No clasicidad en relaciones de incertidumbre de observables

No clasicidad en relaciones
de incertidumbre de
observables complementarios
Trabajo académicamente dirigido de
Paloma Matía Hernando
Tutor:
Dr. Alfredo Luis Aina
Departamento de Óptica
Facultad de Ciencias Físicas, UCM
Madrid, Junio de 2011
Índice
1. Introducción
2. Campo electromagnético cuántico. Observables y
2.1. Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Estados clásicos y no clásicos . . . . . . . . . . . .
2.4. Medidas y relaciones de incertidumbre . . . . . . .
1
estados
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3. Medidas y relaciones de incertidumbre (I): Varianza
3.1. Varianza en cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Varianza en número-fase: relación de Holevo . . . . . .
3.2.1. Cálculo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Cálculo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Varianza en número-cuadratura . . . . . . . . . . . . .
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3
3
4
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9
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11
11
12
13
21
23
4. Medidas y relaciones de incertidumbre (II): Entropía de Shannon
27
4.1. Entropía de Shannon en cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Entropía de Shannon en número-fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5. Conclusiones
31
6. Bibliografía
33
1
1.
Introducción
Las relaciones de incertidumbre, ilustradas por el principio de incertidumbre de Heisenberg,
se suelen presentar como ejemplo típico de fenómeno no clásico. Más concretamente, la teoría
cuántica excluye la posibilidad de que haya estados sin un cierto valor mínimo de fluctuaciones
para observables complementarios (como posición y momento en mecánica, o amplitud y fase
en óptica). Pero no todo lo que tenga que ver con incertidumbre es necesariamente un fenómeno
no clásico. Por ejemplo, en óptica clásica las fluctuaciones son la norma y no la excepción, reflejándose en parámetros como los grados de polarización y coherencia. Naturalmente, la óptica
clásica también admite estados de luz sin fluctuaciones.
Dentro de la teoría cuántica de la radiación se suele distinguir entre estados de luz clásicos
(los que en principio no necesitan la teoría cuántica para ser descritos) y no clásicos. En este
trabajo investigamos si hay alguna diferencia entre estados clásicos y no clásicos en lo que respecta a las relaciones de incertidumbre. Por lo expuesto en el párrafo anterior, puesto que la
teoría clásica sí permite estados sin fluctuaciones, una primera intuición sugiere que los estados
de mínima incertidumbre deberían ser siempre estados de luz clásicos. Esta es la intuición que
ponemos a prueba en este trabajo, con especial interés en el resultado más paradójico de que
haya estados no clásicos con menor incertidumbre para observables complementarios que los
clásicos.
Por completitud, empezaremos en la sección 2 con un resumen de los conceptos teóricos
más básicos necesarios para la comprensión del trabajo, en concreto los observables y estados
de la luz que se utilizarán posteriormente, y en qué consiste que la luz sea clásica o no clásica.
A continuación se examinan algunas formas básicas de estimar las fluctuaciones (varianza y
entropía Shannon).
En las secciones 3 y 4 estos ingredientes se aplican al estudio de relaciones de incertidumbre
del tipo posición-momento o amplitud-fase, buscando sobre todo estados no clásicos con menor
incertidumbre que los clásicos. Finalizamos con conclusiones y bibliografía.
3
2.
Campo electromagnético cuántico. Observables y estados
Empezaremos recordando la cuantificación del campo electromagnético e introduciendo los
observables y estados básicos que serán de utilidad para este trabajo.
2.1.
Observables
Los observables necesarios para este trabajo se representan matemáticamente por los operadores creación y destrucción, el operador número de fotones, el operador de fase y los operadores
de cuadratura, que se introducirán a continuación.
a. Operadores creación y destrucción.
Las ondas luminosas se modelan de manera análoga en óptica clásica y cuántica, en forma
de ondas armónicas planas con la representación compleja
Ē(r̄, t) = aε̄ exp{i(k̄ · r̄ − ωt)},
(2.1.1)
donde a es la amplitud compleja adimensional y ε̄ es el vector polarización. Dicha amplitud
es un operador no hermítico, conocido como operador de destrucción, que cumple con su
operador traspuesto y conjugado a† la siguiente relación de no conmutación:
[a, a† ] = 1.
(2.1.2)
El operador a† es conocido como operador de creación. Los observables son en general funciones de los operadores a y a† , Â = Â(a, a† ).
b. Operador número.
La energía del campo electromagnético se cuantifica en términos de los operadores a y a† ,
de forma que
1
H = ~ω a† a +
.
(2.1.3)
2
El operador n = a† a recibe el nombre de operador número de fotones, e idealmente es el
observable medido con un detector de luz. Esencialmente es el único observable medible, ya
que para frecuencias del visible o similar los detectores sólo responden a la energía luminosa.
c. Operador de fase.
En
√ óptica cuántica el módulo de la amplitud puede equipararse a la raíz del operador número,
a† a. En analogía con la óptica clásica, en que la amplitud compleja se puede escribir como
producto de su módulo y una exponencial de la fase, el operador exponencial de la fase
cuántica E vendría dado por la ecuación
√
a = E a† a.
(2.1.4)
Sería deseable que E fuera un operador unitario, tal que EE † = E † E = I donde I es la
identidad. Sin embargo, no hay forma de definir la acción del operador sobre el estado vacío,
|0i, de tal forma que dicha unitariedad se satisfaga. Se elige por conveniencia que se satisfaga
la media unitariedad EE † = I, aunque implique E † E = I −|0ih0|. Pese a estas complicaciones
en el operador de fase, se comprobará más adelante que sus autoestados, los estados de fase,
describen cuánticamente esta variable de forma correcta.
4
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
d. Operadores de cuadratura.
La amplitud compleja se puede expresar separándola en parte real y compleja en función de
los llamados operadores de cuadratura X e Y , de forma que
a = X + iY,
a† = X − iY,
(2.1.5)
o equivalentemente, los operadores cuadratura en función de a y a† son
1
X = (a + a† ),
2
i
Y = (a† − a).
2
(2.1.6)
Los operadores son hermíticos, y su relación de conmutación es
i
[X, Y ] = .
2
(2.1.7)
Finalmente, es posible expresar el operador número de fotones en función de los operadores
cuadratura,
1
a† a = X 2 + Y 2 − .
(2.1.8)
2
2.2.
Estados
La descripción física de un sistema cuántico tiene lugar a través de los estados cuánticos.
Suponiendo por sencillez que se trata de estados puros, vienen descritos por vectores |ψi. Los
estados determinan la estadística de los observables Â, por ejemplo mediante la evaluación de
los valores medios de sus potencias
hAl i = hψ|Âl |ψi
(2.2.1)
siendo l un entero. Si el operador  es hermítico también es muy usual describir su estadística
mediante la distribución de probabilidad de sus autovalores en el estado ψ,
p(λ) = |hλ|ψi|2 ,
(2.2.2)
donde |λi son los autoestados de  con autovalores λ,
Â|λi = λ|λi.
