducen den de un para la formula propue para 6 re con nt e la formula propuesta da ultimo, rapidamente se r iar que para distribuciones uniformes de y, por aplicar entre la Tabla VII. en White da resultados prac t ic ame formula propuesta da resultados y ec error 1,06%; II, que de los edificios que aparecen ie mpre por defecto y pisos, con cometido error s raz one s VII .pareceD .1 fiDai del articulo. maximos coo a c ome rido s al cal­ las 3 formulas cons ide­ valores del pe r iodo del exae eo para la estructura or­ numero 25. La formula propuesta da para N" estructura tiv.mente del EDIFICIOS esta estructura un error 97 del 9,8%. 111, edificios de 3 pisos, las formulas de White y de Salvadori En la Tabla d.n,para la DE PERIODO DEL CALCVLO ... alor valores del 42, del orden de 1/6 y periodo La formula propuesta da exacto. un error 1/7, re spe c­ de 9,7% para esta produce s eltructura. Para la tusc ion N° �4 (Tabla estructura 4, edificios de 4 dori y propuesta presentan errores las 65, 6� vamente en estruc:turas de Despues al utilizar las e see las dos una i­ Para las estruc turas La formula propuesta dio cel que en errores que mula que Se la las Para en produce con en aqui estructuras varios se procedio pisos usual practica coo no se ma s as re todos los pesar de haberse incluido a de los magnitud formula de White y la propue s ta dan 10%, 34,3% eases algunas re s pe ctf­ mucho errores y analizadas, estructuras menores rigideces iguales exce lente s estudiados, distribuciones de por que pi­ . errores maaa s menores r y ig id e e encuentran. ser 9 e aac tame nte e llegan 7,2%, maximos comeddos errores aultados recien mencionadas casos y White, Salva­ 76. y que la formula propuesta restantes. del las formulas de maximol de 30,9%, de la examen pisos, formulas que comparamos para las 97 tees podemos apreciar de 20 se analoga. En la Tabla VII, para edificios de 10 so, 1. pisos) a las dos ve e e s los f6rmulas re s ta nte s correspoodientes a dao la for­ propone. a calcular las l periodo fuodame nta I de e d ific io uo siguientes caracteristical. K· - 1 K18 m· 1 = - m18 - Kl (1,05 K19 = 1{20 (1,05 ml m19 = - - 0,05N); I�N�17 0,2 Kl I<N<17 0,05N); = - - m20 = 0,2 ml y resuito: Los resultados y 1& propuesta fueron Se bicieron obtenidos aplicando las formulas de White, de Salvadori respectivamente: esto. cilculos para 1m.1 • IDosnar I = que K·1 en cas os como e sre , eo que: las formulas White y Salvadori dan Cle errores DO 2. aloUo 196� vol 2. IDlE .. toio..L It f.. VIS1 A ,. que pue de n llegar a ser muy e le­ vados. Para la esrructura anotadas mas arriba e ra l edificio de 20 peque fics res en soo es rud i o los , cometidos errores con las con mi = Ki ml y = KI. las tre s formulas Notese que pa­ 39,7": 36,2" y 8,�" respecdvamente pisos tre s formulas daban erro­ (Tabla I) PERIODO DE UNA ESTRUCTURA DE S PISOS POR EL 6.