(2.2.3)
Los estados básicos para la comprensión de este trabajo son los estados número, los estados
coherentes, los estados comprimidos, los estados de fase y los estados cuadratura.
a. Estados número.
Los estados número, |ni, son los autoestados de operador número de fotones,
a† a|ni = n|ni,
(2.2.4)
donde n toma valores discretos y enteros de cero a infinito. En ocasiones y si no hay lugar a
confusión al operador a† a lo llamaremos simplemente n. Del conmutador [a, a† ] = 1 se puede
deducir que los operadores a† y a crean y destruyen fotones, respectivamente,
√
a† |ni = n + 1|n + 1i,
(2.2.5)
√
a|ni = n|n − 1i,
(2.2.6)
2.2
Estados
5
con a|n = 0i = 0, lo que justifica el nombre elegido de operadores de creación y destrucción.
Los estados número proporcionan una base muy popular del espacio de estados, y en función
de ellos se expresarán el resto de estados considerados en este trabajo. Por ello también es
importante conocer como actúa sobre ellos el operador de fase, y se obtiene fácilmente que
E|ni = |n − 1i,
(2.2.7)
con E|0i = 0.
Idealmente, un detector enfrentado a un estado de luz |ψi nos daría como resultado de cada
medida un número entero n con probabilidad p(n) = |hn|ψi|2 , y aunque los detectores reales
no son capaces de discriminar entre n y n + 1 en este trabajo no consideraremos estos problemas.
b. Estados coherentes
Los estados coherentes son los autoestados de la amplitud compleja,
a|αi = (X + iY )|αi = α|αi,
(2.2.8)
y se pueden expresar en la base número como
|αi = e−|α|
2 /2
∞
X
αn
n=0
√ |ni,
n!
(2.2.9)
con lo que la distribución de fotones en un estado coherente es poissoniana
p(n) = |hn|αi|2 = e−|α|
2
|α|2n
.
n!
(2.2.10)
El número medio de fotones de este estado es
n̄ = hα|a† a|αi = |α|2
(2.2.11)
(∆n)2 = n¯2 − n̄2 = |α|2 .
(2.2.12)
y su incertidumbre
A efectos de cálculo, para |α| 1 (es decir, para número medio de fotones alto) la distribución
p(n) puede aproximarse por una gaussiana considerando que la variable es continua en lugar
de discreta
(
)
(n − n̄)2
1
2
√ exp −
p(n) = |hn|αi| ≈
.
(2.2.13)
2(∆n)2
∆n 2π
Equivalentemente
(
X
(n − n̄)2
1
|αi ≈ q √
einθ exp −
4(∆n)2
∆n 2π n
)
|ni,
(2.2.14)
donde θ = arg α es la fase de la amplitud compleja.
Una visualización muy popular y práctica de los estados de luz consiste en describir un
estado como una distribución de probabilidad P (α) para la amplitud compleja. Por ejemplo,
los estados coherentes pueden describirse como un círculo de incertidumbre que representa
la igualdad de las fluctuaciones de las cuadraturas, ∆X = ∆Y = 1/2,
6
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Figura 1: Visualización de un estado coherente.
c. Estados comprimidos.
Los estados comprimidos tienen fluctuaciones en una de las cuadraturas menor que la de los
estados coherentes,
√
λ
1
∆X =
(2.2.15)
,
∆Y = √ ,
2
2 λ
siendo λ un parámetro real y positivo. Nótese que los estados coherentes son el caso particular
λ = 1. La representación en el plano de amplitud compleja del estado comprimido, con Ȳ = 0
por sencillez, consiste en una elipse
Figura 2: Visualización de un estado comprimido.
Son autoestados de la ecuación
(X + iλY )|ξi = ξ|ξi.
(2.2.16)
Los estados comprimidos, también con Ȳ = 0 por sencillez, pueden expresarse en términos
de los estados número en la forma
|ξi =
∞
X
cn |ni,
(2.2.17)
n=0
con coeficientes
(− tanh r)n/2
R2
iR √
1
cn = √
exp − (1 − tanh r) Hn √
tanh r − √
,
2
2
2n n! cosh r
tanh r
"
#
(2.2.18)
donde Hn son los polinomios de Hermite, y el parámetro r, que puede ser positivo o negativo,
indica la compresión con λ = exp(2r). Consideraremos estados comprimidos positivamente
a aquellos en los que r > 0, y por lo tanto ∆Y < ∆Ycoh , y negativamente a aquellos en que
r < 0 y por lo tanto ∆X < ∆Xcoh . En número medio de fotones de este estado es
n̄ = hξ|a† a|ξi = R2 + sinh2 r,
(2.2.19)
2.2
Estados
7
y su incertidumbre
1
(∆n)2 = n¯2 − n̄2 = R2 e2r + sinh2 (2r).
2
(2.2.20)
se dice superpoissoniana si (∆n)2 > n̄ y subpoissoniana si (∆n)2 < n̄. Por otro lado, para
compresiones pequeñas λ → 1 es de esperar que el estado comprimido sea similar a uno
coherente, por lo que puede funcionar la misma aproximación gaussiana en la base número
#
"
X
1
(n − n̄)2
|ξi ' q √
|ni,
exp −
4(∆n)2
∆n 2π n
"
(2.2.21)
#
(n − n̄)2
p(n) '
exp −
,
2(∆n)2
∆n 2π
1
√
(2.2.22)
pero con (∆n)2 6= n̄.
d. Estados de fase.
Los estados de fase son los autoestados del operador E, y se pueden encontrar en dos tipos,
normalizables y no normalizables.
Los normalizables están definidos por la ecuación de autovalores E|ζi = ζ|ζi con |ζ| < 1 y
en la base número se expresan como
q
|ζi =
1 − |ζ|2
∞
X
ζ n |ni.
(2.2.23)
n=0
Son normalizables puesto que hξ|ξi = 1.
Los no normalizables están definidos por la ecuación de autovalores E|φi = eiφ |φi que en la
base número se expresan como
∞
1 X
√
|φi =
einφ |ni,
2π n=0
(2.2.24)
donde el factor 1/2π se introduce por comodidad para otras fórmulas. Nótese que son estados
no normalizables puesto que hφ|φi → ∞.
Se define la distribución de probabilidad para la fase en un estado |ψi como
P (φ) = |hφ|ψi|2
(2.2.25)
que está convenientemente normalizada,
Z π
dφP (φ) = 1,
(2.2.26)
−π
√
siendo esta la razón del factor 1/ 2π en la definición de |φi. Para estados coherentes y
comprimidos, cuando valga la aproximación gaussiana y de número continuo,
Z
1
P (φ) = |hφ|αi| ' √
2π 2π∆n 2
"
(n − n̄)2
dn exp[−in(φ − θ)] exp −
4(∆n)2
−∞
∞
#2
,
(2.2.27)
8
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
que conduce a una distribución también gaussiana en fase con varianza ∆φ = 1/(2∆n),
"
#
1
(φ − θ)2
P (φ) ' √
exp −
.
2(∆φ)2
2π∆φ
(2.2.28)
e. Estados cuadratura.
Son los autoestados de una cuadratura, por ejemplo X,
X|xi = x|xi,
(2.2.29)
donde x es un autovalor real. Son estados no normalizables, es decir, hx|xi → ∞, pero esto
no supone ningún problema porque también ocurre con los autoestados de la posición o el
momento lineal de una partícula en física cuántica.
Los estados cuadratura sirven también como base continua para expresar otros estados, de
la siguiente forma
Z
|ψi = dxψ(x)|xi,
ψ(x) = hx|ψi,
(2.2.30)
análogo a una función de ondas de una partícula en mecánica. Así, se obtiene la expresión
de los estados coherentes y comprimidos,
ψλ (x) =
2
πλ
1/4
e2iȲ x e−
(x−X̄)2
λ
,
(2.2.31)
y para los estados número,
1/4
ψn (x) =
2
π
√
√
1
2
Hn ( 2x) e−x ,
2n n!
(2.2.32)
siendo Hn los polinomios de Hermite.
2.3.
Estados clásicos y no clásicos
En óptica estadística clásica los observables son funciones A(α) de la amplitud compleja α y
de su conjugada α∗ , y los estados de luz se especifican mediante una distribución de probabilidad
para la amplitud compleja P (α) de modo que
hAl i =
Z
d2 α Al (α)P (α),
(2.3.1)
donde d2 α = dxdy siendo x e y las partes real e imaginaria de α (de forma que α = x + iy).
Como P (α) es una distribución de probabilidad será positiva y normalizada,
P (α) ≥ 0,
Z
d2 αP (α) = 1.
(2.3.2)
En el caso cuántico se puede emplear una expresión similar, donde el papel de la amplitud
compleja lo juegan los estados coherentes, |αi, es decir, que para cada estado |ψi existe una
P (α) tal que
Z
hψ|Âl |ψi =
d2 α hα|Âl |αiP (α),
(2.3.3)
2.4
Medidas y relaciones de incertidumbre
9
donde P (α) se llama función P del estado y siempre está normalizada. Más estrictamente, toda
matriz densidad ρ (con ρ = |ψihψ| para los estados puros) se puede escribir como
Z
ρ=
d2 αP (α)|αihα|.
(2.3.4)
Existen sin embargo algunas diferencias fundamentales entre el caso clásico y el cuántico.
En óptica cuántica no está garantizado, por ejemplo, que P (α) sea positiva o incluso que sea
una función. Esto es útil para distinguir estados clásicos de no clásicos: se definen los estados
clásicos como aquellos para los que P (α) es una función no negativa y no más singular que una
delta de Dirac. Por ejemplo, los estados clásicos más importantes son los estados coherentes,
cuya función P es de hecho una delta de Dirac puesto que
l
hα|Â |αi =
Z
d2 α0 hα0 |Âl |α0 iP (α0 )
→
P (α0 ) = δ(α0 − α).
(2.3.5)
Los estados no clásicos pueden definirse entonces como aquellos para los que la función P
no es positiva o es más singular que la delta de Dirac, como para los estados número, fase y
comprimidos para los que la función P involucra derivadas de la delta de Dirac. Sin embargo,
esta definición no es única: existen otras definiciones de clasicidad derivadas de otras representaciones sobre el plano amplitud compleja distintas de la función P .
Como la medida experimental de la función P es muy compleja, la determinación del carácter
no clásico de un estado se puede llevar a cabo examinando la estadística de algún observable.
Por ejemplo, se puede ver que para todo P (α) ≥ 0 se tiene que (∆n)2 ≥ n̄. Por tanto, un estado
es no clásico si tiene una estadística de número de fotones subPoissoninana (∆n)2 < n̄, como
en los estados número excluyendo el vacío. Análogamente, si un estado tiene fluctuaciones de
una cuadratura menores que las de los estados coherentes, ∆X < 1/2 también será no clásico,
como en los estados comprimidos.
2.4.
Medidas y relaciones de incertidumbre
La relación de incertidumbre de dos observables A y B para el estado ψ de un sistema es de
la forma
J(A, B, ψ) ≥ j,
(2.4.1)
donde J(A, B, ψ) es una medida de la incertidumbre conjunta de A y B en el estado ψ y j > 0
es un cierto número real distinto de cero, que en el caso más general depende de A,B y ψ.
Para la medida de la incertidumbre conjunta consideraremos las dos opciones más habituales,
J(A, B, ψ) = U (A)U (B),
J(A, B, ψ) = U (A) + U (B),
(2.4.2)
donde U (A) y U (B) son medidas de incertidumbre de A y B respectivamente en el estado ψ.
Las medidas de incertidumbre U (A) utilizadas serán la varianza y la entropía de Shannon, que
aplicaremos a observables número, fase y cuadraturas.
11
3.
Medidas y relaciones de incertidumbre (I): Varianza
La varianza es el estimador de fluctuaciones más utilizado, y se define para el observable A
en el estado |ψi como
(∆A)2 = hψ|A2 |ψi − hψ|A|ψi2 .
(3.0.3)
Su uso permite encontrar fórmulas muy sencillas como la cota inferior del producto de incertidumbres, J(A, B, ψ) = U (A)U (B), obteniéndose
1
(∆A)2 (∆B)2 ≥ |hψ|[A, B]|ψi|2 ,
4
(3.0.4)
donde [A, B] es el conmutador de los dos operadores, pudiéndose obtener una expresión para
los estados que alcanzan el mínimo valor de J(A, B, ψ),
(A + iλB)|ψmin i ∝ |ψmin i,
(3.0.5)
siendo λ un parámetro real.
Sin embargo, el empleo de la varianza como medida de incertidumbre también tiene incovenientes. En primer lugar, al depender sólo del primer y segundo momento del observable, puede
ser insuficiente para distribuciones no gaussianas. Además, al depender cuadráticamente del
observable, los valores de A más altos contribuyen más que los bajos, independientemente de
la probabilidad de éstos, lo que conduce a divergencias y sensibilidad a errores experimentales
no deseados. Finalmente, se adapta mal al caso de variables angulares y para observables no
descritos por observables hermíticos.
3.1.