-CALCULO DEL METODO DE RAYLEIGH Y COMPARACION DE ESE METODO CON EL PROPUESTO Eo la discusion por e l primero mchodo de racion e s de esros A. Blume del articulo de Salvadori ya John aurore s ca lc ula Rayleigh. Reproducimos e l periodo de la tabla con un edificio de 5 c pisos irado", e por los cilculos de Blume. La l no­ obvia. TABLA VIII CALCULO DIRECTO DE LA FRECUENCIA APROXIMADA DEL PRIMER MODO SEGUN TABLA 9 DE BLUME· -- ._ M·, i -, W', IW IW Kix10 AI ( AI)' WAs W(As)i (7) (8) (9) (10) 71,88 61,1 S 42,30 22,03 6,26 38,168 46,928 39,031 28,169 15,009 323,604 366,961 253,842 132,202 37,506 Ki (1) (2) 5 11,65 15,53 15,53 15,53 15,53 4 3 2 1 (3) (4) 4,502 4,502 6,001 10,503 6,001 16,504 6,001 22,505 6,001 28,506 (5) (6) 6,84 0,658 1,316 1,810 2,193 2,501 7,98 9,12 10,26 11,40 1= les piso, espresada en 8,478 pulgadas, bajo que es la flech. estitica del ul­ la accion de fuerzas horitonrales igua­ 10. pe aos Aplicando 1a formula propuesra resulta: • . Tl Lal columna. de 167,305 1114,115 8,478 En 1& columna (7) aparec e la cifr. timo 8,478 7.820 6,504 4,694 2,501 Rayleigh. Por (7), (8), (9) eire y = (10) metodo, Blume 0,8379 les Ion necel.ria. para eocuentr.: .plicar el principio CALCULO Tl valor EI exae to ve soluro que que, e en e s ee 0,8249 = Rayleigh, todos los mulas 0 En con metodos e l caso rigidez de la casos e oncc de T. de corte practica Idoe masas y de ed if ic Ios La formula se comprueba igual error en valor ab­ trabajo calcular margen de un l e periodo error menor fundamen­ del 10% calculos numericos que menos en for orras , mediante rigideces iguales, conseguido una una precision modificacion ligera exce lenre para e s te , modificada 1a es Tl Y menos perraire con con y de la formula de Salvadori hemos ripo es ; DISCUSION 4J¥- = " seg mucho con 7.La formula propuesta EOIFICIOS seg 0,8314 = 1 OF. I_ formula propuesta da caso, l metodo de tal de edificios PERIOOO calculado por Sa lvador i" , T Se DEL = Igule ate t (4N + 2) � (18) I K·I Ins pe cc ien de la Tabla I simple con una s OBSERVACION Considerando 1. para determinar la e a pr oz imac ion obtenida obte ne r otra formula con r ig ide