Varianza en cuadraturas
Para las cuadraturas, con relación de conmutación [X, Y ] = i/2, existe una cota mínima
para el producto de varianzas,
(∆X)2 (∆Y )2 ≥ 1/16,
(3.1.1)
obtenido a partir de (3.0.4). Es sabido que los estados de incertidumbre mínima, ∆X∆Y ≥ 1/4,
son los coherentes y comprimidos. Puesto que los estados coherentes son clásicos, esta relación
no interesa para nuestros objetivos.
Menos conocido es lo que ocurre con otro posible estimador de la incertidumbre conjunta
de X e Y , la suma de varianzas,
(∆X)2 + (∆Y )2 .
(3.1.2)
Vamos a estudiar si existe la cota mínima para comprobar si es también alcanzado por los
estados clásicos. Para ello se puede seguir una de las demostraciones clásicas para (3.0.4), y
considerar dos operadores A y B, tales que [A, B] = iC, con C † = C.
Para un estado arbitrario descrito por ρ, el valor esperado y la varianza de un operador se
expresan como
hAi = Tr(ρA),
2
(3.1.3)
2
(∆A) = h(A − hAi) i.
(3.1.4)
12
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Si consideramos ahora dos operadores auxiliares A0 y B0 , tales que
A0 =A − hAi,
(3.1.5)
B0 =B − hBi,
(3.1.6)
(∆A)2 = (∆A0 )2 = Tr(ρA20 ),
(3.1.7)
y por lo tanto con varianzas dadas por
2
2
(∆B) = (∆B0 ) =
Tr(ρB02 ).
(3.1.8)
Por propiedades de la matrix densidad ρ y de la traza, para todo operador T se cumple que
Tr(ρT T † ) ≥ 0. Tomemos T = A0 + iωB0 siendo ω un parámetro arbitrario, entonces
Tr(ρT T † ) = Tr(ρA20 ) − iωTr(ρ[A0 , B0 ]) + ω 2 Tr(ρB02 )
= Tr(ρA20 ) + ωTr(ρC) + ω 2 Tr(ρB02 ) ≥ 0.
(3.1.9)
Dando los valores ω 2 = 1 (ω = ±1) en la expresión anterior para imponer la aparición de la
expresión Tr(ρA20 ) + Tr(ρB02 ), es decir, de (∆A)2 + (∆B)2 . Se obtiene
Tr(ρA20 ) + Tr(ρB02 ) ≥ ∓Tr(ρC),
(3.1.10)
(∆A)2 + (∆B)2 ≥ |hCi|,
(3.1.11)
con lo que la cota mínima para la suma de varianzas de los observables A y B resulta ser
(∆A)2 + (∆B)2 ≥ |h[A, B]i|.
(3.1.12)
En el caso de los operadores cuadratura, se obtiene que (∆X)2 + (∆Y )2 ≥ 1/2, y se comprueba que los estados coherentes también cumplen la condición de la cota inferior con sus
varianzas (∆X)2 = (∆Y )2 = 1/4. Puesto que los estados coherentes son clásicos, esta relación
no interesa para nuestros objetivos.
3.2.
Varianza en número-fase: relación de Holevo
Algunas de las dificultades de la varianza como estimador de fluctuaciones se reflejan en el
caso número n y fase φ. No obstante, a partir de la varianza del operador número y los operadores
seno y coseno es posible obtener una relación útil de incertidumbre conjunta entre número y
fase. Los operadores seno S y coseno C se expresan en función del operador exponencial de la
fase, E, como
1
1
C = (E + E † ),
S = (E − E † ).
(3.2.1)
2
2i
Los conmutadores entre a† a = n y E se calculan fácilmente en la base número, y resultan
[a† a, S] = iC,
[a† a, C] = −iS,
(3.2.2)
por lo que el producto de varianzas será
1
(∆n)2 (∆C)2 ≥ hSi2 ,
4
1
2
2
(∆n) (∆S) ≥ hCi2 .
4
(3.2.3)
(3.2.4)
3.2
Varianza en número-fase: relación de Holevo
13
Sumando ambas expresiones y teniendo en cuenta las relaciones siguientes entre los operadores seno y coseno,
|0ih0|
C2 + S2 = I −
,
(3.2.5)
2
|hEi|2 = hCi2 + hSi2 ,
(3.2.6)
se obtiene la expresión
1 − h|0ih0|i
2
−1
| hEi |2
!
2
(∆n) ·
1
≥ ,
4
(3.2.7)
a la que nos referiremos en adelante como relación de Holevo.
Puede verse que bajo las aproximaciones gaussiana y de número continuo los estados coherentes son aproximadamente de incertidumbre mínima de la relación de Holevo. Por lo tanto,
dentro de estas aproximaciones (válidas para números de fotones altos) no podemos concluir
nada interesante para nuestros objetivos. Por ello evaluaremos a continuación la ecuación de
Holevo para diferentes tipos de estados, primero de forma numérica y después de forma analítica
siempre para números bajos.
3.2.1.
Cálculo numérico
Evaluaremos la relación de Holevo para un número de fotones fijo y bajo de forma que las
aproximaciones gaussiana y de número continuo no valgan, en concreto para estados coherentes,
estados de fase normalizados, estados coherentes comprimidos y finalmente algunos estados
intermedios entre fase y número.
Estados coherentes:
Recordemos que los estados coherentes o autoestados de la amplitud compleja pueden
expresarse en la base número como
| αi = e−|α|
∞
X
αn
2 /2
√
n=0
n!
| ni,
(3.2.8)
y puesto que la relación de Holevo depende únicamente de ∆n, h|0ih0|i y |hEi|, la fase del
parámetro α no influirá en el resultado y por lo tanto lo podemos considerar real en el
análisis que sigue.
La distribución de fotones es poissoniana y por lo tanto (∆n)2α = n̄. El resto de variables
de la relación de Holevo en función del número medio de fotones resultan:
h| 0ih0 |iα = e−n̄ ,
hEiα = e
−n̄
∞
X
(3.2.9)
1
n̄n− 2
p
.
n!(n − 1)!
n=1
(3.2.10)
De la evaluación numérica del lado izquierdo de la relación de Holevo en el caso de estados
coherentes se obtienen los resultados mostrados en la siguiente gráfica:
14
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Holevo
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
2
4
6
8
10
n
0.20
Figura 3: Holevo en función de n̄ para estados coherentes.
Puesto que los estados coherentes son clásicos, para cada n̄ la figura supone una frontera
entre el comportamiento clásico (por encima) y no clásico (por debajo).
Estados de fase normalizables:
Recordemos que los estados normalizables de fase, autoestados del operador E, pueden
expresarse en la base número como
| ζi =
q
1 − |ζ|2
∞
X
ζ n | ni,
(3.2.11)
n=0
e igualmente consideraremos el parámetro ζ real porque su fase no influirá en el resultado
final. Para este estado, y teniendo en cuenta que
n̄
,
(3.2.12)
1 + n̄
las variables pueden relacionarse con el número medio de fotones de la siguiente manera:
|ζ|2 =
h| 0ih0 |iζ =
1
,
1 + n̄
s
(3.2.13)
n̄
,
1 + n̄
(3.2.14)
(∆n)2ζ = n̄(1 + n̄).