z ana10ga con 1. formula propue s de corte, hemos para edificios con pensado ra en deformac ioa flexion_ Procediendo • le nte l pe e iod o de edificios posibilidad de solo de e xc e la formula que en s 1a Ig ue BIl5ma forma que se indica en e s te uabajo se ha Ile gado : - 3,57 ffj. 9 (19) REVISTA 100 IDlE .. DEL AGRADECIMIENTOS EI autor agrade ce Investigaciones consejos boracion en en al Profesor Arturo Arias de Matedales de la Universidad de Ensayes y rel.cion • 1. 1. revision del S., Director del Instituto de de la formula propuesta y por justific.ci6n texto Chile, final del manuscrito. Agradece sus por su cola­ asimismo la co­ boracion del Sr. Abraham Husid, Director del Centro de Compueac Ien cultad de Chile, por la programa­ Ciencia, Fisicas y ""atematicas de la U. de cion y obtencion de modos y valores de las propios estructuras de la Fa­ analizadas de mas de cinco pisos. BIBllOGRAFIA 1.- Ley y Ordenanza Nacional de 2.- Investigaciones Medt P. White. n" Proceedings American 4.- \4.G. Sa Ivadori, dean Society Engineers, .\. Arias y R. Husid. Proyecto de Rev iata del IDIEM, vol 1, n" 2, Santiago 1949. vol. 64 pp. 2055-2060. Earthquake S tres ses of Civil Urbanizaci6n. Instituto Society 01 Civil Engineers. Lagrange. Mecanique Analytique. 1788, Joseph L. y Tee eolcg ic aa y Normalizacion. 10, Diciembre 1938. Discussion, 3.- 5.- General sobre Construcciones in Shear vol 119, norma TOlBo I, pp. 390. buildings. 1954, Traosae tions A me­ pp. 183-4. de cci/cu/o antis(smico de edilicios junio 1962. Santiago Chile. pp 121-146. CALCULO T ABLAS DEL PERIODO DATOS DE Y DE 101 EDIFICIOS RESULTADOS Nomeclatura: T: perlodo fundamental del edificio kn: rigidez mn: masa del del piso piso TABLA n. n. I PERIODOS DE EDIFICIOS CON RIGIDEZ DE CORTE DE 2 A 24 PISOS CON DISTRIBUCIONES UNIFORMES DE MASAS Y RIGIDECES Valores de N9 de la Estructura NQ T de � -:- Formula • Valor PISOS 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 12 1 1 14 12 16 13 18 14 20 15 22 16 24 White Sal vadori Propuesta exacto 10,17 14,12 18,09 2?,07 26,06 30,05 34,05 38,04 42,04 50,03 58,03 66,03 74,02 82,02 90,02 98,02 8 9,80 13,87 17,90 21,91 25,92 29,93 33,94 37,95 41,95 49,96 57,97 65,97 73,97 10,17 14,12 18,09 22,08 26,06 30,05 34,05 38,04 42,04 50,03 58,03 66,02 74,02 82,02 90,02 98,02 12 16 20 24 28 32 36 40 48 56 64 72 80 88 81. 98 96 97,98 89,98 REVISTA 102 DEL TABLA yol 2. aO 2. IDIEM a.o.,o 1963 II PERIODOS DE EDIFICIOS DE 2 PISOS CON RIGIDEZ DE CORTE Valores de Nq de la Estruc. ka ka : : ma Formula ma White : 1 : 1 : 1 1 : 1 10 1 : 1 : 100 1 : 1 2 : 1 1 : 1 24 10 : 1 1 : 1 25 100 : 1 1 : 1 26 2 : 1 1 : 2 27 3 : 1 2 : 1 17 1 : 2 1 18 19 1 : 3 1 : 4 1 1 20 1 : 5 21 1 : 22 1 23 T� Salvadori 11,74 12,46 12,86 13,13 13,71 14,31 8,30 4,33 1,43 7,19 8,81 TABLA Valor Propuesta 9,24 9,80 10,12 10,33 10,79 11,26 6,53 3,41 1,13 5,66 6,93 11,31 12,63 13,84 14,97 19,60 57,13 8,94 8,20 8,02 7,48 10,83 exacto 11,61 13,03 14,38 15,64 20,93 63,15 9,49 9,00 8,89 7,90 11,70 III PERIODOS DE EDIFICIOS DE 3 PISOS CON RIGIDEZ DE CORTE Valores de N° de II Estruc. kl :ka:k. White 3:1: 1 1 :1 :1 29 5:3: 1 1: 1: 1 30 1:1:1 31 8:5:2 4:3:2 32 3:3:1 1:1:1 33 1: 3: 1 1 :1 :1 34 5:3: 1 5: '3: 1 35 1: 3: 1 1 : 2: 1 36 1: 1 : 1 10:7:4 37 1: 1 : 1 1: 1 :2 38 100: 1: 1 1 :1 :1 39 40 10:1:1 1:1:1 5: 1 : 1 1:1:1 41 2: 1 : 1 1 :1 :1 42 1: 100: 100 1: 1 : 1 43 1:10:10 ,: 1 : 1 44 1 :2:2 ,: 1 : 1 1 :1 :1 m, Formula ml:ma:ms 28 kl T 17,32 18,23 17,89 16,43 16,00 10,05 14,14 12,63 11,82 16,30 24,23 22,33 20,68 17,30 1,73 5,34 10,94 Salvadori 14,80 15,40 15,20 13,96 13,60 9,23 12,00 10,73 10,02 13,83 20,58 18,97 17,57 14,70 1,47 4,54 9,30 Valor Propuesta 16,95 19,02 18,05 15,64 16,00 12,20 11,50 13,84 10,73 16,97 98,47 32,50 24,00 16,97 9,85 10,28 12,00 exacto 16,87 18,89 17,90 15,69 15,80 12,44 10,69 14,22 10,76 17,64 102,03 33,33 24,45 17,16 10,91 11,19 12,48 PERIOOO DEL CALCULO DE 10' EOIFICIOS IV TABLA PERIODOS DE EDIFICIOS DE 4 PISOS CON RIGIDEZ DE CORTE Tj�� Valor.s de N�d.la k, :kl:k,:k. m. :m,:ml:m. Estruc. Formula Valor White Salvadori Propuesto 21,60 8,90 11,25 11,73 11,73 11,73 19,58 11,73 5,75 1,84 31,53 23,58 13,27 14,61 17,66 24,28 21,98 21,90 17,89 12,13 11,40 139,02 . 1:1:1:1 23,35 46 15:11:7:3 1: 4:4:4 1:1:1:1 47 3:1':7:3 1:1:1:1 48 1: 4:4:4 49 1: 1:1:10 1:3:1:2 1:1:1:4 50 1 51 1: 1:1:1 52 1: 4:4:4 53 54 1:10:10:10 1: 100: 100: 100 100: 1:1:1 10,05 12,74 13,29 13,29 13,29 22,19 13,29 6,50 2,09 35,65 45 55 : 1: 1:10 1:4:1:1 1:2:2:1 1 :2:2:2 ':1:1:1 1:1:1:1 ,:1:,:, 0 TABLA ESTRUCTURAS Raz.ones �Q de 10 Estruc. k. "I 0 0 56 1 57 2 58 2 59 5 60 5 61 10 62 10 63 1 64 1 65 1 66 1 67 1 68 1 69 1 70 1 71 1 72 1 73 1 74 1 • • 75 1 • 76 1 77 1 78 1 : 0 • : • • • • 0 0 • • • • 0 • • 0 • · • • • · • • • • · • • 0 • • · • • 0,9 1 0 1 • 1 • • 0 1 • • 1 • · 1 • • 9 1,9 9,5 4,5 1 9,5 4,5 1,9 1 0 • · : : : · • · · 1 • 1 0,8 • · 1 . 0 0,9 1 • 0 · 8 1,8 9,0 4,0 1 • · · • · • · · · • : : : : 9,0 : 4,0 1,8 • • • 1 : 0 · : · · : • 0 k. • • 0,6 : 1 0 • 0,7 : 1 1 · 0,5 1 0,6 1 · · 0,7: 0,6 1 1 · · : 6 • · 1,7 : 1,6 8,5 : 8,0 3,5: 3,0 • k, 0 1 : : : 0,6 5 1,5 7,5 2,5 1 . . 