(3.2.15)
hEiζ =
En este caso, el lado izquierdo de la relación de Holevo tiene un valor analítico igual a
(1 + n̄)/2, por lo que estos estados están siempre en el lado clásico de la curva de la figura
anterior.
Estados coherentes comprimidos:
Los estados comprimidos tienen fluctuaciones en una de las cuadraturas menores que la
de los estados coherentes. Recordemos que en la base de los estados número se expresan
como:
∞
| ξi =
X
n=0
cn | ni
(3.2.16)
3.2
Varianza en número-fase: relación de Holevo
15
con
(− tanh r)n/2
R2
1
iR √
cn = √
exp − (1 − tanh r) Hn √
tanh r − √
.
2
2
2n n! cosh r
tanh r
"
#
(3.2.17)
Las variables de la relación de Holevo son las siguientes:
h| 0ih0 |iξ = |c0 |2 ,
hEiξ =
∞
X
(3.2.18)
c∗n−1 cn ,
(3.2.19)
n=1
(∆n)2ξ = R2 e2r +
1
sinh2 2r,
2
(3.2.20)
√
con r = ±arcsinh n̄ − R2 .
Evaluaremos a continuación la relación de Holevo para casos de compresión positiva y negativa (r mayor o menor que cero) y para los
√ casos de parámetro R cercano a 0 (máxima
compresión) y cercano a su valor máximo, n̄ (mínima compresión).
Para R cercanos a cero, se observa que para ambos tipos de compresiones la relación de
Holevo es rápidamente creciente y está por encima del valor para los estados clásicos. Las
gráficas siguientes representan el lado izquierdo de la relación de Holevo para√compresiones
positivas y negativas, para valores de R bajos del 0.05 %, 0.1 % y 0.5 % de n̄:
Holevo
r>0, R=0.0005 n
3 ´ 108
r>0, R=0.001 n
2 ´ 108
r>0, R=0.005 n
1 ´ 108
2
4
6
8
Figura 4: Holevo en función de n̄ para máxima compresión, con r>0.
10
n
16
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Holevo
2.0 ´ 108
r<0, R=0.0005 n
1.5 ´ 108
r<0, R=0.001 n
1.0 ´ 108
r<0, R=0.005
n
5.0 ´ 107
2
4
6
8
10
n
Figura 5: Holevo en función de n̄ para máxima compresión, con r<0.
√
Sin embargo, cuando el parámetro R es cercano a su valor máximo de n̄, la situación
es diferente. Se comprueba que ciertos estados comprimidos tienen un valor de la parte
izquierda de la relación de Holevo menor que los estados clásicos (coherentes), y es posible
llevar el estudio algo más lejos y analizar para que rangos de compresión del estado se
produce esta situación.
Representamos en una misma gráfica el valor del lado izquierdo de la relación de Holevo
en función del número medio de fotones para diferentes valores del factor de√compresion,
r, por medio del parámetro R. Expresándolo como diferentes porcentajes de n̄ se obtiene
el siguiente resultado para estados de compresión negativa:
Holevo
0.60
Coherente
Compr R=0.9999 n
0.55
Compr R=0.99 n
0.50
Compr R=0.975 n
0.45
Compr R = 0.95 n
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0
1
2
3
4
5
Figura 6: Holevo en función de n̄ para mínima compresión, con r<0.
6
n
3.2
Varianza en número-fase: relación de Holevo
17
Se observa efectivamente que, en primer lugar, que existen rangos para los que la relación
es menor que para
√ los estados coherentes, representados por la línea discontinua. Además,
conforme R → n̄ la curva se aproxima a √
la de los coherentes, y la mayor no-clasicidad
se encuentra para R del orden del 99 % de n̄.
Por último, realizamos el análisis de forma inversa: fijando n̄ es posible representar el
valor de la relación de incertidumbre número fase en función de la compresión del estado,
expresada como R/Rmax ( %). Así se observa en las figuras siguientes que, para valores
bajos de n̄, la incertidumbre es menor que la clásica para un cierto rango de compresión;
mientras que al aumentar n̄ cada vez es necesaria una menor compresión para obtener
comportamiento no clásico. Así recuperamos que para aproximación gaussiana y de número continuo (es decir, n̄ 1) los estados de mínima incertidumbre son los coherentes.
En las siguientes gráficas, la posición del eje x marca el valor del lado izquierdo de la
relación de Holevo de estados coherentes para el n̄ correspondiente, y por lo tanto el
rango de la curva que está por debajo de dicho eje marca el rango de compresiones de
comportamiento no clásico.
Holevo
0.40
0.38
0.36
94
96
98
100
RRmax H%L
0.34
0.32
0.30
Figura 7: Holevo en función del porcentaje de R/Rmax para n̄ = 1.
Holevo
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
94
96
98
100
RRmax H%L
Figura 8: Holevo en función del porcentaje de R/Rmax para n̄ = 5.
18
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Holevo
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
94
96
98
100
RRmax H%L
Figura 9: Holevo en función del porcentaje de R/Rmax para n̄ = 10.
Autoestados de (n + iλE † ) :
Los autoestados de operadores intermedios entre de número y de fase, como una combinación lineal de ambos, son buenos candidatos para relaciones de incertidumbre no clásicas en
estas variables. Los autoestados de (n + iλE † ) pueden calcularse por medio de la ecuación
de autovalores siguiente:
(n + iλE † )|ψi = µ|ψi.
(3.2.21)
Expresando el estado en la base número, |ψi =
sobre él, se obtiene la siguiente relación:
X
n
ncn |ni + iλ
X
n cn |ni,
P
cn |n + 1i = µ
n
y haciendo actuar los operadores
X
cn |ni.
(3.2.22)
n
Igualando coeficientes se obtiene que µ = 0 y los coeficientes cumplen la siguiente expresión
de recurrencia
λn
cn =
c0 ,
(3.2.23)
n!
salvo un término de fase.
Por lo tanto, los autoestados de (n + iλE † ) se expresan en la base número como
|ψi = Z
∞
X
cn |ni
(3.2.24)
n=0
con coeficientes
λn
n!
salvo un término de fase, y con constante de normalización Z,
cn =
1
Z=p
.
I0 (2λ)
(3.2.25)
(3.2.26)
3.2
Varianza en número-fase: relación de Holevo
19
Las variables de la relación de Holevo para estos estados son las siguientes:
h|0ih0|i = Z 2 c20 ,
hEi = Z 2
∞
X
c∗n−1 cn ,
n=0
(∆n)2 = λ2 − n̄2 ,
con
n̄ = λ
I1 (2λ)
.
I0 (2λ)
(3.2.27)
De la evaluación numérica de la relación de Holevo en función del número medio de fotones
se obtiene la siguiente gráfica, donde se compara con los estados coherentes. En ella se
aprecia que la relación de incertidumbre para los estados intermedios es menor que para
los coherentes en todo el rango de número medio de fotones, y que se aproxima al valor
mínimo de 0.25 para valores grandes.
Holevo
0.50
0.45
0.40
n+iΛE^+
Coherente
0.35
0.30
0.25
0.20
0
2
4
6
8
n
10
Figura 10: Holevo en función de n̄ para autoestados de (n + iλE † ).
Autoestados de (n + iλE) :
Los autoestados de operadores intermedios entre de número y de fase, como una combinación lineal de ambos, son buenos candidatos para relaciones de incertidumbre no clásicas
en estas variables. Los autoestados de (n+iλE) pueden calcularse por medio de la ecuación
de autovalores siguiente:
(n + iλE)|ψi = µ|ψi.
(3.2.28)
20
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Expresando el estado en la base número, |ψi =
sobre él, se obtiene la siguiente relación:
X
ncn |ni + iλ
X
n
n cn |ni,
P
cn |n − 1i = µ
n
y haciendo actuar los operadores
X
cn |ni.
(3.2.29)
n
Igualando coeficientes se obtiene la siguiente expresión de recurrencia
cn+1 =
1
(n − µ)cn ,
iλ
(3.2.30)
lo que implica que para que la serie converja es necesario que µ = N , donde N es un
número natural arbitrario, de tal forma que cN +1 = 0, es decir, que la serie de coeficientes
sea finita.
Por lo tanto, los autoestados de (n + iλE) se expresan en la base número como
N
X
cn |ni,
(3.2.31)
N!
(N − n)! · λn
(3.2.32)
|ψi = Z
n=0
con coeficientes
cn =
salvo un término de fase, y con constante de normalización Z. Las variables de la relación
de Holevo para estos estados son las siguientes:
h|0ih0|i = Z 2 c20
hEi = Z 2
N
X
(3.2.33)
c∗n−1 cn
(3.2.34)
n=1
(∆n)2 = n¯2 − n̄2
(3.2.35)
con
n̄ = Z 2
N
X
n=0
|cn |2 n,
n¯2 = Z 2
N
X
|cn |2 n2 .
(3.2.36)
n=0
El lado izquierdo de la relación de Holevo se evalúa numéricamente en función del número
medio de fotones, variando el parámetro λ. Se representan las curvas correspondientes
a estados con diferente número de términos en su expresión en la base número, N , y se
observa que hay rangos de n̄ para los que la relación de Holevo es inferior al caso coherente.
3.2
Varianza en número-fase: relación de Holevo
21
Holevo
0.7
N=5
N=10
N=15
N=20
N=25
Coh.
0.6
0.5
0.4
0.3
2
4
6
8
10
12
14
n
0.2
Figura 11: Holevo en función de n̄ para autoestados de (n + iλE).
3.2.2.
Cálculo analítico
Una vez analizada la ecuación de Holevo de forma numérica para diferentes estados, todavía
es posible llegar más lejos en el análisis de dicha ecuación. En concreto, calcularemos analíticamente el lado izquierdo de la relación de Holevo para estados coherentes, vacío comprimido y
estados de fase normalizados con el mismo número medio de fotones, expresando los correspondientes estados en la base número de fotones y quedándonos sólo con los términos en |1i, |2i y
|3i.
Un estado puro arbitrario cerca del vacío puede expresarse en la base número como
|ψi ≈
√
!
α2
N |0i + α|1i + γ √ |2i + ... ,
2
(3.2.37)
22
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
donde N es un factor de normalización
γ2
≈1−α + 1−
2
1
N≈
1+
α2
+
!
2
γ 2 α4
2
α4 ,
(3.2.38)
donde α y γ son parámetros supuestos reales para disminuir la incertidumbre en fase. La parametrización del estado se ha hecho para que γ = 1 corresponda a un estado clásico coherente.
Los valores esperados de los observables número relevantes son
n̄ ≈ N (α2 + γ 2 α4 ) ≈ α2 − (1 − γ 2 )α4 ,
n¯2 ≈ N (α2 + γ 2 α4 ) ≈ α2 − (1 − γ 2 )α4 .
(3.2.39)
(3.2.40)
Por lo tanto, la varianza (∆n)2 es
(∆n)2 = α2 − 2(1 − γ 2 )α4 .
(3.2.41)
Además,
γ2
h|0ih0|i ≈ N ≈ 1 − α + 1 −
2
2
!
α4
(3.2.42)
y por lo que respecta a la fase,
E|ψi ≈
√
!
α2
N α|0i + γ √ |1i + ... ,
2
α3
hEi ≈ N α + γ √
2
!
(3.2.43)
γ
≈ α − 1 − √ α3 .
2
(3.2.44)
Con los cálculos anteriores es posible obtener el valor de lado izquierdo de la relación de
Holevo, resultando
2
H = (∆n) ·
1 − h|0ih0|i
2
−1
| hEi |2
!
=
√
1
1 + (2γ 2 − 2γ − 1) · α2 .
2
(3.2.45)
Como estamos interesados en relaciones a número de fotones fijo podemos despejar α2 en
función de n̄ en n̄ ≈ α2 − (1 − γ 2 )α4 , obteniendo
2
α =
1±
p
1 − 4n̄(1 − γ 2 )
2(1 − γ 2 )
(3.2.46)
y, como estamos interesados en α próximos a 0 escogemos el signo negativo de la raíz y la
desarrollamos en serie de potencias de n̄,
2
α =
1−
p
1 − 4n̄(1 − γ 2 )
≈ n̄ + (1 − γ 2 ) · n̄2 ≈ n̄.
2(1 − γ 2 )
(3.2.47)
Así, el lado izquierdo de la relación de Holevo tiene la forma siguiente:
H≈
√
1
1 + (2γ 2 − 2γ − 1) · n̄ .
2
(3.2.48)
3.3
Varianza en número-cuadratura
23
Para un estado clásico cohererente, γ = 1, y tenemos que
Hclass ≈
√
1
1 + (1 − 2) · n̄
2
(3.2.49)
y por lo tanto, para observar comportamiento de relación de incertidumbre no clásico, con
H < Hclass , se necesita que
√
√
√
√
2γ 2 − 2γ − 1 < 1 − 2
→
2γ 2 − 2γ − 2 + 2 < 0.
(3.2.50)
En la figura siguiente se muestra la desigualdad anterior √
en función de γ, mostrando que
existe comportamiento no clásico H < Hclass para 1 > γ > 1/ 2 − 1 (' −0,3),
1.0
0.5
H > H _class
-0.5
0.5
-0.5
1.0
Γ
H < H _class
Figura 12: Rango de no clasicidad para la relación de Holevo en función del parámetro γ.