9,5 • : 0 rigideces k, k, 0,4 : 0 • • • · · • 0 0 · 0 · 0 · · · · · • · · • 1 0,5 1 D,S 1 D,S 4 1,4 7,0 2,0 1 Oi stribuc. k9 0 · 0,3: 0,2 · · 0 • 1 0,4 · · 1 · · • · • 0 • · • · 0 · 0 · · · • · 1 0 · • 0,3 : 1 1 0,4 3 1,3 6,5 1,5 1 • 1,2 6,0 1,0 : : : 1 · · · · 2 • · • 0,3 : · · 1 • · · 0,4: 0,3 1 o· 0, : 0 : · k : · 0 1 · 0 · · · · · · · · • 0 · • 8 • • 9,0 • · a 0,2 a 1 a 0,2 a 1 Q 0,2 a 1, 1 5,5 0 masas Q 1 0 de 1 a a a D,S a 1 b 7 • · · 6 • · 8,5: 3,5: 1,7: 8,0 1,6 : 1 1 • • • · "" , 0 : . . 5 7,5 2,5 1,5 1 · 9 0 PISOS b • • 13,12 12,62 141,56 0,85 0,80: 0,75: 0,70: 0,65: 0,60: O,5� 0,7 : 0,6: D,S : 0,4 : 0,3 : 0,2 0, 1 0,95: 0,90: 0,85: 0,80: 0,75 0,9 : 0,8 0,7: 0,6 : 0,5 · 22,80 22,37 18,97 · • : 0 10 las 0 0,8: 0,7 7 · · 8 0,8 1 · 0,9 k. 0 0,7 : 0 0,95: 0,90 0,9 : 0,8 9 0 0,9 • 1 k, 0,8 : 0 • • • 0 22,95 13,98 14,75 18,66 25,93 V DE entre exacto 7 0 · 8,5: 6 8,0 • · : 5 7,5 • • • • • · · • • • : : • · • • 4 7,0 2,0 1,4 1 • · • • • • • • • • 3 : 2 : 1 b 6,5 1,5 : 6,0 : b : : 1,3 : 1,0 1,2 5,5 0,5 1, 1 1 • 0 1 : : 1 0,70: 0,65: 0,60: 0,55 0,4 0,3 : 0,2 : 0,1 • • 4 7,0 0 • • · b b b c c c 3 : 2 : 1 c 6,5 : 6,0 : 5,5 e 104 REVlSTA TABLA Razones t.f de 10 Estrue. "I · 79 1 80 1 81 2 82 2 83 5 84 5 85 86 10 10 87 2 88 2 89 5 90 5 91 10 92 10 93 94 1 1 95 1 96 1 97 1 · "s : k. 4,5 : 4,0 : 1,9 : 1,8 : 3,5 1,7 1c2 • • • • • 1 • · 1 • • 1 • • 1 • • 1 · • 1 • • 1 • • 1 • • 1 • • 1 • • 1 • • 1 • • 1 • · 1 • • 1 • • 1 • • 1 · • • 1 • • : 1 • 1 • • .: : • • • • • 1 • • 1 • • 1 • • • · 1 • 1 • • · 1 • • • • 1 1 1 • • • • 1 • · 1 · · • • • • • • 1 • • • • 1 • • : • 1 • : • 1 • : · 1 • : • 1 • : • 0,9: 0,8 • : • 0,9: 0,8 · : • 0,9: 0,8 • : · 0,9: 0,8 1 • 1 0,9: 0,8 • • • • • 0,9: 0,8 • : • • • · DEL k! · k. : 2,5 : 1,5 : • 3,0 1,6 • • 1 • · 0,7 • • 1 • · 0,7 : 1 • • 0,7 • • 1 • • 0,7 • · 1 • • 0,7 • · 1 • · 0,7 • • • • • • • • 1 • • 1 • • · 1 distribue Relaciones m1 a 1 b 1 e 1 d 2 e 2 f 1 9 1 h 1 : • · : m2 1 : • ms • 1 • • · 1 :0,975:0,950 : 0,925 : 0, 95:0,90 : 0,85 1:0,975 :0,950 1 : 0,95 : 0,90 • · · • · • • • • · 1 1 1 : 1 : 1 : 1 • • • · · • 1 1 1 1 • 0,5 1 : 1 0,6 : 0,5 1 : 1 0,6 : 0,5 : 1 0,6 : 0,5 1 : 1 0,6 : 0,5 1 : 1 0,6 : 0,5 1 : 1 : 1 1 : 1 1 : 1 1 : 1 1 • · : : : : • • • · • · · • · 1,5 1,3 d 0,3 : 0,2 d 1 : 1 d 0,3 : 0,2 d 1 : 1 d 0,3 : 0,2 d 1 : 1 e 0,4: 0,3 : 0,2 e 1 1 : 1 e 0,3 : 0,2 e 1 : 1 e 0,3 : 1 : : 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0, 1 1 · • : 1 • • • 0,4 • · : 1 • • · • • • • • • • 0,4 • • 1 • • • 1 • • • • 1 : 1 1 : 1 : 1 : 1 : • • 1 • • • : : • • : 1,0 1,2 1 • • : • 0,4 • : • 0,4 • : · 1 • : • 0,4 • masas 1 • • . : • • de k,o • e · • k. 0,5 1, 1 • • : 1 k. • • 0,6 • . 