De acuerdo con la expresión (∆n)2 ≈ α2 −2(1−γ 2 )·α4 parece que la situación de H < Hclass
está relacionada con que la estadística de número sea subpoissoniana, (∆n)2 < n̄.
3.3.
Varianza en número-cuadratura
Puesto que no se conocen procedimientos sencillos de medidad de la fase, presentamos una
versión experimentalmente accesible del problema en el que asimilamos la fase a la cuadratura
X, inspirados por la figura para φ << 1 en que tan φ ∼ sin φ ∝ X.
Figura 13: Visualización de la fase de un estado coherente.
24
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
A partir la relación de conmutación [a+ a, X] = Y entre el operador número y uno de los
operadores cuadratura se obtiene la relación de incertidumbre
1
(∆n)2 (∆X)2 ≥ Ȳ .
4
(3.3.1)
Considerando Ȳ = 0 la relación de incertidumbre ∆n∆X ≥ 0 tiene un valor mínimo trivial
para el estado clásico del vacío, pero analizaremos a continuación si algún otro estado no clásico
presenta un valor de (3.3.1) menor que el alcanzado por los clásicos para n̄ > 0.
Estados coherentes:
Los resultados para ∆n y ∆X en los estados coherentes son:
(∆n)2α = n̄,
(3.3.2)
1
(∆X)2α = .
4
(3.3.3)
Por lo tanto, para los estados coherentes ∆n∆X =
√
n̄/2
Estados coherentes comprimidos:
Recordando que el factor de compresión de los estados coherentes comprimidos, r, se
relaciona con el número medio de fotones por medio de el parámetro R:
p
r = ±arcsinh n̄ − R2 .
(3.3.4)
Los resultados para ∆n y ∆X en los estados comprimidos son
(∆n)2ξ = R2 e2r +
1
sinh2 2r,
2
(3.3.5)
e2r
,
(3.3.6)
4
y se pueden analizar para los casos de compresión positiva y negativa, r > 0 y r < √
0, y
de parámetro R cercano a 0, (compresión máxima) o cercano a su valor máximo de n̄,
(compresión mínima).
(∆X)2ξ =
Estados número:
Como los estados número son autoestados del operador número, los resultados para ∆n
y ∆X en los estados coherentes son:
(∆n)2n = 0,
(∆X)2n =
y por lo tanto la relación siempre será cero.
2n̄ + 1
,
4
(3.3.7)
(3.3.8)
3.3
Varianza en número-cuadratura
25
Estados de fase:
En último lugar, los resultados para ∆n y ∆X en los estados fase son:
n̄
,
1 + n̄
(∆X)2ζ = X¯2 − X̄ 2 ,
(∆n)2ζ =
(3.3.9)
(3.3.10)
con
X¯2 = (1 − |ζ|2 )
∞
X
((2n + 1)ζ 2n +
q
(n + 1)(n + 2)ζ 2n+2 +
q
(n − 1)nζ 2n−2 ),
(3.3.11)
n=0
X̄ = (1 − |ζ|2 )
∞
X
√
( nζ 2n−1 +
√
n + 1ζ 2n+1 ),
(3.3.12)
n=0
teniendo en cuenta la relación
|ζ|2 =
n̄
.
1 + n̄
(3.3.13)
El valor de la relación de incertidumbre para los difererentes estados se puede calcular numéricamente y representar en una única gráfica con el fin de poder observar si algún estado
cuántico alcanza menor valor que los clásicos. Los estados de fase y los comprimidos positivamente resultan tener un valor de la incertidumbre superior al de los coherentes, como se observa
en la figura siguiente.
DnDX
r>0, R=0.01 n
40
r>0, R=0.99
30
fase
20
coherentes
n
10
2
4
6
8
10
n
Figura 14: Relación número cuadratura para estados de coherentes, comprimidos con r>0 y de fase
como funciones de n̄.
26
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
Sin embargo, los estados comprimidos negativamente, con r<0 alcanzan un valor menor al
de los estados coherentes con el mismo n̄. Como se observa en la siguiente gráfica, esta situación
se mantiene incluso para altos valores de n̄, y para todo el rango de compresiones. La distancia
con el caso clásico
√ aumenta al ir bajando la compresión, llegando a ser máxima para el caso en
que R es 0,99 n̄, y posteriormente vuelve a disminuir rápidamente al acercarse al 100 % que
corresponde con los estados coherentes:
DnDX
5
R=0.01 n
4
R=0.5 n
R=0.95 n
3
R=0.99 n
2
R=0.9999 n
coherentes
1
20
40
60
80
100
n
Figura 15: Relación número cuadratura para estados de coherentes y comprimidos con r<0 como
funciones de n̄.
27
4.
Medidas y relaciones de incertidumbre (II): Entropía de Shannon
Medidas de incertidumbre alternativas a la varianza las proporcionan las entropías, por
ejemplo del tipo Shannon,
X
S=−
Pj ln Pj
(4.0.14)
j
donde Pj es la estadística del observable correspondiente. Se ha supuesto que la variable es
discreta por sencillez, en el caso continuo habría que reemplazar los sumatorios por integrales.
Las entropías son una medida interesante de incertidumbre, entre otras razones porque no
depende de los valores de la variable, sólo de sus probabilidades. Así, al cálculo contribuyen
más las probabilidades más altas y menos las más bajas. Al depender directamente de las probabilidades, las entropías son estimaciones a todo orden en la variable, en lugar de quedarse en
segundo orden como la varianza, aprovechándose más y mejor la información contenida en la
estadística.
A continuación se analizan las entropías conjuntas de las cuadraturas X e Y , y de los operadores número y fase.
4.1.
Entropía de Shannon en cuadraturas
Para las cuadraturas X e Y la cota mínima de la suma de entropías es
S(x) + S(y) ≥ ln(eπ).
(4.1.1)
Los estados comprimidos tienen una distribución de probabilidad en el observable X dada
por la expresión
!
r
2
2
2(x
−
x̄)
P (x) = |ψ(x)|2 =
exp −
,
(4.1.2)
πλ
λ
mientras que para el observable Y la distribución se obtiene mediante una transformada de
Fourier,
s
2
P (y) = |TF[ψ(x)](y)| =
λ(y − ȳ)2
λ
exp −
2π
2
!
.
(4.1.3)
Las entropías de Shannon correspondientes se calculan bajo signos de integral puesto que
las variables son continuas:
Z ∞
1
πλ
ln
+1
2
2
−∞
Z ∞
1
2π
S(y) = −
P (y) ln P (y)dy =
ln
+1 .
2
λ
−∞
S(x) = −
P (x) ln P (x)dx =
(4.1.4)
(4.1.5)
Por lo tanto, la suma de entropías es
S(x) + S(y) = ln(eπ)
(4.1.6)
28
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
y se comprueba que los estados comprimidos (y como caso especial de estos, los coherentes para
cualquier n̄) alcanzan la cota inferior para la suma de entropías, y por lo tanto no responden a
lo que buscamos.
4.2.
Entropía de Shannon en número-fase
Para los observables número y fase la cota mínima es
S(n) + S(φ) ≥ ln(2π).
(4.2.1)
A continuación analizaremos si los estados coherentes son de incertidumbre mínima en el
caso de aproximación de número continuo y distribución gaussiana. Bajo dicha aproximación la
distribución P (n) puede aproximarse por
1
(n − n̄)2
P (n) ≈ √
exp −
2n̄
2πn̄
!
(4.2.2)
y la distribución de fase P (φ)
r
P (φ) ≈
2n̄
exp −2n̄φ2 .
π
(4.2.3)
Las entropías correspondientes son
Z ∞
1
(ln(2n̄π) + 1),
2
−∞
Z π
1
π
P (φ) ln P (φ)dφ =
S(φ) = −
ln
+1 .
2
2n̄
−π
S(n) = −
P (n) ln P (n)dn =
(4.2.4)
(4.2.5)
Por lo tanto, la suma de entropías para estados coherentes en aproximación gaussiana y de
número continuo es
S(n) + S(φ) = ln(eπ) > ln(2π),
(4.2.6)
que es constante pero no mínima.
A continuación evaluamos numéricamente la suma de entropías para estados coherentes en
función del número medio de fotones, fijo y bajo, utilizando la distribución poissoniana habitual:
P (n) = |hn|αi|2 = e−|α|
2
|α|2n
n!
(4.2.7)
y la distribución de fase P (φ)
e−|α|
P (φ) = |hφ|αi| =
2π
2
2
X
−inφ |α|
e
n
√
n
n!
!2
(4.2.8)
Teniendo en cuenta en |α|2 = n̄ y aplicando las expresiones
S(n) = −
S(φ) = −
∞
X
P (n) ln P (n)
(4.2.9)
n=0
Z π
P (φ) ln P (φ)dφ
−π
se obtiene por análisis numérico la siguiente gráfica:
(4.2.10)
4.2
Entropía de Shannon en número-fase
29
SHnL+SHΦL
2.3
2.2
2.1
2.0
2
4
6
8
10
n
Figura 16: Entropía de Shannon en número-fase para estados coherentes como función de n̄.
Se observa que para n = 0 la entropía de Shannon corresponde al mínimo, ln(2π) ' 1,84, que
después crece hasta un máximo y que al final tiende rápidamente al ln(eπ) ' 2,14 de la aproximación gaussiana.
Para el estado número |ni, S(n) = 0, y como P (φ) = 1/(2π) se tiene que S(φ) = ln(2π),
por lo que siempre es mínimo y no clásico para n distinto de cero.
Con respecto a los estados de fase, cuya expresioón en la base número era
q
|ζi =
1 − |ζ|2
∞
X
ζ n |ni,
(4.2.11)
n=0
la distribución de probabilidad de número es
P (n) = (1 − |ζ|2 )|ζ|2n ,
(4.2.12)
y la distribución de probabilidad de fase
P (φ) =
1
1 − |ζ|2
,
2π 1 + |ζ|2 − 2|ζ| cos φ
con
|ζ|2 =
n̄
.
1 + n̄
(4.2.13)
(4.2.14)
De nuevo las entropías de Shannon correspondientes se expresan como
S(n) = −
S(φ) = −
∞
X
p(n) ln p(n),
(4.2.15)
p(φ) ln p(φ)dφ,
(4.2.16)
n=0
Z π
−π
y por análisis numérico se obtiene la siguiente gráfica y se comprueba que la suma de entropías
para cada n̄ es inferior a la de los estados coherentes. Por lo tanto los estados de fase no presentan
comportamiento no clásico.
30
No clasicidad en relaciones de incertidumbre – P. Matía, A. Luis
SHnL+SHΦL
2.8
2.6
2.4
2.2
2
4
6
8
10
n
Figura 17: Entropía de Shannon en número-fase para estados de fase como función de n̄.
31
5.
Conclusiones
En este trabajo hemos buscado estados no clásicos con relación de incertidumbre para dos
observables complementarios menor que la de estados clásicos. Para ello nos hemos centrado
en relaciones de incertidumbre que involucran observables básicos en óptica como la fase, el
número y las cuadraturas.
Se ha comprobado que la incertidumbre conjunta de las cuadraturas medida como producto
y suma de varianzas es mínima para los estados coherentes (es decir, clásicos) y por lo tanto no
aporta resultados interesantes.
Sin embargo, el análisis de las varianzas en número y fase involucradas en la relación de
Holevo ha resultado mucho más fructífera. Si bien en aproximación de número medio de fotones
grande (aproximación gaussiana y de número continuo) los estados clásicos son de incertidumbre mínima, hemos analizado numéricamente su valor para número medio de fotones fijo y
bajo en otros estados, obteniendo el resultado deseado de no clasicidad para estados de mínima compresión negativa. Para valores bajos de n̄ la situación de no clasicidad se mantiene
para compresiones algo mayores, mientras que al aumentar n̄ cada vez se restringe a menores
compresiones, hasta recuperarse los estados clásicos en límite gaussiano y de número continuo
(coherentes, de compresión nula). También se ha procedido al análisis de autoestados de operadores mezcla de número y fase, (n + iλE) y (n + iλE † ), que también han dado resultados
satisfactorios con relaciones de incertidumbre de comportamiento no clásico.
Del desarrollo analítico de la relación de Holevo se ha obtenido un rango aproximado en
función de un parámetro para el cual la incertidumbre de un estado arbitrario podría presentar
comportamiento no clásico, y se ha podido concluír que dicha no clasicidad está relacionada con
estados de estadística subpoissoniana.
Con respecto a la varianza conjunta para observables número-cuadratura, como acercamiento alternativo al caso de número-fase para incertidumbres de fase pequeñas, se ha obtenido que
los estados comprimidos negativamente presentan comportamiento no clásico para todo rango
de compresiones y en todo el rango de número medio de fotones.
Finalmente se ha estudiado brevemente el comportamiento de las entropías de Shannon. La
suma de entropías en cuadraturas no tiene resultados interesantes puesto que su cota mínima
es alcanzada por todos los estados comprimidos, y también por los coherentes. Las entropías de
número-fase, sin embargo, son más prometedoras, puesto que la cota mínima no la alcanzan los
estados clásicos ni en aproximación de números grandes ni en un estudio numérico para números
bajos. En concreto, los estados número tienen suma de entropías mínimas y no clásicas para n
distinto de cero.
33
6.
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