1 : e e f 9 h h h VI EDIFICIOS DE 10 PISOS las entre • m. 2,0 1,4 • DISTRIBUCIONES DE MASAS. de k7 • TABLA Tipo Di stri buc. las rigideees entre 1 yol 2. aD 2 •• ,ostO 1963 {eontinuaei6n} V 1 1 IDlE .. • m, • 1 : 0,900: 0,80 : 0,925: 0,85 : masas • m. • 1 : 0,875: 0,75 : 0,900: 0,80 : • m7 • 1 : 0,850: 0,70 : 0,875: 0,75 : • m. • 1 : 0,825: 0,65 : 0,850: 0,70 : • m. • 1 mlO : 1 0,800: 0,60 : 0,825: 0,65 : 0,775 0,55 0,800 0,60 0,8 0,6 0,4 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : CALCULO DEL PERIODO TABLA DE lOS EOIFICIOS YII PERIODOS DE EDIFICIOS DE 10 PISOS CON RIGIDECES DE CORTE- Volores de T N° de 10 E structura White Solvodori 56 56,69 57 58 56,42 53,93 53,88 65,73 75,61 87,70 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Yalor Form ulo 59 I 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 ·L .. J-k. m. r.ZODei eoue 68,83 79,18 91,84 96,10 106,71 19,60 34,91 16,06 27,42 39,60 44,99 53,40 18,46 15,13 25,81 32,89 37,01 42,04 49,90 17,25 14,14 24,14 30,73 40,15 48,93 56,20 65,25 68,28 75,80 38,24 46,62 53,50 62,21 65,20 72,36 41,85 41,85 41,85 42,33 42,52 exacto Propuesta 56,57 56,57 69,61 86,72 107,86 121,33 151,48 24,66 34,93 22,36 29,93 38,68 42,32 51,57 91,77 10 1,90 18,65 33,22 15,28 26,09 37,68 42,80 50,81 17,57 14,40 24,58 31,29 20,85 27,55 32,21 35,10 38,24 46,04 20,86 19,22 24,95 29,24 37,54 45,77 57,29 70,60 80,00 99,14 35,61 41,76 52,74 64,48 73,67 90,38 41,26 40,56 39,84 40,24 41,03 40,00 47,48 16,42 13,45 22,97 29,24 38,33 46,72 53,70 62,34 65,22 72,45 36,58 44,55 51,19 59,48 62,23 69,15 40,00 40,00 40,00 40,45 40,63 m•••• 56,65 67,24 86,90 104,03 121,80 146,12 24,46 34,70 23,22 28,84 38,55 41,65 48,48 22.84 35,21 rl,idece. y di.uibaciooe. de 53,52 de i •• I eUrIICl1Ir••• pueceD eo 22,64 21,63 26,46 31,70 34,75 37,36 42,95 20,70 19,92 23,89 28,74 37,18 43,67 57,12 67,71 79,73 95,04 34,20 39,18 52,13 61,30 72,90 86,08 41,26 40,54 39,66 39,74 39,82 1•• T.bil£ V y VI. · 106 REVISTA DEL IDIEM COMPUTATION OF THE NATURAL PERIOD OF SHEAR BUILDINGS SUMMARY: Several methods lor the computation 01 the fundamental buildings A are period 01 shear examined. simple formula that gives results sufficiently approximate lor practical applications with a minimum 01 computation is given.